Lloyder 20 апр в 20:10

Совершенный кубоид

Сложный

4 мин

Туториал

Введение и результаты

Привет Хабр! В этой статье рассматривается проблема совершенного кубоида. Совершенный кубоид это параллелепипед у которого все 7 основных величий (Три ребра, три боковые диагонали и главная диагональ) это целые числа. В данной статье будет доказана, взаимная простота главной диагонали с боковыми диагоналями (Для примитивного кубоида). И не только. Совершенный кубоид описывается следующей системой уравнений.

$\begin{cases}a^2+b^2=d^2(1)\\a^2+c^2=e^2(2)\\b^2+c^2=f^2(3)\\a^2+b^2+c^2=g^2 (4)\end{cases}$

Первые три уравнения описывают, по теореме Пифагора, боковые диагонали. А четвёртое уравнение описывает главную диагональ. Я получил следующий результат.

$НОД(a, g)=1, НОД(b, g)=1,НОД(c, g)=1\\НОД(d, g)=1,НОД(e, g)=1,НОД(f, g)=1\\НОД(a, f)=1,НОД(b, e)=1,НОД(c, d)=1$

Где НОД, это наибольший общий делитель.

Доказательство

Подставил определение 'f' в четвёртое уравнение, получим

Аналогично подставим определение 'd' и 'e', получим:

$b^2+e^2=g^2\\c^2+d^2=g^2$

Получили следующую систему уравнений:

$\begin{cases}c^2+d^2=g^2(5)\\b^2+e^2=g^2(6)\\a^2+f^2=g^2(7)\\a^2+b^2=d^2 (8)\end{cases}$

Легко заметить что это система уравнений эквивалентна изначальной, достаточно подставить 'd' из уравнения 8 в уравнение 5 и получить уравнение 4.

$\begin{cases}a^2+b^2+c^2=g^2\\b^2+e^2=g^2\\a^2+f^2=g^2\\a^2+b^2=d^2\end{cases}$

Теперь подставим определение 'g' из 4 уравнения и уравнение 6. Получим:

$a^2+b^2+c^2=b^2+e^2\\a^2+c^2=e^2$

Получили исходное уравнение 2. Аналогично можно проделать и получить уравнение 3. Итак, мы доказали что система уравнений 5, 6, 7 и 8 аналогична изначальной.

Теперь пару слов и примитивности. Если существует совершенный кубоид, можно умножить его стороны на некий коэффициент и получить кубоид побольше. Или разделить на некий коэффициент и получить кубоид по меньше. Так вот примитивный кубоид, это кубоид у которого нельзя разделить все стороны на натуральное число и получить новый кубоид меньшего размера. Что означает что:

Это нетрудно доказать. Если НОД по рёбрам равен числу 't' (Большему 1), то НОД диагоналей тоже равен 't'. Поскольку диагонали являются суммами квадратов рёбер. Теперь мы можем разделить все стороны на 't' и получить кубоид по меньше, что противоречий определению примитивного кубоида.

Итак, мы имеем уравнение 5

Это же пифагорова тройка! Ведь пифагорова тройка, это когда сумма двух чисел в квадрате равна третьему числу в квадрате. Тут как раз этот случай. А пифагорова тройка раскладывается на примитивную тройку умноженную на некий коэффициент. То-есть уравнение 5 имеет вид

Где:

Ещё раз о примитивности, но теперь уже примитивности пифагоровых троек. Пифагорова тройка, это когда сумма целых чисел в квадрате равна третьему числу в квадрате. Аналогично, если умножить все три числа на другое натуральное число, мы получим новую пифагорову тройка. Ну или если разделим. Так вот примитивная пифагорова тройка, это когда два числа в квадрате равны третьему числу в квадрате. Но их нельзя разделить на какое-нибудь натуральное число и получить пифагорову тройку поменьше.

Далее будет доказано:

Это означает что 'c', 'd' и 'g'. Образуют Примитивную пифагорову тройку. А это означает что все три числа попарно взаимно простые друг с другом. Вот откуда полученный результат.

Итак, мы имеем:

Где

$A_1,B_1,C_1-Примитивная \ составляющая\\K_1-Коєффициент$

Но мы умеем ещё уравнения 6 и 7. Они тоже образуют пифагорову тройку. Значит:

$b^2+e^2=g^2\\g^2=(K_2C_2)^2=(K_2A_2)^2+(K_2B_2)^2(10)\\a^2+f^2=g^2\\g^2=(K_3C_3)^2=(K_3A_3)^2+(K_3B_3)^2(11)$

Если будет доказано что все К равны 1. Мы получим что в уравнения 5, 6 и 7 все числа попарно взаимно простые. Вот откуда полученный результат.

Сейчас же заметим что раз мы рассматривает примитивный кубоид, то НОД всех коэффициентов К равен 1. Поскольку если он не равен 1, то все боковые диагонали, ребра и стороны можно на него разделить и получить кубоид поменьше.

Значит:

Что мы имеем:

'g' это некое целое число, которое трижды представим как гипотеза примитивной пифагоровой тройки, умноженной на некий коэффициент. Значит, это число как минимум содержит в себе НОК этих трёх гипотенуз (НОК это наименьшее общее кратное). Значит:

А НОК любых чисел делиться как минимум на одно из этих чисел. Значит:

Легко заметить что:

Но по уравнению 12, НОД всех К равен 1. Значит:

Это означает что К равен 1.

Значит:

Теперь рассмотрим уравнение 8:

Подставим определение рёбер из уравнений 9, 10 и 11 в уравнение 8. Получим:

Подставим значение коэффициента К_итого из уравнения 13 в уравнение 14.

$\frac{(НОК(C_1,C_2,C_3)*A_1)^2}{C_1^2}+\frac{(НОК(C_1,C_2,C_3)*A_2)^2}{C_2^2}=\frac{(НОК(C_1,C_2,C_3)*B_3)^2}{C_3^2}$

Сокращаем всё на НОК по гипотенузам. Имеем:

$\frac{A^2}{C_1^2}+\frac{A_2^2}{C_2^2}=\frac{B_3^2}{C_3^2}(15)$

Умножим всё на C1:

$A_1^2+\frac{C_1^2A_2^2}{C_2^2}=\frac{C_1^2B_3^2}{C_3^2}$

Справа дробь, слева целое + дробь. Значит знаменатели должны быть равны. Естественно после сокращения. Замечу, что A2 и C2 взаимно простые (Так как являются катетом и гипотенузой примитивной пифагоровой тройки). А значит сокращаться не будут. Итак знаменатели:

$\frac{C_2}{НОД(C_1,C_2)}=\frac{C_3}{НОД(C_1,C_3)}$

Перемножаем крест накрест:

Теперь тот же шаг проделываем с коэффициентом C2. Умножим всё на C2:

$\frac{C_2^2A_1^2}{C_1^2}+A_2^2=\frac{C_2^2B_3^2}{C_3^2}$

Повторюсь: Справа дробь, слева целое + дробь. Значит знаменатели должны быть равны. Естественно после сокращения. Замечу, что A1 и C1 взаимно простые (Так как являются катетом и гипотенузой примитивной пифагоровой тройки). А значит сокращаться не будут. Итак знаменатели:

$\frac{C_1}{НОД(C_1,C_2)}=\frac{C_3}{НОД(C_2,C_3)}$

Перемножаем крест накрест:

Уравнения 16 и 17 равны, значит можно записать:

Опять получили некое число, которое делиться на любой C-итый. Значит это-же число делиться на их НОК, оставшееся число после деления запишем как К.

Значит:

$C_1НОД(C_2,C_3)=C_2НОД(C_1,C_3)=C_3НОД(C_1,C_2)=\\НОК(C_1,C_2,C_3)K=K_1C_1K=K_2C_2K=K_3C_3 K$

Теперь узнаем значение оставшегося коэффициета К.

Сокращаем и выражаем К1:

Аналогично:

$K_2=НОД(C_1,C_3)/K\\K_3=НОД(C_1,C_2)/K$

Осталось чуть чуть :)

НОД всех К-итых равен 1, значит:

Умножаем обе части на K:

Теперь вспомним основную теорему арифметики. Любой число представимо в виде произведения простых чисел. Значит НОД по трём числам берёт пересечение простых которые входят в разложение на простые сомножители. Значит:

Получается что уравнение 18 имеет вид:

$C_1НОД(C_2,C_3)=C_2НОД(C_1,C_3)=C_3НОД(C_1,C_2)=\\НОК(C_1,C_2,C_3)НОД(C_1,C_2,C_3)(19)$

Теперь рассмотрим произвольное простое число p. Оно содержится во всех C-итых, возможно в степени 0. Обозначим степени в которых они входят как α1,α2 и α3. Отсортируем все C и все α.

Итак:

$C_1\leq C_2\leq C_3\\α_1\leqα_2\leqα_3$

Заметим что простое в степени альфа 1 не обязательно входит в C1. Оно может входить и в C3.

Теперь пару слов о НОК, НОД и их связи с каноническим разложением. НОК берёт максимальную степень для любого простого, а НОД минимальную.

Сейчас у нас 3 случая, наше произвольное простое p содержится в C1 либо в степени α1 либо в степени α2, либо в степени α3. Рассмотрим все три варианта.

1) Содержится в степени α1, тогда для степени простого уравнение 20 имеет вид: