githubVladimirT 23 окт 2024 в 09:58

Краткое пособие по переводу между системами счисления с основаниями 2, 8, 10, 16

Простой

3 мин

8.1K

Математика*

Из песочницы

Термины

NS (СС) — Numeral System (Система Счисления)

Перевод из десятичной NS в двоичную

Существует два способа перевести из десятичной NS в двоичную. Далее будут разобраны оба алгоритма.

Алгоритм №1

Мы можем перевести число $n_{10}$ из десятичной NS в двоичную, следуя следующему алгоритму:
Для этого необходимо выполнить следующие действия:

Делим $n_{10}$ на и записываем остаток от деления
Результат деления вновь делим на и опять записываем остаток
Повторяем операцию до тех пор пока результат деления не будет равен нулю
Записываем полученные остатки в обратном порядке. Полученное число и будет искомым $n_{2}$

Пример:
Дано число $n_{10}=377_{10};\; n_{2}=?$
$377 \div 2 = 188\: (ост. 1)$
$188 \div 2 = 94\: (ост. 0)$
$94 \div 2 = 47\: (ост. 0)$
$47 \div 2 = 23\: (ост. 1)$
$23 \div 2 = 11\: (ост. 1)$
$11 \div 2 = 5\: (ост. 1)$
$5 \div 2 = 2\: (ост. 1)$
$2 \div 2 = 1\: (ост. 0)$
$1 \div 2 = 0\: (ост. 1)$

Ответ: $n_{2}=101111001_{2}$

Алгоритм №2

Есть и другой способ перевода числа $n_{10}$ из десятичной NS в двоичную: путем "прикидок" степеней двоек, не превышающих данного числа.

Пример:
Дано число $n_{10}=575_{10};\;n_2=?$

Шаг первый. Прикинем степень двойки, не превышающую данного числа.
$512<575<1024\; \rightarrow\; 2^9<575<2^{10}$
Шаг второй. Так как число больше , значит мы можем представить число в виде суммы .
Повторим первый шаг: прикинем степень двойки, не превышающую второго слагаемого.
$32<63<64\;\rightarrow\;2^5<63<2^6$
Повторим второй шаг: так как число больше , значит мы можем представить число в виде суммы .
Далее повторим вторые и третьи шаги до тех пор, пока мы не разложим число на сумму степеней двоек. В итоге мы получим следующую запись:
Шаг третий. Расставим единицы в тех разрядах, номера которых равны степеням двоек в полученной ранее сумме (разряды пронумерованы с ).
$n_2=\overset{9}{1}\,\overset{8}{0}\,\overset{7}{0}\,\overset{6}{0}\,\overset{5}{1}\,\overset{4}{1}\,\overset{3}{1}\,\overset{2}{1}\,\overset{1}{1}\,\overset{0}{1}\,_{2}$

Ответ: $n_{2}=1000111111_{2}$

Перевод из двоичной NS в десятичную

Перевод числа из двоичной NS в десятичную осуществляется путем умножения каждого разряда числа на 2^k , где — номер разряда, начиная с .

Пример:
Дано число $n_2=10101000101111_2;\; n_{10}=?$

Шаг первый. Пронумеруем разряды данного нам двоичного числа от 0 справа налево:

$n_2=\overset{13}{1}\,\overset{12}{0}\,\overset{11}{1}\,\overset{10}{0}\,\overset{9}{1}\,\overset{8}{0}\,\overset{7}{0}\,\overset{6}{0}\,\overset{5}{1}\,\overset{4}{0}\,\overset{3}{1}\,\overset{2}{1}\,\overset{1}{1}\,\overset{0}{1}\,_2$

Шаг второй. Запишем сумму вида , где — номер разряда, начиная с :

$n_{10}=2^{13}+2^{11}+2^9+2^5+2^3+2^2+2^1+2^0=10799_{10}$

Ответ: $n_{10}=10799_{10}$

Перевод из двоичной NS в восьмеричную

Разобьем данное нам число n_2 на триады (на блоки по три цифры), а затем заменим каждую триаду соответствующей цифрой, согласно таблице перевода (см приложение).

Пример:
Дано число $n_2=10011_2;\; n_{8}=?$

$n_2=\,'010'011_2$

По таблице увидим, что двоичному числу 010_2=10_2 соответствует восьмеричное число 2_8 , а числу 011_2=11_2 — 3_8 , значит, заменив каждую триаду на соответствующее восьмеричное число, получим:

Ответ: n_8=23_8

Перевод из восьмеричной NS в двоичную

Заменим каждую цифру числа $n_{8}$ соответствующей триадой из таблицы перевода (см приложение).

Пример:
Дано число $n_{8}=735_{8};\; n_{2}=?$

$\left.\begin{align} &n_{8}=735_{8} \\ &7_{8}\rightarrow111_{2} \\ &3_{8}\rightarrow011_{2} \\ &5_{8}\rightarrow101_{2} \\\end{align}\right\}\;\Rightarrow \; n_{2}=111011101_{2}$

Ответ: $n_{2}=111011101_{2}$

Перевод из десятичной NS в восьмеричную

Алгоритм перевода в восьмеричную NS тот же, что и алгоритм №1 перевода в двоичную NS.
Необходимо выполнить следующие действия:

Делим $n_{10}$ на и записываем остаток от деления
Результат деления вновь делим на и опять записываем остаток
Повторяем операцию до тех пор пока результат деления не будет равен нулю
Записываем полученные остатки в обратном порядке. Полученное число и будет искомым $n_{8}$

Пример:
Дано число $n_{10}=1089_{10};\; n_{8}=?$
$1089 \div 8 = 136\: (ост. 1)$
$136 \div 8 = 17\: (ост. 0)$
$17 \div 8 = 2\: (ост. 1)$
$2 \div 8 = 0\: (ост. 2)$

Ответ: $n_{8}=2101_{8}$

Перевод из восьмеричной NS в десятичную

Для перевода из восьмеричной NS в десятичную, необходимо умножить каждый разряд числа $n_{8}$ на 8^k , где — номер разряда, начиная с , а затем сложить полученные значения.

Пример:
Дано число $n_{8}=4766_{8};\; n_{10}=?$

$n_{8}=\overset{3}{4}\,\overset{2}{7}\,\overset{1}{6}\,\overset{0}{6}\,_{8}\Rightarrow n_{10}=4\cdot8^3+7\cdot8^2+6\cdot8^1+6\cdot8^0=2550_{10}$

Ответ: $n_{10}=2550_{10}$

Перевод из десятичной NS в шестнадцатеричную

Алгоритм перевода в восьмеричную NS практически тот же, что и алгоритм №1 перевода в двоичную NS.
Необходимо выполнить следующие действия:

Делим $n_{10}$ на и записываем остаток от деления
Результат деления вновь делим на и опять записываем остаток
Повторяем операцию до тех пор пока результат деления не будет равен нулю
Переводим остатки бо́льшие согласно таблице перевода (см приложение)
Записываем полученные остатки в обратном порядке. Полученное число и будет искомым $n_{16}$

Пример:
Дано число $n_{10}=10492_{10};\; n_{16}=?$
$10492\div16=655\: (ост. 12 \rightarrow C)$
$655\div16=40\: (ост. 15 \rightarrow F)$
$40\div16=2\: (ост. 8)$
$2\div16=0\: (ост. 2)$

Ответ: $n_{16}=28FC_{16}$

Перевод из шестнадцатеричной NS в десятичную

Для перевода из восьмеричной NS в десятичную, необходимо перевести $A\ldots F$ в соответствующие числа $10\ldots 15$ по таблице перевода (см приложение) и умножить каждый разряд числа $n_{16}$ на 16^k , где — номер разряда, начиная с , а затем сложить полученные значения.

Пример:
Дано число $n_{16}=FD1_{16};\;n_{10}=?$

$\left.\begin{align} &n_{16}=\overset{2}{F}\,\overset{1}{D}\,\overset{0}{1}\,_{16} \\ &F_{16}\rightarrow15_{10} \\ &D_{16}\rightarrow13_{10} \\ \end{align} \right\} \ \Rightarrow \; n_{10}=15\cdot16^2+13\cdot 16^1+1\cdot 16^0=4049_{10}$

Ответ: $n_{10}=4049_{10}$

Приложение

Общий вид формулы для перевода числа из произвольной NS в десятичную:

$\LARGE N_{10}=\sum\limits_{i=0}^ka_i\cdot b^i$

, где:

$N_{10}$ — число в десятичной NS
— цифра числа в исходной NS, начиная с младшего разряда (справа налево)
— основание исходной NS
— номер старшего разряда (индекс последней цифры количество цифр в исходном числе )