В сериале "Squid game" герои попадают в загадочную игру, где они проходят череду испытаний. В случае, если игрок проваливает испытание, он погибает, а призовой фонд игры пополняется на 100.000.000 вон.
Spoiler alert! Текст ниже содержит умеренные спойлеры к 7 и 2 сериям сериала. Раскрывается суть игры и число игроков, выживших на момент ее начала.
Игра
16 человек оказываются перед мостом, который состоит из 18 пар стеклянных плиток. В каждой паре одна плитка сделана из закаленного стекла, а другая - из обычного. Задача игроков - перейти мост по очереди, наступая только на плитки из закаленного стекла.
Однако, как было ранее показано в сериале, в случае, если более чем половина игроков отказывается принимать дальнейшее участие в игре, игра прекращается.
Очевидно, что для первых игроков мост является практически непроходимым. В то же время, игроки стоящие в конце очереди, имеют высокие шансы преодолеть его. В данном случае, решаюший голос, вероятно, останется за игроком номер 9. Именно его голоса будет достаточно для прекращения игры.
Попробуем посчитать вероятности успешного преодоления моста девятым игроком в различных ситуациях.
Допущения
Игроки могут голосовать за прекращение игры в любой момент. Данное правило является своеобразной "конституцией" и позволяет участникам не участвовать в заранее несправедливой игре, поэтому, мне кажется правильным дать игрокам возможность прекратить игру в любой момент, если больше половины будут на это согласны.
Допустимая вероятность выживания. Попробуем оценить вероятность прохождения моста, которая устроит игроков. Для этого взглянем еще раз на предыдущие игры:
В первой игре участвовали 456 человек, из них выжило 201
Во второй игре участвовали 187, из них выжило 108
В третьей и четвертой игре выживала ровно половина участвовавших.
Таким образом, раз игроки еще не прекратили игру, будем считать, что их устраивает вероятность выживания в каждом испытании около 0.5.
Не будем учитывать временные рамки игры
Анализ
Пусть 
- случайная величина, показывающая число новых плиток, информацию о которых принесет игрок 
. Тогда, вероятность того, что игрок 
принесет информацию о 
плитках, при равноценном выборе из 2 равна
Таким образом, 
- подвержена геометрическому распределению.
Число всех плиток, которые открыли игроки до игрока 
равно
Соответстенно, игрок 
выживает в случае, когда 
, где 
- общее число пар плиток на мосту. Тогда, вероятность того, что 
будет равна
Посчитаем начальную вероятность пройти игру для всех 16 игроков
Игрок | Вероятность пройти мост |
1 | 0.0000038 |
2 | 0.000072 |
3 | 0.00066 |
4 | 0.0038 |
5 | 0.015 |
6 | 0.048 |
7 | 0.12 |
8 | 0.24 |
9 | 0.41 |
10 | 0.59 |
11 | 0.76 |
12 | 0.88 |
13 | 0.95 |
14 | 0.98 |
15 | 0.996 |
16 | 0.999 |
Игрок 9 имеет вероятность около 0.41, что ниже, чем средняя по предыдущим играм при том, что игрок 10 имеет шансы выше средних. Следовательно, для игроков 1-9 логично провести голосование и отказаться от игры.
Однако, в данной ситации, игрок 9 может отказаться от голосования и просмотреть на результат первого игрока, ступившего на мост. Даже при 15 игроках его голос все еще будет решающим. Таблица ниже показывает вероятности пройти игру для каждого игрока в зависимости от того, информацию о скольки плитках принес первый игрок.
Игрок | 1 | 2 | 3 |
2 | 0.0000063 | 0.000015 | 0.00005 |
3 | 0.00014 | 0.00026 | 0.00049 |
4 | 0.0012 | 0.002 | 0.0037 |
5 | 0.0064 | 0.011 | 0.018 |
6 | 0.025 | 0.038 | 0.059 |
7 | 0.072 | 0.11 | 0.15 |
8 | 0.17 | 0.23 | 0.3 |
9 | 0.31 | 0.4 | 0.5 |
10 | 0.5 | 0.6 | 0.7 |
11 | 0.69 | 0.77 | 0.85 |
12 | 0.83 | 0.89 | 0.94 |
13 | 0.93 | 0.962 | 0.98 |
14 | 0.98 | 0.989 | 0.996 |
15 | 0.994 | 0.998 | 0.9995 |
16 | 0.999 | 0.999 | 0.99996 |
Как видно из таблицы, в случае, если игрок 1 принес информацию о трех и более плитках, то игрок 9 может оставаться в игре, ведь шанс успешного завершения игры для него вырастает до 0.5. Однако, в других случаях, игроку 9 правильнее инициировать голосование и выйти из игры.
