Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 25
Закреплённые комментарии
Уважаемые читатели!
Исследование литературы по теме неклассических арифметик вынуждает внести некоторые правки относительно новизны идеи (свежести, как написано в заглавии поста).По совокупности характеристик неклассические арифметики, в сформулированном мною смысле (см. версию 4 препринта), остаются новыми. Тем не менее, сама возможность использования арифметик, так или иначе отличных от классических, озвучивалась задолго до меня. Подробные исторические справки заинтересованный читатель найдет в свободно доступной главе обширной книги Марка Бургина и Marek'a Czachor'a; там же вы найдете описание их подхода к другим арифметикам. Они используют термин предарифметики (мой перевод для prearithmetics в множ. числ.). Они наиболее похоже на мои неклассические арифметики, но различий довольно, как я думаю, чтобы сохранять новизну моей идеи. То, что авторы использовали prearithmetics без nonclassical, объясняет мое их незнание на момент публикации и использование слова свежие в названии поста. Буквально называющиеся неклассическими арифметиками конструкции Гроссмана и Каца сильно отличаются от наших. Кардинально другими являются инконсистентные арифметики (см. Inconsistent Arithmetic: Issues Technical and Philosophical). Далекое от исчерпывающего сравнение идей может быть найдено в версии 4 препринта.
Успехов в правильных начинаниях!
Замечательно. А в чём новизна?
Восполняю пробел и поста, и препринта (в первом приближении).
Предлагаемая идея использования неклассических арифметик удовлетворяет одновременно следующим пунктам:
Мы используем наборы числовых алгебраических операций (арифметик), которые имеют смысл при подстановке в конструкции с классической арифметикой, а именно: функции, уравнения, матрицы и т.д. Т.е.: берем конструкцию, заменяем в ней классическую операцию; если это имеет смысл — наша процедура реализует идею использования неклассических арифметик.
В работу берутся конечно определенные (эффективные) операции на бесконечных подмножествах R^n.
В этом контексте идея отличается от операций в конечных группах, например. Другие из используемых в математике операций либо не допускают замену в смысле п. 1, либо такая замена не производилась. Разнообразия можно считать новым видом многообразий*, если речь идет о множествах решений уравнений, поскольку известные многообразия — это решения уравнений с классической арифметикой. И, наконец, новой является арифметика DR+ с функциями на ее основе.
__________
*Конкретно разноообразия уравнений арифметики DR+ уже многообразий, поскольку она определена только для неотрицательных вещественных.
новой является арифметика DR+ с функциями на ее основе
А каково её практическое применение?
Введение содержит список из двенадцати графиков актуальных исследований, опубликованных в рецензируемых журналах;* темы исследований перечислены у меня там же. Вот они намекают на практическое применение, которое планируется искать.
Для ясности: первая версия препринта ничего не знала о графиках из статей; спустя несколько месяцев волей случая я наткнулся на публикации. Поверьте, что очень непросто для абстрактной идеи найти реальные** цели, особенно с таким сходством, как в первых шести ссылках. Даже самое слабое родство в источниках 8, 9, 10 важно отметить, как и то, что можно поработать с параметрами, смотря на цели, а не вслепую, как раньше.
Предположим, что в конкретной задаче DR+ потерпит неудачу. Пусть даже она в целом будет не пригодной для практических задач - первый абзац введения препринта нам сообщает иерархию идей: неклассические арифметики, разнообразия, DR+. На основании аргумента естественного математического понимания мы можем смело говорить о существовании полезных арифметик.*** С каких-то из наборов операций нам нужно начинать? Нужно. DR+ - наш первый шаг... Не самый плохой.
Завтра отдыхаю. Счастливых выходных!
__________
*Нас не должно останавливать, когда графики имеют статистическую, а не функциональную зависимость.
**Хотя бы гипотетические.
***Уже только одна классическая арифметика дала много приложений.
Практическое применение — написание статей, получение научных степеней, завышенного ЧСВ и способы интересного времяпровождения до конца жизни, ценность которых никто не сможет подтвердить или опровергнуть, потому что это (сарказм) математика будущего. Типичная ситуация для современных математиков.
Например, для задач моделирования движения объектов в 2D/3D пространстве есть два подхода — комплексные числа/кватернионы vs матрицы, и оба они применимы на практике. Для анализа экспериментальных последовательностей можно использовать теорию вероятностей, а можно цифровую обработку сигналов с преобразованием Фурье и иже с ним, а можно теорию хаоса с бифуркациями. Классические (дискретные) производные с интегралами можно объединить и обобщить на непрерывном пространстве (дифферинтеграл) и получить в частности новые методы для моделирования электрических схем. Вот это — настоящая математика. А математика, не связанная с реальностью, ничем не отличается от астрологии или теории волшебных заклинаний из вселенной Гарри Поттера.
Например, для задач моделирования движения объектов в 2D/3D пространстве есть два подхода — комплексные числа/кватернионы vs матрицы, и оба они применимы на практике. Для анализа экспериментальных последовательностей можно использовать теорию вероятностей, а можно цифровую обработку сигналов с преобразованием Фурье и иже с ним, а можно теорию хаоса с бифуркациями. Классические (дискретные) производные с интегралами можно объединить и обобщить на непрерывном пространстве (дифферинтеграл) и получить в частности новые методы для моделирования электрических схем. Вот это — настоящая математика. А математика, не связанная с реальностью, ничем не отличается от астрологии или теории волшебных заклинаний из вселенной Гарри Поттера.
1. Утверждать бесполезность идеи неклассических арифметик и разнообразий преждевременно. Строго говоря, и полезность считается доказанной только при предъявлении приложений. Тем не менее, мое "несвоевременное" анонсирование идеи имеет убедительность.
Во-первых, классическая арифметика (КА) дала бесспорное основание тому, что упоминается в Вашем ответе - 2D/3D моделирование, ряды Фурье, бифуркации, хаос. КА - это лишь один представитель в огромном классе конечно определенных (эффективных) операций на бесконечных подмножествах R^n. Отрицать существование других столь же мощных арифметик (ну или хотя бы их равносильного набора) - весьма скользкая позиция. Нам нужно только время, чтобы показать их приложения.
Разумным будет осторожное отношение к DR+. Автор его разделяет, о чем свидетельствует второй ответ Zenitchik'у. Но у меня есть основания полагать, что через два-три месяца новая версия препринта будет содержать определенное интегрирование DR-функций* и вычисление размерностей множеств точек ими задаваемых. Размерность связана с хаосом; разумно попробовать связывать графики обсуждаемых функций с детерминированным хаосом: слишком уж много в графиках того, что представляется хаотичным.
Ряды? Мы можем в конечном числе членов сходящегося классического ряда операции поменять на DR-операции и снова получить сходящийся ряд.
Статистика? Ссылки на графики статей из актуальных исследований во введении препринта предлагает не сбрасывать со счетов DR-паттерны. Я поработаю над этим.
Что касается 2D/3D моделирования, то видео далее позволяет увидеть микс дискретных DR-функций с поверхностями классической арифметики. Да, это снова абстрактный пример, но неужели мы не можем присоединить сюда псевдослучайное поведение функций, геометрические преобразования и целую тьму известных КА-техник? В предлагаемой идее то и замечательно, что читатель может переносить привычные ему трюки и дойти до реальных вещей. Собственно, в этом сила концепции.
________________
*Refridgerator знает, а неосведомленным математика сообщает: непрерывность функции не обязательна для интегрируемости.
2. Несмотря на сказанное выше, можно продолжать говорить: "Пока нам дается воздух вместо пищи". Начинать с идеи, предлагать ее слушателям - научная норма. Проще говоря, если не всегда, то астрономически часто хоть теоретик, хоть практик начинают с идеи. Первые довольствуются одной степенью осязаемости, вторые - другой.
Кроме прочего, пытливый исследователь пусть произведет мониторинг научных статей (уважаемых мною) прикладных наук. Сколько процентов статей преодолевает барьер всего-лишь сотни цитирований за годы доступа к ним? А конкретного широкого применения, которое оправдало бы время самого автора и прочие затраты, сколько из них достигло?
Этим я говорю не против прикладных статей и исследований -- иначе как с большим числом промахов и так-себе-результатов нам невозможно развиваться! -- а против иллюзии, сопутствующей словам "приложения/прикладная наука".
3. (Все-таки приложение есть!) Чтобы не относиться свысока к труду художников и дизайнеров, прошу провести мысленный эксперимент: исключите из вашего обихода эстетические элементы - дизайн обоев, одежды, холодильников, интерфейсов, и т.д. Вы еще хотите жить в таком мире?
Простая модификация DR-сложения позволяет вам получать вот такую графику . Понравится она вам или нет, не в этом суть. Желающий может придумывать либо свою "арифметику эстетики", либо к DR+ (к предложенному в видео варианту) добавить свои приемы. Моя задача - обозначить этот путь, показать что он возможен; развивать его не буду.
Моя задача - обозначить этот путь, показать что он возможен; развивать его не буду.
Не нужны нам такие "озадаченные". Что этот путь возможен - и так было очевидно.
Более того: очевидно, что можно придумать множество разных альтернативных арифметик.
Чтобы нам оставаться в конструктивном русле и не тратить попусту силы друг друга предлагаю закончить следующей ничьей:
1. Идея препринта должна быть доказана; пока это только слова (мои арифметические художества - приложение которое здесь не интересно. Вы лучше знаете habr.com).
2. У меня есть право озвучивать идею сейчас, поскольку перечисленная Вами математика: предварялась идеями, а не готовыми приложениями; эти идеи озвучивались заранее. У меня есть законное время на доказательство.
Сколько времени прошло от предложения комплексных чисел/кватернионов, матриц и всего из Вашего перечисления до реальных приложений? Не начинались ли они с дискуссий?
Ноль времени прошло — потому что они и появились как раз-таки для решения вполне конкретных проблем математики, таких как (все знают) взятия корня из отрицательного числа, арксинуса больше единицы и прочих не всюду определённых функций. Кватернионы появились из желания расширить комплексные числа на 3х-мерное пространство, матрицы — для решения систем линейных уравнений, преобразование Фурье — для решения задачи о распространении тепла (и сформулировано оно в комплексных числах совсем не случайно). Другой вопрос, что не все сразу были готовы принять следствия, из этого вытекающие, равно как и отказаться от исторически сложившихся определений и представлений. Обработка сигналов развилась в отдельную науку именно тогда, когда для неё возникли реальные задачи в виде моделирования электрических схем и передачи сигналов на расстояния, теория чисел — когда появилась потребность эти самые данные шифровать и быть уверенным, что эти сигналы не будут расшифрованы противником. Даже для великой и ужасной теоремы Ферма было своё обоснование появления (о чём можно почитать в специальной литературе), и после её строгого доказательства мир не изменился в лучшую сторону, и можно придумать ещё бесконечное количество задач подобного плана. И о применении гипер-комплексных чисел порядка 2048 я пока что не слышал — возможно потому, что в них попросту нет смысла, в том числе и чисто математического.
Если рассматривать математику как язык, то этим языком можно описать бесконечное количество вещей, а у человечества нет бесконечного времени на бесконечный перебор бесконечных вариантов для поиска решения внезапно возникшей задачи. И это при том, что нерешённых задач в математике с практическим смыслом существует ещё достаточно.
Если рассматривать математику как язык, то этим языком можно описать бесконечное количество вещей, а у человечества нет бесконечного времени на бесконечный перебор бесконечных вариантов для поиска решения внезапно возникшей задачи. И это при том, что нерешённых задач в математике с практическим смыслом существует ещё достаточно.
Спрашивая о дистанции между идеей и приложением я имел ввиду выразимое цитатой "В XVI—XVII веках мнимые числа рассматривались большей частью научного сообщества как фиктивные или бесполезные (аналогично тому, как воспринималось в свое время понятие нуля). В частности, Рене Декарт, упоминая о мнимых числах в своём фундаментальном труде «Геометрия», использовал термин «мнимый» в уничижительном смысле[5][6]. Использование мнимых чисел не было широко распространено до появления работ Леонарда Эйлера (1707—1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777—1855)."
О других аналогичных историях я не буду напоминать, во избежание второго обвинения в ЧСВ (нашел с кем себя сравнивать!).^ Давайте лучше я соглашусь с Вашим "они и появились как раз-таки для решения вполне конкретных проблем математики". Мне лично не хочется заниматься математикой, которой я не могу потрогать прикладные проблемы, хотя чистую математику уважаю. Это намерение было само собою разумеющимся для меня настолько, что, забыв о других глазах, не обозначил его со всей ясностью. Исправляюсь.
Суть "идеи преткновения" в том, что разрешимое изощренными средствами классической арифметики (КА) с большой вероятностью может решаться элементарными средствами неклассической. Если хотите, я говорю об экономии мышления.* Опасаясь быть неверно истолкованным, добавлю: существуют задачи оптимально решаемые исключительно КА. Собственно, о не-, элементарных средствах говорилось в введении препринта (в том числе о комфорте математика как важной компоненте исследования).
Разумеется за мной доказательства. Здесь я имею право на время, а Вы сказать: "Посмотрим на гоп после перепрыгивания".
_____________
^У меня нет желания живописать публике муки осознания своей ничтожности.
*Подозреваю, что где-то в теории алгоритмов, в теме алгебраических операций, в теме формальных теорий притаилась связка теорем об элементарном-неэлементарном.
Я правильно понимаю, что, если использовать вместо термина «операция» (+) термин «функция», в статье изображены графики функций (точнее, кривых), удовлетворяющих уравнению f(x,y) = c, т.е. просто заданные неявно?
Подскажите, пожалуйста, где можно почитать про неклассическую арифметику. Беглый поиск даёт ссылки только на эту статью.
В контексте ответа пользователю Zenitchik не могу подсказать. Возможно, Ваш опыт поиска указывает на новизну идеи (опять-таки в смысле моего ответа Zenitchik'у). Видимо Вы посчитаете советом не по существу, если об операциях вообще я посоветую посмотреть такие темы как группы, алгебры, магмы, ...?
Простите, а где можно почитать про классическую арифметику? Про теорию чисел - читал, про теорию групп - читал, про алгебру тоже. А вот про арифметику...
"Теория чисел или высшая арифметика" — она и есть самая что ни на есть классическая, как, например, сообщает Википедия. Слово "классическая" не употребляется для высшей арифметики, поскольку в контексте статьи нет необходимости это подчеркивать, но зато в этой же статье прямо говорится о "классической алгебре"; ссылка ведет нас в раздел, где говорится об арифметических операциях: "Кроме букв и чисел, в формулах элементарной алгебры используются арифметические операции: (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня)... " Нетрудно выстроить ассоциацию "классическая алгебра - классическая арифметика"
Если нам нужно подчеркнуть, что некоторый набор числовых алгебраических операций О отличается от набора из теории чисел, мы вправе ввести различения, употребив, например, "неклассическая арифметика", поскольку слово "классическая" напрашивается само собой для арифметики, используемой в теории чисел и элементарной (классической) алгеброй.
"Арифметика", как правило относится к операциям над числами — комплексная, p-адическая, кватернионов, октонионов, например. Групповая операция не обязана быть числовой. Мое использование не противоречит математической практике.
Меня на Хабре не будет день-другой — отвечать не смогу.
Важно уловить: уже давно математика позволяет вам называть сложением (умножением) что-то другоеи это «что-то другое» — функция от двух переменных. Например:
f(x,y)=x+y (обычное сложение),
g(x,y)=1-x+x2-y+y2 (назовём нано-сложением)
Если нано-сложить 2 и 2 то получим 5, как и хотелось автору. И изобретать ничего не надо. Полиномиальная запись гарантирует целый результат при целых входных данных. Используя производящие функции можно оперировать полиномами бесконечной степени.
и это «что-то другое» — функция от двух переменных.
Это следует из определения алгебраической операции. Я корректно остаюсь в поле математики. Есть еще определение из теории множеств -- еще более "монотонном" языке математики, где сплошь множества: множество - это множество (простите тавтологию), а функция - это тоже множество некоторого вида (бинарное отношение (отношение - множество упорядоченных пар)).
Кроме того, для математических функций, существование функции v, эквивалентной функции w и существование элементарной функции v, эквивалентной элементарной функции w -- разные утверждения. Конечно же, элементарная функция s неклассической арифметики может иметь эквивалент t классической арифметики (КА), но не обязательно элементарный. Как только об s доказано, что она не является непрерывной, немедленно следует несуществование элементарного эквивалента t. Следующее обновление препринта, надеюсь, будет содержать теоремы о разрывности представленных DR-функций в таких-то точках. Все они составлены из конечного набора операций, т.е. элементарны, но элементарного КА-эквивалента у них не будет.
Относительно Вашего примера это будет означать следующее: подграфик функции, скажем, f8, т.е. конечная последовательность тысячи пар (x, y), будет гарантированно иметь задающую функцию-полином КА, но, скорее всего, с нерационально высоким числом одночленов или, точнее, операций (вызовов сложений, умножений, ...); f8 имеет лишь 5. Переформулировку сравнения в терминах, относящихся к машинному исполнению, нужно выполнять не сейчас: я же не группа математиков и разработчиков в одном лице; сначала -- препринт с математической не-, элементарностью.
Поинтереснее пример придумал — функция ниже будет равносильна сумме x и y при всех целых x и y от 0 до 10, кроме двух — f(2,2)=5
f(x,y) = x + y + x*(-1814400 + 4407120*x - 4173228*x^2 + 2118136*x^3 -
649397*x^4 + 126329*x^5 - 15722*x^6 + 1214*x^7 - 53*x^8 + x^9)*
y*(-1814400 + 4407120*y - 4173228*y^2 + 2118136*y^3 - 649397*y^4 +
126329*y^5 - 15722*y^6 + 1214*y^7 - 53*y^8 + y^9) / 6502809600Пока поправлю себя в прошлом комментарии: отношение -- множество упорядоченных n-ок. Остальное позже.
Поясните смысл возражения.
Смысл возражения в том, что в функциях от двух переменных нет ничего свежего или нового, и придумать их можно миллион. А то, что вы описываете в своём препринте — ещё и привязано к записи чисел в десятичной системе счисления, что обычно называют «нумерологией», поскольку в другой системе счисления и результат получится другой.
Оппонента смущает, что автор разнообразий говорит об алгебраических операциях, которые всего лишь функции. Всё* новое, авторитетное для визави из опубликованного в научных изданиях -- на языке математики всего лишь множества да функции. Или даже одни множества, поскольку, в некотором смысле, функции -- это терминологический сахар. Новизна публикаций вообще, тем не менее, нами как-то распознается. Общая формулировка моей новизны озвучивалась в самом верху дискуссии.
____________
*Мы позволили себе здесь некоторую вольность в этом "всё".
А в частности, впечатляющий пример говорит, скорее, в пользу идеи неклассических арифметик, потому что в DR+ мы имеем лаконичное 2 +_i 2 = 5. Когда мы говорим, скажем, о конечной последовательности вещественных чисел, которую можно задать функциями, элементарными в двух арифметиках, то мы можем спрашивать, какие элементарные средства дешевле, проще, быстрее, ... Пример из моего прошлого комментария имеет шансы на существенно более короткую по числу операций функцию:
подграфик функции, скажем, f8, т.е. конечная последовательность тысячи пар (x, y), будет гарантированно иметь задающую функцию-полином КА, но, скорее всего, с нерационально высоким числом одночленов или, точнее, операций (вызовов сложений, умножений, ...); f8 имеет лишь 5.
Иначе говоря, предлагается экономия. Но не только вычислительная. Математику даются психологические преимущества использования-привычного-вместо-придумывания-без-необходимости. Это настолько замечательная и сильная черта идеи, что она совершенно сбивает с толку читателя! Он поначалу не в состоянии понять, в чем же, собственно, состоит новизна.
А то, что вы описываете в своём препринте — ещё и привязано к записи чисел в десятичной системе счисления, что обычно называют «нумерологией», поскольку в другой системе счисления и результат получится другой.
Давайте потом. Я предлагаю остановиться нам на открытой ноте -- победа ни моя, ни Ваша. В конце концов, у оппонента есть другие заботы, у меня есть обязательства, возникшие ранее поста относительно DR+ на биологических графиках, и некоторых теорем, объявленных в дискуссии ранее. При желании можно будет через месяцы вернуться к обсуждению.
Уважаемые читатели!
Исследование литературы по теме неклассических арифметик вынуждает внести некоторые правки относительно новизны идеи (свежести, как написано в заглавии поста).По совокупности характеристик неклассические арифметики, в сформулированном мною смысле (см. версию 4 препринта), остаются новыми. Тем не менее, сама возможность использования арифметик, так или иначе отличных от классических, озвучивалась задолго до меня. Подробные исторические справки заинтересованный читатель найдет в свободно доступной главе обширной книги Марка Бургина и Marek'a Czachor'a; там же вы найдете описание их подхода к другим арифметикам. Они используют термин предарифметики (мой перевод для prearithmetics в множ. числ.). Они наиболее похоже на мои неклассические арифметики, но различий довольно, как я думаю, чтобы сохранять новизну моей идеи. То, что авторы использовали prearithmetics без nonclassical, объясняет мое их незнание на момент публикации и использование слова свежие в названии поста. Буквально называющиеся неклассическими арифметиками конструкции Гроссмана и Каца сильно отличаются от наших. Кардинально другими являются инконсистентные арифметики (см. Inconsistent Arithmetic: Issues Technical and Philosophical). Далекое от исчерпывающего сравнение идей может быть найдено в версии 4 препринта.
Успехов в правильных начинаниях!
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Свежие* идеи в математике: неклассические арифметики и разнообразия