В феврале 2025 года журнал Scientific American перепечатал головоломку Мартина Гарднера 1958 года:
Два одинаковых болта расположены так, что их резьбы входят друг в друга (см. иллюстрацию). Если вы будете вращать болты один вокруг другого (так, как вы крутите большими пальцами рук друг вокруг друга), крепко держа каждый болт за головку, чтобы он не вращался вокруг своей оси, будут ли головки сдвигаться, раздвигаться или оставаться на одинаковом расстоянии друг от друга? Разумеется, задачу необходимо решить, не прибегая к реальным испытаниям.
Упоминание вращения больших пальцев рук сделано очень удачно, потому что ключевая особенность движения болтов заключается в том, что, хотя они вращаются вокруг друг друга, они не вращаются вокруг своей оси. Вертикальные грани их головок, например, остаются вертикальными на протяжении всего движения.
Также важно, что болты одинаковы, иначе их резьба не будет входить в зацепление. Вот рисунок из стандарта ANSI ASME B1.1 «Унифицированная дюймовая резьба», на котором показан стандартный профиль резьбы:
Если шаг, P, главный диаметр, D, и малый диаметр, D1, двух болтов совпадают — а это возможно только в том случае, если болты идентичны, — болты подходят друг к другу и могут скользить друг по другу без сцепления. Если размеры не совпадают, болты не подойдут друг к другу.
(Кстати, хотя стандарт B1.1 предназначен для резьбы, измеряемой в дюймах, этот профиль резьбы применим и к метрической резьбе. Разница в том, что шаг и диаметр для метрической резьбы будут указаны в миллиметрах).
Ответ Гарднера:
Головки закрученных болтов не смещаются ни внутрь, ни наружу. Ситуацию можно сравнить с тем, как если бы человек поднимался по эскалатору с той же скоростью, с какой он движется вниз.
Это, конечно, верно, но я не нахожу эту аналогию особенно полезной. Почему вращение болтов похоже на человека, идущего вверх по эскалатору? Человек и эскалатор — две совершенно разные вещи, а два болта идентичны друг другу.
Давайте внимательно посмотрим на геометрию. Вот стилизованный рисунок двух болтов. Центры вершин резьбы нарисованы чёрными спиралями, центры углублений резьбы — синими спиралями, а хвостовик нарисован в виде полупрозрачного цилиндра, чтобы вы могли видеть резьбу на противоположных сторонах болтов. Я не рисовал головки болтов, поскольку они не играют никакой роли в зацеплении.
Для создания чертежа я использовал размеры конкретного болта: болт с крупной резьбой 1″ (UNC). Главный диаметр — 1″, малый диаметр — 0,8647″, шаг резьбы — 0,125″. Подойдёт любой болт, но я хотел использовать настоящий болт. О том, как я делал чертежи, я расскажу в одном из следующих постов.
Мы смотрим на болты прямо сбоку в ортографической проекции, поэтому нет никаких эффектов перспективы. Это поможет нам увидеть, как болты движутся (или не движутся) в осевом направлении, когда они вращаются друг вокруг друга. Один момент, который становится понятным при таком виде, — это то, что вершины и углубления находятся друг напротив друга; прямо напротив каждой вершины находится углубление.
В текущем положении нижняя часть верхнего болта находится в зацеплении с верхней частью нижнего болта. Вершины вписываются в углубления. Мы отметим одну вершину верхнего болта и углубление нижнего болта, в которую он входит.
Теперь представьте, что каждый болт проходит половину орбиты: верхний болт уходит назад, а нижний выходит вперёд. Поскольку ни один из болтов не вращается вокруг оси, то, что сейчас является вершиной верхнего болта, в итоге соприкоснётся с тем, что сейчас является основанием нижнего болта. Если вы проследите за чёрной (вершинной) линией верхнего болта от фиолетовой точки вдоль ближней стороны до вершины, то она останется в контакте в течение движения по полуорбите. Аналогично, если вы проведёте синюю линию (углубление) нижнего болта от фиолетовой точки вдоль дальней стороны (если смотреть через полупрозрачный хвостовик) вниз, то именно она останется в контакте в течение движения по полуорбите.
Другими словами, две точки, отмеченные на рисунке ниже — все ещё нарисованные в исходной конфигурации — это точки, которые будут в контакте после полуорбиты.
Пунктирная вертикальная линия показывает, что эти две точки выровнены до полуорбиты. И они должны быть выровнены после полуорбиты, потому что они находятся в контакте. Поскольку они выровнены как в начале, так и в конце движения, болты не сдвигаются и не расходятся — они остаются в одном и том же положении по горизонтали. Вы можете привести тот же аргумент, представив прохождение четверти орбиты, полной орбиту или любому целому число орбит. Поскольку геометрия резьбы на двух болтах одинакова, а вершины и углубления находятся напротив друг друга, болты не уходят влево или вправо во время движения.
Гарднер хочет, чтобы вы решили эту задачу, не беря в руки пару болтов и не пробуя их на практике. Это было бы жульничеством. Но после решения головоломок приятно увидеть, как это работает на настоящих болтах.
