Приветствую Вас! Сегодня мы поговорим об интересной кривой, у которой есть своё название — суперэллипс.
Оглянитесь вокруг. Какие фигуры вы видите? Скорее всего, большинство фигур имеет либо прямые (острые, тупые) углы либо эллипсоидные (не всегда идеально круглые) границы. Однако, существуют и гибриды. Суперэллипсы — это семейство кривых, которые лежат где‑то между эллипсами и прямоугольниками.
Для начала вспомним, что из себя представляет обычный эллипс — кривую второго порядка:
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/121/b94/49d/121b9449da925930308a82d8ecae539c.jpg)
Коэффициенты a и b определяют «приплюснутость» эллипса по горизонтали и вертикали соответственно:
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/901/372/1ed/9013721edd27bd09e5117122fa7a1844.jpg)
Но что, если вторые степени заменить чем‑то другим? Если возвести в куб, в четвертую степень и т.д?
В 1959 году в шведском Стокгольме был объявлен конкурс на проектирование кольцевой развязки одной из городских площадей. Этот район находился там, где две широкие магистрали пересекались в центре города, поэтому требовалось не перекрыть транспортные потоки, да еще и обеспечить пешеходную зону уровнем ниже:
![Площадь Сергеля Площадь Сергеля](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/4f2/e71/5dc/4f2e715dc1228512cb2bc9907ad93575.jpg)
Архитектор Пит Хейн искал наиболее эстетичную, но и эффективную форму, о чем писал:
Человек — это животное, которое рисует линии, о которые он сам потом спотыкается. Всегда цивилизации наблюдались две тенденции: одна — к прямым линиям и прямоугольным узорам, а другая — к круговым линиям. Для обеих тенденций есть причины, механические и психологические. Вещи, сделанные с помощью прямых линий, хорошо сочетаются друг с другом и экономят место. И мы можем легко перемещаться — физически или мысленно — по предметам, сделанным с круглыми линиями.
Но мы в смирительной рубашке, вынуждены принимать то одно, то другое, когда часто какая‑то промежуточная форма была бы лучше. Рисовать что‑то от руки — например, многоуровневое дорожное кольцо, которое они пробовали в Стокгольме, — не годится. Суперэллипс решил проблему. Он не круглый и не прямоугольный, а что‑то среднее. Тем не менее, она фиксирована, она определенна — в ней есть единство.
Уравнение суперэллипса в общем виде записывается следующим образом:
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/2c5/e04/a03/2c5e04a030204f196a6c287dc777dc3c.jpg)
В зависимости от соотношения параметра n можно получить целую россыпь фигур.
Когда n приближается к нулю, кривая вырождается в две прямые пересекающиеся линии вдоль осей.
При 0<n<1 получаете ромб с вогнутыми сторонами.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/a5e/693/109/a5e693109103080f84d293b6a39d8234.jpg)
Когда n = 1, вы получаете ромб с вершинами на осях координат.
При 1<n<2 получаете ромб с выпуклыми сторонами.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/cf8/179/0b9/cf81790b9b59ceebab2e13ddd193de61.jpg)
Когда n = 2, вы получаете эллипс (или, если a и b равны - окружности).
Если значение n > 2, у вас получается суперэллипс. (при проектировании площади, о которой я говорил выше, использовался параметр 2,5).
По мере приближения n к бесконечности получаем прямоугольник.
![Сквиркл - особый суперэллипс с n=4 Сквиркл - особый суперэллипс с n=4](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/2e2/6ec/cb3/2e26eccb3cb2534b7edfc6c60cc0e297.jpg)
Стоит отметить, что, хотя суперэллипсы могут выглядеть так, как будто у них прямые стороны, соединенные кривыми, на самом деле они изогнуты по всему периметру. Даже там, где сегмент выглядит прямым, он на самом деле слегка изогнут, а кривизна изменяется повсюду непрерывно.
Если вы повернете суперэллипс вокруг главной оси, получится суперяйцо, которое устойчиво относительно своих биологических аналогов:
Форму суперэллипса имеют архитектурные объекты, предметы интерьера, логотипы брендов и команд:
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/a2d/501/a06/a2d501a06b2084a1738a2a0ce3ef894b.jpg)
Однако подавляющее число людей впервые увидело суперэллипс...когда взяли в руки Iphone! Дело в том, что начиная c шестой версии iOs, дизайнеры перестали использовать прямоугольники с закруглением, а перешли к суперэллипсам:
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/524/d56/d0d/524d56d0dcff2d94920cbf6df65eb3c3.png)
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/0a3/7f3/ed3/0a37f3ed36c6ab9e4c117f65773cc06f.jpeg)
По ощущениям здесь используется суперэллипс с коэффициентом n = 5..7. Если и этого недостаточно, то знайте, что супСуперэллипс — фигура, которую многие видят каждый день, но не догадываются об этомерэллипс фигурировал в статье «Геометрическое моделирование и гидродинамический анализ плавающих сперматозоидов», жаль только, что этой публикации нет в открытом доступе.
Больше математики в Telegram - "Математика не для всех"