image

Однажды я случайно задел книжный шкаф и с него упала монета. Это натолкнуло меня на мысль: можно ли вычислить массу монеты на основании звука, который она издала при падении?

Если у нас есть размеры и материал объекта, то можно вычислить и массу, и тип нормального колебания. Одной лишь массы недостаточно — большая бумажная «монета» будет иметь сильно отличающуюся основную частоту от маленького вольфрамового шара.

Связь между основной частотой звяканья монеты и её массой задаётся (приблизительно) уравнением

$m \propto \frac{t\sqrt{E}}{f^{1/3}D}$


где

$E$ = модуль Юнга

$t$ = толщина

$m$ = масса монеты

$D$ = диаметр монеты

$f$ = основная частота

Сейчас я подробно расскажу, как вывел это уравнение…

Если предположить, что все «монеты» имеют одинаковое соотношение размеров (отношение диаметра к толщине) и изготовлены из одинакового материала, то действительно можно вычислить связь между основной частотой и массой. По анализу размерностей, если мы предположим, что частота — функция от

  • $\eta$: соотношения размеров (безразмерная величина: изначально предполагается константой, игнорируется)
  • $D$: диаметра ($\text{m}$)
  • $\rho$: плотности ($\text{kg}/\text{m}^3$)
  • $E$: модуля ($\text{kg}/\text{m s}^2$)

Тогда сочетание всего вышеуказанного, дающее нам размерность $1/s$ — это

$f = \text{const} \cdot \frac{1}{D} \sqrt{\frac{E}{\rho}}$


Скомбинировав это с массой объекта, которая пропорциональна $\rho D^3$, и допустив, что $\rho$ постоянна (чтобы можно было устранить её из уравнения), мы получим

$f = \text{const} \cdot m^{-1/3}E^{1/2}\\ m = \text{const} \cdot E^{3/2}f^{-3}$


Другими словами, масса снижается с третьей степенью частоты для монет с одинаковым материалом и соотношением размеров.

Но монеты США устроены иначе. На сайте Монетного двора США я нашёл следующую информацию:

                                                Соотношение
монета      масса   диаметр  толщина   материал размерностей
пенни       2,500    19,05     1,52       Zn*      12,53
5 центов    5,000    21,21     1,95      Cu-Ni     10,88
10 центов   2,268    17,91     1,35      Cu-Ni     13,27
25 центов   5,670    24,26     1,75      Cu-Ni     13,86
старый 1 ц. 3.11     19,05     1,52     Бронза.    12,53
* с медным покрытием...

То есть материал, как и соотношение размерностей, не всегда одинаковы. Это немного усложнит доказательство взаимосвязи.

Но давайте всё-таки попробуем. Из экспериментальных данных (информация alemi) я получил следующие основные частоты:

пенни         12,6
5 центов      12,4
10 центов     12,8
25 центов      9,2

Здесь интересны 25 и 10 центов, потому что они состоят из одного материала и имеют самое близкое соотношение размеров (13,3 и 13,9, то есть разница всего 5%). Из соотношения их масс (2,500), можно ожидать, что соотношение частот будет 0,74 ($2.5^{-1/3}$). А измеренное соотношение оказалось равным 0,72. На самом деле, очень близко…

Иными словами, если мы знаем частоты 10 и 25 центов, и нам нужно вычислить массу 25 центов по 10 центам, мы получим

$\begin{align}\\ m &= 2.268 * \left(\frac{12.8}{9.2}\right)^3\\ &= 6.11\end{align}$


что даёт погрешность около 7%, или меньше 0,5 г. Мне кажется, это потрясающе, учитывая разницу масс в 2,5 раза между 25 и 10 центами.

Вдохновлённый этим результатом, я решил посмотреть, можно ли найти общее для всех четырёх монет, учитывая их разные соотношения размеров и материал. Так как и бронза, и медно-никелевые сплавы имеют широкий диапазон модулей Юнга, мне пришлось немного погадать (все значения указаны в ГПа):

материал диапазон (ГПа) значение (ГПа)
бронза      96 - 120        110
Cu-Ni      120 - 156        120

Далее мне нужно было разобраться с соотношением размеров. Поразмыслив над этим, я подумал, что при большем соотношении размеров (более тонкой монете) частота будет ниже, поэтому решил посмотреть, что произойдёт, если я сделаю частоту зависимой от $1/\eta$. Это привело к выводу следующей формулы «ожидаемой частоты»:

$\text{expected} = \frac{\sqrt{E}}{m^{1/3}\eta}$


Выполнив расчёты с новой массой пенни (3,11 г), я получил для каждой из монет следующий график зависимости:


На этом графике красными звёздочками показаны числа (отмасштабированные, чтобы уместиться на том же графике), которые бы мы получили без учёта соотношения размеров; синими окружностями показаны значения с учётом зависимости от $1/\eta$. Как видите, они ложатся гораздо ближе к графику. Достаточно убедительно, учитывая довольно шумные данные…

Мысли в заключение


image

На записях звука видны множественные частоты. Некоторые из них легко объяснить, посмотрев на разные гармоники одной круглой тарелки. См. наприме��, Waller, 1938 Proc. Phys. Soc. 50 70.

Два изображения из этой публикации:

Первая, гармоники колебаний:


Вторая, их относительные частоты:


Это показывает нам, что первая гармоника в 1,7 раза выше, чем основная частота. Взглянув на данные, мы видим, что это и в самом деле так: в действительности для 25 центов (на графике quarter) мы даже видим вторую гармонику (в 2,3 раза выше от основной).

Вопрос разделения основной частоты немного хитрее. Если вы когда-нибудь играли с пустой кофейной кружкой, то могли заметить, что когда бьёшь по ободку, высота звука меняется в зависимости от места удара — прямо над ручкой, или смещённый на 45 градусов. Так получается, потому что есть две симметричные гармоники — там, где находится ручка, расположен узел, в другой точке расположена пучность. Последняя имеет чуть меньшую частоту.

То же самое может произойти и с 10 центами: если посмотреть на изображение монеты, изготовленной до 2005 года, можно заметить, что больше материала в направлении «север-юг» и «восток-запад». Это означает, что есть две гармоники колебаний: одна с узлами, отмеченными синим, другая — с красными:


Очевидно, что когда синие линии являются узлами, частота чуть выше.

Литература


Я нашёл статью, в которой эта тема рассматривается чуть подробнее — в целом она соответствует сказанному выше, и даже выводит очень похожие значения частот (измеренные и промоделированные). Её можно прочитать здесь: http://me363.byu.edu/sites/me363.byu.edu/files/Emerson_Steed_CoinIdentification.pdf.

Любопытно, что авторам не удалось записать звук пенни, хотя их модель предполагала, что её частота близка к той, которую замерил alemi (13,1 кГц). Они показали первую гармонику колебаний так:


что является красивым цветным 3D-представлением гармоники, описанной в статье 1938 года Уоллером (Waller).