В данной статье расскажу про связь конструкции электро-механической измерительной головки (как на рисунке 1) и механического компенсационного акселерометра (рисунок 2).

Скрипты и модель для данной статьи можно посмотреть на сайте engee (https://engee.com/community/ru/catalogs/projects/model-mekhanicheskogo-akselerometra)

С первого взгляда данные датчики совсем не похожи, как и измеряемые ими величины. Но при этом амперметр конвертирует силу тока в движение стрелки, а акселерометр преобразует ускорение при линейном движении в ток. Если в измерительной головке утяжелить стрелку (для увеличения момента инерции относительно оси вращения) то при линейном ускорении с контактов амперметра можно снимать ток который будет пропорционален линейному ускорению которому подверглась измерительная головка.

Рисунок 1 – Электромеханическая измерительная головка

В данной статье проводится разработка облика акселерометра представляющего собой рамку с угловой степенью свободы относительно магнита, для большей точности измерений предполагается, что рамка будет удерживаться в нулевом положении и сила тока которая требуется для удержания рамки будет пропорциональное воздействующему на акселерометр ускорению, расчеты а также математическая модель полученного акселерометра сделаны с помощью программы Engee.

Рисунок 2 – Пример реального акселерометра

Расчет начну с определения параметров реальной измерительной головки, параметры рамки, магнита, провода измерены с помощью штангенциркуля, остальные параметры вычислены с помощью скрипта Engee

*Рисунок 3 - Схема измерительной головки.*

1 – стрелка для индикации измеренного напряжения.

2 – крепления рамки.

3 – рамка с катушкой.

4 – постоянный магнит.

5 – кольцевой магнитопровод.

6 – пружина (всего их две).

Движение данного механизма описывается дифференциальным уравнением второго порядка.

Где:

J - момент инерции рамки.

К - коэффициент демпфирования.

С - жесткость пружин.

В - Индукция магнита.

S - площадь рамки.

W - количество витков провода в рамке.

I - сила тока протекающего в рамке.

fi'' - угловое ускорение рамки.

fi' - угловая скорость рамки.

fi -угол поворота рамки относительно нейтрального положения.

В этом уравнении левая часть зависит только от геометрических параметров рамки и пружин, а левая часть характеризует внешнее воздействие.

Расчёт геометрических параметров измерительной головки.

Для вычисления параметров я задам геометрические размеры рамки, магнита, и магнитопровода.

*Рисунок - 4 Размеры рамки измерительной головки вольтметра.*

*Рисунок 5 - Сечение рамки измерительной головки вольтметра.*

# Радиус провода намотанного в катушке:

r = 0.025*10^-3

# Внутренние размеры окна рамки:

a1 = 13.6*10^-3

b1 = 6.4*10^-3

# Внешние размеры окна рамки:

a2 = 15*10^-3

b2 = 7.8*10^-3

# Ширина рамки:

c2 = 4.2*10^-3

# Ширина бортика у рамки:

t = 0.3*10^-3

# Высота бортика у рамки:

h = 0.3*10^-3

# Максимальный угол отклонения рамки:

alpha_max = 0.411

# Длина стрелки:

Lc = 60*10^-3

# Ширина стрелки:

bc = 1*10^-3

# Толщина стрелки:

hc = 0.5*10^-3

*Рисунок 6 - Положение рамки относительно магнита.*

Плотность алюминия (материал из которого сделана рамка):

Плотность меди (материал из которого сделан провод):

Для упрощения вычислений введу такой параметр как средние размеры рамки, который будет представлять собой усреднение внешних и внутренних размеров рамки:

Для этих параметров посчитаю периметр и площадь рамки и площадь её сечения.

a3 = (a1+a2)/2

b3 = (b1+b2)/2

#Периметр:

R = a3*2+b3*2

#Площадь окна рамки:

S = a3*b3

# Площадь сечения рамки акселерометра:

s = c2*h-(c2-t*2)*(h-t)

#Объём применяемого в каркасе алюминия:

V = s*R

#Коэффициент заполнения при намотке привода:

p = 0.6

#Количество слоёв провода в катушке:

n = 10

#Зная ширину рамки и радиус провода, вычисляю количество витков провода в одном слое:

k = (c2-2*t)/(2*r)

#Помножаю это число витков на коэффициент заполнения:

k = floor(k*p)

#Далее посчитаю количество витков в катушке:

W = k*n

#Объём применяемой в катушке меди:

V2 = pi*r*r*R*W

#Объём применяемого в стрелке алюминия:

Vc = Lc*bc*hc

Для вычисления момента инерции рамки относительно её оси вращения разобью рамку на 4 балки и посчитаю их массу, параллельные балки равны по длине и по массе.

#Масса каркаса рамки:

m1 = ro1*V

#Масса медного провода в катушке:

m2 = ro2*V2

#Масса стрелки:

mc = ro1*Vc

#Масса короткой балки:

m3 = m1*b3/R+m2*b3/R

#Масса длинной балки:

m4 = m1*a3/R+m2*a3/R

При вычислении момента инерции, две длинные балки можно представить как одну, проходящую через ось вращения, момент инерции такой рамки:

J1 = (2*m4*a3*a3)/12

#Момент инерции коротких балок:

J2 = 2*m3*(a3/2)^2

#Момент инерции стрелки:

Jc = 2*m3*(a3/2)^2

#Суммарный момент инерции рамки с катушкой и стрелки:

J3 = J1+J2+Jc

Расчёт электрических параметров измерительной головки.

Задам параметры на которых буду основывать расчёт.

Радиус провода намотанного в катушке:

Индукция магнита:

Плотность тока в катушке:

Удельное сопротивление алюминия:

Коэффициент заполнения при намотке привода:

Количество слоёв провода в катушке:

Индукция магнита:

B = 0.3

#Плотность тока в катушке:

ji = 1

#Удельное сопротивление алюминия:

ro_al = 0.0271

#Удельное сопротивление меди:

ro_m = 0.0175

#Ток в катушке:

I = pi*(r*1000)*ji

#Угловая жесткость пружин в подвесе:

C = (B*S*W*I)/alpha_max

#Электрическое сопротивление каркаса рамки:

Ral = R*ro_al/(s*10^6)

#Коэффициент электрического демпфирования при угловом движении рамки:

Kd = (B*B*S*S*I)/Ral

#Собственная частота колебаний измерительной головки вольтметра:

w0 = sqrt(C/J3)

f0 = w0/(2*pi)

W1 = tf(1,[J3, Kd, C])

#Для проверки устойчивости можно применить например критерий Гурвица

a0 = J3

a1 = Kd

a2 = C

det([a1 0;

a0 a2] )

Измерительная головка вольтметра представляет собой колебательное звено второго порядка с демпфированием, зная все параметры этого колебательного звена запишу его передаточную функцию и проведу её анализ на устойчивость.

Электромеханическая измерительная головка не обладает обратной связью. Для проверки её устойчивости можно построить диаграмму Найквиста. (Рисунок 7)

*Рисунок 7 - Устойчивость системы по критерию Найквиста*

По диаграмме Найквиста можно заключить что кривая не охватывает точку -1, следовательно передаточная функция устойчива. Также для данной передаточной функции построю амплитудную и частотную характеристики.

Для того чтобы определить на какой частоте наступает резонанс построю амплитудно-частотную характеристику для измерительной головки. (Рисунок 8)

*Рисунок 8 - Амплитудная частотная характеристика и фазовая частотная характеристика.*

Не менее важное свойство характеризующее устойчивость передаточной функции это качество переходного процесса, на графике видно, что функция устойчива, так как система после единичного воздействия возвращается в устойчивое положение. В переходном процессе присутствуют колебания, в данном устройстве колебания допустимы так как там высокая степень колебательности из за наличия пружины и инерционности создаваемой стрелкой.

Параметры, характеризующие переходный процесс:

Перерегулирование: 50%

Время регулирования: 1с

*Рисунок 9 – переходный процесс измерительной головки вольтметра*

Расчёт акселерометра.

Далее предполагается что облик акселерометра будет схож с измерительной головкой рассчитанной в начале статьи, основное отличие это смещение центра масс рамки (перенос точек опоры рамки) для того чтобы она была более восприимчивой к ускорению, также для работы акселерометра требуется датчик угла. В рамках данной статьи выбором датчика не занимаемся но предполагается что датчик оптический и способен выдавать как как положительный так и отрицательный сигнал (для возможности измерения отрицательного ускорения)

*Рисунок 10 – функциональная схема акселерометра*

1 – операционный усилитель (для усиления сигнала датчика угла).

2 – преобразователь напряжение – ток (резистор).

3 – резистор для получения выходного сигнала.

4 – рамка акселерометра (катушка, на которую намотан медный провод).

5 – торсионы (пружины для возврата рамки в нейтральное положение).

6 – два постоянных магнита.

7 – оптический датчик угла.

Акселерометр описывается уравнением которое очень схоже с тем которое описывает измерительную головку вольтметра (дифференциальное уравнение колебательного звена):

В этом уравнении левая часть полностью повторяет левую часть уравнения описывающего измерительную головку вольтметра. также в нем есть инерционный момент, который вызван разбалансом рамки (этот момент я не учитывал в расчётах, так как он мал по сравнению с остальными моментами), и момент вызванный действием ускорения на разбалансированную рамку.

Для визуализации связей между составляющими акселерометра построю структурную схему с помощью блоков библиотеки Engee (Рисунок 11)

*Рисунок 11 - Базовая структура маятникового компенсационного акселерометра построена с помощью блоков Engee*

На данной схеме можно отметить следующие составляющие:

· Ступенчатое входное воздействие (линейное ускорение которое прикладывается к акселерометру во время моделирования)

· Передаточная функция подвижной рамки (колебательное звено)

· Коэффициент преобразования датчика угла

· Коэффициент усиления

· Коэффициент преобразования тока в напряжение

*Рисунок 12 - Сечение рамки акселерометра (штрих-пунктиром отмечена смещенная ось рамки)*

*Рисунок 13 – Второе сечение рамки акселерометра.*

# Внутренние размеры окна рамки

a1 = 13.6*10^-3

b1 = 6.4*10^-3

# Внешние размеры окна рамки

a2 = 15*10^-3

b2 = 7.8*10^-3

# Ширина рамки:

c2 = 4*10^-3

# Ширина бортика у рамки:

t = 0.2*10^-3

# Высота бортика у рамки:

h = 0.7*10^-3

# Максимальный угол отклонения рамки:

alpha_max = 0.05

# Расстояние от оси вращения рамки до рабочего участка катушки:

R1 = 10*10^-3

#Максимальное ускорение, которое способен измерять данный акселерометр:

g_max = 100

*Рисунок 14 – схема укладки медного провода в рамку акселерометра*

Максимальное ускорение, которое способен измерять данный акселерометр:

Плотность алюминия (материал из которого сделана рамка):

Плотность меди (материал из которого сделан провод):

#Средние размеры рамки акселерометра:

a3 = (a1+a2)/2

b3 = (b1+b2)/2

# Периметр и площадь рамки акселерометра:

R = a3*2+b3*2

S = a3*b3

# Площадь сечения рамки акселерометра:

s = c2*h-(c2-t*2)*(h-t)

# Объём применяемого в каркасе рамки акселерометра алюминия:

V = s*R

# Радиус провода намотанного в катушке:

r = 0.025*10^-3

Расчет масс элементов рамки акселерометра:

#Объём применяемой в катушке меди:

V2 = pi*r^2*R*W

# Масса каркаса рамки акселерометра:

m1 = ro1*V

# Масса медного провода в катушке:

m2 = ro2*V2

# Для вычисления момента инерции рамки относительно её оси вращения разобью рамку

# на 4 балки и посчитаю их массу, параллельные балки равны по длине и по массе.

#Масса короткой балки:

m3 = (m1*b3)/R

# Масса длинной балки:

m4 = (m1*a3)/R

При вычислении момента инерции, две длинные балки можно представить как одну, проходящую через ось вращения, момент инерции такой рамки:

# Момент инерции длинных балок:

j1 = (2*m4*a3^2)/12

# Момент инерции коротких балок:

j2 = 2*m3*(a3/2)^2

# Момент инерции, вызванный разбалансом рамки, данный момент инерции вычисляется по теореме Штейнера.

jh = (m1+m2)*(2.5*10^-3)^2

# Суммарный момент инерции рамки с катушкой:

j3 = j1+j2+jh

Расчёт электрических параметров акселерометра:

#Индукция магнита:

B = 0.8

# Амплитудное напряжение датчика угла:

Ud = 0.01

# Коэффициент усиления операционного усилителя:

K3 = 1000

Ky = 1000

# Плотность тока в катушке:

ji = 5

# Коэффициент заполнения при намотке привода катушки акселерометра:

p = 0.7

# Количество слоёв провода в катушке:

n = 1

# Зная ширину рамки и радиус провода, вычисляю количество витков провода в одном слое:

k = floor((c2-2*t)/(2*r))

# Далее посчитаю количество витков в катушке:

W = k*n

# Максимальный ток в катушке акселерометра:

I_max = pi*(r*1000)^2*ji

# Электрическое сопротивление катушки акселерометра:

Rm = (ro_m*W*R)/(pi*(r*1000)^2)

# Электрическое сопротивление каркаса рамки

Ral = R*ro_al/(s*10^6)

# Коэффициент электрического демпфирования при угловом движении рамки:

Kd = (B^2*b1^2*R1^2)/Ral

# Момент инерции длинных балок:

j1 = (2*m4*a3^2)/12

# Момент инерции коротких балок:

j2 = 2*m3*(a3/2)^2

# Момент инерции, вызванный разбалансом рамки, данный момент инерции вычисляется по теореме Штейнера.

jh = (m1+m2)*(2.5*10^-3)^2

# Суммарный момент инерции рамки с катушкой:

j3 = j1+j2+jh

# Угловая жесткость пружин в подвесе:

C = (B*b1*W*I_max-j3*g_max/R1)/alpha_max

# Собственная частота колебаний измерительной головки вольтметра:

w0 = sqrt(C/j3)

f0 = w0/(2*pi)

# Коэффициент передачи:

K1 = 1/C

# Безразмерный коэффициент демпфирования:

ksi = Kd/(2*sqrt(j3*C))

# Постоянная времени:

T1 = 1/w0

# Коэффициент преобразователя угла отклонения рамки в напряжение:

K2 = Ud/alpha_max

# Коэффициент преобразования напряжение – ток.

R_out = 50

K4 = 1/(Rm+R_out)

# Коэффициент передачи обратной связи

K6 = B*b1*R1

Koc = K6

# Электрическая жесткость акселерометра:

Ce = K2*K3*K4*K6

# Передаточная функция акселерометра без учета обратной связи:

W1 = tf(1,[j3, Kd, C])*K2*K3*K4

# Передаточная функция акселерометра с учетом обратной связи

Woc = feedback(W1,Koc)

Зная все эти параметры, напишу передаточную функцию компенсационного акселерометра (в соответствии со структурной схемой рисунок 18), и проведу анализ его устойчивости.

Передаточная функция рамки акселерометра:

Передаточная функция усилительных звеньев:

Передаточная функция обратной связи:

Передаточная функция акселерометра с обратной связью:

Данный акселерометр представляет собой колебательное звено второго порядка с демпфированием и обратной связью.

Рисунок 15 – частотная характеристика акселерометра

Также проведу анализ переходного процесса, при воздействии на акселерометр линейного ускорения.

Перерегулирование: 50%

Время регулирования, 0,02 с

*Рисунок 16 - Качество переходного процесса.*

В результате работы над статьёй проведен расчет механического акселерометра который построен на базе электромеханической измерительной головки, акселерометр обладает высокой чувствительностью (порядка 10^2) и резонансной частотой 544 Гц.

Сравниваем модели амперметра и акселерометра с помощью Engee