Комментарии 10
Очень скомканное доказательство.
Индукционный шаг надо бы расписать поподробнее (откусив один треугольник площадью 1/2 мы уменьшаем B на 1 или увеличиваем B на 1 и уменьшаем I на 1. Поэтому, если формула выполняется для оставшегося меньшего многоугольника, то она выполняется и для всего многоугольника.)
Надо бы формализовать, как именно проводятся диагонали. Вообще не очевидно, что мноугольник разбивается на элементарные треугольники.
Ну и про площадь элементарного треугольника надо поподробнее. Почему все точки плоскости получаются суммой векторов? Треуголькик теоретически может быть очень тонким и очень длинным.
Первый шаг действительно очевиден. У меня проблема со вторым. Почему многократно проводя внутренние диагонали мы разобьём многоугольник на элементарные треугольники?
Вот у меня треугольник, например, с координатами (-1,0), (0, 2), (1,-1). Он, естественно, не элементарен, внутри есть точка (0,0). Но на границе точки только в вершинах. Где там диагонали проводить?
ok, доказательство можно починить, если позволить разбивать не только диагоналями, но ещё и соединяя одну из внутренних точек с двумя точками на границе. Тогда разбиения прекратятся только когда нет точек на границе, кроме вершин треугольников, и нет внутренних точек. То есть, остались только треугольники, и все они элементарные.
Для других сеток есть подобные формулы? Для треугольной, шестиугольной.
А формула приближенная или точная?
По этому многоугольнику у меня получилась площадь 22.5 кв.ед.
Интересно, а для объёма существует подобная формула?
Вокруг формулы Пика