О функциях

В те времена, когда в университетах среди вступительных экзаменов были устные экзамены по математике, абитуриентов нередко просили в одной системе координат нарисовать графики двух степенных функций и . И здесь следовало не спешить. Важно, что на интервале выполняется неравенство и здесь кубическая парабола лежит ниже квадратичной.

Рассмотрим на этом интервале степенные функции , где $n \in N$ . Каждая из этих функций возрастает, её график соединяет точки и . На интервале выполняется неравенство $x^{n+1}<x^n$ , каждый следующий график лежит ниже предыдущего (рис.1).

В каждой точке $x_0 \in (0;1)$ числовая последовательность значений функций $\{x_0^n\}$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем . При этом при любом . Если наблюдать за последовательностью функций в каждой фиксированной точке отрезка $0 \leq x \leq 1$ , то приходим к функции

$f(x) = \begin{cases} 0, \;если \; x \in [0;1)\\ 1, \; если \; x=1 \end{cases},$

которая называется предельной функцией для функциональной последовательности (рис.2).

Откажемся теперь от рассмотрения наших функций при фиксированном значении аргумента, а посмотрим на ситуацию шире – будем наблюдать за графиками функций на отрезке $0 \leq x \leq 1$ .

Можно сказать, что все эти графики закреплены в точкахи и каждый следующий график $f_{n+1}(x) = x^{n+1}$ получается из предыдущего так, словно, на него накинули крючок и подтягивают его к точке подобно лодке или неводу, вытаскиваемым на берег. Примечательно, что с увеличением графики функций неограниченно приближаются к двум отрезкам на плоскости – горизонтальному и вертикальному, показанным на рис.3. Эти отрезки - нижняя и правая стороны единичного квадрата, который задаётся неравенствами $0 \leq x \leq 1$ , $0 \leq y \leq 1$ .

Предположим, мы хотим, чтобы график функции при некотором значении располагался в полосе шириной $0,1 \;,$ показанной на рис.3. Ясно, что так оно и будет, как только будет выполнено неравенство Выясним, когда последнее неравенство будет наверняка выполнено, не стараясь найти наименьшее .

Считаем без калькулятора: $0,9^2 = 0,81 \; , \; 0,9^4 = 0,6581 < 0,7.$ Следовательно, . Степени числа 2 нам хорошо известны: . Отсюда следует, что

$(0,9^8)^4 < \frac 1 {2^4} = \frac 1 {16} < 0,1 .$

Следовательно, начиная с (на самом деле раньше) графики попадут в выбранную нами полосу.

Явление Гиббса

Об этом явлении в книге [1] читаем следующее: “Занимаясь… расчётами, Дж. Гиббс обнаружил экспериментально следующий поразительный факт (сегодня называемый “явлением Гиббса”, но не входящий, к сожалению, в курсы математического анализа):
предел графиков функций сходящейся последовательности может серьёзно отличаться от графика предельной функции.

Дело, разумеется, в том, что последовательность может сходиться неравномерно. Гиббс заметил это, разлагая разрывную функцию в ряд Фурье”.

Мы же сейчас обнаружили это явление, рассматривая степенные функции. Для последовательности степенных функций предел графиков – это два отрезка единичной длины, горизонтальный и вертикальный. График предельной функции – это тот же горизонтальный отрезок без правой концевой точки и точка Согласитесь, эти геометрические объекты действительно “серьёзно” отличаются один от другого. Почему же академик Арнольд назвал это факт поразительным? Потому, что естественно было бы ожидать совпадение предела графиков функций сходящейся последовательности с графиком предельной функции.

О функциях $y = \sqrt[n]{1-x^n}$

Одной из мыслительных операций является обобщение. Если говорить кратко, то это переход от частного к общему. Обобщение происходит исходя из какого-либо свойства. Например, диагонали каждого квадрата делятся точкой их пересечения на равные отрезки. Можно поставить задачу выяснить, какие еще четырёхугольники обладают таким свойством. Так приходим к множеству всех параллелограммов.

Обратимся к двум уравнениям:

$x + y = 1 \;\;\;\; (1)$

и

$x^2 + y^2 = 1. \;\;\;\; (2)$

График первого – прямая линия, график второго – окружность. Каждое из уравнений (1) и (2) – это частный случай уравнения

$x^n + y^n = 1, \;\;\;\; (n)$

где – натуральное число. Будем рассматривать эти уравнения в первой координатной четверти, то есть при неотрицательных значениях аргументов. Наша цель – построение графика уравнения ().

График каждого уравнения () проходит через точки и. В первой координатной четверти каждое такое уравнение определяет функцию:

$g_1(x) = 1-x, \;\;\;\; g_2(x) = \sqrt{1-x^2}, \;\;\;\; g_n(x) = \sqrt[n]{1-x^n}.$

Каждая из этих трёх функций на отрезке $0 \leq x \leq 1$ убывает. Для первых двух это хорошо известно, докажем для .

Если, $0 \leq x_1 < x_2 \leq 1$ , то последовательно получаем: $0 \leq x_1^n < x_2^n \leq 1 ,$ $0 \leq 1-x_2^n < 1 - x_1^n ,$ $\sqrt[n]{1-x_2^n} < \sqrt[n]{1-x_1^n},$ то есть . Последнее неравенство и доказывает, что функция является убывающей.

Взаимное расположение графиков функций и $g_2(x) = \sqrt{1- x^2}$ хорошо известно: дуга окружности лежит выше хорды. Аналогичным образом расположены и графики функций и $g_{n+1}(x).$

Для доказательства рассмотрим в первой координатной четверти луч , где $0 < k < + \infty$ . Этот луч пересекает график функции $g_n(x) = \sqrt[n]{1-x^n}$ в единственной точке, абсциссу которой обозначим Также этот луч пересекает график функции $g_{n+1}(x) = \sqrt[n+1]{1-x^{n+1}}$ в единственной точке, абсциссу которой обозначимСоответственно имеем уравнения

$a^n + (ka)^n=1 \;\; и \;\; b^{n+1}+(kb)^{n+1}=1, \;\; или$ $a^n(1+k^n)=1 \;\; и \;\; b^{n+1}(1+k^{n+1})=1.$

Сравнивая две пары множителей с одним и тем же произведением, приходим к неравенству

Это означает, что луч сначала пересекает график функции а затем график функции $g_{n+1}(x).$

Отсюда легко получить, что на интервале выполняется неравенство

$g_n(x)= \sqrt[n]{1-x^n} < g_{n+1}(x) = \sqrt[n+1]{1-x^{n+1}}. \;\;\; (3)$

Рассмотрим последовательность значений наших функций $g_n(x_0) = \sqrt[n]{1-x_0^n}$ при

фиксированном $x_0 \in (0;1).$ Последовательность их логарифмов $\frac {ln(1-x_0^n)} n$ сходятся к нулю, следовательно, последовательность сходится у 1.

Это означает, что для последовательности функций $g_n(x) = \sqrt[n]{1-x^n}$ на отрезке $0 \leq x \leq 1$ предельная функция такова:

$g(x) = \begin{cases} 1, \;если \; x \in [0;1)\\ 0, \; если \; x=1 \end{cases},$

График предельной функции состоит из отрезка $0 \leq x < 1, \;\; y=1$ и точки с координатами (рис.4). И здесь график предельной функции "серьёзно отличается" от предела графиков функций $g_n(x) = \sqrt[n]{1-x^n}$ . Предел графиков - это верхняя и правая стороны единичного квадрата.

Упражнение. На бесконечном интервале $0 < x < + \infty$ рассмотрите последовательность функций $y_n(x) = \exp(-| \ln nx|),$ или $y_n(x) = e^{-| \ln nx| }.$ Нарисуйте график предельной функции и предел графиков этих функций.

ЛИТЕРАТУРА

Арнольд В.И. Математическое понимание природы: Очерки удивительных физических явлений и их понимание математиками (с рисунками автора). - 2-е изд., исправл. - М.: МЦНМО, 2010, - 144 с.

Автор: Сегрей Владимирович Дворянинов, к. ф.-м. н.
Статья подготовлена при поддержке ШАД Хелпер

О функциях, их графиках и явлении Гиббса