Всем нам, технарям, да и не только, глубоко известны в узких кругах такие магические вундервафли как фракталы. Но есть миф о том, что понять всю их математическую подоплеку под силу лишь исчезающе малому числу гениев с 5-тизначным IQ. Сегодня я попытаюсь развеять этот миф без занудной математики на юмористическом языке Кроликов, Сусликов и Пауканов, понятному среднему Спиногрызу в вакууме.
На всякий случай, мало ли кто еще не в курсе. Вундервафля выглядит вот так. Если никогда не слышали о множестве Мандельброта, смело идите на ютуб и гуглите. А еще можно сделать это по ссылкам под статьей.
Чаще всего об этой вундервафле отмечают следующее свойство: она самоподобна. То есть, если вы станете увеличивать её много-много-много, получите её саму. Таким же свойством обладают Снежинка Коха, Полотно Серпинского, Кривая Дракона и много, чего еще...
Наше знакомство с фракталом Мандельброта пройдет в 4 этапа:
Преобразование "комплексной простыни"
О Кролике Жюлиа
Рычажок, "управляющий" фракталом-Кроликом Жюлиа
Жук Мандельброта
Обычно, когда начинают делать вступление на тему фракталов, разговор сперва заходит с понимания комплексных чисел. В данной статье нет необходимости знать, что это такое, но, если вы уже большие дяди с детьми, домами памяти и деревьями Пифагора и шарите за комплексные числа, вам будет проще :)
И все же небольшой вираж в эту сторону придется сделать.
Не вдаваясь особенно в подробности, комплексные числа - это эдакие изгои математики такие, что одна привычная нам еще со школьной скамьи числовая прямая оказалась слишком мала для них всех, из-за чего эти самые комплексные числа выперли на плоскость. Короче, это числа, живущие не на 1д-прямой - а на 2д-плоскости.
А теперь внезапно. Представьте себе простыню. Возьмем баллончик для граффити и малость попортим её клетчатой разлиновкой. Теперь немного сомнем её в рандомных местах. Клеточки скукожились. Если нарисовать на простыне ваш портрет, он станет похож на отражение в комнате кривых зеркал. Поздравляю, мы свершили первое преобразование комплексной плоскости!
Практическая польза от подобного вандализма может быть такой. Наверняка вы помните этот эффект из знаменитой кинокартины про световые сабли и космические корабли, бороздящие просторы космоса, когда тысячелетний сокол прыгает в гиперпространство со скоростью света, и звезды начинает размазывать во все стороны по экрану. Так вот это и есть преобразование комплексной простыни - а точнее её растягивание во все стороны, как будто она резиновая.
Hidden text
Понятно, что начав двигаться с такой скоростью, то есть оседлав фотон, вы окажетесь в кромешной темноте. Время для вас замерзнет и вам будет просто "некогда видеть". Поэтому все эти наивные и смешные задачки для юных физиков про сверхсветовой корабль, который включает фары и видит свет, бьющий обратно в лицо, - не более, чем чья-то шутка и вымысел...
Вводим новую сущность: множество Жюлиа. Это может быть немного больно, но без этого, к сожалению, никуда. Постараюсь, чтобы все было "чик - и все".
Множество Жюлиа получается как раз из таких "колбасящихся" комплексных простыней. Это можно упрощенно представить как круг, который тоже размазали рандомно по плоскости с некоторой отдаленной долей симметричности. Кому интересно увидеть это воотчую - ссылки на все будут внизу. Кстати, в них же лектор называет это множество Кроликом, так как есть неочевидное сходство. Я последую его примеру и буду говорить так же.
Но на самом деле множество Жюлиа многолико. От чего это зависит? Давайте представим себе, что у нас есть некий рычажок. Но не тумблер с двумя состояниями 1 и 0, а именно рычажок, так сказать, аналоговый. И вот мы возим этот рычаг туда-сюда, и Кролик меняется. Вот он только что спокойно сидел, притаившись в траве, а вот уже бежит и прыгает. Иногда его рвет на тысячу маленьких медвежат, которые незамедлительно утараканивают в бесконечность. Это звучит именно так, и нам это еще пригодится, но пока что я буду понятно говорить "Кролик сделал большой прыг и улетел за горизонт".
Проблема в том, что рычаг можно возить не только вверх-вниз, но еще и вправо-влево, по диагонали, по кругу, сикось накось, и вообще, абы как хош. Но! только по плоскости. Ничего не напоминает?.. (комплексные точки и числа вошли в чат). Мне это напоминает вот этот, возможно, немного обидный мем:
Аллилуйя! Мы можем с головой удариться во множество Мандельброта! Бенуа Мандельброт, на сколько я помню, работающий в IBM на крутых-крутых контуперах (по тем временам), пришел и изрек: "хочу видеть все множества Жюлиа!" (до него тоже были попытки это сделать, но не хв��тало вычислительных мощностей, чем не был обделен Мандельброт) Но как же нарисовать их все на одном листе бумаги? И тут Бенуа придумал рисовать не самого Кролика Жюлиа, а все такие положения нашего рычага, когда Кролик еще не убежал и виден невооруженным взглядом. Вспоминаем ту самую формулировку: когда Кролика еще не разорвало на тысячу маленьких медвежат, незамедлительно утараканивших в бесконечность.
И получился Жук Мандельброта.
Еще раз, медленно: Бенуа хотел видеть все те значения, когда Кролик есть. И получился Жук. То есть, пока рычаг внутри Жука, Кролик есть. А как только вышел - то все, улетел. При этом у этого Жука нет четкой границы, это похоже на ту модель, через которую мне в школе пытались объяснить геометрию Лобачевского: чем ближе вы к границе, тем тяжелее вам идти. В математике такие штуки называются открытыми множествами.
То есть еще раз, внимательно: Бенуа интересовала именно черная зона! Не окрестность с вот этими вот красивыми цветными протуберанцами - а именно скучная черная часть. И вообще, изначально она была белая.
Остается последний вопрос: откуда же берутся те самые красочные протуберанцы?.. А это, друзья мои, то, с какой скоростью Кролика рвет на части. Да, он нам уже не виден. Но дело в том, что он может быть нам не виден "с разной скоростью"! Где быстрее - там красное, где по-черепеашьи медленно (нулевая скорость, Кролик виден) - т��м кромешно черное. Тут место скучной математики сменяет творческий полет мысли, и принципов окраски может быть столько же, сколько множеств Мандельброта бывает во множестве Мандельброта.
Вывод-анекдот: поэтому есть простой способ узнать специальность человека, как будто вы Шерлок Холмс. Покажите ему Жука Мандельброта и спросите, что здесь самое важное: черное или цветное. Если вам скажут "цветное", значит ваш оппонент скорей всего дизайнер. А если "черное" - то самый настоящий занудный математик :)
Как и обещал, ссылки:
13 минут предисловия к фракталам, не много о комплексном "бегунке" и о том, где он живет
Передача "Фракталы: поиск новых размерностей"
Фрактальная реальность (симуляция)
Сайт, с которого взяты картинки прочих фракталов в начале
