poo_factor 21 авг 2023 в 10:22

Гравитация 1D — метрика и поле сил

Средний

4 мин

2.6K

Аналитика

Слово метрика в заголовке обозначает геометрию неевклидового простраства-времени. Если имеется однородное и постоянное во времени гравитационное поле с напряженностью g (Fig. 1), то под его действием частица с массой покоя m₀ начинает ускоряться относительно инерциальной системы отсчета и характер движения не зависит от m₀. В классической механике это равноускоренное движение, в релятивистской ускорение непостоянно. Независимость формы траектории от массы весьма примечательна и является результатом кривизны пространства.

Один из аргументов в пользу криволинейности основан на эквивалентности однородного поля равноускоренной системе отсчета. Директора некоего космического агенства вместе со стулом помещают в ракету, ракета движется ускоренно, но директор сообщает, что находится в покое под действием силы тяжести. Так как траектории световых лучей в ускоренной системе не прямолинейны, следовательно, пространство в гравитационном поле должно быть неевклидовым, в том числе и пространство с однородным гравитационным полем. Но какой метрический тензор соостветсвует стационарному однородному полю? Свободное падение в таком прострастве должно быть наблюдаемо как релятивисткое движение под действием некоторой силы. Естесвенно предположить что это сила постоянна и равна m₀g. А какая кривизна соответствует такой силе?

В статье [1] (https://habr.com/en/articles/741348/, совместно с Владимир Комен, @vkomen) было показано, что не существует метрики соответсвующей релятивисткому движению под действием постоянной силы. А именно, движение исключительно в направлениии поля возможно представить как результат кривизны. Однако, если у частицы есть начальная скорость в перпендикулярном полю направлении, соответствующей кривизны нет. Можно заключить, что либо стационарное однородное поле, либо сила действующая на частицу, не определены корректно. Или же релятивистское движение в плоском прострастве не может быть эквивалентно свободному падению в искривленном.

В этой статье я анализирую последнее утверждение. А именно определяю метрику и класс сил, движение под действие которых может быть представлено как действие искривленного пространства даже при наличии поперечного движения. Как и раньше, анализ ограничен стационарным полем, и компоненты метрического тензора зависят от одной координаты. В результате показано, что имеются силы, действие которых в плоском пространстве дает такую же динамику как и падение в криволинейном. Если интервал записать как

$ds^2=g_{00}(y)c^2dt^2-g_{11}(y)dy^2-dx^2-dz^2$

То метрика

$g_{11}=\frac{g_{00}}{1+g_{00}}\hspace{1mm},\hspace{5mm}\frac{dg_{00}}{dy}=-\frac{2kg_{00}}{\sqrt{1+g_{00}}}\hspace{1mm},\hspace{5mm}g_{00}(0)=1\hspace{1mm},\hspace{5mm}k>0$

и поле сил

$F(y)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\frac{2km_0 c^2}{\sqrt{1+g_{00}}}$

где v - скорость в инерциальной системе, механически эквивалентны. Далее изложен вывод. Рассмотренное ранее уравнение движения под действием постоянной силы [2] (https://habr.com/en/articles/739714/, совместно с Владимир Комен, @vkomen):

$\frac{d}{dt}\left( \frac{m_0 \dot {y}}{\sqrt{1-\dot {y}^2 /c^2}} \right)=m_0 g \hspace{110 mm}$

где c скорость света в пустоте, $\dot{y}$ - скорость частицы вдоль у, а точка обозначает прозводную по мировому времени t, является частным случаем общего 4-инвариантного уравнения

$\frac{d}{d\tau}p^{\mu}=F^{\mu}\hspace{140 mm} (1)$

где дифференцал собсвенного времени

$d\tau =dt\sqrt{1-v^2/c^2},\hspace{5mm}v^2={\dot x}^2+{\dot y}^2+{\dot z}^2\hspace{80 mm}$

и компоненты 4-силы:

$F^0=\frac{{\textbf F}{\textbf v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\hspace{1mm},\hspace{1mm} F^1=\frac{F_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\hspace{1mm},\hspace{1mm} F^2=\frac{F_x}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\hspace{1mm},\hspace{1mm} F^3=\frac{F_z}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\hspace{1mm}(2)$

где F есть сила в мгновенной системе отсчета, движущейся вместе с частицей (система покоя). Компоненты 4-импульса

$p^0=\frac{m_0 c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\hspace{1mm},\hspace{1mm} p^1=\frac{m_0 {\dot y}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\hspace{1mm},\hspace{1mm} p^2=\frac{m_0 {\dot x}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\hspace{1mm},\hspace{1mm} p^3=\frac{m_0 {\dot z}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\hspace{1mm}(3)$

Уравнение (1) для p⁰

$\frac{d}{dt}\left(\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right)={\textbf F}{\textbf v}\hspace{100mm}$

является следствием уравнений (1) для p¹, p², p³ и утверждает, что скорость изменения енергии частицы равна мощности силы. Здесь рассмотрена только сила с одной ненулевой компонентой F_y(y), зависящей только от у. Тогда компоненты импульса p_x, p_z постоянны:

$\frac{m_0 {\dot x}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=p_{x0}\hspace{1mm},\hspace{5mm} \frac{m_0 {\dot z}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=p_{z0}\hspace{80mm}$

находим отсюда выражения для скоростей

${\dot x}=\frac{p_{x0}c^2}{E_0}\sqrt{1-{\dot y}^2/c^2}\hspace{1mm},\hspace{5mm} {\dot z}=\frac{p_{z0}c^2}{E_0}\sqrt{1-{\dot y}^2/c^2}\hspace{55mm}(4)$

где введена начальная энергия

$E_0/c=\sqrt{m_0^2 c^2 +p_{x0}^2 +p_{z0}^2}\hspace{100mm}(5)$

в частности, из (4) следует

$\sqrt{1-v^2/c^2}=\frac{m_0 c^2}{E_0}\sqrt{1-{\dot y}^2/c^2}\hspace{85mm}(6)$

что позволяет переписать уравнение для p_y =p¹

$\frac{d}{dt}\frac{m_0 {\dot y}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=F_y (y)\hspace{100mm}(7)$

в виде

$\frac{d}{dt}\frac{ {\dot y}}{\sqrt{1-{\dot y}^2/c^2}}=\frac{c^2}{E_0}F_y (y)\hspace{90mm}(8)$

Решение этого уравнения

${\dot y}=c\sqrt{1-1/\epsilon^2(y)}\hspace{1mm},\hspace{1mm} \epsilon(y)=1+\frac{1}{E_0}\int_{0}^{y}F_y (\eta)d\eta \hspace{50mm}(9)$

Здесь \epsilon есть нормированная энергия E(y)/E₀. Из (9) следует, что

$1/\epsilon^2(y)=1-{\dot y}^2/c^2\hspace{100mm}$

Значит, подставляя это равенство в (4), получим для поперечных скоростей

${\dot x}=\frac{p_{x0}c^2}{E_0}\frac{1}{\epsilon(y)}\hspace{1mm},\hspace{5mm} {\dot z}=\frac{p_{z0}c^2}{E_0}\frac{1}{\epsilon(y)}\hspace{80mm}(10)$

запишем (9-10) в форме дифференциалов

$cdt=\frac{\epsilon(y)dy}{\sqrt{\epsilon^2(y)-1}}\hspace{1mm},\hspace{1mm} dx=\frac{p_{x0}c}{E_0}\frac{dy}{\sqrt{\epsilon^2(y)-1}}\hspace{1mm},\hspace{1mm} dz=\frac{p_{z0}c}{E_0}\frac{dy}{\sqrt{\epsilon^2(y)-1}}\hspace{5mm}(11)$

рассмотрим теперь падение в криволинейном пространстве с метрикой

$ds^2=g_{00}(y)c^2dt^2-g_{11}(y)dy^2-g_{22}(y)dx^2-g_{33}(y)dz^2\hspace{40mm}(12)$

Траекторию определим, как и в [1], [3] (https://habr.com/en/articles/739700/, совместно с Владимир Комен, @vkomen) использя уравнение Гамильтона Якоби

$g^{00}\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial S}{\partial t} \right)^2+ g^{11}\left(\frac{\partial S}{\partial y} \right)^2+ g^{22}\left(\frac{\partial S}{\partial x} \right)^2+ g^{33}\left(\frac{\partial S}{\partial z} \right)^2=m_0^2 c^2 \hspace{20mm}(12)$

учитывая, что

$g^{00}=1/g_{00}\hspace{1mm},\hspace{5mm}g^{11}=-1/g_{11}\hspace{1mm},\hspace{5mm} \hspace{5mm}g^{22}=-1/g_{22}\hspace{1mm},\hspace{5mm}\hspace{5mm} g^{33}=-1/g_{33}\hspace{20mm}$ $\partial S/\partial t = -E_0\hspace{1mm},\hspace{5mm}\partial S/\partial x = p_{x0}\hspace{1mm},\hspace{5mm} \partial S/\partial z = p_{z0}\hspace{60mm}$

ищем действие S в виде

$S=-E_0 t+xp_{x0}+zp_{z0}+S_y(y)\hspace{80mm}(13)$

подставляя (13) в (12), получим

$\frac{1}{g_{00}}\frac{E_0^2}{c^2}-\frac{1}{g_{11}}\left(\frac{d S_y}{d y} \right)^2 -\frac{p_{x0}^2}{g_{22}}-\frac{p_{z0}^2}{g_{33}}=m_0^2c^2 \hspace{55mm}(14)\\$

откуда

$S_y =\int_{0}^{y}d\eta\sqrt{\frac{g_{11}}{g_{00}}}\sqrt{ \frac{E_0^2}{c^2}-\frac{g_{00}}{g_{22}}p_{x0}^2-\frac{g_{00}}{g_{33}}p_{z0}^2 -g_{00}m_0^2 c^2 }\hspace{30mm}(15)$

Уравнения для траектории:

$\partial S/\partial t = t_0 =0\hspace{1mm},\hspace{5mm} \partial S/\partial p_{x0} = x_0 =0\hspace{1mm},\hspace{5mm} \partial S/\partial p_{z0} = z_0 =0\hspace{30mm}(16)$

Используя (13), (15), (16) получим уравнение траектории в дифференциалах

$cdt=\frac{E_0}{c}\sqrt{\frac{g_{11}}{g_{00}}}\frac{dy}{\sqrt{ \frac{E_0^2}{c^2}-\frac{g_{00}}{g_{22}}p_{x0}^2-\frac{g_{00}}{g_{33}}p_{z0}^2 -g_{00}m_0^2 c^2 }}\hspace{70mm}\\ dx=p_{x0}\frac{g_{00}}{g_{22}}\sqrt{\frac{g_{11}}{g_{00}}}\frac{dy}{\sqrt{ \frac{E_0^2}{c^2}-\frac{g_{00}}{g_{22}}p_{x0}^2-\frac{g_{00}}{g_{33}}p_{z0}^2 -g_{00}m_0^2 c^2 }}\hspace{60mm}\\ dz=p_{z0}\frac{g_{00}}{g_{33}}\sqrt{\frac{g_{11}}{g_{00}}}\frac{dy}{\sqrt{ \frac{E_0^2}{c^2}-\frac{g_{00}}{g_{22}}p_{x0}^2-\frac{g_{00}}{g_{33}}p_{z0}^2 -g_{00}m_0^2 c^2 }}\hspace{50mm}(17)\\$

Теперь для того, чтобы найти метрику (12) соответствующую движению (9-10) в плоском пространстве сравним выражения (17) с (11):

Они должны совпадать. Если положить

$g_{22}=g_{33}=1\hspace{140mm}(18)$

то получаем искомые условия

$\sqrt{\frac{g_{11}}{g_{00}}}\frac{1}{\sqrt{1-g_{00}}}=\frac{\epsilon(y)}{\sqrt{\epsilon^2(y)-1}} \hspace{1mm},\hspace{10mm}g_{00}(y)=1/\epsilon(y)\hspace{1mm},\hspace{5mm}g_{11}=\frac{g_{00}}{1+g_{00}}\hspace{10mm}(19)$

Теперь надо потребовать, чтобы метрика удовлетворяла уравнениям поля А. Эйншейна. решения уравнения поля в пустоте при условии (18) были определены в [1]. Такие решения удовлетворяют условию

$\left(\frac{dg_{00}}{dy} \right)^2\frac{1}{g_{00}g_{11}}=4k^2, \hspace{5mm} k>0\hspace{95mm}(20)$

Из (19) и (20) получим в итоге для убывающей с ростом у функции g₀₀:

$\frac{dg_{00}}{dy}=-\frac{2kg_{00}}{\sqrt{1+g_{00}}}\hspace{120mm}(21)$

Выражениe (21) и есть условие для определения метрики криволинейного пространства свободное падение в котором имеет ту же динамику, что и релятивистское движение в плоском пространстве под действием силы F_y(y). Сама же функция (21) не зависит от силы явно. Поэтому вид силы надо найти из (19):

$\epsilon=1/g_{00}=1+\frac{1}{E_0}\int_0^y F_y (\eta)d\eta\hspace{90mm}$

продифференцировав это равенство по у и используя (21), найдем

$F_y(y)=\frac{2kE_0}{g_{00}\sqrt{1+g_{00}}}\hspace{110mm} (22)$

Теперь используя (19) и

$\epsilon=1/\sqrt{1-{\dot y}^2/c^2}\hspace{1mm},\hspace{5mm}\sqrt{1-v^2/c^2}=\frac{m_0 c^2}{E_0}\sqrt{1-{\dot y}^2/c^2}$

преобразуем (22)

$\frac{E_0}{g_{00}}=E_0\epsilon(y)=\frac{E_0}{\sqrt{1-{\dot y}^2/c^2}}= \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\hspace{80mm}$

значит

$F_y(y)=\frac{2km_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}\sqrt{1+g_{00}}}\hspace{90mm}(23)$

Формулы (19) и (23) и есть результат этого поста. Существует одномерная метрика и соответствующее соответсвующее ей одномерное поле сил такое, что релятивисткое движение в плоском пространстве под действием сил (23) совпадает со свободным падением в криволинейном пространстве с метрикой (18-19). Заметим, что сила зависит от скорости частицы, то есть от инертной массы в инерциальной (лабораторной) системе отсчета.

Теги:

Хабы:

Физика

Гравитация 1D — метрика и поле сил

Публикации

Истории

Ближайшие события