Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я уверен, что многие из Вас из школьного курса математики прекрасно помнят чудесную функцию - экспоненту, производная которой, сколько бы её не брать, равняется исходной функции.
Однако, многие ли из Вас знают, почему так происходит? Сегодня я хочу это рассказать на максимально простом языке. Поехали! Рассмотрим две показательные функции:
Вспомним теперь классическое определение производной функции как предела отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Простыми словами: мы анализируем скорость изменения функции f(x) при бесконечно малом изменении её аргумента, которое мы будем обозначать ∆х.
В формулах для первой функции это выглядит так:
Давайте кое-что посчитаем на калькуляторе, а именно выражение под знаком предела. Например, пусть изменение функции ∆х = 0,001. Тогда:
Впрочем, это ничего нам не даст... До того момента, как мы не посчитаем аналогичное выражение для функции, в основании которой 3:
А вот это уже интересно. Если немного вспомнить математический анализ, то в голове всплывает вторая теорема Больцано-Коши или теорема о промежуточном значении.
Применительно к нашему случаю она позволяет утверждать, что рассматриваемая функция (имеется ввиду дробь (x^∆х-1)/∆х) при каком-то x равняется единице! Если мы найдем такое х, то по определению получим равенство функции её производной! Начинаем! Приравниваем нашу функцию к единице:
Второй замечательный предел - это известное из школьного курса соотношение, неизменно приводящее к числу Эйлера. Таким образом, доказательство окончено!
TELEGRAM "Математика не для всех" - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
