Комментарии 7
подумайте, почему наличие рационального корня необходимо для разложимости таких многочленов
Э... Многочлен (x²-2)(x²-3) прекрасно раскладывается, несмотря на отсутствие рациональных корней. Может, переформулируете этот пассаж?
Напоследок, предлагаем вам подумать над следующей задачей .....
Подумал и вот такое надумал:
Если N не простое (т.е. N = a*b), то легко убедиться, что
P(x) = (x^(a-1) + x^(a-2) + ... + 1) * (x^(a*(b-1)) + x^(a*(b-2)) + ... + 1)
Теперь случай простого N.
Применить Эйзенштейна для для P(x+1) тоже нетрудно, т.к. у него a[N-1] = 1, а все прочие a[k] делятся на N, потому что a[k] = sum(i = 0 ... N-1)C(i, k) = C(N, k+1), где C - биномиальный коэффициент.
Значение этой суммы доказывается по индукции, с применением тождества C(N, k+1) = C(N-1, k) + C(N-1, k+1), здесь первое слагаемое - последний член в ряду, второе слагаемое - сумма для всех предыдущих.
Ну а то что C(N, k+1) делится на N при простом N и k>=0, следует прямо из формулы для С.
Т.е. P(x+1) разложить на произведение нельзя.
Допустим, мы можем разложить P(х) на произведение. Но тогда, сделав замену x на x+1, получим подходящее разложение для P(x+1), чего по доказанному ранее сделать нельзя. Противоречие. Не знаю, достаточно ли строго я обосновал этот переход между P(х) и P(х+1).
Как насчёт разложения на множители не обычных многочленов, а рациональных? Там и простор для творчества больше, и решение в целых всегда достижимо.
Очень красивая и интересная задача в конце. Лучшее усвоение пройденного материала. Серьёзно, автор, спасибо большое.
Лемма Гаусса и теорема Эйзенштейна для многочленов