Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 158
Там несколько видео роликов (доказательство через дзета функцию и простое, «на пальцах»), вот один из них: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… = -1/12, ссылки на остальные можно найти в разделе «О видео» и много ещё чего интересного.
То же самое, но на русском языке www.youtube.com/watch?v=iwPFXgTB0fo (для тех, у кого плохо с английским)
Уж очень абстрактное объяснение. Вводить дополнительную функцию, чтобы перевести всё к функции, сумму которой принимают равным мат ожиданию…
Наверное только в квантовой физике и может происходить что-то подобное.
Наверное только в квантовой физике и может происходить что-то подобное.
А правомерно ли говорить о сумме всех натуральных чисел и о сумме бесконечного расходящегося ряда как об одном и том же понятии? Особенно, если вспомнить, что эти понятия существуют в различных разделах математики?
Хорошая статья, только первого апреля лучше смотрелась бы
Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом
что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2
А можно пруф?
Какое-то невнятное там доказательство. Трава зеленая, и свежая — поэтому небо голубое.
Если строго говорить два варианта суммы — 0, или 1.
Судя по нижнему комментарию — это какая-то другая математика, о которой я не знаю, а автор либо не разобрался, либо играется терминами
Если строго говорить два варианта суммы — 0, или 1.
Судя по нижнему комментарию — это какая-то другая математика, о которой я не знаю, а автор либо не разобрался, либо играется терминами
хм) подобное я проделывал с задачкой
Спасибо за разъяснения.
Но вообще так не честно рассуждать. Очевидно что одна последовательность — без последнего члена и чтобы это доказать прийдется ввести, что
x^(x^x(^...)) = 2Спасибо за разъяснения.
Но вообще так не честно рассуждать. Очевидно что одна последовательность — без последнего члена и чтобы это доказать прийдется ввести, что
∞ - 1 = ∞
Тот факт, что
∞ - 1 = ∞, является общеизвестным и напрямую следует из теории множеств.
Естественно, не честно. Поэтому этот ряд расходится, то есть не имеет суммы. Чем-то вроде этого, кхм, «классического» способа показывается, что «сумма» этого ряда и 0, и 1, смотря как группировать…
Это просто другое понятие сходимости, так и называется, «сходимость по Чезаро». Класс сходящихся таким образом рядов шире, при этом для обычных сходящихся рядов сумма ряда и сумма ряда по Чезаро равны.
Это просто другое понятие сходимости, так и называется, «сходимость по Чезаро». Класс сходящихся таким образом рядов шире, при этом для обычных сходящихся рядов сумма ряда и сумма ряда по Чезаро равны.
Между прочим, если принять определение Чезаро для суммы ряда, то это доказательство становится совершенно корректным…
s = 1 — 1 + 1 — 1 +… = 1 — (1 — 1 + 1 — ...) = 1 — ( 1 — s)
s = s
Интересно :)
s = s
Интересно :)
Уж сколько, блин, писали. Ну чушь все это в такой формулировке!
«Чему равна сумма этого бесконечного ряда?»
Правильный вопрос — «Чему равна ОБОБЩЕННАЯ сумма этого бесконечного ряда?». Это не просто сумма. Просто сумма положительных чисел не может быть равна отрицательному.
Это другая математика. И лучше-бы придерживаться терминологии этой другой математики.
«Чему равна сумма этого бесконечного ряда?»
Правильный вопрос — «Чему равна ОБОБЩЕННАЯ сумма этого бесконечного ряда?». Это не просто сумма. Просто сумма положительных чисел не может быть равна отрицательному.
Это другая математика. И лучше-бы придерживаться терминологии этой другой математики.
Давайте, чему равно значение функции δ(0)? (δ — это функция Дирака. Простите, сам хочу круглую, но такой уж тут шрифт).
Бесконечности. Как бы тупо из определения.
Оффтоп.
И пишите уж правильно — либо «чему равно значение d(0), где d(x) — функция Дикара», либо «чему равно значение функции d(x) в точке x = 0». А то ваше определение вызывает ошибку компиляции :) (Раскрываем d(o): d(0) = inf. Интерпретируем строку: чему равно значение функции бесконечности? Когда бесконечность — не функция).
Оффтоп.
И пишите уж правильно — либо «чему равно значение d(0), где d(x) — функция Дикара», либо «чему равно значение функции d(x) в точке x = 0». А то ваше определение вызывает ошибку компиляции :) (Раскрываем d(o): d(0) = inf. Интерпретируем строку: чему равно значение функции бесконечности? Когда бесконечность — не функция).
Ну, как бы определение функции Дирака несколько другое…
Она определена двумя равенствами — её значение везде равно 0 кроме нуля, и интеграл (в бесконечных пределах) от нее равен 1. Часто включается сюда и то, что в точке x = 0 функция равна бесконечности.
Функция Дирака — это обобщенная функция. Такие функции вообще не могут быть заданы табличным способом.
1. Где здесь табличный способ?
2. А как же она тогда задана?
2. А как же она тогда задана?
Скажу более точно — для задания обобщенной функции задать ее значения во всех точках недостаточно.
А определение функции Дирака зависит от используемого определения обобщенной функции. Выбирай любой способ.
Но если вы решили выбрать «Простое определение» — то обратите внимание на утверждение «эти равенства не принято считать определением дельта-функции».
А определение функции Дирака зависит от используемого определения обобщенной функции. Выбирай любой способ.
Но если вы решили выбрать «Простое определение» — то обратите внимание на утверждение «эти равенства не принято считать определением дельта-функции».
1. Табличный способ — когда для каждого x можно определить f(x), и объект f определяется только этими значениями.
2. Задана свойством: формально записанный оператор свёртки с этой «функцией» является тождественным оператором. Точно так же «производная дельта-функции» — это «функция», свёртка с которой является оператором дифференцирования. По другому её никак не определишь.
2. Задана свойством: формально записанный оператор свёртки с этой «функцией» является тождественным оператором. Точно так же «производная дельта-функции» — это «функция», свёртка с которой является оператором дифференцирования. По другому её никак не определишь.
«Такая функция, что интеграл её с любой другой функцией даёт f(0) если интервал интегрирования захватывает точку 0, и 0 в противном случае».
Ну или, в частном случае f(x)===1, «интеграл от функции Дирака равен единице, если интервал интегрирования содержит точку 0, и равен 0 в противном случае».
Если так рассуждать, «она равна не просто бесконечности в 0, а ровно 1/0». Ну, если бы это была «другая бесконечность» («2/0», например), то и интеграл через 0 «был бы равен не 1, а скажем 2». Кавычки стоят потому, что это в, в общем, бессмысленные выражения.
В России её называют обобщённой функцией. За рубежом — вообще часто даже не функцией, а распределением (distribution). То есть, это другой объект, нежели просто функция, и его нельзя называть просто «функцией». И имеет смысл такой объект только под знаком интеграла. Ну и, следовательно, выражение «значение функции в точке» здесь неприменимо — это не функция.
То же самое и «сумма с помощью регуляризации» из топика — это не то же самое, что и просто «сумма ряда».
P.S. А ещё приходится придавать смысл выражению (δ(x))^2. Такое выражение возникает в квантовой электродинамике. Не так-то просто.
Ну или, в частном случае f(x)===1, «интеграл от функции Дирака равен единице, если интервал интегрирования содержит точку 0, и равен 0 в противном случае».
Если так рассуждать, «она равна не просто бесконечности в 0, а ровно 1/0». Ну, если бы это была «другая бесконечность» («2/0», например), то и интеграл через 0 «был бы равен не 1, а скажем 2». Кавычки стоят потому, что это в, в общем, бессмысленные выражения.
В России её называют обобщённой функцией. За рубежом — вообще часто даже не функцией, а распределением (distribution). То есть, это другой объект, нежели просто функция, и его нельзя называть просто «функцией». И имеет смысл такой объект только под знаком интеграла. Ну и, следовательно, выражение «значение функции в точке» здесь неприменимо — это не функция.
То же самое и «сумма с помощью регуляризации» из топика — это не то же самое, что и просто «сумма ряда».
P.S. А ещё приходится придавать смысл выражению (δ(x))^2. Такое выражение возникает в квантовой электродинамике. Не так-то просто.
Как физик вам скажу — либо объему системы, либо объему элементарной ячейки k-пространства, либо времени наблюдения за системой — в зависимости от контекста, в котором возникло это выражение :)
Да, я понимаю, что некоторые термины здесь используются не совсем верно, но это и не научная статья. Вы можете скинуть мне в личку пример верной терминологии, подкрепив его ссылками на литературу и я изменю текст. Давайте быть конструктивными.
Именно!
И стоит отметить, что сумма бесконечного ряда — это не сумма чисел. Она получается совершенно другой операцией — не сложением, а предельным переходом для последовательности частичных сумм. Обобщённая сумма ряда — тоже предельный переход, но применённый к другой последовательности.
И стоит отметить, что сумма бесконечного ряда — это не сумма чисел. Она получается совершенно другой операцией — не сложением, а предельным переходом для последовательности частичных сумм. Обобщённая сумма ряда — тоже предельный переход, но применённый к другой последовательности.
может ещё быть обобщение в виде перехода от последовательности к функции и интегрирование
Вот это все следует писать в самом начале такой статьи. И не раздувать сенсацию на пустом месте.
То, что несколько методов суммирования расходящихся бесконечных рядов дают для 1+2+3+4+… один и тот же результат и этот результат отрицательный, дробный, выражается через одно из чисел Бернулли (правда этот аспект автор не стал раскрывать), используется в теории струн — это вовсе не пустое место.
А уж то, что ролик, поднявший эту тему на pop-math канале посмотрело ~2 миллиона человек, то, что об этом написали в NYT и куче других, в том числе и наших СМИ говорит, что здесь всё-таки есть сенсация. Правда она не в самом результате, а в том, сколько людей узнали что-то, не помещающееся в их мозг.
А уж то, что ролик, поднявший эту тему на pop-math канале посмотрело ~2 миллиона человек, то, что об этом написали в NYT и куче других, в том числе и наших СМИ говорит, что здесь всё-таки есть сенсация. Правда она не в самом результате, а в том, сколько людей узнали что-то, не помещающееся в их мозг.
Ложь не становится истиной от того, что ее «посмотрели 2 миллиона человек». А ложь это потому, что не соблюдается точность терминологии.
Какое конкретно утверждение вы считаете ложным?
Ложным является утверждение что обычная сумма бесконечного ряда натуральных чисел может быть конечным отрицательным числом.
А что такое «обычная сумма бесконечного ряда натуральных чисел»?
Это сумма, для которой используют классическое понятие сложения. Только не надо меня спрашивать что такое «классическое понятие сложения».
Нет, просто попрошу определения «обычной суммы (т.е. с использованием классического понятия сложения) бесконечного ряда натуральных чисел», настолько строгого, чтобы его нельзя было назвать Ложью в вашем же смысле.
Нет, вы просите меня придумать такое определение суммы этого ряда, которое вам понравится. Но я придумаю такое, которое вам не понравится. Т.к. не позволит вывести -1/12 как ее сумму.
Пожалуйста, не надо говорить за меня, что мне понравится, а что нет.
«Мне понравится» любое настолько строгое определение, что его нельзя назвать Ложью в том смысле, в котором вы использовали это слово. При этом мне абсолютно всё равно, позволит оно вывести -1/12 как сумму или нет.
«Мне понравится» любое настолько строгое определение, что его нельзя назвать Ложью в том смысле, в котором вы использовали это слово. При этом мне абсолютно всё равно, позволит оно вывести -1/12 как сумму или нет.
В классической математике существует определение суммы ряда. Даже значёк специальный есть. Не вижу необходимости что-то определять дополнительно.
Без «дополнительного» определения «обычной суммы бесконечного ряда натуральных чисел» ваши слова о том, что «ложь это потому, что не соблюдается точность терминологии» при разговоре об «обычной сумме бесконечного ряда натуральных чисел» (где вы это в топике или видео прочли или услышали-то?), выглядят несколько несостоятельно.
«А ложь это потому, что не соблюдается точность терминологии.» У вас какое-то интересное собственное понятие «лжи».
Да и «обычная сумма бесконечного ряда» не такая уж «обычная». В математике и физике, в частности, с определенного момента перестают работать привычные «классические понятия» ведомые интуицией и аналогией. Понятие бесконечности одно из них. Это то, что вряд ли можно себе представить, т.к. шансов встретить это понятие вне науки нет никаких. Но его вполне можно изучать. И оно обладает вполне конкретными свойствами. Используемая терминология, более менее уместна в своем контексте. Кто захочет разобраться — суть поймет.
Сенсацией может быть лишь то, что такое большое количество людей заинтересовалось темой. Сам факт достаточно широко и давно известен в узких кругах.
Ну а если уж говорить о «лжи» и тем более в математике, то вот пример того как делается подобное доказательство cs425518.vk.me/v425518211/63ed/67o5_KjGK7A.jpg
Любые другие «аргументы» могут вызывать лишь улыбку:)
«Сказка ложь — да в ней намек...(ну и далее по тексту)»
Да и «обычная сумма бесконечного ряда» не такая уж «обычная». В математике и физике, в частности, с определенного момента перестают работать привычные «классические понятия» ведомые интуицией и аналогией. Понятие бесконечности одно из них. Это то, что вряд ли можно себе представить, т.к. шансов встретить это понятие вне науки нет никаких. Но его вполне можно изучать. И оно обладает вполне конкретными свойствами. Используемая терминология, более менее уместна в своем контексте. Кто захочет разобраться — суть поймет.
Сенсацией может быть лишь то, что такое большое количество людей заинтересовалось темой. Сам факт достаточно широко и давно известен в узких кругах.
Ну а если уж говорить о «лжи» и тем более в математике, то вот пример того как делается подобное доказательство cs425518.vk.me/v425518211/63ed/67o5_KjGK7A.jpg
Любые другие «аргументы» могут вызывать лишь улыбку:)
«Сказка ложь — да в ней намек...(ну и далее по тексту)»
Различные методы суммирования — это, конечно, интересно и даже местами весело, но таких методов можно изобрести множество, и они будут давать разные результаты.
Чем интересны «правильные» методы — так это тем, что получающиеся «суммы» обладают некоторыми интересными и применимыми свойствами. Хотелось бы статью, посвященную этим самым свойствам.
В идеале — хотелось бы статью, где аксиоматически вводятся требуемые свойства суммы расходящегося ряда, после чего из них выводятся упомянутые в статье методы.
Чем интересны «правильные» методы — так это тем, что получающиеся «суммы» обладают некоторыми интересными и применимыми свойствами. Хотелось бы статью, посвященную этим самым свойствам.
В идеале — хотелось бы статью, где аксиоматически вводятся требуемые свойства суммы расходящегося ряда, после чего из них выводятся упомянутые в статье методы.
Не могли бы вы привести пример сходящегося ряда для которого классическое суммирование, суммирование по Чезаро или методом Абеля будут давать разные результаты?
Вообще-то, я говорил про расходящиеся ряды. Разумеется, абсолютно сходящийся ряд можно суммировать как угодно, и результат будет всегда одинаков. В противном случае метод «суммирования» попросту не будет методом суммирования.
А вот про ряды, сходящиеся неабсолютно, а также связанные с ними подвохи, мне бы тоже хотелось бы почитать…
А вот про ряды, сходящиеся неабсолютно, а также связанные с ними подвохи, мне бы тоже хотелось бы почитать…
Хорошо, а можете привести пример расходящегося ряда для которого два разных метода суммирования, являющиеся применимыми для этого ряда, дадут отличный друг от друга результат?
>> А вот про ряды, сходящиеся неабсолютно, а также связанные с ними подвохи, мне бы тоже хотелось бы почитать…
Это не ко мне точно :) Учитывая, что такие ряды изучаются со времён Эйлера, думаю литературы по теме существует много.
>> А вот про ряды, сходящиеся неабсолютно, а также связанные с ними подвохи, мне бы тоже хотелось бы почитать…
Это не ко мне точно :) Учитывая, что такие ряды изучаются со времён Эйлера, думаю литературы по теме существует много.
Вы его уже приводили.
Его можно просуммировать как
Его можно просуммировать как
А можно воспользоваться методом Чезаро — и получить 1/2.
Все три метода суммирования являются одинаково верными в том плане, что можно определить сумму ряда на их основе, и даже вывести ее простейшие свойства. Так, для всех трех методов будут выполняться законы суммы двух рядов и умножения ряда на число.
Все три метода суммирования являются одинаково бредовыми с точки зрения классического определения суммы ряда.
Так чем же суммирование по Чезаро лучше? Какими дополнительными красивыми свойствами обладают суммы по Чезаро?
1 - 1 + 1 - 1 +...Его можно просуммировать как
(1 - 1) + (1 - 1) + ... и получить 0.Его можно просуммировать как
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) и получить 1.А можно воспользоваться методом Чезаро — и получить 1/2.
Все три метода суммирования являются одинаково верными в том плане, что можно определить сумму ряда на их основе, и даже вывести ее простейшие свойства. Так, для всех трех методов будут выполняться законы суммы двух рядов и умножения ряда на число.
Все три метода суммирования являются одинаково бредовыми с точки зрения классического определения суммы ряда.
Так чем же суммирование по Чезаро лучше? Какими дополнительными красивыми свойствами обладают суммы по Чезаро?
UPD: Выше приводилось классическое «доказательство»:
Является ли это доказательство верным для ряда суммы по Чезаро? Иными словами, допустима ли над сходящимися по Чезаро рядами операция разделения ряда на голову и хвост?
s = 1 — 1 + 1 — 1 +… = 1 — (1 — 1 + 1 — ...) = 1 — s
s = 1 — s
s = 1/2
Является ли это доказательство верным для ряда суммы по Чезаро? Иными словами, допустима ли над сходящимися по Чезаро рядами операция разделения ряда на голову и хвост?
UPD 2: да, я угадал, так и есть. Это свойство и называется стабильностью. Спасибо saaivs за ссылку.
s(n) = 1 — 1 + 1 — 1 +… = 1 — (1-1 + 1 — ....) = 1 — s(n-1)
но, если s(n) = 0, то s(n-1) = 1 и наоборот, и все совпадает 0 = 1 — 1 или 1 = 1 — 0
но s(n) и s(n-1) это разные функции, и их нельзя приравнивать
но, если s(n) = 0, то s(n-1) = 1 и наоборот, и все совпадает 0 = 1 — 1 или 1 = 1 — 0
но s(n) и s(n-1) это разные функции, и их нельзя приравнивать
Товарищи минусующие, как минимум осмысленный комментарий в догонку киньте, а? расстановка скобок в другом месте, это операция не на лимите, а собственно на сумме (на функции) — даже если у них есть один и тот же лимит (что под вопросом) то это уже другая функция! много фунций имеют один лимит, но врядли кто-то додумается ставить знак равно между ними!
если не прав, аргументируйте
если не прав, аргументируйте
Прочитайте вот тут http://en.wikipedia.org/wiki/Summation_method#Properties_of_summation_methods
Ежели выбранный метод суммирования (то есть определение суммы ряда) обладает свойством
Если же выбранный метод суммирования стабильным не является — то один из переходов (конкретно, первый же знак равенства) некорректен.
Но, в любом случае, ряд
Ежели выбранный метод суммирования (то есть определение суммы ряда) обладает свойством
стабильности, то все переходы в доказательстве являются верными.Если же выбранный метод суммирования стабильным не является — то один из переходов (конкретно, первый же знак равенства) некорректен.
Но, в любом случае, ряд
1 - 1 + 1 - 1 +... не зависит от того, в скобках от стоит или без них.Все три метода суммирования
А почему вы называете первые две манипуляции со скобками методами суммирования?
Но, если вы настаиваете, тогда придётся доказать, что эти «методы» обладают свойствами регулярности, линейности и стабильности как, например, метод суммирования по Чезаро. Кроме того, суммы по Чезаро лучше тем, что они соответствуют множеству других методов, а первые два «метода» даже между собой не совпадают.
Не совпадают, однако дают правильные результаты для сходящихся рядов. Вообще говоря, тонкость тут исключительно терминологическая. Суммой ряда принято называть предел частичных сумм. Методы суммирования дают числа, которые не являются суммами ряда, но дают интересную информацию о нем. С этой точки зрения 0, 1 и 1/2 — это все какие-то определенные характеристики расходящегося ряда и все имеют право на жизнь.
А почему, собственно, я не могу манипуляцию над скобками назвать методом суммирования? Кстати, свойством линейности мои «методы» обладают.
Что же касается свойств регулярности и стабильности — я очень рад, что вы наконец-то произнести эти слова, поскольку именно свойств метода Чезаро я от вас и добивался :) А если вы еще и поясните, что эти страшные слова обозначают — то я вообще буду счастлив!
Что же касается свойств регулярности и стабильности — я очень рад, что вы наконец-то произнести эти слова, поскольку именно свойств метода Чезаро я от вас и добивался :) А если вы еще и поясните, что эти страшные слова обозначают — то я вообще буду счастлив!
Есть теорема Римана об условно сходящихся рядах, согласно которой даже условно сходящийся ряд можно суммировать таким образом, чтобы его частичные суммы стремились к какому угодно пределу от минус до плюс бесконечности. Тем более подобные трюки можно проделывать с расходящимися рядами. Так что ничего удивительного.
Э-э-э-э-э-э…
Про теорему Римана Вы правы.
А вот про «Тем более подобные трюки можно проделывать с расходящимися рядами» — нет.
Ряду 1 — 2 + 3 — 4 +… нельзя сделать сходящимся в классическом смысле (существование предела частичных сумм) за счёт перестановки членов.
Необходимое условие сходимости не выполняется.
Про теорему Римана Вы правы.
А вот про «Тем более подобные трюки можно проделывать с расходящимися рядами» — нет.
Ряду 1 — 2 + 3 — 4 +… нельзя сделать сходящимся в классическом смысле (существование предела частичных сумм) за счёт перестановки членов.
Необходимое условие сходимости не выполняется.
Можете, но только ваши два примера с расстановкой скобочек — это один метод, и не важно как вы их группируете или переставляете. И метод это не работает для расходящихся рядов (собственно, именно потому, что разные «перестановки» дадут разный результат).
Переполнение целочисленного типа? Эксплойты будут?
В этом есть какой-то смысл (хотя может это случайность, и вообще, мне это кто-то показывал как шутку, но..):
Рассмотрим бесконечный расходящийся ряд:
1+2+4+8+…
Пусть у нас есть беззнаковые целые в двоичном виде:
0b00000001
0b00000010
0b00000100
0b00001000
0b00010000
0b00100000
0b01000000
0b10000000
ихъ сумма будет 0b11111111, то есть N бит единиц, где N — это количество слагаемых
с другой стороны, рассматривая результат как знаковое 8-битное число, получим -0b1, то есть минус единицу. «Обобщая» это сначала до N, а потом до бесконечного N, получаем 1+2+4+8+16+...=-1
Что согласуется с другими методами суммирования расходящихся рядов.
Рассмотрим бесконечный расходящийся ряд:
1+2+4+8+…
Пусть у нас есть беззнаковые целые в двоичном виде:
0b00000001
0b00000010
0b00000100
0b00001000
0b00010000
0b00100000
0b01000000
0b10000000
ихъ сумма будет 0b11111111, то есть N бит единиц, где N — это количество слагаемых
с другой стороны, рассматривая результат как знаковое 8-битное число, получим -0b1, то есть минус единицу. «Обобщая» это сначала до N, а потом до бесконечного N, получаем 1+2+4+8+16+...=-1
Что согласуется с другими методами суммирования расходящихся рядов.
Это весьма распространенное и забавное злоупотребление терминологией. То, что для Re(s) > 1 дзета-функция описывается рядом и то, что дзета от -1 равна -1/12 совершенно не означает того, что сумма этого ряда равна -1/12. Более того, любые формальные операции с этим рядом становятся некорректными, так как ими можно получить совершенно произвольную сумму.
Физиков-то можно понять и простить — им главное, чтобы результат был правильный. А вот с математической точки зрения центральное утверждение статьи некорректно.
Физиков-то можно понять и простить — им главное, чтобы результат был правильный. А вот с математической точки зрения центральное утверждение статьи некорректно.
А я и не проводил формальных операций с этим рядом. Как раз по причине их некорректности и введена дзета-функция.
Хорошо, давайте забудем о сумме. Я правда старался избегать этого термина в применении к бесконечному ряду, используя формулировку «присвоить конечное значение ряду». Просто рассмотрим 1+2+3+4+5… как бесконечную последовательность натуральных чисел, которая получается при подстановке s = -1 в дзета-функцию. Тогда аналитически продлажая эту функцию в область отрицательных чисел мы и получим -1/12. Разве от этого результат перестаёт быть менее интересным?
Хорошо, давайте забудем о сумме. Я правда старался избегать этого термина в применении к бесконечному ряду, используя формулировку «присвоить конечное значение ряду». Просто рассмотрим 1+2+3+4+5… как бесконечную последовательность натуральных чисел, которая получается при подстановке s = -1 в дзета-функцию. Тогда аналитически продлажая эту функцию в область отрицательных чисел мы и получим -1/12. Разве от этого результат перестаёт быть менее интересным?
Я же вас не обвиняю, а просто уточнил, что утверждение 
строго говоря некорректно, потому что ряд вообще расходится и приписывание ему определенной суммы является злоупотреблением терминологией, хотя и весьма забавным. При этом, утверждение о формальных манипуляциях я относил, скорее, к Полчинскому (при этом я нисколько не сомневаюсь, что он тоже в курсе проблемы)
Основная мысль, которую я хочу выразить заключается в том, что можно придумать кучу методов суммирования, применяя которые этому ряду можно приписать число -1/12, но можно придумать также бесчисленное множество других, которые дадут совершенно другие значения.
PS: В физике это работает примерно по той же причине, что и поворот Вика и другие трюки, связанные с аналитическим продолжением.
строго говоря некорректно, потому что ряд вообще расходится и приписывание ему определенной суммы является злоупотреблением терминологией, хотя и весьма забавным. При этом, утверждение о формальных манипуляциях я относил, скорее, к Полчинскому (при этом я нисколько не сомневаюсь, что он тоже в курсе проблемы)Основная мысль, которую я хочу выразить заключается в том, что можно придумать кучу методов суммирования, применяя которые этому ряду можно приписать число -1/12, но можно придумать также бесчисленное множество других, которые дадут совершенно другие значения.
PS: В физике это работает примерно по той же причине, что и поворот Вика и другие трюки, связанные с аналитическим продолжением.
Да, понятно о чём вы говорите, но подобной записи придерживаются и профессора математики, и все люди, пытающиеся рассуждать на эту тему. Тут главное оговорится, что это не классическая сумма, что я и сделал: «Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы.»
А не могли бы вы привести несколько примеров из бесчисленного множества других методов, которые дадут другие значения для этого ряда?
А не могли бы вы привести несколько примеров из бесчисленного множества других методов, которые дадут другие значения для этого ряда?
Я имел ввиду ряд 1+2+3+4+5…
Вы забываете, что подбные действия в общем случае неприменимы к бесконечным расходящимся рядам. Необходимость ввести дзета-функцию как раз и объясняется тем, что с этими рядами нельзя манипулировать как если бы они были сходящимися.
Не совсем так. Не действия неприменимы, а уравнения некорректны. Суммирование ряда разбиением его на две части — вполне легитимный метод. И вынос множителя из ряда — тоже, так как все эти операции определены однозначно.
Более того, такое суммирование будет даже регулярным. Так что почему бы и нет?
Более того, такое суммирование будет даже регулярным. Так что почему бы и нет?
Ну это уже совсем фантазия, ибо из
(1 + 3 + 5 + 7 + ...) никак нельзя получить (2s - 1) ни классическими, ни иными методами, хотя бы потому, что 2s - 1 = (1 + 4 + 6 + 8 + ...)s - (0 + s) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...) - (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ...) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 0Тогда так. Немного не в тему, но всё же странно.
Как раз с математической точки зрения, центральное утверждение статьи абсолютно корректно. Просто оно не полное — требуется уточнить, какое из 100500 определений ряда и суммы используется.
Я показал суммирование регуляризованной дзета-функцией. Существует метод суммирования Рамануджана, метод сглаживания и другие. Все они позволяют прийти к значению -1/12.
Если «с математической точки зрения центральное утверждение статьи некорректно», то физиков нельзя ни понять, ни простить.
Математика — это язык природы. Если физики будут использовать «некорректную» математику, то и описываемая физика будет абсолютно «некорректной».
Здесь, скорей всего, проблема не в «забавном злоупотребление терминологией», а в забавной интерпретации терминологии.
Это явление гораздо более распостраненное. Например, суждение о «полях» и «телах» у алгебраистов — агрономами, астрономами и мерчендайзерами может быть воспринято совершенно по разному. Вот поэтому и «сумма» с «бесконечностью» большинством воспринимается в привычных категориях.
Математика — это язык природы. Если физики будут использовать «некорректную» математику, то и описываемая физика будет абсолютно «некорректной».
Здесь, скорей всего, проблема не в «забавном злоупотребление терминологией», а в забавной интерпретации терминологии.
Это явление гораздо более распостраненное. Например, суждение о «полях» и «телах» у алгебраистов — агрономами, астрономами и мерчендайзерами может быть воспринято совершенно по разному. Вот поэтому и «сумма» с «бесконечностью» большинством воспринимается в привычных категориях.
Если «с математической точки зрения центральное утверждение статьи некорректно», то физиков нельзя ни понять, ни простить.
Здесь как раз и пролегает граница между теоретической физикой и физикой математической. В первой можно иногда делать забавные и противоречивые вещи, например, первые методы перенормировки при вычислении пропагаторов были очень странными и непоследовательными (кстати, связанная с темой топика проблема). Однако, если бы их не придумали, никто бы не начал исправлять ситуацию и сейчас никакой QFT у нас не было.
Соглашусь. Но опять же, с позиций той же теоретической физики, насколько чертовски красиво звучит утверждение, что «любая, математически непротиворечивая модель может иметь свое физическое воплощение».(Авторство точно не помню. То ли Андрей Линде, то-ли Алекс Виленкин)
Я вообще склоняюсь к идее, что вселенная существует исключительно по причине своей математической корректности. У Грега Игана в Permutation City эта идея интересно обыграна.
На счет временных допущений и противоречий в физических моделях — это имхо связано исключительно с крайне невысоким мыслительным потенциалом человека, которого оказывается недостаточно для того, чтобы сразу конструировать аксиоматические теории.
На счет временных допущений и противоречий в физических моделях — это имхо связано исключительно с крайне невысоким мыслительным потенциалом человека, которого оказывается недостаточно для того, чтобы сразу конструировать аксиоматические теории.
Соглашусь. Отождествлять функцию с суммой ряда не всегда допустимо. Встречаются разложения функций в ряд, имеющий ограниченную область сходимости. Например, широко известный ряд для логарифма ln(1+x) = x-x^2/2+x^3/3-x^4/4..., сходящийся при -1<x<=1. За пределами этой области ряд расходится, хотя функция ln(1+x) определена и при x>1. Но это же не значит, что указанному ряду при тех значениях x, при которых он расходится, можно приписать конечную сумму, равную значениям ln(1+x)!
Так что сумма ряда и функция, которая ей равна — это разные вещи. Где-то они совпадают, а где-то нет.
Так что сумма ряда и функция, которая ей равна — это разные вещи. Где-то они совпадают, а где-то нет.
А почему можно? Если доказано, что ряд расходится — как вы можете приписать ему какую-либо сумму, если она заведомо не существует? Просто потому, что хочется? Это произвол получается. В математике такое недопустимо. Быстро придете к противоречивым следствиям, наподобие того, что сумма некоторого множества положительных чисел вдруг становится равной отрицательному числу.
Ну и попробуйте проделать описанную вами операцию на простейшем примере: сумма ряда 1+1+1+..., демпфируется функцией exp(-a*n). Получается сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формулу для которой изучают в школе: S=b1/(1-q), где b1 — первый член; q — знаменатель прогрессии. В нашем случае b1=1, q=exp(-a). Устремите a к нулю — и получите S, стремящееся к бесконечности. Так что ничего здесь не будет сходиться, как и следовало ожидать.
Ну и попробуйте проделать описанную вами операцию на простейшем примере: сумма ряда 1+1+1+..., демпфируется функцией exp(-a*n). Получается сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формулу для которой изучают в школе: S=b1/(1-q), где b1 — первый член; q — знаменатель прогрессии. В нашем случае b1=1, q=exp(-a). Устремите a к нулю — и получите S, стремящееся к бесконечности. Так что ничего здесь не будет сходиться, как и следовало ожидать.
Странный он, этот мат. анализ… Вот, взглянув со прикладной стороны. Ложим на тарелку кусочек торта. Затем, рядом, вдвое больший, потом втрое больший и т.д… и образуется чёрная дыра, в которой все кусочки исчезают (-1/12). Шучу, конечно.
Кладём!!!
В копилку. Не знал, что ложить — для одушевленных, класть — для неодушевленных.
Вы о чём? Такого слова вообще нет.
Данная тема уже была на Хабре, но только в комментариях. Общий настрой схожий.
В Википедии даже есть отдельная статья по этому вопросу en.wikipedia.org/wiki/1_+_2_+_3_+_4_+_%E2%8B%AF
По сути, значение, которое принимает сумма ряда при стремлении N к бесконечности, можно рассматривать как значение предела соответствующей функции. Метод сглаживания этой функции, упомянутый выше, дает параболу, у которой, очевидно, два конца. Один конец уходит в бесконечность(что большинство и принимает за единственно верный ответ), ну а второй асимптотически стремится к значению -1/12, что собственно и иллюстрирует результат. Как мы все помним из школы, для нахождения значения предела важно не только к какой точке мы стремимся, но и еще с какой «стороны».
Буквальное восприятие данной записи, которое математически вполне корректно, но воспринимается «в штыки» обусловлено наличием бесконечности в записи, что приводит к использованию уже несколько другого математического аппарата.
Уравнение x^2 + 1 = 0, тоже в общем-то решений «как-бы» не имеет, до тех пор пока мы не будем на него смотреть из поля комплексных чисел.
pbs.twimg.com/media/BeXgqfUIYAA7NLz.jpg
В Википедии даже есть отдельная статья по этому вопросу en.wikipedia.org/wiki/1_+_2_+_3_+_4_+_%E2%8B%AF
По сути, значение, которое принимает сумма ряда при стремлении N к бесконечности, можно рассматривать как значение предела соответствующей функции. Метод сглаживания этой функции, упомянутый выше, дает параболу, у которой, очевидно, два конца. Один конец уходит в бесконечность(что большинство и принимает за единственно верный ответ), ну а второй асимптотически стремится к значению -1/12, что собственно и иллюстрирует результат. Как мы все помним из школы, для нахождения значения предела важно не только к какой точке мы стремимся, но и еще с какой «стороны».
Буквальное восприятие данной записи, которое математически вполне корректно, но воспринимается «в штыки» обусловлено наличием бесконечности в записи, что приводит к использованию уже несколько другого математического аппарата.
Уравнение x^2 + 1 = 0, тоже в общем-то решений «как-бы» не имеет, до тех пор пока мы не будем на него смотреть из поля комплексных чисел.
pbs.twimg.com/media/BeXgqfUIYAA7NLz.jpg
pbs.twimg.com/media/BeXgqfUIYAA7NLz.jpg
Отличная картинка!
Поправка: второй конец не асимптотически стремится — а пересекает ось ординат в такой точке. Асимптот же у параболы не существует.
И что?
В голове не укладывается.
Да всё зависит от определений. В топике фактически заменили определение операции «сумма чисел» (на «обобщённая сумма посредством регуляризации»), но оставили популярное название. Это — безобразное читерство, математика как раз стремится, чтобы разные вещи не назывались одним и тем же названием, но ведь находятся чересчур одарёные фокусники и начинается…
Вот вам другой пример. Пусть у нас будет множество 0, 1, ..., 30, бинарная операция "+" определена как сложение по модулю 31 (так что она приводит в это же множество). Операция "-a" определена как «найдём такое b, чтобы a+b = 0», то есть -1 = 30. Умножение определяем вполне очевидным образом (как многократное сложение), а деление — 1/a = b, такое, что a*b = 1. В этом случае, получается, что 1/3 = 17.
Я всего-то назвал «сложением» сложение по модулю, но какой эффект! А это — не одно и то же. Написал бы я вместо "+" значок "⊕", а вместо деления — "⊘", и недопониманий сразу стало бы гораздо меньше.
Вот вам другой пример. Пусть у нас будет множество 0, 1, ..., 30, бинарная операция "+" определена как сложение по модулю 31 (так что она приводит в это же множество). Операция "-a" определена как «найдём такое b, чтобы a+b = 0», то есть -1 = 30. Умножение определяем вполне очевидным образом (как многократное сложение), а деление — 1/a = b, такое, что a*b = 1. В этом случае, получается, что 1/3 = 17.
Я всего-то назвал «сложением» сложение по модулю, но какой эффект! А это — не одно и то же. Написал бы я вместо "+" значок "⊕", а вместо деления — "⊘", и недопониманий сразу стало бы гораздо меньше.
С другой стороны математика, как и любая наука(разве что кроме педагогики, экономики и ряда других :), стремится еще и к лаконичности выражения. Тут уже важен контекст. И от контекста зависит интерпретация терминов и определений.
И это имеет место быть не только в этом вопросе, а вообще в любой ситуации с узкоспециализированной тематикой.
И это имеет место быть не только в этом вопросе, а вообще в любой ситуации с узкоспециализированной тематикой.
Есть немного об этом у Фихтенгольца во втором томе. А, вообще, по этой теме имеется книга Г.Г. Харди «Расходящиеся ряды». Спасибо, что здесь подняли ее. Кстати, поправьте топик — одна картинка что-то не грузится.
Я так и не понял с чего оно должно быть -1/12 и при чем тут дзета функция вообще.
Про -1/12 есть очень простое объяснение в Вики.
Пусть S=1+2+3+4+5+6+…
Тогда W=S-4*S=1+(2-4)+3+(4-8)+5+(6-12)+7+...=1-2+3-4+5-6+7-…
Посчитать W можно как предел f(x)=1-2*x+3*x^2-4*x^3+… при x->1. Функция f(x) с таким разложением хорошо известна, это 1/(1+x)^2. Отсюда, W=f(1)=1/4, то есть S-4*S=(-3)*S=1/4, откуда S=-1/12. Всё.
Почему другие способы подсчёта дают такой же результат, не очень понятно. Наверное, это и в самом деле как-то связано с регуляризацией дзета-функции
Хотя, 1+2+3+4+… = (1+1+1+1+...)^2=(-1/2)^2=1/4, не так ли? :)
Пусть S=1+2+3+4+5+6+…
Тогда W=S-4*S=1+(2-4)+3+(4-8)+5+(6-12)+7+...=1-2+3-4+5-6+7-…
Посчитать W можно как предел f(x)=1-2*x+3*x^2-4*x^3+… при x->1. Функция f(x) с таким разложением хорошо известна, это 1/(1+x)^2. Отсюда, W=f(1)=1/4, то есть S-4*S=(-3)*S=1/4, откуда S=-1/12. Всё.
Почему другие способы подсчёта дают такой же результат, не очень понятно. Наверное, это и в самом деле как-то связано с регуляризацией дзета-функции
Хотя, 1+2+3+4+… = (1+1+1+1+...)^2=(-1/2)^2=1/4, не так ли? :)
А что такое W? Чего оно S-4*S? До скольки нужно суммировать чтобы получить минус? 1+2+3+… + n. Вот n чему должно быть равно? :)))
Суммировать до бесконечности. n не должно быть равно ничему, в бесконечной сумме по определению нет последнего члена. W — с одной стороны, разность ряда S и его же, умноженного на 4 и прореженного в два раза (т.е. (1+2+3+4+5+6+...)-(0+4+0+8+0+12+....), а с другой — сумма знакопеременного ряда 1-2+3-4+…, которая считается легко — ведь у функции 1/(1+x)^2 нет полюса в x=1.
Что мне не нравится в этом рассуждении — что для получения W ряд S пришлось проредить именно в два раза. Я попробовал прореживать не в 2, а в 4 раза (чтобы получить 1+2*i-3-4*i+5+6*i-7-8*i+...), и вместо -1/12 получилась какая-то ерунда.
Что мне не нравится в этом рассуждении — что для получения W ряд S пришлось проредить именно в два раза. Я попробовал прореживать не в 2, а в 4 раза (чтобы получить 1+2*i-3-4*i+5+6*i-7-8*i+...), и вместо -1/12 получилась какая-то ерунда.
Все эти методы с «прорежеванием», умножением ряда на что-то и вычитанием из самого себя легитимны не всегда. Вот здесь помимо прочих интересных вещей, дан ответ (один из возможных ответов), почему некоторые операции с суммами расходящихся рядов «не работают».
Тем не менее, было бы очень интересно взглянуть на ерунду, которая у вас получилась.
Тем не менее, было бы очень интересно взглянуть на ерунду, которая у вас получилась.
Попробую воспроизвести.
S=1+2+3+4+5+6+7+8+…
V=1+1+1+1+1+…
Прореживаем S и V в 4 раза и находим сумму
W=S+(4*S-2*V)*(i-1)+(4*S-V)*(-2)+4*S*(-i-1) = 1+2*i-3-4*i+5+6*i-7-8*i+… = 1/(1-i)^2=-1/4
W=-15*S+2*V*(2-i), откуда S=(1/4+2*V*(2-i))/15.
Осталось найти V. Результат V=-1/2 получается тем же прореживанием в два раза, значит, это не интересно. Поэтому найдём его так:
V+V*(i-1)+V*(-2)+V*(-i-1)=1+i-1-i+1+i-1-i+...=1/(1-i)=(1+i)/2, V=-(1+i)/6.
Получается S=(1/4-(2-i)*(1+i)/3)/15.
Дальше считать уже неохота, и так видно, что бред…
Подозреваю, что проблема в том, что суммы 0+1+0+0+0+1+0+0+0+1+… и 0+0+1+0+0+0+1+0+0+0+1+… при этом подходе почему-то должны быть различными.
S=1+2+3+4+5+6+7+8+…
V=1+1+1+1+1+…
Прореживаем S и V в 4 раза и находим сумму
W=S+(4*S-2*V)*(i-1)+(4*S-V)*(-2)+4*S*(-i-1) = 1+2*i-3-4*i+5+6*i-7-8*i+… = 1/(1-i)^2=-1/4
W=-15*S+2*V*(2-i), откуда S=(1/4+2*V*(2-i))/15.
Осталось найти V. Результат V=-1/2 получается тем же прореживанием в два раза, значит, это не интересно. Поэтому найдём его так:
V+V*(i-1)+V*(-2)+V*(-i-1)=1+i-1-i+1+i-1-i+...=1/(1-i)=(1+i)/2, V=-(1+i)/6.
Получается S=(1/4-(2-i)*(1+i)/3)/15.
Дальше считать уже неохота, и так видно, что бред…
Подозреваю, что проблема в том, что суммы 0+1+0+0+0+1+0+0+0+1+… и 0+0+1+0+0+0+1+0+0+0+1+… при этом подходе почему-то должны быть различными.
Здесь есть несколько проблем:
во-первых, не могу понять, зачем вы ввели комплексные коэффициенты
во-вторых, конкретно этот метод не сработает, так как вы смешиваете сумму 1+2+3+4+… и 1+1+1+… (а для оценки этих сумм «правильными» методами используются сглаживающие функции разного порядка). Эту проблему можно увидеть сразу (если бы так можно было делать, то):
1+1+1+1+...=-1/2
1+2+3+4+...=-1/12
2+3+4+5+...=-1/12-1=-13/12
(1+2+3+4+...) — (1+1+1+1+...) = 2+3+4+5+… = -1/2 — 1/12 = -7/12
ну и в третьих, по-моему у вас ошибка при вычислении W по второй формуле — там не должно остаться V без i
во-первых, не могу понять, зачем вы ввели комплексные коэффициенты
во-вторых, конкретно этот метод не сработает, так как вы смешиваете сумму 1+2+3+4+… и 1+1+1+… (а для оценки этих сумм «правильными» методами используются сглаживающие функции разного порядка). Эту проблему можно увидеть сразу (если бы так можно было делать, то):
1+1+1+1+...=-1/2
1+2+3+4+...=-1/12
2+3+4+5+...=-1/12-1=-13/12
(1+2+3+4+...) — (1+1+1+1+...) = 2+3+4+5+… = -1/2 — 1/12 = -7/12
ну и в третьих, по-моему у вас ошибка при вычислении W по второй формуле — там не должно остаться V без i
Что же, попробуем по-другому.
Допустим, что операция «проредить ряд в 4 раза» допустима. Это означает, что мы считаем функции h(x) и h(x^4) эквивалентными. Например, можем работать в фактор-пространстве линейного пространства рациональных функций по подпространству, состоящему из функций h(x)-h(x^4) для всех рациональных h. Наша задача — найти для функции f(x)=1/(1-x)^2 эквивалентную ей функцию, не имеющую полюса в точке x=1.
Рассмотрим функции
f2=1/(1-x^4)^2
g=x/(1-x)^2
g2=x^4/(1-x^4)^2.
f2 эквивалентна f, g2 эквивалентна g.
Тогда функция 15*f будет эквивалентна w=-5*f1+20*f2+4*(g1-g2)=(4*x^5+11*x^4+20*x^3+26*x^2+24*x+15)/(1+x+x^2+x^3)^2.
w(1)=100/16, следовательно, f(1)=5/12. Ещё одно значение…
1+1+1+… в этой модели будет равно +1/2.
Допустим, что операция «проредить ряд в 4 раза» допустима. Это означает, что мы считаем функции h(x) и h(x^4) эквивалентными. Например, можем работать в фактор-пространстве линейного пространства рациональных функций по подпространству, состоящему из функций h(x)-h(x^4) для всех рациональных h. Наша задача — найти для функции f(x)=1/(1-x)^2 эквивалентную ей функцию, не имеющую полюса в точке x=1.
Рассмотрим функции
f2=1/(1-x^4)^2
g=x/(1-x)^2
g2=x^4/(1-x^4)^2.
f2 эквивалентна f, g2 эквивалентна g.
Тогда функция 15*f будет эквивалентна w=-5*f1+20*f2+4*(g1-g2)=(4*x^5+11*x^4+20*x^3+26*x^2+24*x+15)/(1+x+x^2+x^3)^2.
w(1)=100/16, следовательно, f(1)=5/12. Ещё одно значение…
1+1+1+… в этой модели будет равно +1/2.
Вижу ошибку. При их способе прореживания мне надо было бы считать g(1), а не f(1). А оно действительно получается равным -1/12 при любом прореживании. Наверное, это потому, что сглаживающая функция одна и та же — экспонента.
Наверное, это потому что любой линейный и стабильный метод суммирования может дать только -1/12 (при условии существования суммы).
Метод можно считать стабильным, если его можно применить, хотя бы, к ряду, к которому добавлен или из которого убран первый член. Если мы попробуем буквально применить метод «S-4*S=1-2+3-4...» к последовательности 0+1+2+3+..., то получим -3*S=0+1+2-1+4-3+6-5+… Для этого ряда метод перехода к пределу уже не сработает, т.к. функция sum(b_k*x^k)=x*(x+3)/(1+x)^2/(1-x) имеет полюс в точке 1, и ряд придётся считать другими средствами. Или надо будет как-то обобщить исходный метод, чтобы он работал для других рядов. Без этого о стабильности говорить вряд ли можно.
А если оставить только линейность и регулярность, то
S1=1+2+3+4+5+6+7+8+…
S2=1+0+2+0+3+0+4+0+…
S3=0+1+2+3+4+5+6+7+…
S4=0+0+1+0+2+0+4+0+…
Пока все суммы одинаковы (если прореживание и сдвиг разрешены). Нам достаточно, что S1=S2, S3=S4. Найдём
3*S1-6*S2-2*S3+2*S4=lim_{x->1} ((-2x-3)/(1+x)^2)=-5/4, откуда S=5/12. Кстати, оно совпало с результатом f(1) для прореживания в 4 раза.
Так что сумма зависит от того, считаем ли мы, что члены ряда нумеруются с единицы или с нуля :)
А если оставить только линейность и регулярность, то
S1=1+2+3+4+5+6+7+8+…
S2=1+0+2+0+3+0+4+0+…
S3=0+1+2+3+4+5+6+7+…
S4=0+0+1+0+2+0+4+0+…
Пока все суммы одинаковы (если прореживание и сдвиг разрешены). Нам достаточно, что S1=S2, S3=S4. Найдём
3*S1-6*S2-2*S3+2*S4=lim_{x->1} ((-2x-3)/(1+x)^2)=-5/4, откуда S=5/12. Кстати, оно совпало с результатом f(1) для прореживания в 4 раза.
Так что сумма зависит от того, считаем ли мы, что члены ряда нумеруются с единицы или с нуля :)
Вижу, что вы ниже уже нашли какую-то ошибку, но всё равно не понял — в каком смысле функции считаются эквивалентными? Почему вас интересует функция
1/(1-х)^2? Зачем x в четвёртой степени, как эта степень связана с «прореживанием»?Ну как же. Члены ряда рассматриваются как коэффициенты ряда Тейлора: ряду a0+a1+a2+… соответствует функция f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+…. Если ряд сходится, его сумма будет равна f(1). Если ряд не сходится, но функцию можно однозначно продолжить до точки x=1, то значение суммы ряда можно принять равным f(1) — и такое соответствие будет сохраняться при любых арифметических операциях над рядами. В частности, если f(x) — рациональная функция, знаменатель которой не обращается в 0 при x=1, то эти условия выполнены, и «сумму» ряда найти можно. Хуже, если знаменатель равен нулю (функция имеет полюс) в x=1. В частности, такова функция 1/(1-x)^2.
Почему именно она? Потому что её разложение в ряд Тейлора выглядит так: f(x)=1+2*x+3*x^2+4*x^3+..., т.е. её коэффициенты образуют нужный нам ряд 1+2+3+4+… Найти её значение в x=1 просто так мы не можем, поэтому надо придумать что-то ещё.
Приём, который был использован в доказательстве про -1/12 — предположение, что 1+2+3+4+5+...=1+0+2+0+3+0+… Если мы построим ряд Тейлора для такого прореженного ряда a0+0+a1+0+a2+0+..., получим g(x)=a0+a1*x^2+a2*x^4+...=f(x^2), где f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+… И если «прореживание» можно использовать, получается, что мы свободно можем заменять f(x) на f(x^2) — эти функции для нашей задачи эквивалентны. И мы можем к любому ряду смело прибавлять h(x)-h(x^2) для любой функции h.
Я использовал прореживание в 4 раза: a0+a1+a2+… превращалось в a0+0+0+0+a1+0+0+0+a2+0+0+0+… Поэтому f(x) было эквивалентно f(x^4). Но, как выяснилось позже, это неважно, и все прореживания для данного ряда работают одинаково.
Вот только используемая эквивалентность оказывается неинвариантной относительно сдвига (умножения на x): если g(x)=f(x^4), то x*f(x) и x*g(x) не обязательно эквивалентны. В этом смысле, стабильности у такого подхода нет. И получается, что если мы для ряда 1+2+3+4+… возьмём функцию 1+2*x+3*x^2+4*x^3+..., то сумма будет 5/12, а если сдвинем ряд на один член и возьмём x+2*x^2+3*x^3+..., то сумма окажется равной -1/12.
Почему именно она? Потому что её разложение в ряд Тейлора выглядит так: f(x)=1+2*x+3*x^2+4*x^3+..., т.е. её коэффициенты образуют нужный нам ряд 1+2+3+4+… Найти её значение в x=1 просто так мы не можем, поэтому надо придумать что-то ещё.
Приём, который был использован в доказательстве про -1/12 — предположение, что 1+2+3+4+5+...=1+0+2+0+3+0+… Если мы построим ряд Тейлора для такого прореженного ряда a0+0+a1+0+a2+0+..., получим g(x)=a0+a1*x^2+a2*x^4+...=f(x^2), где f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+… И если «прореживание» можно использовать, получается, что мы свободно можем заменять f(x) на f(x^2) — эти функции для нашей задачи эквивалентны. И мы можем к любому ряду смело прибавлять h(x)-h(x^2) для любой функции h.
Я использовал прореживание в 4 раза: a0+a1+a2+… превращалось в a0+0+0+0+a1+0+0+0+a2+0+0+0+… Поэтому f(x) было эквивалентно f(x^4). Но, как выяснилось позже, это неважно, и все прореживания для данного ряда работают одинаково.
Вот только используемая эквивалентность оказывается неинвариантной относительно сдвига (умножения на x): если g(x)=f(x^4), то x*f(x) и x*g(x) не обязательно эквивалентны. В этом смысле, стабильности у такого подхода нет. И получается, что если мы для ряда 1+2+3+4+… возьмём функцию 1+2*x+3*x^2+4*x^3+..., то сумма будет 5/12, а если сдвинем ряд на один член и возьмём x+2*x^2+3*x^3+..., то сумма окажется равной -1/12.
Да! Теперь я вас понял.
Ваше «прореживание», то есть реиндексация, это одно из свойств метода суммирования.
А то, что вы проделываете — это, как я понимаю, и есть один из способов аналитического продолжения дзетта-функции (причём не выходящий за пределы \mathbb{R}). Существуют другие способы, при которых реиндексирование не будет работать, но будет работать свойство линейности, однако результат для ряда 1+2+3+4+… будет тем же.
Ваше «прореживание», то есть реиндексация, это одно из свойств метода суммирования.
А то, что вы проделываете — это, как я понимаю, и есть один из способов аналитического продолжения дзетта-функции (причём не выходящий за пределы \mathbb{R}). Существуют другие способы, при которых реиндексирование не будет работать, но будет работать свойство линейности, однако результат для ряда 1+2+3+4+… будет тем же.
Р-р-р-р.
Сумма даже сходящегося ряда вообще-то не может быть получена суммированием, потому что выполнение бесконечного количества сложений требует бесконечного времени при любом конечном быстродействии :).
Если у Вас есть способ выполнять сложения бесконечно быстро… да нет, его у Вас нет, Вы же не Господь всемогущий :).
Сумма даже сходящегося ряда вообще-то не может быть получена суммированием, потому что выполнение бесконечного количества сложений требует бесконечного времени при любом конечном быстродействии :).
Если у Вас есть способ выполнять сложения бесконечно быстро… да нет, его у Вас нет, Вы же не Господь всемогущий :).
Не-не-не, никакого «до скольки суммировать». Ничего близкого к -1/12 не может быть получено сложением вообще: хоть сколько первых членов ряда сложить — сумма будет целой и положительной. А «все члены» ряда просуммировать нельзя, потому что бесконечное сложение в принципе невыполнимо.
В обычной теории рядов «сумма ряда» находится не бесконечным суммированием (его, как мы помним, невозможно выполнить), а предельным переходом. Мы строим последовательность частичных сумм, а потом смотрим, как она себя ведёт с ростом n. И если она стремится к какому-то пределу, мы вот этот предел и называем «суммой ряда». Но не стоит думать, что «сумма ряда» — это «сумма ВСЕХ его членов». Нет никакой суммы всех членов и не может быть — бесконечное суммирование невыполнимо.
В классическом смысле у ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… суммы нет — потому что последовательность его частичных сумм и не думает стремиться ни к какому пределу. Она такова: 1, 3, 6, 10, 15, 21… — ну о каком пределе тут может идти речь? Бесконечность — не число, если последовательность неограниченно возрастает — предела у неё нет.
Но если мы можем придумать одну процедуру (предельный переход для последовательности частичных сумм) и её результат назвать суммой ряда, то что нам мешает придумать много ДРУГИХ процедур? И их результаты тоже назвать «суммой ряда», с возможным добавлением «обобщённая»?
Да ничего не мешает. На эти процедуры накладываются некоторые ограничения. В частности, любая процедура, претендующая на то, чтобы её результат назывался «суммой ряда», должна быть регулярной, то есть не противоречить исходной процедуре: если сумма некоего ряда существует в смысле оригинальной процедуры, она должна существовать и в смысле новой процедуры и давать такой же результат. Ещё очень важна линейность: если даны два ряда, для которых процедура даёт некоторые значения, то для ряда, полученного сложением соответствующих членов (первый с первый, второй со вторым и т.д.) она должна дать сумму значений (ну и умножение на число тоже нужно выдерживать). Ещё очень хорошая штука — стабильность (грубо — если мы можем «просуммировать» ряд, то мы можем «просуммировать» и ряд, полученный отбрасыванием первого члена, причём сумма как раз на его величину и изменится), но это уже роскошь, не у всех методов такое есть.
А с этими ограничениями — придумывайте любые процедуры суммирования. Лишь бы было интересно или полезно.
Но помните, что получаемая вами «сумма ряда» никакого отношения к сложению вообще не имеет :).
В обычной теории рядов «сумма ряда» находится не бесконечным суммированием (его, как мы помним, невозможно выполнить), а предельным переходом. Мы строим последовательность частичных сумм, а потом смотрим, как она себя ведёт с ростом n. И если она стремится к какому-то пределу, мы вот этот предел и называем «суммой ряда». Но не стоит думать, что «сумма ряда» — это «сумма ВСЕХ его членов». Нет никакой суммы всех членов и не может быть — бесконечное суммирование невыполнимо.
В классическом смысле у ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… суммы нет — потому что последовательность его частичных сумм и не думает стремиться ни к какому пределу. Она такова: 1, 3, 6, 10, 15, 21… — ну о каком пределе тут может идти речь? Бесконечность — не число, если последовательность неограниченно возрастает — предела у неё нет.
Но если мы можем придумать одну процедуру (предельный переход для последовательности частичных сумм) и её результат назвать суммой ряда, то что нам мешает придумать много ДРУГИХ процедур? И их результаты тоже назвать «суммой ряда», с возможным добавлением «обобщённая»?
Да ничего не мешает. На эти процедуры накладываются некоторые ограничения. В частности, любая процедура, претендующая на то, чтобы её результат назывался «суммой ряда», должна быть регулярной, то есть не противоречить исходной процедуре: если сумма некоего ряда существует в смысле оригинальной процедуры, она должна существовать и в смысле новой процедуры и давать такой же результат. Ещё очень важна линейность: если даны два ряда, для которых процедура даёт некоторые значения, то для ряда, полученного сложением соответствующих членов (первый с первый, второй со вторым и т.д.) она должна дать сумму значений (ну и умножение на число тоже нужно выдерживать). Ещё очень хорошая штука — стабильность (грубо — если мы можем «просуммировать» ряд, то мы можем «просуммировать» и ряд, полученный отбрасыванием первого члена, причём сумма как раз на его величину и изменится), но это уже роскошь, не у всех методов такое есть.
А с этими ограничениями — придумывайте любые процедуры суммирования. Лишь бы было интересно или полезно.
Но помните, что получаемая вами «сумма ряда» никакого отношения к сложению вообще не имеет :).
Судя по обсуждению, минус одна двенадцатая тянет на новый локальный мем.
Вы в стетье не указали совершенно поразительный факт, что вот эта сумма встречается кое где в физике и там на практике наблюдается та самая -1/12. А то эти ваши чезары и прочие, без бекграунда выглядят как лженаука. Скажем, нигде вы не показали, что такое расширение суммы ряда не приводит к всяким парадоксам, может аналогично можно показать, что этот ряд равен вообще чему угодно. С такими расширениями классических операций надо быть крайне аккуратными.
"… не указали совершенно поразительный факт, что вот эта сумма встречается кое где в физике"
в статье -> «Интересно, что этот результат находит своё применение в физике...»
Есть и ссылка та страницу из книги, расположенной на www.cambridge.org/us/academic/subjects/physics/theoretical-physics-and-mathematical-physics/string-theory-volume-1
"… нигде вы не показали, что такое расширение суммы ряда не приводит к всяким парадоксам"
в статье -> «Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.»
"… без бекграунда выглядят как лженаука" почти любые знания о мире, не подкрепленные соответствующим образованием.
в статье -> «Интересно, что этот результат находит своё применение в физике...»
Есть и ссылка та страницу из книги, расположенной на www.cambridge.org/us/academic/subjects/physics/theoretical-physics-and-mathematical-physics/string-theory-volume-1
"… нигде вы не показали, что такое расширение суммы ряда не приводит к всяким парадоксам"
в статье -> «Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.»
"… без бекграунда выглядят как лженаука" почти любые знания о мире, не подкрепленные соответствующим образованием.
Да зачем далеко лазить в теории струн и квантовые теории поля. Все решеточные суммы в физике твердого тела это сплошные функции Римана из которых вытекают забавные дробные коэффициенты, хотя система система вроде бы периодическая и «целая». Собственно приведенное в статье это примерно тоже самое что 
А вот где ПРАКТИЧЕСКИ можно использовать эту бесконечность? Ну… какой то пример реально существующего процесса (не математического маятника :)) ). Технически ведь все конечно. Или нет?
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…