Введение
Наверное, среди бывших и нынешних студентов технических университетов, найдутся те, кто помнит приятное ощущение, когда кажущаяся сложной в начале математическая конструкция разложилась по полочкам и стала предельно ясной! Попробуем сложить простую картину взаимосвязи понятной с первых курсов векторной геометрии и таких материй, как алгебры Клиффорда, кватернионы и спиноры.
Интерес начался со статьи «Единый математический язык для физики и инженерного искусства в 21 веке». Очень удобно, когда векторы можно переставлять местами в произведении и даже делить друг на друга, а повороты так и вообще задаются простейшими формулами. Но...
«Язык математики сегодня имеет много диалектов в виде различных алгебраических систем. Каждая из них разрабатывалась для решения своего класса задач и обладает своими достоинствами и недостатками» - рассказывает автор научной статьи «Геометрическая алгебра — язык творческого мышления» .
При первом прочтении этой статьи лично у меня сложилось впечатление, что все очень интересно, но очень непонятно. А когда я собрал несколько десятков книг с этими "многими диалектами", "ДЕСЯТКОВ КНИГ, И КАЖДАЯ НА НЕСКОЛЬКО СОТЕН СТРАНИЦ, КАРЛ!", то как то посвящать всю жизнь чтению, забросив работу и семью, желание не появилось.
На тот момент в моей голове, несвязанно друг с другом, проживали знания по комплексному анализу, векторной геометрии и иже с ней линейной алгебре, которые заложили еще в университете, не объяснив взаимосвязи. Так же, в общих осях, была понятна концепция кватернионов, изученная самостоятельно. Цель была - согласовать в собственной голове эти знания друг с другом, и с этой вот новой для меня дисциплиной, ради практического применения. Вот бы, думаю, найти автора, который на нескольких страницах объяснит, как это работает, чтобы не пришлось нырнуть в продвинутый математический аппарат. И частично это получилось благодаря статье «О спинорах человеческим языком». За что большое спасибо @flx0.
Если вы столкнулись с упомянутыми названиями в первый раз, то рекомендую просмотреть статьи, ссылки кликабельны.
Сокращения: АК-алгебры Клиффорда, ГП – геометрическое произведение, ГА – геометрическая алгебра
Тождество Лагранжа, разложение вектора по направлению другого вектора
Для наглядности пусть A=C=r, B=v, где r - радиус вектор материальной точки, v - ее скорость. Далее коммутативность скалярного произведения и антикоммутативность векторного/внешнего произведения применяются без пояснений, для краткости.
Таким образом тождество Лагранжа позволяет разложить вектор по направлениям относительно другого вектора на параллельную и перпендикулярную ему компоненту. По схеме можно проверить, что получаемые векторы — это правая тройка векторов.
Геометрическое произведение и кватернионы
Выражение похожее на «АБЦ = БАЦ минус ЦАБ» создает и геометрическое произведение (далее ГП), применяемое в алгебрах Клиффорда (далее АК), с тем отличием, что вместо векторного произведения применяется внешнее произведение.
Нырнуть в математику все же пришлось, и ушло три месяца, чтобы осознать взаимосвязи. При этом оказалось, что есть нечеткость определения для внешнего произведения в русскоязычной статье в Википедии «Векторное произведение» по сравнению с определением в англоязычной статье Википедии «Geometric algebra» и учебника по геометрической алгебре и (см. в конце статьи). А в некоторых учебниках даже отождествили внешнее и векторное произведение для трехмерного пространства. Не буду их приводить, потому, что есть нюанс, но о нем позже :)
Вот что получится, если записать векторного и внешнего произведений ориентируясь на русскоязычную статье в Википедии
Из этого может неверно показаться, что
Забегая вперед правильное выражение
Запишем выражение для тройного ГП
Аналогичный способ изложен в статье «О спинорах человеческим языком», где вводится важное понятие |что компонента "v" параллельная "r" коммутирует, а перпендикулярная антикомутирует с "r"|, и сразу применятся
Запишем вместе выражения для двойного ГП (vr), тройного ГП (rvr) и тождества лагранжа
То есть тройное ГП означает то же, что и тождество Лагранжа, но обращенное по бивекторной компоненте, то есть “сопряженное относительно вектора r” по аналогии с комплексным сопряжением.
С учетом того, что в АК бивектор это мнимая величина и одновременно оператор поворота на 90 градусов в плоскости бивектора против часовой стрелки, это так же похоже на комплексные числа. Поэт��му двойное ГП можно рассматривать как комплексное число, снабженное дополнительным свойством антикоммутативности умножения разных мнимых компонент.
Если же радиус вектор заменить на его единичный вектор, то из тройного ГП (rvr) и тождества Лагранжа получим разложение вектора скорости по направлениям этого единичного вектора в чистом виде. Что то же самое, что деление выражений выше на квадрат длины радиус-вектора.
Можно видеть, что получится не одно и то же, если преобразовывать двойное и тройное ГП по формулам (*) и (**). В случае (rvr) будет получаться разный знак перед векторным произведением, а в случае (vr) векторное произведение будет вещественной или мнимой величиной.
Теперь, запишем выражение для двойного ГП и развернем его разложение по базису
Если считать бивекторы единичными кватернионами
Пересортировав, получим разложение вектора по кватернионному базису, аналогичному разложению по трем взаимно перпендикулярным комплексным плоскостям
В результате операции мы можем автоматически получать разложение движения на поступательное и вращательное. А единичные кватернионы помечены штрихами, так как через несколько абзацев появится величина без штриха. Направляющие косинусы
Отсюда несложным образом следует спинорное разложение, подробно изложенное в статье «Геометрическая алгебра — язык творческого мышления».
Альтернативная формулировка разложения: если еше раз пересортировать компоненты по номерам направляющих косинусов, получится нечто, что можно назвать разложением по «сдвоенным кватернионам», где вещественные компоненты так же отвечают за поступательное движение, а единичные кватернионы отвечают за вращательное движение в своих плоскостях относительно выбранного начала координат.
Например, если умножить последнее выражение на массу и квадрат радиус-вектора, то получим выражение для момента импульса сложного движения.
И вот обещанный нюанс.
Матрицы Паули в качестве спинорного базиса для разложения вектора
Было неожиданно, когда я, прочитал про связь геометрической алгебры с матрицами Паули в учебнике и потом в англоязычной статье в Википедии. До момента прочтения мне казалось, что матрицы Паули — это что-то из области квантовой физики, а именно из уравнений Максвелла. Поэтому увидев их в учебнике по математике, заинтересовался. Ведь это означает фундаментальный смысл этих матриц во всей физике, а не только в квантовой.
Разложение векторов, выражаясь математическим языком, в базисе матриц 2х2, выглядит так
А векторное и двойное векторное произведения в таком базисе
И, вуаля, можно видеть, что последнее является тождеством Лагранжа, правда перед тем как оно приводится в учебнике в таком виде, следует несколько страниц пояснений.
Так так как публикация не должна быть слишком длинной, вопрос базиса в матрицах 2х2 это тема для отдельного экскурса в линейную алгебру. Этот вопрос выходит за рамки данной статьи. Как и вопрос того, что в англоязычной статье в Википедии «Cross product»
Подведем итог: есть нереально удобный матаппарат, по сравнению с векторной геометрией, и им крайне мало кто пока пользуется (я узнавал у знакомых в МФТИ и МГТУ). И причин тому много. А ведь, даже в этой небольшой публикации: есть простой способ делать операцию сопряжения, есть возможность переставлять векторы в любом виде произведений, есть скалярное произведение без потери информации о координатах проекций (если все-таки не пользоваться необдумано свойством)
и все с понятной геометрической интерпретацией, при желании ее получить. Применять же можно, хоть в образовательных целях, хоть в практических, для любого направления физики связаного с векторным инструментарием.
Ссылки на источники:
1. «От алгебры Клиффорда до атома водорода» Г.Казанова, 1997.
3. «Геометрическая алгебра — язык творческого мышления»
4. «О спинорах человеческим языком»
5. «Единый математический язык для физики и инженерного искусства в 21 веке»
6. «Матрицы Паули»
7. «Векторное произведение» и «Cross product»
8. Мне лично очень помогло: «Основы теории алгебр Клиффорда и спиноров» Д.С. Широков.»
