Фото доски почётного профессора математики Нэнси Хингстон из колледжа Нью-Джерси. Из книги «Не стирать: математики и их доски»
Этим летом были объявлены лауреаты регулярной премии для математиков – Филдсовской премии, медали которой вручаются раз в четыре года математикам, не достигшим 40 лет.
Одним из победителей стала 37-летняя Марина Вязовская, вторая женщина-лауреат в истории премии, благодаря решению задачи об упаковке сфер в 24-мерном пространстве. В её честь первая загадка связана с упаковкой пива в трёхмерном ящике.
1. Задача с ящиком
Можно ли разместить более 40 банок пива диаметром в единицу и высотой в 2,6 единиц в ящике размерами 5 x 8 x 2.6?
Как 40 банок пива умещаются в ящике. Можно ли впихнуть туда больше?
Решение
Можно вместить в ящик 41 банку, если разместить их диагонально:
Если у вас дома нет 41-й банки пива, доказать эту возможность вам поможет Пифагор. Согласно его теореме, у прямоугольных треугольников квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. У треугольника, изображённого ниже, 12 = x2 + (0,5)2, то есть x = √(0,75) = 0,87 с точностью до сотой.
Вершины треугольника находятся в центрах банок и в точке соприкосновения двух банок. Горизонтальная и вертикальная сторона встречаются под прямым углом. Если диаметр банки равен 1, то радиус равен 0,5.
Если разместить девять рядов банок (41 банку) по диагонали, то диагональное расстояние между центрами рядов составит 0,5 + 8x + 0,5 = 1 + (8 * 0,87) = 1 + 6,93 = 7,93, то есть меньше 8. Следовательно, банки уместятся в ящик.
Если у вас дома нет 41-й банки пива, доказать эту возможность вам поможет Пифагор. Согласно его теореме, у прямоугольных треугольников квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. У треугольника, изображённого ниже, 12 = x2 + (0,5)2, то есть x = √(0,75) = 0,87 с точностью до сотой.
Вершины треугольника находятся в центрах банок и в точке соприкосновения двух банок. Горизонтальная и вертикальная сторона встречаются под прямым углом. Если диаметр банки равен 1, то радиус равен 0,5.
Если разместить девять рядов банок (41 банку) по диагонали, то диагональное расстояние между центрами рядов составит 0,5 + 8x + 0,5 = 1 + (8 * 0,87) = 1 + 6,93 = 7,93, то есть меньше 8. Следовательно, банки уместятся в ящик.
Одним из победителей стал 35-летний Джеймс Майнард благодаря решению множества задач, связанных с простыми числами. В честь этого вторая загадка будет связана с простым числом 13.
2. Присаживайтесь
Разместите 13 стульев в прямоугольной комнате так, чтобы у каждой из стен стояло столько же стульев, сколько у противоположной ей стены.
Решение
Один из стульев стоит в углу, остальные вдоль стен
Один из стульев стоит в углу, остальные вдоль стен
Третья загадка будет чествовать Цзюня Э, которого наградили медалью за связь теории графов, комбинаторики, алгебры и других абстрактных концепций. Граф – это сеть точек, связанных друг с другом, и в каком-то смысле клетки шахматной доски тоже можно представить в виде графа из связанных клеток.
3. Шахматные соседи
Представьте себе шахматную доску размером 9 на 9 клеток. На каждой из клеток стоит человек. Может ли каждый из людей на доске (в количестве 81 человека) перейти на соседний квадрат так, чтобы снова на каждой клетке стояло по одному человеку?
Решение
Нет.
Если все клетки заняты, тогда 40 человек будет стоять на белых клетках, и 41 на чёрных (или наоборот). Когда каждый из них сдвинется, получится, что всем людям с белых клеток нужно будет перейти на чёрные, а с чёрных – на белые. Но это невозможно, поскольку количество белых клеток не совпадает с количеством чёрных.
Если все клетки заняты, тогда 40 человек будет стоять на белых клетках, и 41 на чёрных (или наоборот). Когда каждый из них сдвинется, получится, что всем людям с белых клеток нужно будет перейти на чёрные, а с чёрных – на белые. Но это невозможно, поскольку количество белых клеток не совпадает с количеством чёрных.
