В данной статье расскажу про связь конструкции электро-механической измерительной головки (как на рисунке 1) и механического компенсационного акселерометра (рисунок 2).
Скрипты и модель для данной статьи можно посмотреть на сайте engee (https://engee.com/community/ru/catalogs/projects/model-mekhanicheskogo-akselerometra)
С первого взгляда данные датчики совсем не похожи, как и измеряемые ими величины. Но при этом амперметр конвертирует силу тока в движение стрелки, а акселерометр преобразует ускорение при линейном движении в ток. Если в измерительной головке утяжелить стрелку (для увеличения момента инерции относительно оси вращения) то при линейном ускорении с контактов амперметра можно снимать ток который будет пропорционален линейному ускорению которому подверглась измерительная головка.
В данной статье проводится разработка облика акселерометра представляющего собой рамку с угловой степенью свободы относительно магнита, для большей точности измерений предполагается, что рамка будет удерживаться в нулевом положении и сила тока которая требуется для удержания рамки будет пропорциональное воздействующему на акселерометр ускорению, расчеты а также математическая модель полученного акселерометра сделаны с помощью программы Engee.
Расчет начну с определения параметров реальной измерительной головки, параметры рамки, магнита, провода измерены с помощью штангенциркуля, остальные параметры вычислены с помощью скрипта Engee
1 – стрелка для индикации измеренного напряжения.
2 – крепления рамки.
3 – рамка с катушкой.
4 – постоянный магнит.
5 – кольцевой магнитопровод.
6 – пружина (всего их две).
Движение данного механизма описывается дифференциальным уравнением второго порядка.
Где:
J - момент инерции рамки.
К - коэффициент демпфирования.
С - жесткость пружин.
В - Индукция магнита.
S - площадь рамки.
W - количество витков провода в рамке.
I - сила тока протекающего в рамке.
fi'' - угловое ускорение рамки.
fi' - угловая скорость рамки.
fi -угол поворота рамки относительно нейтрального положения.
В этом уравнении левая часть зависит только от геометрических параметров рамки и пружин, а левая часть характеризует внешнее воздействие.
Расчёт геометрических параметров измерительной головки.
Для вычисления параметров я задам геометрические размеры рамки, магнита, и магнитопровода.
# Радиус провода намотанного в катушке:
r = 0.025*10^-3
# Внутренние размеры окна рамки:
a1 = 13.6*10^-3
b1 = 6.4*10^-3
# Внешние размеры окна рамки:
a2 = 15*10^-3
b2 = 7.8*10^-3
# Ширина рамки:
c2 = 4.2*10^-3
# Ширина бортика у рамки:
t = 0.3*10^-3
# Высота бортика у рамки:
h = 0.3*10^-3
# Максимальный угол отклонения рамки:
alpha_max = 0.411
# Длина стрелки:
Lc = 60*10^-3
# Ширина стрелки:
bc = 1*10^-3
# Толщина стрелки:
hc = 0.5*10^-3
Плотность алюминия (материал из которого сделана рамка):
Плотность меди (материал из которого сделан провод):
Для упрощения вычислений введу такой параметр как средние размеры рамки, который будет представлять собой усреднение внешних и внутренних размеров рамки:
Для этих параметров посчитаю периметр и площадь рамки и площадь её сечения.
a3 = (a1+a2)/2
b3 = (b1+b2)/2
#Периметр:
R = a3*2+b3*2
#Площадь окна рамки:
S = a3*b3
# Площадь сечения рамки акселерометра:
s = c2*h-(c2-t*2)*(h-t)
#Объём применяемого в каркасе алюминия:
V = s*R
#Коэффициент заполнения при намотке привода:
p = 0.6
#Количество слоёв провода в катушке:
n = 10
#Зная ширину рамки и радиус провода, вычисляю количество витков провода в одном слое:
k = (c2-2*t)/(2*r)
#Помножаю это число витков на коэффициент заполнения:
k = floor(k*p)
#Далее посчитаю количество витков в катушке:
W = k*n
#Объём применяемой в катушке меди:
V2 = pi*r*r*R*W
#Объём применяемого в стрелке алюминия:
Vc = Lc*bc*hc
Для вычисления момента инерции рамки относительно её оси вращения разобью рамку на 4 балки и посчитаю их массу, параллельные балки равны по длине и по массе.
#Масса каркаса рамки:
m1 = ro1*V
#Масса медного провода в катушке:
m2 = ro2*V2
#Масса стрелки:
mc = ro1*Vc
#Масса короткой балки:
m3 = m1*b3/R+m2*b3/R
#Масса длинной балки:
m4 = m1*a3/R+m2*a3/R
При вычислении момента инерции, две длинные балки можно представить как одну, проходящую через ось вращения, момент инерции такой рамки:
J1 = (2*m4*a3*a3)/12
#Момент инерции коротких балок:
J2 = 2*m3*(a3/2)^2
#Момент инерции стрелки:
Jc = 2*m3*(a3/2)^2
#Суммарный момент инерции рамки с катушкой и стрелки:
J3 = J1+J2+Jc
Расчёт электрических параметров измерительной головки.
Задам параметры на которых буду основывать расчёт.
Радиус провода намотанного в катушке:
Индукция магнита:
Плотность тока в катушке:
Удельное сопротивление алюминия:
Коэффициент заполнения при намотке привода:
Количество слоёв провода в катушке:
Индукция магнита:
B = 0.3
#Плотность тока в катушке:
ji = 1
#Удельное сопротивление алюминия:
ro_al = 0.0271
#Удельное сопротивление меди:
ro_m = 0.0175
#Ток в катушке:
I = pi*(r*1000)*ji
#Угловая жесткость пружин в подвесе:
C = (B*S*W*I)/alpha_max
#Электрическое сопротивление каркаса рамки:
Ral = R*ro_al/(s*10^6)
#Коэффициент электрического демпфирования при угловом движении рамки:
Kd = (B*B*S*S*I)/Ral
#Собственная частота колебаний измерительной головки вольтметра:
w0 = sqrt(C/J3)
f0 = w0/(2*pi)
W1 = tf(1,[J3, Kd, C])
#Для проверки устойчивости можно применить например критерий Гурвица
a0 = J3
a1 = Kd
a2 = C
det([a1 0;
a0 a2] )
Измерительная головка вольтметра представляет собой колебательное звено второго порядка с демпфированием, зная все параметры этого колебательного звена запишу его передаточную функцию и проведу её анализ на устойчивость.
Электромеханическая измерительная головка не обладает обратной связью. Для проверки её устойчивости можно построить диаграмму Найквиста. (Рисунок 7)
По диаграмме Найквиста можно заключить что кривая не охватывает точку -1, следовательно передаточная функция устойчива. Также для данной передаточной функции построю амплитудную и частотную характеристики.
Для того чтобы определить на какой частоте наступает резонанс построю амплитудно-частотную характеристику для измерительной головки. (Рисунок 8)
Не менее важное свойство характеризующее устойчивость передаточной функции это качество переходного процесса, на графике видно, что функция устойчива, так как система после единичного воздействия возвращается в устойчивое положение. В переходном процессе присутствуют колебания, в данном устройстве колебания допустимы так как там высокая степень колебательности из за наличия пружины и инерционности создаваемой стрелкой.
Параметры, характеризующие переходный процесс:
Перерегулирование: 50%
Время регулирования: 1с
Расчёт акселерометра.
Далее предполагается что облик акселерометра будет схож с измерительной головкой рассчитанной в начале статьи, основное отличие это смещение центра масс рамки (перенос точек опоры рамки) для того чтобы она была более восприимчивой к ускорению, также для работы акселерометра требуется датчик угла. В рамках данной статьи выбором датчика не занимаемся но предполагается что датчик оптический и способен выдавать как как положительный так и отрицательный сигнал (для возможности измерения отрицательного ускорения)
1 – операционный усилитель (для усиления сигнала датчика угла).
2 – преобразователь напряжение – ток (резистор).
3 – резистор для получения выходного сигнала.
4 – рамка акселерометра (катушка, на которую намотан медный провод).
5 – торсионы (пружины для возврата рамки в нейтральное положение).
6 – два постоянных магнита.
7 – оптический датчик угла.
Акселерометр описывается уравнением которое очень схоже с тем которое описывает измерительную головку вольтметра (дифференциальное уравнение колебательного звена):
В этом уравнении левая часть полностью повторяет левую часть уравнения описывающего измерительную головку вольтметра. также в нем есть инерционный момент, который вызван разбалансом рамки (этот момент я не учитывал в расчётах, так как он мал по сравнению с остальными моментами), и момент вызванный действием ускорения на разбалансированную рамку.
Для визуализации связей между составляющими акселерометра построю структурную схему с помощью блоков библиотеки Engee (Рисунок 11)
На данной схеме можно отметить следующие составляющие:
· Ступенчатое входное воздействие (линейное ускорение которое прикладывается к акселерометру во время моделирования)
· Передаточная функция подвижной рамки (колебательное звено)
· Коэффициент преобразования датчика угла
· Коэффициент усиления
· Коэффициент преобразования тока в напряжение
# Внутренние размеры окна рамки
a1 = 13.6*10^-3
b1 = 6.4*10^-3
# Внешние размеры окна рамки
a2 = 15*10^-3
b2 = 7.8*10^-3
# Ширина рамки:
c2 = 4*10^-3
# Ширина бортика у рамки:
t = 0.2*10^-3
# Высота бортика у рамки:
h = 0.7*10^-3
# Максимальный угол отклонения рамки:
alpha_max = 0.05
# Расстояние от оси вращения рамки до рабочего участка катушки:
R1 = 10*10^-3
#Максимальное ускорение, которое способен измерять данный акселерометр:
g_max = 100
Максимальное ускорение, которое способен измерять данный акселерометр:
Плотность алюминия (материал из которого сделана рамка):
Плотность меди (материал из которого сделан провод):
#Средние размеры рамки акселерометра:
a3 = (a1+a2)/2
b3 = (b1+b2)/2
# Периметр и площадь рамки акселерометра:
R = a3*2+b3*2
S = a3*b3
# Площадь сечения рамки акселерометра:
s = c2*h-(c2-t*2)*(h-t)
# Объём применяемого в каркасе рамки акселерометра алюминия:
V = s*R
# Радиус провода намотанного в катушке:
r = 0.025*10^-3
Расчет масс элементов рамки акселерометра:
#Объём применяемой в катушке меди:
V2 = pi*r^2*R*W
# Масса каркаса рамки акселерометра:
m1 = ro1*V
# Масса медного провода в катушке:
m2 = ro2*V2
# Для вычисления момента инерции рамки относительно её оси вращения разобью рамку
# на 4 балки и посчитаю их массу, параллельные балки равны по длине и по массе.
#Масса короткой балки:
m3 = (m1*b3)/R
# Масса длинной балки:
m4 = (m1*a3)/R
При вычислении момента инерции, две длинные балки можно представить как одну, проходящую через ось вращения, момент инерции такой рамки:
# Момент инерции длинных балок:
j1 = (2*m4*a3^2)/12
# Момент инерции коротких балок:
j2 = 2*m3*(a3/2)^2
# Момент инерции, вызванный разбалансом рамки, данный момент инерции вычисляется по теореме Штейнера.
jh = (m1+m2)*(2.5*10^-3)^2
# Суммарный момент инерции рамки с катушкой:
j3 = j1+j2+jh
Расчёт электрических параметров акселерометра:
#Индукция магнита:
B = 0.8
# Амплитудное напряжение датчика угла:
Ud = 0.01
# Коэффициент усиления операционного усилителя:
K3 = 1000
Ky = 1000
# Плотность тока в катушке:
ji = 5
# Коэффициент заполнения при намотке привода катушки акселерометра:
p = 0.7
# Количество слоёв провода в катушке:
n = 1
# Зная ширину рамки и радиус провода, вычисляю количество витков провода в одном слое:
k = floor((c2-2*t)/(2*r))
# Далее посчитаю количество витков в катушке:
W = k*n
# Максимальный ток в катушке акселерометра:
I_max = pi*(r*1000)^2*ji
# Электрическое сопротивление катушки акселерометра:
Rm = (ro_m*W*R)/(pi*(r*1000)^2)
# Электрическое сопротивление каркаса рамки
Ral = R*ro_al/(s*10^6)
# Коэффициент электрического демпфирования при угловом движении рамки:
Kd = (B^2*b1^2*R1^2)/Ral
# Момент инерции длинных балок:
j1 = (2*m4*a3^2)/12
# Момент инерции коротких балок:
j2 = 2*m3*(a3/2)^2
# Момент инерции, вызванный разбалансом рамки, данный момент инерции вычисляется по теореме Штейнера.
jh = (m1+m2)*(2.5*10^-3)^2
# Суммарный момент инерции рамки с катушкой:
j3 = j1+j2+jh
# Угловая жесткость пружин в подвесе:
C = (B*b1*W*I_max-j3*g_max/R1)/alpha_max
# Собственная частота колебаний измерительной головки вольтметра:
w0 = sqrt(C/j3)
f0 = w0/(2*pi)
# Коэффициент передачи:
K1 = 1/C
# Безразмерный коэффициент демпфирования:
ksi = Kd/(2*sqrt(j3*C))
# Постоянная времени:
T1 = 1/w0
# Коэффициент преобразователя угла отклонения рамки в напряжение:
K2 = Ud/alpha_max
# Коэффициент преобразования напряжение – ток.
R_out = 50
K4 = 1/(Rm+R_out)
# Коэффициент передачи обратной связи
K6 = B*b1*R1
Koc = K6
# Электрическая жесткость акселерометра:
Ce = K2*K3*K4*K6
# Передаточная функция акселерометра без учета обратной связи:
W1 = tf(1,[j3, Kd, C])*K2*K3*K4
# Передаточная функция акселерометра с учетом обратной связи
Woc = feedback(W1,Koc)
Зная все эти параметры, напишу передаточную функцию компенсационного акселерометра (в соответствии со структурной схемой рисунок 18), и проведу анализ его устойчивости.
Передаточная функция рамки акселерометра:
Передаточная функция усилительных звеньев:
Передаточная функция обратной связи:
Передаточная функция акселерометра с обратной связью:
Данный акселерометр представляет собой колебательное звено второго порядка с демпфированием и обратной связью.
Также проведу анализ переходного процесса, при воздействии на акселерометр линейного ускорения.
Перерегулирование: 50%
Время регулирования, 0,02 с
В результате работы над статьёй проведен расчет механического акселерометра который построен на базе электромеханической измерительной головки, акселерометр обладает высокой чувствительностью (порядка 10^2) и резонансной частотой 544 Гц.
