Комментарии 49
Я понял как мы строим 
. А как мы строим с индексами? Типа 0 . 1 ....
По моему вопрос про континуум гипотезу уже решен(?). См. английскую википедию прямо в самом начале: https://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis
Ну там все хитрее, я бы сказал что доказательство своеобразное.
Коэн разработал метод форсинга, с помощью которого строит специальную модель, и в этой модели специально добиваются, чтобы 2^{\aleph_0} = \aleph_2
Тогда по определению получается, что \aleph_0 < \aleph_1 < 2^{\aleph_0}
то есть между \aleph_0 и 2^{\aleph_0} есть кардинал \aleph_1. Но этот факт существует только в этой конкретной модели.
По сути речь не о доказательстве существования промежуточного множества, а о возможности его существования в некотором мире множеств.
Коэн показал, что можно построить модель теории множеств, удовлетворяющую всем аксиомам ZFC, в которой 2^{\aleph_0} = \aleph_2. Тогда в этой модели CH неверна, потому что \aleph_1 автоматически оказывается между \aleph_0 и 2^{\aleph_0}.
это не «доказательство» в классическом смысле.
Более того, Гёдель до этого построил модель, где CH верна. А если точнее то на самом деле Гёдель не доказал CH, а показал, что если аксиомы ZF непротиворечивы, то они также не противоречат CH. То есть, CH не опровержима в ZF.
CH независима от ZFC — она не является следствием, ни положительным, ни отрицательным.
В приведенной работе как раз четко строится и перекладывается на классическое множество [0,1] счетное множество непересекающихся всюду плотных континуальных множеств, при объединени икоторые нарастают вплоть то континуума R, тем самым однозначно отвергая гипотезу.
Ну да. Математики выбрали самый простой вариант - аксиому выбора. И не парятся! Как сказал один математик, не помню его имя: чем больше я смотрю на аксиому выбора, тем меньше я ее понимаю. Цитата близко к тексту.
По поводу моего предыдущего вопроса - я его снимаю. Нужно сначала почитать статью.
Не уверен, что я понимаю некоторые утверждения из статьи:
Fractal Numbers as Process-Defined Objects
A fractal number is defined not statically, but through some constructive process within
a system Fn along a stratified chain {Fn }. The number r appears as soon as a system
Fn has sufficient expressive power to define it.
Что это за некоторые конструктивные процессы? Пардон, я не читаю статью целиком, но останавливаюсь, когда мне что-то непонятно.
P.S. потом, в википедии написано, что аксиома выбора эквивалентна континуум гипотезе. То есть если одно, то и другое. И наоборот. То есть 2 в степени алеф 0, это алеф 1.
Конструктивный процесс в системе F_n означает, что число r появляется не как абстрактный объект, а как результат определимости — то есть, как объект, для которого в системе F_n существует конструкция, формула, алгоритм, или цепочка построений, ведущая к нему. Такой подход организован иерархически: разные числа становятся доступными на разных уровнях выразимости.
Число появляется как определимое (но не обязательно вычислимое) в некотором уровне формальной системы. Стратификация (уровень иерархии) показывает, когда именно оно становится доступным, то есть так как число определимо как сходящаяся последовательность, то должны быть условия, чтобы эта последовательность сходилась. Не на всех уровнях можно построить сходящиеся последовательности ко всем числам, как только это стало возможно с помощью доступных инструментов и правил на данном уровне, так число и возникло, и его уровень стал определен.
Про аксиому выбора, она и гипотеза континуума - это независимые утверждения. Гедель показал, что AC и CH совместимы с ZF, а Коэн показал, что CH независима от ZFC. Поэтому из истины одного не следует другое. AC точно не эквивалентна CH.
Тоже простыми словами, я где-то слышал, что вот если взять все алгебраические числа, полученные как корни многочленов с рациональными коэффициентами (а их счетное количество), то мы можем создавать новые многочлены с коэффициентами из рациональных + алгебраических чисел с предыдущей итерации, и так у нас всегда будет счетное количество чисел, и что весь прикол лишь в трансцендентных числах (для каждого трансцендентного числа имеет необходимость доказательства, что оно не алгебраическое), которые тоже на конструктивном уровне нельзя сконструировать более, чем счётной мощности.
Но если построить все возможные вещественные числа через конструктивный процесс, то мощность становится иной: вместо простого скачка от счётного к несчётному появляется сложная иерархия счетного количества континуальных уровней, на каждом из которых доступны новые числа.
Не могли бы вы пояснить вот этот переход "если - то"? Откуда он следует? Вещественные числа, по двум наиболее известным теориям, определяются именно конструктивно - как предел последовательности рациональных чисел (Кантор) либо как бесконечные десятичные дроби (Вейерштрасс). Тем не менее, никакой иерархии у них не образовалось.
Ровно ответу на этот вопрос и посвящена статья. Попробую изложить максимально простым языком.
Ниже по тексту показывается как строятся расширяющиеся последовательности определимости, каждая такая порождает счетное количество чисел. Но всех возможных расширяющихся последовательностей определимости чисел несчетно. Далее берутся как бы вертикальные срезы по всем таким возможным правильным последовательностям по уровню определимости, и оказывается что каждый такой срез содержит несчетное количество чисел. И все эти вертикальные полоски/кластеры чисел континуальны, плотны и не пересекаются друг с другом. Получается стратификация/расслоение/иерархия чисел по степени определимости.
И все это лежит ровно на отрезке [0,1]. Детальные доказательства в статье на арХив.
Суть статьи я понял (кажется :)) - опровержение континуум-гипотезы через ввод системы, позволяющей строить множества с промежуточной мощностью. Переформулирую вопрос. В тексте вы вводите понятие формального конструктивного определения вещественных чисел, и утверждаете следующее:
Поскольку таких формальных систем счётное количество, каждая из них может определить только счётное множество вещественных чисел.
Как это соотносится с уже существующими конструктивными определениями вещественных чисел, определяющими их множество целиком, почему эти определения не попадают под рассматриваемые в тексте критерии "конструктивности"?
Почему же, - есть ещё аналитическое определение через аксиому полноты. И вот это, как оказалось, не всем нравится.
для любого числа которое строится описанным в статье способом возьмем номер последовательности (он всегда конечен) и припишем к нему номер алгоритма (номер машины тьюринга реализующей алгоритм, тоже всегда конечен). Получим натуральное число. Таким образом, множество всех чисел генерируемых всеми формальныи системами счетно (отображается на множество натуральных чисел), а не равномощно континууму.
Вы абсолютно правы в том, что если мы фиксируем конечный номер формальной системы (или номер шага в иерархии) и конечный номер алгоритма в этой системе, то каждое конкретное число, построенное по такому способу, действительно можно закодировать натуральным числом. Более того, всё множество чисел, построенных в рамках одной фиксированной формальной системы, будет счётным — именно потому, что и множество программ, и множество допустимых описаний в рамках данной системы счётны. Это совершенно согласуется с теорией.
Ваша конструкция полностью описывает множество R_{F_n} и в статье доказывается, что оно счетно.
Однако ключевой момент фрактальной модели заключается в следующем: здесь не рассматривается фиксированная формальная система или конечное множество таких систем, а строется фрактальное объединение всех допустимых формальных систем, каждая из которых расширяет выразительную мощность предыдущей. Это объединение - не множество, определённое внутри какой-либо одной системы, а метаобъект, описывающий предельный процесс роста определимости.
Такой процесс не может быть исчерпан одной формальной системой, а значит, никакая нумерация изнутри (в рамках конкретной системы) не может дать отображение всей иерархии. Это подобно попытке охватить всю арифметику Пеано одной машиной Тьюринга: вы всегда ограничены конкретной реализацией, и она охватывает лишь часть.
Теперь почему это не приводит к счётности.
Если вы хотите пронумеровать все такие конструкции, вы должны учитывать не только алгоритм и вход, но и уровень определимости, на котором этот алгоритм вообще допустим. А сам рост этих уровней основан на последовательных консервативных расширениях формальных систем и этот процесс не имеет универсального представления в пределах счётной машины. То есть не существует алгоритма, нумерующего его целиком в фиксированной системе.
Это похоже на то, как множество всех формальных доказательств в одной системе счётно, но множество всех возможных доказуемых утверждений во всех возможных расширениях (включая те, которые невозможны в исходной системе) выходит за пределы любой фиксированной нумерации. Идея здесь в стратификации определимости, а не в простой иерархии алгоритмов.
Возьмем любое число из финального множества (R_F_omega если я правильно понимаю). У него будет как конечный n начиная с которого оно начинает встречаться, так и конечный номер алгоритма. Т.е. оно отображается на натуральное число (для порядка вместо приписывания одного к другому возьмем 2^n * 3^(номер алгоритма) ).
Все "интересные" (равномощные континууму) числа должны иметь либо бесконечный номер последовательности (бесконечный n), либо бесконечный номер алгоритма.
То есть не существует алгоритма, нумерующего его целиком в фиксированной системе.
Если мы можем описать формальную систему конечным числом символов то можем и сопоставить ей натуральное число.
Вот если n не является конечным числом (т.е. формальную систему нельзя описать конечным числом симоволов) то да, можно построить континуум. Но не очень понятно какой смысл такие системы рассматривать.
Допустим, вы смогли пронумеровать все числа из R^F_omega. Но тогда можно конструктивно построить новое число, отличающееся от каждого в списке на соответствующей позиции (мета-диагональный аргумент), что приводит к числу, не входящему в исходную нумерацию. Значит, такая нумерация неполна. Причина в том, что фрактальный континуум не замыкается: любой алгоритм можно как бы перерасти, выйдя на следующий уровень F_{n+1}, и построив число, недоступное предыдущему уровню.
Но нельзя пронумеровать всё множество таких чисел в рамках одной фиксированной формальной системы, потому что каждая система видит только свой уровень, ни одна система не может перечислить все последующие уровни определимости, следовательно, не существует единого конструктивного алгоритма, который нумерует всё множество R^F_omega.
Вы как бы находитесь в бесконечной попытке нумерации но никогда ее не достигаете, и более того на любом шаге существует нумерация более высокого уровня до которой вы даже еще не дошли, и такие нумерации также не ограничины.
Представьте себе дерево с неограниченным числом ветвей. Вы решаете выбрать одну конкретную ветвь, чтобы пронумеровать все листья на ней - то есть описать все числа, которые появляются в пределах некоторого уровня определимости.
Но как только вы выбрали эту ветвь и начали по ней двигаться, она тут же расщепляется на бесконечное число новых подветвей, каждая из которых уводит вас на более высокий уровень - с новыми возможностями, новыми определимыми числами, и новыми алгоритмами, которых не было видно с исходной ветви.
Вы выбираете одну из этих подветвей — и снова сталкиваетесь с тем же: она моментально разветвляется дальше, в ещё более тонкие уровни. И так — без конца. Всякий раз, когда вы фиксируете ограниченный путь и пытаетесь его исчерпать, сама структура указывает, что вы задели лишь поверхность, и глубже внутри есть ещё неисчерпаемые уровни конструктивности.
Вот почему нельзя пронумеровать всё дерево целиком, даже если можно нумеровать листья на любой фиксированной ветви. Само дерево фрактально — каждая попытка полного охвата внутри одной ветви ведёт к новым расщеплениям, которые невозможно увидеть изнутри.
То что я описал - это простым языком, для понимания конструкции. Более строго и формально это доказывается математическим языком в статье.
Допустим, вы смогли пронумеровать все числа из R^F_omega. Но тогда можно конструктивно построить новое число, отличающееся от каждого в списке на соответствующей позиции (мета-диагональный аргумент), что приводит к числу, не входящему в исходную нумерацию.
диагональный алгоритм тут не сработает из-за проблемы останова (в моей нумерации кроме чисел будут еще конструкты похожие на числа но зависающие на некотором шаге, притом отличить одни от других невозможно). Но тем не менее множество остается не более чем счетным.
Вот почему нельзя пронумеровать всё дерево целиком, даже если можно нумеровать листья на любой фиксированной ветви.
Его нельзя пронумеровать т.к. в нем будут листья с бесконечным номером. Все конечные листья нумеруются (с помощью обхода в ширину), но у бесконечных получается номер бесконечной длины.
В вашей системе тоже самое - если рассматривать также формальные системы с бесконечным номером (т.е. не описываемые конечным числом символов) то да, конструкция получается равномощной континууму.
Более строго и формально это доказывается математическим языком в статье.
Да, там меня интересует пункт 5.1.(3) Если я правильно понял, там конструируется формальная система не описываемая конечным числом символов.
Нет, в пункте 5.1.(3) не строится одна формальная система, неописуемая конечным числом символов. Напротив, каждый уровень F_n^(X) — это обычная конечная теория, записываемая конечным числом формул.
Однако вся цепочка C_X, порождаемая бесконечным параметром X, является метаобъектом: это не одна система, а иерархия конечных систем. Именно такая иерархия и реализует фрактальную модель — бесконечный процесс расширения конструктивной определимости, где каждая ступень описуема, но вся структура не может быть зафиксирована в рамках одной системы или алгоритма.
Правильно говорить, что строится бесконечная последовательность конечных формальных систем, параметризованная бесконечным объектом X \in 2^N, и такая цепочка не может быть сведена к одной конечной формальной системе.
Эта конструкция даёт способ конструктивно охватить мощность континуума без обращения к абстрактным несчётным множествам. То есть показывается, что:
Континуум может быть порождён как фрактальный предел расширений конечных формальных систем,
Каждое число возникает как результат конкретного мета-конструктивного процесса,
И при этом никакая фиксированная система или алгоритм не охватывает всё множество — потому что сама структура обладает внутренней, неизбывной стратификацией (неустранимое расщепление).
никакая одна формальная система (какой бы мощной она ни была) не может выразить всё множество R^{F_omega}, потому что:
чтобы выразить r_X, нужно иметь доступ ко всей цепочке F_n^(X), а не только к её начальному участку
это исключает существование единого алгоритма или теории, способной нумеровать или описать всю конструкцию
это фундаментально отличает фрактальную модель от традиционного конструктивизма или классических моделей R, здесь есть конструктивная непрерывность, но она не сводится ни к одной фиксированной структуре.
Однако вся цепочка C_X, порождаемая бесконечным параметром X, является метаобъектом: это не одна система, а иерархия конечных систем.
Если существуют вещественные числа которые нельзя описать никакой конечной системой F_n (для любого n), а можно описать только бесконечной последовательностью этих систем, то проблемы нет - их множество несчетно.
Но в этом случае я не вижу особого отличия от классического определения вещественных чисел - последовательность формальных систем F_n описывает только счетное число чисел, до тех пор пока n конечно. Для перехода к континууму нам потребуются бесконечные последовательности (разных систем или символов в одной системе, не так уж важно).
Для любого фиксированного уровня n, существуют числа, которые становятся определимыми лишь на уровнях > n, и потому определение таких чисел требует обращения к бесконечному процессу конструктивного роста.
Разница с классикой в том, что в классике континуум постулируется как уже данный несчётный объект, тогда как во фрактальной модели он возникает как предел конструктивного процесса, где каждое число имеет конечное описание, но всё множество не охватывается ни одной системой — и это важно, потому что смещает акцент с абстрактной мощности на иерархию выразимости, делая саму несчётность результатом последовательного, формально прослеживаемого роста.
Для любого фиксированного уровня n, существуют числа, которые становятся определимыми лишь на уровнях > n
Существуют ли числа, которые нельзя описать ни при каком конечном n, только при бесконечном?
Если кратко - нет.
Все отдельные числа всегда определимы на конечном уровне, но всё множество R^{F_omega} не может быть выражено никакой одной конечной системой — только через бесконечную иерархию, как предел конструктивного роста. Поэтому можно сказать, что континуум как целое определяется только при бесконечном n, хотя каждое число в отдельности — конечное.
Если просто - все фрактальные числа конструктивны, их общее число - континуум. Ровно это формально математически доказывается.
Вот с этим я и не согласен.
И в статье это не доказано. Вы доказываете что каждому числу из континуума (бесконечной двоичной последовательности) можно сопоставить бесконечную последовательность систем. Но доказательства что ему можно сопоставить конечную последовательность при конечном n - нет.
Кроме того, как я написал выше, все фрактальные числа (с алгоритмом конечной длины и конечным n) отображаются на натуральные, т.е. их общее число не более чем счетное.
Если просто объяснить: в рамках одной цепочки/иерархии расширяющихся формальных систем все порождаемые числа счетны.
Разные цепочки могут порождать одинаковые числа - нет проблем.
Но всего таких всевозможных цепочек континуум.
И когда мы объединим их все в единое целое, мы получим континуум чисел.
При этом не все цепочки обязательно порождают разные множества чисел. Некоторые могут совпадать по определимости, даже если формально различаются. Но это не влияет на мощность объединения, так как разные цепочки всё равно охватывают всё множество.
Но всего таких всевозможных цепочек континуум.
Цепочек которые можно описать конечным числом символов - счетное число. Соответственно все они совместно описывают счетное число чисел.
Чтобы перейти к континууму нам потребуются цепочки которые мы не можем описать конечным числом символов - но для них n не является конечным что противоречит вашему утверждению.
В статье показано, что каждой бесконечной бинарной последовательности X \in 2^N можно сопоставить цепочку C_X = {F_n^(X)} и число r_X, определимое на некотором конечном уровне этой цепочки — например, уже в F_1^(X).
Хотя цепочка C_X бесконечна, само число r_X определяется на конечном уровне n, причём это n зависит от X, но всегда конечное.
То есть определение каждого отдельного числа не требует всей цепочки, а лишь конечного участка — и именно это обеспечивает счётность каждого фрактального уровня, но несчётность всего объединения.
Что касается замечания про отображение на натуральные числа: в пределах одного уровня F_n или даже одной цепочки — множество определимых чисел счётно. Но как показано в статье, множество различных цепочек C \in F_omega имеет мощность континуума, и инъективная конструкция X \mapsto r_X обеспечивает, что множество всех фрактально определимых чисел R^{F_omega} тоже имеет мощность континуума.
Итого, каждое число определяется в конечной системе с конечным описанием, и никакого бесконечного n при этом не требуется. Бесконечность появляется только в совокупности всех таких цепочек, а не внутри определения отдельного числа.
Хотя цепочка C_X бесконечна, само число r_X определяется на конечном уровне n, причём это n зависит от X, но всегда конечное.
Я правильно понимаю, что вы нашли способ описать любую заданную бесконечную последовательность с помощью конечного числа символов описывающих систему, а затем алгоритм в этой системе? Это же бесконечное сжатие.
Да, вы верно заметили, я назвал это stratified definability compression.
В классической теории информации это выглядело бы как невозможное: определить бесконечное число с помощью конечной строки. Вместо того чтобы описывать бесконечное число бит напрямую, описывается конечная система F_n, внутри которой эти биты воспроизводимы алгоритмически.
Ключ в том, что система F_n — не просто язык, а формальный алгоритмический мир, внутри которого можно говорить: на этом уровне уже доказуемо, что сумма \sum_{k \in X} 2^{-k} сходится к r_X.
Это аналог того, что я не буду выписывать число, я просто скажу, что оно — предел функции, определённой в такой-то формальной системе, и всё, что касается его свойств, следует из синтаксиса этой системы.
Пример число пи:
Эта сумма доказуемо сходится в ACA_0
Тогда:
DComp(\pi) = (n, “Leibniz series”) для некоторого F_n \supseteq ACA_0
Можно не только сжимать, но и контролируешь уровень метатеоретической выразимости, в которой это сжатие допустимо. Это превращает понятие сжатия в онтологическую оценку сложности. У меня есть глава на эту тему.
число пи легко описать. Но возьмем действительно произвольное число, т.е. я беру монетку, кидаю ее много раз и записываю 0 либо 1 (эквивалентный вариант - беру и тыкаю наугад в точку на отрезке от 0 до 1). Вы точно можете описать всю последовательность которую я когда-либо получу конечным числом символов?
Нет, нельзя описать любую произвольную бесконечную последовательность конечным числом символов в рамках какой-либо фиксированной конструктивной системы. Но в рамках фрактальной модели это и не утверждается.
Вот что утверждается: всякое конструктивно определимое число можно сжать до минимальной пары (n, \sigma).
Случайные или неопределимые числа не имеют ни DComp, ни даже существования в фрактальном топосе Sh(S).
Это не ошибка модели, а её фундаментальная философия: не всё существует, а только то, что можно выразить.
так все-таки ваше отображение в 5.1.3 позволяет описать произвольную двоичную последовательность или нет?
Любую - нет, всякую конструктивно определимую - да.
Но кажется этого более чем достаточно, потому что конструктивно неопределенные и не рассматриваются на практике.
Я бы даже сказал более: вся доказуемая математика лежит внутри R^{F_omega}.
Если нельзя выразить число через конечную процедуру в формальной системе, то нельзя:
ни доказать его свойства
ни использовать его в формализованной теореме
ни даже зафиксировать его как объект обсуждения
Поэтому с точки зрения теории доказательств, неопределимые числа математически не существуют.
но конструктивно определимых чисел счетное число, получается обычная конструктивная математика, никакого континуума. А континуум составляют как раз такие неопределенные числа.
Плюсы существования таких чисел - сильно упрощаются все теоремы. Для двух конструктивных чисел мы в общем случае не можем даже сказать равны они или нет.
тут тонкость, через которую сложно пройти: конструктивно определимых чисел счётно много в рамках одной расширяющейся последовательности систем формальных определимостей
но таких систем континуум
и они все в совокупности формируют континуум чисел
таким систем счетное число (если мы ограничиваемся теми которые можно описать символами/словами), поэтому вместе они формируют счетное число чисел.
Посмотрите Пример 1.1 из статьи, вот я его простыми словами сюда выкладываю.
Пример: Как различаются цепочки формальных систем через частичную информацию о числе π
Представим, что у нас есть бесконечное множество натуральных чисел A \subseteq N — например, все чётные числа, или простые числа, или вообще какое-то случайное бесконечное подмножество натуральных.
Блее формально: пусть A = {a_1, a_2, a_3, ...\ — бесконечное подмножество натуральных чисел. Тогда F_n^A — это формальная система, содержащая аксиомы о цифрах \pi на позициях a_1, a_2, ..., a_n.
Например, если A = {2, 5, 10, ...}, то:
В систему F_3^A мы включим формальные утверждения:
“вторая цифра после запятой у \pi — 4”,
“пятая цифра — 9”,
“десятая цифра — 5”.
Но остальные цифры \pi не включаются в аксиоматику — мы о них ничего не знаем.
Это абсолютно легитимный подход и часто используется в математике, вот пример конкретной аксиомы:
\begin{axiom}
The 5th decimal digit of \pi is 9.
\end{axiom}
Возникает вопрос, а почему в этой системе нет знания о других цифрах числа \pi? Потому что формальная система не предполагает, что у нее есть вся бесконечная информация, конструктивная логика локальна: если чего-то не включено, то это недоступно.
Что это даёт?
У нас получилась цепочка формальных систем, на каждом уровне которых доступна определённая информация о числе \pi, но только в тех позициях, которые заданы в множестве A.
То есть знание о \pi как бы “фрагментировано”, и разные множества A дают разные цепочки систем.
Теперь представим другое множество B \neq A (например, B — все нечётные числа). Построим аналогичную цепочку F_n^B, но уже с информацией о других цифрах числа \pi.
Получится, что два множества определяют две разные цепочки, и, соответственно, два разных множества определимых чисел — потому что:
в одной цепочке можно доказать утверждение “эта цифра у \pi равна X”,
а в другой — нельзя (если цифра отсутствует в множестве аксиом).
Таким образом:
Каждое бесконечное множество A \subseteq N задаёт свою цепочку формальных систем с частичной информацией о числе \pi.
Таких множеств — континуум, это P(N).
Значит, и различных цепочек систем, порождающих разные множества определимых чисел, тоже континуум.
Континуум различий между цепочками рождается даже при фиксированном числе \pi, если мы варьируем, какую часть его мы знаем формально на каждом уровне.
Ни в каком месте это не противоречит конструктивности подхода.
Если множества A и B отличаются лишь на конечное число элементов (т. е. A \Delta B конечно), то соответствующие цепочки F_n^A и F_n^B в пределе могут задавать одно и то же множество определимых чисел (поскольку конечное число изменений не влияет на выразительную силу формальной системы в асимптотике).
Однако если рассматривать только множества, различающиеся на бесконечное число элементов (например, A — чётные числа, B — нечётные), то соответствующие цепочки формальных систем будут давать заведомо различные множества определимых чисел.
Поскольку таких множеств A \subseteq N (попарно отличающихся на бесконечное число элементов) всё ещё континуум, то и различных цепочек остаётся континуально много.
число бесконечных цепочек формальных систем - континуум, но только потому что эти цепочки бесконечные (и среди есть заданные неконструктивно, т.е. их нельзя описать конечным числом символов). Но их элементов, т.е. самих формальных систем - счетное множество, поэтому все они совместно описывают счетное множество чисел.
Точно также как бинарных последовательностей континуум, хотя их элементов конечное множество (0,1).
Ваш комментарий содержит логическую ошибку, хотя на первый взгляд он может казаться правдоподобным.
“Количество формальных систем счётно, значит, в совокупности они могут описать только счётное множество чисел.”
Проблема в рассуждении:
Это похоже на утверждение:
Алфавит конечный, значит, книг можно написать только конечное число.
Но как известно:
Бинарных последовательности континуум, хотя алфавит всего из двух символов.
Ошибка в путанице между элементами и структурами их объединения:
Формальных систем действительно счётное число. Они задаются конечными строками в каком-то фиксированном метаязыке.
Но последовательностей таких систем (цепочек) — несчётно много (собственно про это теорема и пример). Почему?
Потому что множество всех функций f: N \to N — уже континуум
Любая возрастающая функция f задаёт цепочку F_0, F_f(1), F_f(2), ...
Даже если использовать только счётно много систем как кирпичики, количество способов их упорядочить в цепочку — континуум
Ключевой аргумент: континуум возникает в пространстве последовательностей, а не в пространстве самих систем.
Это абсолютно нормально и естественно:
Множество натуральных чисел — счётное
Множество всех последовательностей из натуральных чисел — континуум
То же и здесь:
Отдельная цепочка {F_n} описывает счётное множество чисел (если F_n заданы конструктивно).
Всего различных цепочек — континуум, и каждая может задавать уникальное число (например, свою условную версию числа Пи (не настоящего, а вымышленного, просто для связи с предыдущим примером) с разными известными цифрами).
Континуум возникает не из самих формальных систем, а из способов их комбинирования в бесконечные последовательности (континуум способов строить иерархии над ними). Это и позволяет в совокупности определить континуум различных чисел, по одному на каждую цепочку (или даже больше).
Является ли «условное π» конструктивным?
Краткий ответ:
Да, если цепочка систем {F_n} и цифры d_n задаются алгоритмически.
Нет, если требуется невычислимая информация (например, оракул для произвольного A \subseteq N).
Классическая конструктивность
Число считается конструктивным в смысле Брауэра–Маркова–Шанина, если:
Существует единый алгоритм, вычисляющий любую цифру d_n,
Его корректность доказывается в одной формальной системе (например, HA).
Случай с условным Пи:
Если каждая цифра d_n появляется лишь в своей системе F_n, и нет общего алгоритма, то это не классическая конструктивность.
Стратифицированная конструктивность
В модели R^F_omega, основанной на иерархии формальных систем, число называется стратифицированно конструктивным, если:
Цепочка систем F_n задана алгоритмически, то есть существует программа, по n порождающая F_n,
Каждая цифра d_n доказуема в своей F_n.
Такое число нельзя полностью вывести в одной системе, но оно появляется как предельный результат конструктивного процесса.
Примеры
Тривиальный (Пи):
F_n = PA + d_n = [n-ая цифра Пи]
Алгоритм для всех d_n известен, значит конструктивно в обоих вариантах.
Нетривиальный:
Пусть d_n = 1 \iff n \in A, где A — неразрешимо.
Нет алгоритма для d_n, значит:
Классически: неконструктивно,
Стратифицированно: неконструктивно, если F_n не задаются алгоритмически.
Для каждого конечного уровня n
конструктивно
в любой системе F_n, если она сама конструктивно задана (например, арифметика с ограниченными аксиомами), можно доказать утверждения и работать с объектами внутри этого уровня. Это приемлемо и в классике, и в интуиционизме. Классика принимает доказательства без требований к их построению. Интуиционизм требует построимости, но F_n задана, и можно явно указать алгоритм.
В пределе при n \to \infty
В классике очевидно - в пределе получаем такую-то структуру.
В интуиционизме - нельзя утверждать существование бесконечного объекта в целом, если вы не предъявили метод его генерации, то есть допустимы только потенциально бесконечные объекты, не актуально бесконечные.
Если подвести итоги обсуждения:
Фрактальный континуум как конструктивный универсум
Фрактальная теория чисел не просто совместима с интуиционистской программой — она её расширяет. Она предлагает:
Мета-конструктивный континуум, сформированный через стратифицированную определимость.
Иерархическую прослеживаемость, где каждый объект появляется на своём уровне F_n, но конструктивен уже там.
Безопасный предел: переход от уровней к F_\omega не требует аксиомы выбора и полностью прослеживаем.
Каждое число во фрактальном континууме R^F_omega существует не как изначально заданная точка, а как результат процесса определения, расширяемого до любой необходимой глубины.
Ключевые свойства фрактальной конструктивности:
Согласована с интуиционизмом
Стратифицирована
Не требует аксиомы выбора
Покрывает все конструктивное
Устраняет резкий разрыв между конечным и бесконечным
Формирует новый тип континуума
Это не попытка восстановить классический континуум, а замена его не через всеведение и актуальную бесконечность, а через процедурную развёртку — синтаксическое прорастание определимости сквозь уровни.
Мета-конструктивный континуум, сформированный через стратифицированную определимость.
континуум будет как раз неопределимых чисел. Потому что если для формулировки метода генерации последовательностей мы будем использовать конечное число символов, то и число таких методов будет конечным, а значит и описываемых ими чисел.
С точки зрения Брауэра–Маркова–Шанина - такие числа неопределимы, потому что они не приближаются сколь угодно близко из-за ограниченности выбранной системы, но работа как раз и направлена на то, чтобы построить новую модель расширяющихся формальных систем, и в рамках этой парадигмы число считается конструктивным и определимым, если оно сколь угодно близко приближается конечно определимыми числами, а это есть по построению фрактальных чисел.
Ключевой аргумент: континуум возникает в пространстве последовательностей, а не в пространстве самих систем.
С этим я согласен. Континуум возникает из-за того что эти последовательности бесконечные. Соответственно есть счетное множество чисел которые можно описать конечными последовательностями (n - конечно) и континуум чисел описываемых не менее чем бесконечными последовательностями. Возвращаюсь к началу дискуссии:
Существуют ли числа, которые нельзя описать ни при каком конечном n, только при бесконечном?
Числа Чайтина или случайные остаются нестрого определимыми, но приближаемыми с любой точностью стратифицированными последовательностями Коши, то есть такими что для всякой определимой последовательности Коши существует уровень n на котором ее предел является конструктивным.
Можно ввести стратифицированное замыкание - легкий вариант - когда считается что предел определим с точностью до эпсилон.
Можно ввести полное замыкание через аксиому стратифицированного предела, типа мы постулируем что предел есть в континуальном множестве цепочек, тогда получим полное R, но полностью стратифицированное.
Строятся бесконечные цепочки формальных систем, которые в целом (в пределе) могут не иметь конечного описания, однако на каждом конечном уровне каждая из них полностью задана конечным числом символов. Континуум таких цепочек возникает лишь в пределе, как совокупность всех возможных направлений роста, но непосредственно мы к этому пределу никогда не обращаемся. Все числа извлекаются из конечных участков цепочек, то есть каждое число строго определено, конечно выражено, и не существует "невыразимых" объектов. Тем не менее, мы не можем сосчитать все такие числа: как только они нумеруются в пределах одной системы, появляется следующий уровень, содержащий новые. Так возникает конструктивный континуум — несчётное множество, недостижимое изнутри какой-либо одной системы, но порождённое бесконечным процессом расширения определимости.
Может показаться, что этот процесс никогда не завершается — и это действительно так: в парадигме стратификации завершение нам и не требуется. Тем не менее, ничто не мешает перейти к классической платонистской интерпретации и сопоставить таким числам точки на отрезке. В этом контексте мы можем оперировать уже с предельными значениями и воспринимать результат как готовый континуум. Однако у этого континуума свои особенности: он многослойный, иерархически устроенный, не пересекает множество невыразимых чисел и, в этом смысле, представляет собой подмножество классического отрезка — конструктивно насыщенное, но не полное.
Вы правы: в статье действительно не доказывается, что произвольному элементу континуума можно сопоставить определимость на конечном уровне F_n, поскольку такого сопоставления не существует — и в этом состоит один из ключевых тезисов фрактальной модели.
Модель исходит из того, что на каждом конечном уровне S_n мы имеем лишь счётное множество определимых объектов. Однако существует континуум возможных допустимых цепочек расширений F_n, и вдоль каждой такой цепочки можно бесконечно расширять область определимости. Тем самым, каждый путь порождает своё собственное множество фрактальных чисел в пределе.
Таким образом, континуум в данной модели — это не множество уже данных объектов, а результат незавершаемого процесса расширения определимости вдоль допустимых цепочек. В этом — суть фрактального подхода: мы всегда остаёмся в пределах счётных уровней, но можем бесконечно углублять их, не достигая завершения. Поэтому требования доказать конечное завершение для произвольного элемента континуума противоречат самой конструкции модели.
Таким образом:
- Множество достижимых фрактальных чисел счётно.
- Множество всех потенциально определимых фрактальных чисел (во всех допустимых цепочках) имеет мощность континуума.
Никакая формальная система не может охватить все эти цепочки одновременно, поэтому несчётность фрактальных чисел — это мета-конструкция, не конструктивно реализуемая.
Это и есть центральная особенность модели: фрактальные числа не образуют завершённого множества, а существуют в виде стратифицированного процесса, допускающего бесконечное расширение, но не глобальную завершённость. При этом можно сформулировать слабую гипотезу сходимости чтобы завершить процесс:
Для каждой допустимой бесконечной цепочки формальных систем F_n, существует предел определимости, интерпретируемый как единственное фрактальное число, которое может быть ассоциировано с точкой отрезка [0,1].
После ассоциации/убирания процесса, получаем континуум точек.
больше похоже на романеско
Серьёзное такое усложнение понятия числа. Насколько оно будет оправдано? Время покажет)) Скорее всего такой подход разрешит несколько парадоксов множестава действительных чисел но при этом создаст новых, ещё более страшных парадоксов, как это обычно бывает.
где каждая следующая система может выразить больше чисел, чем предыдущая.
Лучше переформулировать: где каждая следующая система позволяет выразить числа, невыразимые в предыдущих.
Чтобы не было коллизий с мощностями множеств. Ведь в каждой системе всё ещё счётное количество чисел.
Пересмотр гипотезы континуума