Методика нахождения потерь в обмотке дросселя вследствиe скин-эффекта и эффекта близости

При расчетах трансформаторов и дросселей в силовой электронике очень часто сталкива­ешься с необходимостью нахождения потерь в данных элементах и зачастую используются в основном только омические, разработчики ¹часто забывают о потерях при поверхностной проводимости, потерях, связанных с эффектом близости, эффектом выпучивания магнитного поля из зазора сердечника и перезарядом емкости данного элемента. А они, в свою очередь, иногда могут превышать омические потери обмотки, порой в разы. И вследствие чего расчетное значение коэффициента полезного действия (КПД) будет разительно отличаться от полученного в результате изготовления изделия, что, в свою очередь, приведет к следующей итерации проектирования данного силового элемента, так как искомые показатели не были достигнуты.

Данные итерации к искомым показателям могут тянуться продолжительное время. Это может задержать дату завершения проекта и увеличить стоимость единицы изделия.

Одни из самых важных на практике яв­ляются скин-эффект и эффект близости, потому что с ними связана основная часть оценивае­мых потерь. Также для указанных потерь есть аналитические методы анализа и оценки. Явле­ния скин-эффекта и эффекта близости в провод­никах, вызванные током синусоидальной фор­мы, рассматривались Доуэллом в пятидесятых годах прошлого века. Было сформулировано уравнение, которое с достаточной точностью позволяет определять сопротивление проводни­ка в дросселе по переменному току. Но в им­пульсных источниках питания в основном ис­пользуются токи с несинусоидальной формой, что приводит к дополнительным потерям вслед­ствие наличия высокочастотных гармоник.

Такой подход позволит найти оптималь­ную толщину провода и конструкцию транс­форматора до его моделирования, что облегчит работу с САПР и обеспечит экономию времени при разработке.

Цель этой статьи – показать, как с помо­щью методики приближенных вычислений и моделей, выполненных с помощью метода ко­нечных элементов (МКЭ), оптимизировать и рассчитать высокочастотные потери, вызван­ные эффектом близости и скин-эффектом, для дросселей импульсных преобразователей. Такая методика позволяет найти оптимальную толщи­ну провода и расположение витков, что, в свою очередь, обеспечит экономию времени при раз­работке моточного изделия.

МКЭ может быть использован для получения почти точных численных результатов. Но их

точность ограничена алгоритмами аппроксимаций и доступной вычислительной мощно­стью. Он может быть использован для модели­рования магнитного поля, включая эффекты близости и выпучивания магнитного поля из за­зора сердечника. Программное обеспечение (ПО) для такого моделирования слишком дорого как самостоятельный продукт, так и в вычислительном отношении. Поэтому для данного метода будет использовано ПО, такое как FEMM (Finite Element Method Magnetics), позволяющее проводить на персональных компьютерах расчет плоскомеридианных (осесимметричных) и плоскопараллельных, стационарных квазистационарных магнитных, а также стационарных электростатических полей. Пакет позволяет определять их полевые параметры и строить картины. Программа FEMM распространяется в рамках лицензии Aladdin Free Public, не допускающей взимания платы за распространение. В качестве ПО для проведения математических расчетов будет использоваться Smath Studio - бесплатная программа для вычисления математических вы­ражений и построения графиков функций. Freeware: Creative Commons Attribution-NoDerivs.

Постановка задачи

Для проверки работоспособности данного метода поставим перед собой простую инже­нерную задачу: рассчитать зависимость сопро­тивления обмотки от частоты для дросселя, на­мотанного на сердечнике ER7,5 проводом ПЭТВ2 — 0,2 мм, намотка состоит из 26 вит­ков. Габаритные размеры сердечника и каркаса на рис. 1.

Рис. 1 Изображение используемого каркаса и сердечника

На каркасе намотано шесть витков в два слоя и пять витков в три слоя. Проведем анализ результатов модели на основе формулы Доуэлла и модели, построен­ной с помощью МКЭ.

Аналитическое решение данной задачи

В начале статьи мы говорили о формуле Доуэлла. В ней общая мощность, рассеиваемая обмоткой, выражена как сумма потерь от 1 до n-го слоя. Данный момент является основой аналитического подхода, он нам позволяет определять потери в обмотке любых форм фак­тора на частотах отличных от нуля.

Рис.2. (а) - фотография данной намотки; (б) - построенная оси-симметричная модель

Определим положение витков на каркасе рис. 2, на данном рисунке мы видим намотку дросселя, которую, в свою очередь, можно представить как две последовательно соединенных намотки с двумя слоями и тремя, соответственно, из этого следует, что необходимо рассчитать длину и сопротивление каждой из частей намотки.

R_DC = R_half1+R_half2 . (1)

Для расчета длины обмоток представим, что намотка идет виток на виток, тем самым можно рассматривать, как намотка в виде спирали, которую, в свою очередь, можно представить как сумму длин секторов в 180^о с постоянным увеличением радиуса на радиус и изоляцию обмоточного провода.

По формуле 2 рассчитать количество обра­зуемых секторов (в дальнейшем использован термин - «дуг»):

Chd₁= Chs₁ ⋅ 2 − 1 , (2)

где Chs₁ - количество слоев в обмотке, а Chd₁ - количество необходимых дуг.

Вычислим длину проволоки L_{Пров_half1}

(3)

где D_iamp — диаметр сердечника плюс технологические допуски, D_p — диаметр провода, W_изол – толщина изоляции, N_ряд1 – количество рядов в намотке.

Зная длину обмотки, вычислим сопротивление данной части обмотки

R_half1 = (L_{Провhalf1} ⋅ ρ)/S_пров , (4)

где S_пров — площадь сечения используемой проволоки, ρ – удельное сопротивление меди.

Рассчитав сопротивление обмотки по по­стоянному току, необходимо использовать метод и формулу Доуэлла для расчета уже сопротивления по переменному электрическому току.

Напрямую использовать данную методику нельзя, так как она была создана для слоев, образованных проводниками в виде фольги, полностью занимающей высоту окна каркаса. В нашем случае используются проводники круглого сечения, это значит, что они должны быть аппроксимированы в прямоугольную фольгу.

Рис.3

Чтобы выполнить данное приближение распределения тока прямоугольного проводника к круглому, необходимо прибегнуть к вычислениям с использованием функции Бесселя. В проводе круглого сече­ния радиальное распределение плотности тока представляет собой функцию Бесселя аргумента, пропорциональную квадратному корню из частоты. При постоянном токе плотность тока равномерная, тогда как на высоких частотах ток концентрируется бли­же к поверхности. Другим подходом для определения сопротивления обмотки пере­менного тока является численное модели­рование в 2D или 3D, использование МКЭ. Доуэлл вывел 1D аналитическое уравнение для нахождения сопротивления переменно­му току обмоток фольгированных провод­ников. Это решение было преобразовано в квадратные проволочные обмотки. Чтобы применить его уравнение для обмотки, вы­полненной круглым проводником, круглый проводник может быть аппроксимирован квадратным проводником той же площади поперечного сечения. Такой подход гаран­тирует, что сопротивление постоянному току круглых и квадратных проводников остается неизменным. На рис. 3 показан переход от квадратного к круглому поперечному сечению проводников.

Площадь поперечного сечения квадратного провода составляет

S_s = h² , (5)

а площадь поперечного сечения круглого провода равна

S_o = π⋅(D_w/2)² , (6)

где D_w – диаметр проводника и равен d.

Следовательно, приравнивая области S_s и S_o, можно получить

где Q - площадь поперечного сечения проводника обмотки, перпендикулярного направлению тока, p - расстояние между центрами соседних обмоток вокруг провод­ников в одном и том же слое, η – это коэф­фициент пористости, D_pen25 – глубина скин- слоя на используемой частоте тока.

где μ_r – относительная магнитная проницае­мость меди, μ₀ - магнитная постоянная, F – частота тока, по­даваемого на обмотку, ρ – удельное сопротивле­ние меди.

Если площади поперечного сечения квадратного и круглого проводов одина­ковы, то сопротивления постоянного тока обеих обмоток одинаковы. Замена (8) на (9) дает

Из данной формулы K_AC1 является коэф­фициентом отношения переменного сопротив­ления R_AC1 к сопротивлению на постоянном токе R _half1

R_AC1 = K_AC1 ⋅ R_half1 , (13)

Используя выражения (4), (12), (13), нахо­дятся также K_AC2 , R _half2, и R_AC2 для другой ча­сти обмотки.

Общее сопротивление всей намотки вы­числяется путем суммирования сопротивлений частей по переменному току R_AC1 и R_AC2

R_AC =R_AC1+R_AC2, (14)

Используя формулы (1 - 14), в программе Smath Studio был составлен алгоритм для авто­матического нахождения сопротивления об­мотки по переменному току, рис. 4.

Рис. 4

На основе написанного алгоритма был построен график зависимости сопротивле­ния от частоты, рис. 5.

Рис. 5

Построение модели в FEMM

Используемая программа FEMM модели­рует плоские или осесимметричные электро­магнитные (или тепловые) поля МКЭ. Имеет простой интерфейс. Будет использована для ре­шения данной задачи. Используя размеры каркаса ферритового сердечника и сечения изолированной проволоки, была составлена осесимметричная модель, рис. 2. Для постановления осесимметричной задачи нужно определить половину поперечного сечения, так как FEMM рассчитывает вклад двумерного поля и вычисляет уже суммарную картину, созданную телом вращения данного сечения. Затем задаются параметры материалов составных частей и параметры окружающей среды. Необходимо также указать наименование электрической цепи и указать амплитудное значение тока. В нашей задаче используется переменный синусоидальный ток величиной 0,707А и частотой 20000Гц.

После этого производится расчет электромагнитного поля, картины поля можно увидеть на рис. 6 - 8.

Рис.6

На рис. 6 можно увидеть плотность магнитной индукции в сердечнике и в зазоре. Отчетливо видно проявление эффекта близости и эффекта выпячивания магнитного поля в зазоре рис. 7.

Рис.7

Наибольшая плотность тока достигается на первом слое намотки, плотность тока распределяется неравномерно по горизонтали от поверхности, близкой к оси симметрии и центра проводника, а также от центра и до противоположной стороны. Данное явление вызвано выталкиванием носителей электрического тока магнитным полем в эти области проводника, рис. 8.

Рис. 8

Данные картины полей представлены только для тока одной частоты, поэтому чтобы построить зависимость сопротивления обмотки дросселя от частоты тока, был написан скрипт управления данной программой на языке LUA, часть данного скрипта изображена на рис. 9(а, б).

Рис. 9

Автоматизировав задание начальных параметров расчетов и анализ полученных данных, была получена искомая зависимость, которую можно увидеть на рис. 10, также на нем отражены данные, полученные аналитически с помощью формулы Доуэлла.

Рис. 10

Рассмотрев полученные данные, можно увидеть, что относительное отклонение расчетных данных от модели до частоты тока в дросселе в 1МГц не превышает 5%. На частотах от 1МГц до 10МГц достигается максимальное отклонение расчетных данных, равное 25%. График относительного отклонения расчетных данных от построенной модели в зависимости от частоты изображен на рис. 11.

Рис. 11

Заключение

Используемая методика, состоящая из аналитических вычислений и дополненная МКЭ, помогла найти высокочастотные потери в обмотке, вызванные эффектом близости, а также построить график зависимости сопротивления от частоты, что, в свою очередь, поможет подобрать частотный режим работы дросселя или позволит сделать вывод, что данная намотка не подходит для дальнейшей работы. Данная методика поможет уже на этапе проектирования намотки отказаться от большого числа макетов дросселей и от огромной работы, связанной с измерением их характеристик. Возможность автоматизации расчетов ускорит разработку новых силовых приборов. Нужно также отметить, что используемое программное обеспечение с открытым исходным кодом, и это в значительной мере снижает затраты на приобретение программного обеспечения как для предприятий, так и для учебных заведений.

При анализе любых работ, посвящённых нахождению потерь вследствие эффекта близости, очевидным становится правило: нужно располагать проводники как можно дальше от сильных высокочастотных магнитных полей. Этого можно достичь несколькими способами. Самый простой – уменьшить количество слоёв. Это чрезвычайно важно для дросселей со значительной переменной составляющей тока в обмотке. Если конструкция дросселя не позволяет ограничиться одним слоем из-за требуемого числа витков, нужно оптимизировать сечение провода для достижения оптимального соотношения сопротивления по переменному току к активному сопротивлению обмотки. Точных формул для различных переменных токов нет, поэтому лучше использовать формулу Доуэлла определения потерь вследствие эффекта близости и МКЭ для нахождения необходимого баланса для конструкции разрабатываемого изделия.

Литература

1. Буль О.Б. Методы расчета магнитных систем электрических аппаратов: учеб. пособие для вузов. М.: Академия, 2005. 335 с.

2. Dowell P.L. Effect of Eddy Currents in Transformer Windings. IEE Proc., 1966. Pp. 1387 – 1394.

3. Carsten B. High Frequency Conductor Losses in Switchmode Magnetics. HFPC ’86 Record, Virginia Beach, VA, 1986. pp. 155-176.

4. Lloyd H., Dixon Jr. Eddy Current Losses in Transformer Windings and Circuit Wiring // Magnetics Design Handbook. 2000. Topic R2. TI Literature No. SLUP132

5. Ridley R. Proximity Loss in Magnetics Windings // Switching Power Magazine. 2005. №. 8. pp. 2–9.

6. Kazimierczuk M.К. High-Frequency Magnetic Components. John Wiley & Sons, Ltd, 2009. 508 p.

7. Bennett E., Larson S.C. Effective Resistance to Alternating Currents of Multilayer Windings // Electrical Engineering. 1940. Vol. 59. Pp. 1010 — 1016.

8. Billings K., Morey Т. Switchmode Power Supply Handbook. Third Edition — McGraw-Hill Companies, 2011. pp. 3.95–3.103.

9. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8: Электродинамика сплошных сред. 4-е изд., стереотип. М.: Физматлит, 2005. 652 с.

10. Hurley W.G., Gath Е., Breslin J.G. Optimizing the AC Resistance of Multilayer Transformer Windings with Arbitrary Current Waveforms // IEEE Transactions on Power Electronics. 2000. Vol. 15. № 2. Pp. 369 – 376.

11. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 2: Теория поля. 6-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1973. 504 с.

12. McLyman C.Wm.T. Transformer and Inductor Design Handbook. Third Edition — New York: Marcel Dekker, Inc., 2004. 556 p.

13. Vandelac J.P., Zoigas P.D. A Novel Approach for Minimizing High-Frequency Transformer Copper Losses // IEEE Transactions on Power Electronics. 1988. Vol. 3. № 3. Pp. 266 – 277.

14. Picard J. Under the Hood of Flyback SMPS Designs // Texas Instruments Power Supply Design Seminar. 2010. 41 p.

15. ER Cores // ACME — URL: https://www.acme-ferrite.com.tw/en/images/pro/ERcores.pdf (дата обращения: 11.04.2021)