alexlyk314 4 июл 2023 в 13:08

Так ли очевидна основная теорема арифметики? И всегда ли она верна?.

Простой

3 мин

9.3K

Математика*

+14

Комментарии 33

alexEtse 4 июл 2023 в 13:23

Многие не понимают, почему это не очевидно и надо доказывать.

Вроде ж всё просто - доказывать надо всё, что не аксиома и не определение :)

А слово "очевидно" - оно опасное, ведущее к соблазнам ~~тёмной стороны~~ скрыть в рассуждении сложное доказательство или вообще недоказуемость.

rdp 4 июл 2023 в 13:45

пример неоднозначного

2x2=?

alexEtse 4 июл 2023 в 14:11

А в чём подвох?.. Умножение есть на множестве неотрицательных целых чисел, а вот для любого его подмножества эту операцию никто не обещал.

rdp 4 июл 2023 в 15:20

Нет подвоха. Мне показалось упражнение забавным. Ограничим себя в чём-нибудь и удивимся этому.

alexEtse 4 июл 2023 в 16:25

А :) Ну это да.

А то ж без подготовки будет не столь понятна история о том, что надо таки сделать, чтобы можно стало делить на ноль...

CaptainFlint 4 июл 2023 в 21:30

Поэтому математики научились себя ограничивать так, чтобы удивляться поменьше. :-)
Обычно рассматриваются такие системы, в которых результат операции над двумя элементами множества находится в самом этом множестве. Впрочем, и это необязательно, изучаются и такие функции, которые по двум элементам множества возвращают элемент какого-то совсем другого множества.

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

bigcrush 4 июл 2023 в 14:29

Простое - не представимо в виде произведения меньших него(не считая единицы).

sepuka 4 июл 2023 в 14:38

В определении простого числа присутвует упоминание натуральных чисел, не?

bigcrush 4 июл 2023 в 14:49

Так и есть, натуральные числа не при чём. Понятие "простое" годится для любых числовых систем, для любого алгебраического кольца.

sepuka 4 июл 2023 в 18:01

Вы там и математику импортозаместить решили? У простого числа есть одно конкретное определение: это натуральное число и далее по тексту.

-1

alexejisma 6 июл 2023 в 10:18

Ну тут имеется в виду немного другое. В алгебре вводят понятия кольца и евклидова кольца (кольцо с определенной на нем нормой, удовлетворяющей паре свойств) и уже в рамках евклидова кольца доказывают существование и единственность разложения на простые с точностью до умножения на обратимые элементы поля (например, x^2 = (x) * (x) = (x / 2) * (2 x) = ... в кольце многочленов). Но перед этим дается определение простого элемента:

Необратимый ненулевой элемент p целостного кольца называется простым, если он не может быть представлен в виде p = ab, где a и b –– необратимые элементы

Поэтому в кольце целых чисел простыми являются числа вида ±p. Так что не обязательно простое число является натуральным. Тут просто дело в том, что в школах обычно существенно упрощают, убирая из рассмотрения отрицательные числа, так как это только запутать может.

Milliard 4 июл 2023 в 21:01

С $1±\sqrt{-3}$ не самый удачный пример, т.к. мнимая часть не целая. Так можно и не выходя на комплексную плоскость привести примеры разложения, например или $9=\sqrt{3}⋅\sqrt{3}⋅\sqrt{3}⋅\sqrt{3}$ .

Но среди комплексных чисел куча примеров разложений и с целыми компонентами. или .

mk2 4 июл 2023 в 23:15

В таком случае 3 не является простым числом, потому что $3=\sqrt[]{3}*\sqrt[]{3}$ .

С действительными или алгебраическими числами проблема в другом, непонятно где остановиться. Например $\sqrt{3}=\sqrt[4]{3}*\sqrt[4]{3}$ и следовательно само не является простым.

Благодаря @i-netay у нас есть свойство "обратимость" и уточнённое определение единственности разложения. Понятно, что обратимыми в этих множествах являются примерно все, кроме 0 - соответственно под уточнённое определение мы гарантированно не попадаем.

P.S. Отдельная благодарность Хабру за то, что в старой версии сайта TeX формулы в Markdown не работают.

i-netay 5 июл 2023 в 10:56

Смотря в каком кольце. Если в $\{a+b\sqrt{-3}, a, b \in \mathbb{Z}\}$ , то да. В этом кольце есть норма $||a+b\sqrt{-3}|| = a^2 + 3b^2$ , она мультипликативна (то есть $||ab||=||a||\cdot||b||$ ), всегда принимает целое значение и для $\sqrt{-3}$ равна , а если норма с такими свойствами числа простое целое, то само число простое в кольце с нормой.

Если, например, в $\mathbb{C}$ , то нет, потому что там нет простых чисел: в полях нет необратимых элементов, кроме .

DzenO 4 июл 2023 в 16:23

Таким образом можно разложить любое натуральное число. Однако встаёт вопрос о единственности. Что, если раскладывать на множители по-другому? Например,

Ну сколько помню правило про умножение гласит что от перестановки множителей произведение не меняется, так же как при сложении от перестановки слагаемых.

CaptainFlint 4 июл 2023 в 21:17

Для обычных чисел — да. Для других математических объектов — уже не всегда. Скажем, умножение матриц некоммутативно, и A•B может быть не равно B•A.

nin-jin 5 июл 2023 в 07:57

Произведение Адамара вполне себе коммутативно. Уместно ли вообще называть умножением некоммутативную операцию - хороший вопрос.

Refridgerator 5 июл 2023 в 08:16

Почему под умножением матриц по умолчанию понимается именно матричное произведение, а не Адамара, хотя оно по смыслу намного ближе — тоже интересный вопрос.

Gay_Lussak 6 июл 2023 в 10:18

Адамарово произведение имеет куда меньшее применение, может быть поэтому. Не в каждом учебнике можно найти упоминание про Адамара.

i-netay 5 июл 2023 в 11:02

Уместность -- исключительно вопрос традиции. Говорить "операция" в неизвестной ситуации не любят. А если операция одна и отсутствует контекст, то заведомо коммутативную нередко называют сложением, а заведомо некоммутативную обычно умножением. Но появление контекста может внести изменения. Например, когда речь про моноид мономов в кольце многочленов, он обычно коммутативен, но их всё-таки перемножают.

nin-jin 5 июл 2023 в 11:31

Нет, это вопрос порядка в мозгах. Выводить сложение и умножение через коммутативность - это сильно, конечно.

alexEtse 7 июл 2023 в 11:49

Вообще допустимо, на самом деле. Т.к. в одном варианте аксиоматики коммутативность умножения вообще доказывается. Но можно взять другую аксиоматику, в которой умножение действительных чисел аксиома, а вот то, что было аксиомами в предыдущем предложении - теперь доказывается.

А главное, помимо действительных чисел существует еще много видов чисел. В некоторых на них можно делить на ноль, например - но свойства операций с такими числами будут достаточно непохожи на таковые с действительными числами. Например, даже сложение может оказаться некоммутативным.

Так что выбор, что назвать сложением, а что умножением - в значительной степени вкусовщина и традиция. Можно вообще попробовать обойтись без слов "сложение" и "умножение", но будет сильно непривычно.

antiquar 4 июл 2023 в 16:34

Есть обобщение основной теоремы арифметики на более экзотические кольца, теорема Ласкера (Ласкер тот самый, шахматист). Почитать можно в книжечке Атья, Макдональд.

i-netay 4 июл 2023 в 22:44

Тут прямо просится дополнение.

В тексте говорится о системах, замкнутых относительно умножения -- о полугруппах (есть множество, ассоциативная операция, в общем-то всё, мультипликативная система, если операцию мы назвали умножением), к которым, конечно, относятся степени двойки и "наоборот" -- нечётные числа. Наоборот в том смысле, что они пересекаются по единице и вместе порождают натуральные числа. Однако полугруппы рассматриваются в другом контексте, чем более "повседневная" структура -- кольцо, где есть сложение и умножение, часто связываемая с видом чисел не "внутри" (как чётные в целых), а в целом -- целые, рациональные...

Основная теорема арифметики нередко формулируется для целых, а не натуральных. Но как быть с тем, что $6=2\cdot3=(-2)\cdot(-3)$ Это два разложения. А что с множителями? Ведь тоже простое, как и . Этот вопрос решается в алгебре понятием идеала (подмножество, где можно умножать и складывать), где мы можем выбрать образующую -- чиселку, умножением на которую получаются все. Мы можем выбрать и и С этим хорошо, выкрутились :) Хотя научно это называется не "выкрутились", а "формализовали и дали строгое определение", хотя разница не очень большая.

С представлением в виде произведения меньших его чисел в определении тоже есть момент с целыми и знаками. Ведь же произведение и так что же, не простое? Они ж меньше! И вот тут алгебра "выкручивается" введением обратимости: число обратимо, если имеет обратное. Обратимых целых всего два -- $\pm1$ Если представлять число как произведение необратимых, то всё ок. Разложение единственно, если оно единственно на меньшие или равные необратимые с точностью до домножения их на любые обратимые элементы и перестановок. И вот так оно работает без других оговорок полностью (в кольцах главных идеалов).

Зачем появляются вот эти все слова: идеал, обратимость, образующая? Они нужны, чтобы понятия имели однозначные определения без разных трактовок. Они и были придуманы, чтобы не было разных определений и многих случаев, чтобы всё подчинялось общему правилу. Так нам (алгебраистам) проще работать. Если начать копаться, то это упрощение, а не усложнение, и всё становится на свои места, ради чего и городится огород.

Как говорится в тексте, мы легко получаем, что кольцо целых имеет единственное разложение на простые, если в нём можно делить с остатком, тогда запускаем алгоритм Евклида, и он заканчивается. И так в более общем случае, где мы можем "выкрутиться" -- придумать деление с остатком.

Свойство кольца иметь деление с остатком (и потому алгоритм Евклида) называется евклидовостью, а единственность разложения на простые множители -- факториальностью (не потому что "факториал", а потому что "фактор" -- делитель). И аналогично лемме выше любое евклидово кольцо факториально. Если можете делить с остатком, то можете раскладывать на простые множители. Однако обратное неверно, но это существенно сложнее этого материала, так что за этим лучше обращаться в специальную литературу (по алгебраической геометрии или алгебраической теории чисел).

В моей памяти курсов мехмата и не только эйлеровыми называются целые с $\sqrt{-1}$ , а там история несколько другая, чем $\sqrt{-3}$ .

У меня как-то была история с простыми числами: в ларьке ночью при продаже пива меня продавщица спросила, не могу ли я разложить несколько чисел на простые множители. Она не пыталась взламывать RSA (алгоритм шифрования, основанный на основной теореме арифметики: разложить большое число на простые множители не так-то просто, а сложность задачи может подтвердить, что знающий правильный ответ не смог его подобрать на ходу), а хотела помочь дочери в школе. И ей удалось быстро разобраться, как это делать, чтобы дальше делать самой и объяснить дочери))

Refridgerator 5 июл 2023 в 08:07

C комплексными числами можно было придумать пример и поинтереснее. Например: (1+6i)*(1-6i) = 37 (простое число).

klimkinMD 5 июл 2023 в 14:46

В сухом остатке:

Так ли очевидна основная теорема арифметики? И всегда ли она верна?

Нет, не очевидна, поэтому и теорема (иначе была бы аксиомой:-)).
Да, всегда верна. Теорема доказана.

MasterMentor 6 июл 2023 в 15:44

А что неочевидного?

Определения (аксиомы):

а) "натуральное число" === "целые положительные числа" (далее - "множество N", либо, что тоже самое, вместе с операциями +* и "нулевым элементом" - "поле N")

б) "деление" - бинарная операция обратная "умножению", либо, что то же самое, отношение, ставящее в соответствие подмножеству пар из декартового квадрата NxN число N (далее - "отношение Div").

Отметим, что результат "деления" "закольцован" т.е. полученное "делением" число лежит в N.

в) "простое число" === "натуральное число, котрое отлично от 1 и делится без остатка только на 1 и на само себя" (далее - "множество Np").

То есть "деление" с "условиями" "делится без остатка только на 1 и на само себя" выступает "характеристической функцией", множества Np.

То есть мы имеем набор(ы) "троек" из N, лежащих в подмножестве отношения Div.

Доказательство

По аксиомам задачи N разбито 2 подмножества:

элементы первого лежат в Np
элементы второго не лежат в Np

Для случая 1) теорема доказана.

Путь, применяя операцию "деление" к произвольному числу, мы всегда получаем число, лежащее в 2), и составим ряд из этих чисел. Отметим, что полученный ряд упорядочен и сходится либо к числу "1" либо к числу "2", что есть случай 1).

Для случая 2) теорема доказана.

Конец доказательства. Оно тривиально. :)

PS Конечно, чтобы считать это "математикой" следовало переписать доказательство полностью через отношения т.е. "комбинаторно".

MasterMentor 6 июл 2023 в 12:06

>>Эйлер вышел в комплексную плоскость... Он молчаливо предполагал, что для них тоже верна основная теорема арифметики.

Предлагаю не домысливать за "Эйлера". Что Эйлер "предполагал" и посчитал нужным нам сообщить, он изложил в своих работах (книгах).

PS Обоснованно полагаю, что Эйлер был не настолько глуп, чтобы без проверок и доказательств распространять правило, применимое к математически объектам из поля натуральных чисел, к математическим объектам совершенно иной природы - т.н. многокомпонентным конструкциям, которые никакого отношения - ни по своей конструкции - ни по операциями над ними - к натуральным числам не имеют (либо имеют весьма опосредованное отношение).

А то слишком далеко можно пойти: сначала "молчаливо предположить", что все правила для натуральных чисел справедливы для многокомпонентных конструкций (комплексные, гиперкомплексные "числа"). А затем "молчаливо" распространить эти правила на "числа" вроде матриц и тензоров. Почему нет?! :)