Посмотрите на серию фигур из точек:
Назовём эти фигуры гексами (hex значит шесть). Первый гекс состоит из одной точки, второй — из семи точек; каждый следующий гекс получается из предыдущего добавлением одного слоя точек.
Вопрос: сколько всего точек на первых n гексах?
Сосчитаем ответ при малых : на первых двух гексах точек, на третьем -, поэтому на первых трёх - . Заметим, что и . Хм... Просто совпадение? Посмотрим, сколько точек на 4-м гексе. На его внешнем слое будет точек. Плюс внутри него расположен третий гекс из 19 точек. Итого, точек. Значит, всего на первых четырёх гексах точки. А - закономерность подтверждается. Правда ли, что на первых гексах всегда точек? Выведем это несколькими методами.
I МЕТОД: ИНДУКЦИЯ. При утверждение верно (база). Предположим, что на первых гексах ровно точек, и докажем, что на первых гексах ровно точек. Это равносильно тому, что число точек на -м гексе равно
Чтобы в этом убедиться, разобьём -й гекс на "концентрических" слоёв: первый слой - центр из одной точки, на втором слое 6 точек, на третьем - , на -м - . Итого, число точек на -м гексе равно
что и требовалось.
II МЕТОД: СУММИРОВАНИЕ. Рассуждать по индукции можно, когда у нас уже есть гипотеза, какой будет ответ. Допустим, у нас такой гипотезы (про ) не было. Тогда мы бы просто сосчитали, сколько точек на -м гексе (как выше), и просуммировали по :
Формулу для суммы квадратов можно найти в справочнике:
Подставив эти выражения в вычисляемую сумму, после преобразований получим . Но было бы здорово всё-таки пролить свет на формулу для суммы квадратов. Оказывается, концептуальный путь начинается с формулы (1). Проведём вывод формулы (3) в духе одной из главных теорем анализа - формулы Ньютона-Лейбница:
Её дискретный аналог тривиален. Интегрирование заменяем на суммирование, а производную --- на разность. Именно, для любой последовательности имеем:
Применим эту нехитрую идею к последовательности :
Сложив числа в левой части, получим (остальные члены сократятся, а ).
В правой же части получим не что иное, как (2). Мы решили задачу о гексах, а заодно из неё вывели формулу (3): зная, что выражение (2) равно , легко выразить из него
.
III МЕТОД: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ. В качестве "вишенки на торте" покажем геометрическую интерпретацию сказанного выше. Третья степень неслучайно называется кубом, подобно тому, как вторая степень называется квадратом. Так, формула суммы первых нечётных натуральных чисел
имеет простой геометрический смысл: вкладывая уголки
из 1, 3, 5, ... точек друг в друга как матрёшки, сложим квадрат. Оказывается, нечто аналогичное происходит и с гексами! Взгляните:
Таким образом, -й гекс можно воспринимать как видимую часть поверхности куба под соответствующим углом зрения. Например, на втором гексе вы видите куб без одной вершины - её не видно, и можно считать, что это как раз точка на первом гексе. Вообще, все эти слоёв вкладываются друг в друга, образуя полный куб с ребром из точек.
Автор: Андрей Канунников, к. ф.-м. н., мехмат МГУ, преподаватель ШАД Хелпер