Суть теории автоматического управления подразумевает построение такой системы, которая поддерживает определенный параметр некоторого объекта в заданном состоянии, например, температуру в печи, или уровень воды в баке. Для лучшего понимания процесса, удобно сразу рассмотреть конкретную модель управления, скажем, управление уровнем воды в баке. Кстати, в учебниках и статьях по ТАУ этот процесс упоминается довольно часто как отсылка к истории, потому что в далеком 1763 году русский изобретатель Ползунов И.И. разработал для своего парового двигателя систему контроля уровня воды. Своего рода классический регулятор, который, кстати, и является по сути двухпозиционным регулятором как на этой картинке (воды нет — клапан открыть, вода есть клапан закрыть).

Двухпозиционный он потому, что имеет 2 позиции: открыт (включен) и закрыт (выключен), в англоязычной литературе on-off. Бывают и трех и более позиционные регуляторы, то есть к основным положениям клапан пополнения воды открыт или закрыт, добавляется еще положение «приоткрыт». После слива воды в унитазе поплавок опускается, открывая полностью клапан и вода поступает в бак на полном напоре, но ближе к достижению заданного уровня, поплавок поднимается призакрывая клапан и уменьшая поступление воды. И как только текущий уровень воды ( в английском языке PV — Process Value — Текущее значение) поднимется до заданного (в английском языке SP — Set Point — Уставка), клапан закроется и уровень воды перестанет расти. В описанном случае регулятор даже более похож на пропорциональный — регулирующее воздействие уменьшается при уменьшении рассогласования (ошибка — error), то есть разницы между заданным уровнем и уровнем текущим.

Приоткрывая нижнюю трубу на слив воды, можно будет добиться такого состояния, когда клапан будет открыт полностью, а уровень воды не будет уменьшаться (то есть приток воды станет равным истоку) — система войдет в состояние равновесия. Но проблема в том, что это состояние очень шаткое — любой внешнее возмущающее воздействие может сломать это равновесие — скажем мы можем зачерпнуть из бака некоторое количество воды, и тогда может так получиться что вся вода после этого вытечет из бака (засчет изменения давления), либо труба пополнения забьется и поток уменьшится, либо поплавок сломается и вода перельется. В этом и заключается сложность построения систем управления — реальные системы довольно сложные и имеют много характеристик, которые нужно учитывать. Есть такая характеристика как инерционность системы — если отключить разогретую плиту то она будет оставаться горячей довольно продолжительное время, именно поэтому для управления температурой используют более сложные регуляторы, а именно ПИД — пропорционально интегрально дифференциальный. У каждой из составляющих есть свои особенности — они все по-разному себя ведут при разных условиях, но в совместном использовании позволяют добиться довольно четкого регулирования. Все эти системы просчитываются по формулам, но в данном случае просто важно понимать, как поведет себя система при изменении коэффициентов ПИД регулятора: при увеличении пропорционального звена — начальное воздействие увеличивается и таким образом система сможет быстрее достичь необходимых параметров. Но если переборщить с этим, то возможно появится перерегулирование, что может быть еще хуже чем малое быстродействие системы.

За время существования ТАУ были найдены математические описания многих процессов и теперь мы можем предугадать как поведет себя система при определенных обстоятельствах. Существует множество программ-симуляторов, где можно задать параметры системы, задать параметры регулятора и примерно увидеть что из этого выйдет. Гуляя по просторам интернета наткнулся на сайт Excel для инженеров, и там есть несколько симуляторов регуляторов, благодаря которым можно посмотреть на изменение в процессе при изменении коэффициентов регулирования. Наиболее простой для повторения был, естественно, регулятор ON-OFF, то есть по-русски двухпозиционный регулятор. Напоминаю принцип работы: если текущая величина процесса (Process value = PV) -температура, например — ниже уставки (SP), то регулятор включается (OP) — запускаются тэны на полную мощность. Как только температура достигает уставки — регулятор отключает подачу напряжения на тэны.

Делаем симулятор на JavaScript

Для построения графика буду использовать библиотеку ZingChart — пользоваться ей оказалось довольно просто и легко. Есть много примеров в документации по которым можно построить вообще все что угодно. Принцип построения довольно простой — есть массив значений, которые автоматически ложатся на график по порядку, и таким образом из пары сотен точек появляется непрерывный график процесса. Кстати в оригинале в экселе все делается точно так же — генерируется 300 значений и строится график.

Собственно именно генерация значений и является самым сложным, а именно сложность правильно описать процесс, который правильно реагирует на наши управляющие воздействия — включение тэнов — температура растет, выключение — падает, плюс сюда же нужно заложить инерционность системы. Кроме того среда нагрева может быть разная и некоторые среды быстрее нагреваются и остывают, а некоторые наоборот, а если регулируем уровень, то при одинаковом потоке сверху, уровень подниматься будет выше в том баке, где площадь дна меньше. Это все я веду к тому, что процесс будет зависеть и от коэффициента передачи (усиления). В оригинале в процесс введен еще параметр задержки (ну типа система не сразу реагирует на управляющий сигнал), но я решил от него отказаться — достаточно и двух. Зато добавил изменение уставки, хотя по сути получилось что уставка может меняться от нуля до 100, свыше 100 процесс начинает вести себя не так, и судя по всему причина в том что формула процесса универсальная и не описывает частный случай. В общем приступаем:

Создаем 5 полей для ввода параметров, все это помещаем в таблицу, которую выше в css окрашиваем в красивый цвет и помещаем по центру:

<table align="center" oninput="setvalues ();">
	<tr>
	<td>
Process parameters <br>
Gain: <input id="gain" type="number" value ="1" ><br>
Time Constant: <input id="time" type="number" value ="100" ><br>
	</td>
	<td>
Control parameters <br>
SetPoint(0-100): <input id="sp" type="number" value ="50"><br>
Hysteresis: <input id="hyst" type="number" value ="1">%<br>
	</td>
	<td>
Plot parameters <br>	
Points: <input id="points" type="number" value ="200"><br>
	</td>
	</tr>
</table>

Как видно при каждом изменении значения полей внутри таблицы будет вызываться функция setvalues(). В ней мы считываем данные из каждого поля в специальные переменные

	let gain = document.getElementById('gain').value;
	let time = document.getElementById('time').value;
	let sp = document.getElementById('sp').value;
	let points = document.getElementById('points').value;
	let hyst = document.getElementById('hyst').value;

Как уже говорилось для построения графика нужны массивы с данными на основании которых и будет строиться график, поэтому создаем кучку массивов:

let pv = []; // массив данных процесса 
let pv100 = []; //то же но *100
let op = []; // управляющий сигнал 1 вкл, 0 выкл
let pvp = 0; //предыдущее значение процесса
let low = sp-sp*hyst/100;//нижняя граница гистерезиса
let high = +sp+(sp*hyst/100); // верхняя граница гистерезиса
let st=true; // старт нагрева

Немного поясню за гистерезис. Ситуация такая: когда температура достигает заданного значения, тэны отключаются и сразу же (на самом деле не сразу, т.к. есть инерция) начинается процесс остывания. И остыв на один градус а то и некоторую долю градуса — система понимает что уже снова вышла за рамки задания и нужно снова включать тэны. В таком режиме тэны будут включаться и выключаться очень часто, может быть и такое что несколько раз за минуту — для оборудования такой режим не очень хороший, и поэтому чтобы исключить такие колебания вводят так называемый гистерезис — deadband — зона нечувствительности — скажем 1 градус выше и ниже уставки мы не будем реагировать, и тогда количество переключений можно значительно сократить. Поэтому в переменной low находится нижняя граница уставки, а в high верхняя. Переменная st отслеживает достижение верхнего уровня и позволяет снизиться процессу до нижнего. Логика всего процесса находится в цикле:

	for (var i=0;i<points;i++) {
		if (pvp<=(low/100)) {
			st=true;
			op[i]=1;
			}//
		else if (pvp<=(high/100)&& st) op[i] = 1;
		else { st=false; op[i]=0;}
		
		let a = Math.pow(2.71828182845904, -1/time);
		let b = gain*(1 -a);
		pv[i] = op[i]*b+pvp*a;
		pv100[i] = pv[i]*100;
		pvp = pv[i];
	}

По итогу мы получаем массив с заданным количеством точек, который отправляем скрипту построения графиков.

scaleX: {
 	zooming: true
  },
      series: [
		{ values: op , text: 'OP' },
        { values: pv100 , text: 'PV'}
      ]
    };

Полный код под спойлером

<!DOCTYPE html>
<html>
 
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <title>График</title>
 
  <script src="https://cdn.zingchart.com/zingchart.min.js"></script>
  <style>
    html,
    body,
    #myChart {
      width: 100%;
      height: 100%;
    }
	input {
	width: 25%;
	text-align:center;
	}
	td {
	
	background-color: peachpuff;
	text-align: center;
	}	
  </style>
</head>
<body>
<table align="center" oninput="setvalues ();">
	<tr>
	<td>
Process parameters <br>
Gain: <input id="gain" type="number" value ="1" ><br>
Time Constant: <input id="time" type="number" value ="100" ><br>
	</td>
	<td>
Control parameters <br>
SetPoint(0-100): <input id="sp" type="number" value ="50"><br>
Hysteresis: <input id="hyst" type="number" value ="2">%<br>
	</td>
	<td>
Plot parameters <br>	
Points: <input id="points" type="number" value ="250"><br>
Animation: <input type="checkbox" id="animation">
	</td>
	</tr>
</table>

<script>

setTimeout('setvalues ()', 0);

function setvalues (){

	let gain = document.getElementById('gain').value;
	let time = document.getElementById('time').value;
	let sp = document.getElementById('sp').value;
	let points = document.getElementById('points').value;
	let hyst = document.getElementById('hyst').value;
	let anim = document.getElementById('animation').checked ? +1 : 0;
	let pv = []; // массив данных процесса 
	let pv100 = []; //то же но *100
	let op = []; // управляющий сигнал 1 вкл, 0 выкл
	let pvp = 0; //предыдущее значение процесса
	let low = sp-sp*hyst/100; //нижняя граница гистерезиса
	let high = +sp+(sp*hyst/100); //верхняя граница гистерезиса
	let st=true; // старт нагрева
	for (var i=0;i<points;i++) {
		if (pvp<=(low/100)) {
			st=true;
			op[i]=1;
			}
		else if (pvp<=(high/100)&& st) op[i] = 1;
		else { st=false; op[i]=0;}
		
		let a = Math.pow(2.71828182845904, -1/time);
		let b = gain*(1 -a);
		pv[i] = op[i]*b+pvp*a;
		pv100[i] = pv[i]*100;
		pvp = pv[i];
	}
	
	ZC.LICENSE = ["569d52cefae586f634c54f86dc99e6a9", "b55b025e438fa8a98e32482b5f768ff5"];
    var myConfig = {
    type: "line",
    "plot": {
		"animation": {
          "effect": anim,
          "sequence": 2,
          "speed": 200,
        }
		},
	legend: {
    layout: "1x2", //row x column
    x: "20%",
    y: "5%",
	},
 	crosshairX:{
 	  plotLabel:{
 	    text: "%v"
 	  }
 	},
      "scale-y": {
    item: {
      fontColor: "#7CA82B"
    },
    markers: [
	 {
        type: "area",
        range: [low, high],
        backgroundColor: "#d89108",
        alpha: 0.7
      },
	{
        type: "line",
        range: [sp],
        lineColor: "#7CA82B",
        lineWidth: 2,
		  label: { //define label within marker
          text: "SP = "+sp,
          backgroundColor: "white",
          alpha: 0.7,
          textAlpha: 1,
          offsetX: 60,
          offsetY: -5
        }
      }]
	},	
	scaleX: {
		zooming: true
	},
	  'scale-y-2': {
	  values: "0:1"
	},
      series: [
		{ scales: "scale-x,scale-y-2", values: op , 'legend-text': 'OP' },
        { values: pv100 , text: 'PV'}
      ]
    };
 
    zingchart.render({
      id: 'myChart',
      data: myConfig,
      height: "90%",
      width: "100%"
    });
}


</script>
  <div id='myChart'></div>
</body> 
</html>

Ну а поскольку симулятор готов, самое время заценить как он работает. Потестить можно тут этот же код но на гитхабе: on-off control simulator

Стандартная настройка: усилительное звено 1, постоянная времени 100 секунд, гистерезис 2%

Теперь если задать уставку побольше, например 92, то внезапно процесс сильно замедляется, хотя при этом уставку 50 он набирает за те же 71 секунды, но уже потом кривая начинает приближаться к заданию медленнее по экспоненциальной зависимости, и доходит до уставки лишь за 278 секунд, из-за чего пришлось расширить диапазон построения графика до 300 точек

Данный пример очень показательный, переводя ситуацию на модель с температурой можно сделать такой вывод, что не хватает мощности нагревателя: нагреватель загружен на 100% но при этом температура перестает расти после определенного момента. Решений может быть несколько: поставить второй такой же нагревательный элемент, или подавать напряжение на него в 2 раза больше (но это может повредить тэн), либо поставить нагреватель в 2 раза большей мощности, либо залить в систему более теплопроводящую жидкость если речь идет о нагреве жидкости. Довольно интересно то, что если нужно поддерживать температуру в районе 95-100 градусов, то не нужно даже ставить регулятор — поставил такой маломощный нагреватель, врубил его на полную катушку и все — через 300 секунд (условные 300 секунд) можно получить желаемые 100 градусов. Проблема такой системы в том что если открыть окно зимой в минус 40, то температура тут же просядет и довольно существенно, да и быстродействие такой системы очень малое.

Давайте увеличим усилительное звено gain в 2 раза — это как будто поставить второй такой же нагревательный элемент, или добавить еще одну трубу на пополнение бака.

График получился тоже довольно показательный — температура до 51 градуса реально добралась в 2 раза быстрее, а вот до 92 добралось раза в 4 быстрее. Объясняется это тем что зависимость экспоненциальная, а экспоненциальная она потому что в описании процесса присутствует постоянная времени которая отвечает за описание свойства инерционности системы ( в расчете текущего значения PV есть промежуточные вычисления let a = Math.pow(2.71828182845904, -1/time);) Про это есть немного в википедии ru.wikipedia.org/wiki/Динамическое_звено

Делаем симулятор двухпозиционного регулятора на JavaScript