Гипотеза о природе сложности
Недавно в ленте FB попалось интереснейшее видео Теория Всего и феноменологическая Теория Сложности. Что это и почему это важно? где, помимо всего прочего интересного, прозвучала следующая цитата:
Идея самоиндуцированных спиновых стекол состоит в том, что беспорядок, в общем-то, не нужен, а что нужно нужно то, что называется фрустрации, или то, что называется конкурирующее взаимодействие. То есть когда у вас на систему действует несколько разнонаправленных тенденций и каждая хочет систему упорядочить, но каждая хочет систему упорядочить по-своему. Когда они все присутствуют одновременно и действуют одновременно система не может выбрать куда ей упорядочиваться. И вот она приходит в это в это состояние спинового стекла, несмотря на то что никакого беспорядка нет.
Михаил Кацнельсон, (c)
(Примечание: Спиновые стёкла рассматриваются как состояние магнитной системы со случайным распределением спин-спиновых взаимодействий. В системе отсутствует дальний порядок, причем беспорядок в системе замороженный, то есть не меняется со временем).
Я достаточно далёк от физики в целом и данной тематики в частности, но вот сам тезис о связи конкурирующих взаимодействий и свойствах сложных систем демонстрировать, с одной стороны квазислучайное поведение, а с другой определённые закономерности показался очень любопытным, поскольку вызвал ассоциации с совершенно неожиданным объектом для сравнения - простыми числами. Точнее с их распределением.
В этой связи приведу другой тезис, который буду использовать как вторую отправную точку:
Ни нули дзета-функции Римана, ни собственные значения гауссовой случайной эрмитовой матрицы не похожи на случайно разбросанные точки (отличаются от идеально случайного разброса);
С одной стороны, распределение простых чисел выглядит вполне случайным (хотя, право, мало ли что как выглядит...!?!), с другой стороны - случайность тут тоже "замороженная", ну а с третьей - присутствуют и закономерности.
В частности, имеется:
![Теорема о распределении простых чисел Теорема о распределении простых чисел](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/d47/efc/4d5/d47efc4d5a2771720a69803fa4e6a360.png)
С неё и начнем.
Функция a(x)
Рассмотрим некоторую функцию где
,
такую что точно выполняется соотношение:
Из (1) выразим :
Получим :
Мы определили такую функцию , значения которой есть основания логарифма числа
при котором соотношение (1) в точности соответствует распределению простых чисел (т.е. функции
).
![(Рис. 1) Функция при небольших (Рис. 1) Функция при небольших](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3cd/180/816/3cd180816e31309bd0ab74c00bc74c99.png)
![(Рис. 2) Функция при достаточно больших (Рис. 2) Функция при достаточно больших](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/a5e/aca/8f4/a5eaca8f4b6667b28843c0831976cb94.png)
Можно заметить, что характерный ступенчатый вид функции естественным образом обусловлен свойствами базовых функций и
.
![(Рис. 3) Функция распределения простых чисел до значения (Рис. 3) Функция распределения простых чисел до значения](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/6f7/d29/8b3/6f7d298b3adb046abae0f2e31b3e154f.png)
![(Рис. 4) Семейство функций вида . (Рис. 4) Семейство функций вида .](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/581/fea/d90/581fead90cc90bf3c0bfbd78ee23fef2.png)
![(Рис. 5) Функция (Рис. 5) Функция](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/996/53a/7f0/99653a7f092506145252dd8bc5c52dd6.png)
Посмотрим на функции внимательней.
Элементарные свойства функций a_k(x) и π(x)
Семейство функций вида для
и
имеет ряд примечательных свойств:
1.1. имеет единственный максимум при
равный
и монотонно и достаточно быстро убывает для всех
.
1.2.
1.3.
1.4. растёт крайне быстро и до очень больших значений на фиксированном интервале
.
Функция обладает следующими элементарными свойствами:
2.1.
2.2 неубывающая ступенчатая функция.
Интерпретация графика a(x)
Несложно заметить, что функция (Рис. 1) является композицией функций
(Рис. 4), на интервалах
по всем простым
, где
для
.
Поскольку на каждом интервале значение , то каждому интервалу соответствует свой ниспадающий участок соответствующей функции
("гирлянда").
В силу 1.3 каждое появление нового простого числа(в силу 2.2) гарантированно поднимает график вверх("вершина гирлянды - простое число") выше предыдущего значения, а каждое последующее
в силу 1.1 снова опускает его.
В силу того, что множество простых чисел бесконечно, а в силу 1.1 функция убывает и в то же время в силу 1.2 не опускается ниже 1 мы имеем постоянно действующий процесс взаимно конкурирующих взаимодействий.
Вывод
Согласно базовой гипотезе, наличие этих "фрустраций" (в смысле данном выше), вероятно, и может определять "случайный" характер распределения простых чисел.
P.S. Предел a(x)
Глядя на Рис. 2 можно предположить, что:
Во всяком случае, это было бы красиво банально :)