Все знают, что арифметика верна: 2 + 2 = 4.
Но, как ни странно, мы не знаем, почему это так.
Выйдя за рамки привычных представлений о числах, мы с коллегами недавно показали, что арифметика имеет биологические корни и является естественным следствием того, как организовано восприятие окружающего мира.
Наши результаты объясняют, почему арифметика истинна, и позволяют предположить, что математика — это реализация в символах фундаментальной природы и творческого потенциала разума.
Таким образом, чудесное соответствие между математикой и физической реальностью, вызывающее удивление со времён древних греков и до наших дней, — как это показано в книге астрофизика Марио Ливио «Математик ли бог?» — позволяет предположить, что разум и мир являются частью единого целого.
Почему арифметика универсальна?
Человек создаёт символы для чисел уже более 5500 лет. Известно более 100 различных систем обозначений, которые использовались разными цивилизациями, включая вавилонскую, египетскую, этрусскую, майя и кхмерскую.
В разных культурах сложились свои символы для обозначения чисел, но все они используют сложение и умножение.
Примечательно, что, несмотря на огромное разнообразие символов и культур, все они основаны на сложении и умножении. Например, в привычных нам индусско-арабских цифрах: 1 434 = (1 х 1000) + (4 х 100) + (3 х 10) + (4 х 1).
Почему люди изобретают одну и ту же арифметику снова и снова? Может быть, арифметика — это универсальная истина, которая ждёт своего открытия?
Чтобы разгадать эту тайну, нужно спросить, почему сложение и умножение — это её фундаментальные операции. Недавно мы задали себе этот вопрос и обнаружили, что ни в философии, ни в математике, ни в когнитивных науках нет удовлетворительного ответа, такого, который отвечал бы строгим научным стандартам.
Тот факт, что мы не знаем, почему арифметика истинна, представляет собой критический пробел в наших знаниях. Арифметика является основой высшей математики, которая необходима для науки.
Рассмотрим мысленный эксперимент. Физики будущего достигли цели: создали «Теорию всего» или вывели «уравнение Бога». Даже если бы такая теория смогла правильно предсказать все физические явления во Вселенной, она не смогла бы объяснить, откуда взялась сама арифметика и почему она универсально верна.
Ответы на эти вопросы необходимы для полного понимания роли математики в науке.
Пчёлы дают подсказку
Мы предложили новый подход, основанный на предположении, что арифметика имеет биологическое происхождение.
Многие нечеловеческие виды, включая насекомых, демонстрируют способность к пространственной навигации, которая, по-видимому, требует эквивалента алгебраических вычислений. Например, пчёлы могут отправиться в путь в поисках нектара, но затем вернуться по наиболее прямому маршруту, как будто они могут рассчитать направление и расстояние до дома.
Пчёлы могут интегрировать зигзагообразную траекторию полёта, чтобы вычислить наиболее прямой маршрут возвращения в улей.
Каким образом их миниатюрный мозг (около 960 тыс. нейронов) справляется с этой задачей, неизвестно. Возможно, эти вычисления являются несимволическими предшественниками сложения и умножения, отточенными естественным отбором как оптимальное решение для навигации.
Возможно, арифметика основана на биологии и имеет какие-то особенности, обусловленные тонкой настройкой эволюции.
Выход за рамки
Для более глубокого изучения арифметики нам необходимо выйти за рамки привычного, конкретного понимания и мыслить более общими и абстрактными категориями. Арифметика состоит из набора элементов и операций, которые объединяют два элемента для получения другого элемента.
Почему во вселенной возможностей элементы представлены в виде чисел, а операции — в виде сложения и умножения? Это метаматематический вопрос о самой математике, который может быть решён с помощью математических методов.
В нашем исследовании мы доказали, что четырёх предположений — монотонности, выпуклости, непрерывности и изоморфизма — достаточно, чтобы однозначно выделить арифметику (сложение и умножение над вещественными числами) из вселенной возможностей.
Монотонность — это интуиция «сохранения порядка», которая помогает нам следить за своим местом в мире: когда мы приближаемся к объекту, он становится больше, а когда удаляемся — меньше.
Выпуклость основана на интуиции «промежуточности». Например, четыре угла футбольного поля определяют игровую площадку даже без соединяющих их межевых линий.
Непрерывность описывает плавность перемещения объектов в пространстве и времени.
Изоморфизм — это идея подобия или аналогии. Именно это позволяет нам понять, что кошка больше похожа на собаку, чем на камень.
Таким образом, особенность арифметики состоит в том, что она следствие этих чисто качественных условий. Мы утверждаем, что эти условия суть принципы организации восприятия, которые определяют то, как мы и другие животные воспринимаем мир, своего рода «глубинная структура» восприятия, уходящая корнями в эволюционную историю.
В нашем доказательстве они действуют как ограничения, исключающие все возможности, кроме арифметической, примерно так же, как работа скульптора выявляет статую, «спрятанную» в каменном блоке.
Что такое математика?
Взятые вместе, эти четыре принципа структурируют наше восприятие мира таким образом, чтобы наш опыт был упорядочен и когнитивно управляем. Они подобны цветным очкам, которые формируют и ограничивают наш опыт определённым образом.
Когда мы смотрим через эти очки на абстрактную вселенную возможностей, мы «видим» числа и арифметику.
Эти четыре принципа структурируют наше восприятие мира и в совокупности указывают на арифметику как на абстрактную систему символов, отражающую эту структуру.
Таким образом, полученные нами результаты показывают, что арифметика имеет биологическую основу и является естественным следствием того, как структурировано наше восприятие.
Хотя эта структура является общей для других животных, математику придумали только люди. Это самое сокровенное творение человечества, воплощение в символах фундаментальной природы и творческого потенциала разума.
В этом смысле математика одновременно и изобретена (уникально человеческая), и открыта (биологически обусловлена). Кажущийся чудесным успех математики в физических науках намекает на то, что наш разум и мир не разделены, а являются частью единого целого.
Арка математики и науки указывает на недуализм — философскую концепцию, описывающую связь разума и Вселенной в целом, а также иллюзию разделения. Это соответствует многим духовным традициям (даосизм, буддизм) и системам знаний коренных народов, таким как матауранга маори.
