Разберём одну красивую задачу, подводящую к важному понятию аффинной геометрии —центру масс.
Пират зарыл клад на острове среди 20 деревьев и написал, как его искать: надо встать к первому дереву, пройти половину расстояния до второго, затем повернуть к третьему и пройти треть расстояния до него, и т. д., наконец, повернуть к двадцатому и пройти двадцатую часть расстояния до него. Увы, пират забыл указать, как занумерованы деревья! Сколько разных ям придётся выкопать кладоискателям, чтобы гарантированно найти клад?
Решим задачу для любого числа деревьев. Для двух деревьев надо вырыть одну яму посередине между ними. В случае трёх деревьев в вершинах треугольника мы пойдём по стороне, свернём на медиану и пройдём треть её длины, а значит, окажемся в точке пересечения медиан, независимо от нумерации деревьев. Снова достаточно одной ямы. "По законам жанра" так должно быть всегда. Докажем это.
Выберем произвольную точку 
(начало отсчёта) и отождествим каждую точку 
с её радиус-вектором 
. Нам понадобится простой факт: точка, делящая отрезок 
в отношении 
, считая от 
, имеет вид (рисунок слева)
Выберем произвольную точку (начало отсчёта) и отождествим каждую точку с её радиус-вектором 
. Нам понадобится простой факт: точка, делящая отрезок в отношении , считая от , имеет вид (рисунок слева)
Пусть 
— как-то занумерованные деревья (точки). Согласно формуле (1), первые два шага к кладу будут такими (рисунок справа):
Вообще, если для 
деревьев мы оказались в точке 
, то для 
деревьев мы окажемся в точке
Утверждение задачи доказано, так как полученная точка не зависит от нумерации деревьев. Более того, она не зависит от выбора точки , поскольку положение клада в инструкции пирата определялось только положениями деревьев. Такие понятия — не зависящие от выбора начала отсчёта — относятся к аффинной геометрии. Так, например, можно говорить о полусумме точек и 
, но не об их сумме: конец вектора 
зависит от положения точки , а конец вектора 
— не зависит, всякий раз оказываясь в середине отрезка 
:
Автор статьи: Андрей Канунников, к. ф.-м. н., преподаватель ШАД Хелпер.
Статья подготовлена при поддержке ШАД Хелпер.
