Почему именно уравнения чаще всего выражают физические законы? К примеру, второй закон Ньютона, уравнения Максвелла, уравнение Шредингера… Список можно продолжить. Но, конечно, не все законы физики выражаются именно уравнениями. Неравенство Клаузиуса — это, без сомнений, неравенство, как и связанный с ним закон возрастания энтропии. Существуют вариационные принципы, а существуют и вообще законы, формулируемые словами. Таковыми, например, являются первый закон Ньютона или принцип относительности Эйнштейна. В таком случае пытливый ум может задаться сразу несколькими вопросами:
В каких вообще формах могут быть выражены физические законы?
Почему именно такие конструкции, как уравнения, неравенства, принципы наименьшего действия, чаще всего выражают физические законы?
Все ли способы формулировки физических законов нам известны или, возможно, будут обнаружены новые?
Можно ли взглянуть на математические способы формулировки физических законов с некой единой точки зрения? (Спойлер: можно!)
В этой статье попытаемся ответить на выдвинутые вопросы и обсудить, чем их осмысление может быть полезно.
Законы физики, строго говоря, можно разделить на две группы: выражающие взаимосвязь каких-то величин и не выражающие такой взаимосвязи. Законы второй группы чаще всего постулируют некоторый общий факт: «существуют инерциальные системы отсчета», «невозможно создание вечного двигателя второго рода». Такие законы очень общие и потому очень сильные, всеобъемлющие. Следующие из них выводы относятся к огромному кругу явлений, если не вообще ко всем. Законы первой группы являются более частными, именно они в большинстве случаев выражаются уравнениями, неравенствами и другими математическими формами. Остановимся здесь немного подробнее и разберем, как именно появляется потребность в физическом законе и его математической формулировке при описании какого-то явления, на примере звука.
Звук есть колебания воздуха, воспринимаемые человеческим ухом. Что для нас, как для физиков, являлось бы корректным и достаточным описанием этого явления? Например, нас бы удовлетворило знание зависимости давления воздуха на барабанную перепонку нашего уха от времени. Если мы хотим описывать процессы распространения звука, то нас бы удовлетворило знание значения давления воздуха в каждой точке интересующей области в каждый момент времени. Другими словами, описание звука для нас равносильно знанию зависимости давления от координат и времени. Математически такая зависимость будет представлять собой функцию 
. Если подумать, то функции — это и есть то, чего мы хотим от описания вообще любых процессов: мы хотим знать, как одни величины зависят от других. (Вы с легкостью можете придумать множество примеров в подтверждение последней мысли.)
Вернёмся к звуку. Понятно, что не любая функция может претендовать на то, чтобы верно описывать звук. Как минимум, мы ожидаем от искомой функции непрерывности. С другой стороны, очевидно, что подходящая функция не единственная, поскольку звук может быть вполне разным в зависимости от каких-то условий. Таким образом, из всех функций лишь некоторое подмножество является функциями, реально описывающими звук в конкретных ситуациях. Как быть дальше? Конечно, хотелось бы перебрать все эти функции -- тогда описание звука попросту свелось бы к списку всех этих функций и (в идеале) инструкции, в каком конкретном случае какая функция реализуется. Согласитесь, не самый лаконичный способ, если вообще осуществимый. Тем не менее, он отражает суть: звук для нас есть какое-то подмножество функций , причем при задании некоторых дополнительных условий может быть (в идеале) найдена единственная функция, реализуемая в данном случае. Есть ли способ записать все это подмножество функций, которое мы в силу вышесказанного можем называть звуком, коротко и ясно?
Попробуем углубиться в суть процесса. Как именно распространяется звук? В конечном счете, звук есть движение молекул воздуха, а оно должно подчиняться законам классической механики. Если, допустим, в каком-то месте создалось сгущение, то в этом месте будут повышены плотность и давление, следовательно, в следующий миг молекулы устремятся из этой области в соседние. Если, напротив, где-то образовалось разрежение, то в следующий миг молекулы наоборот устремятся в эту самую область. Таким образом, волновой характер распространения звука можно представить даже с помощью таких абсолютно грубых рассуждений. Детальный анализ (который может быть найден практически в любом учебнике по общей физике) с помощью второго закона Ньютона приводит к результату в виде так называемого волнового уравнения для функции давления от координат и времени p(x,y,z,t):
Для нас здесь важен не вид уравнения, а сам факт его появления. Кульминационный вопрос – так почему же все-таки уравнение? (Понятно, что второй закон Ньютона, из к��торого появилось волновое уравнение, — это тоже уравнение, и мы просто выкладками получили одно уравнение из другого, но это не дает ответа на наш глубинный вопрос!)
Что есть уравнение? Уравнение, в данном случае дифференциальное, – это нечто, куда можно подставлять функции, причем для некоторых функций оно будет превращаться в верное функциональное равенство, а для некоторых – в неверное. Если хотите, то уравнение – это отображение из множества допустимых функций в булево множество, то есть множество из двух значений: «подходит» и «не подходит». Попросту говоря, уравнение – это фильтр, который отбирает из всех функций какие-то определенные. Но ведь это именно то, что нам было нужно! Вспомните, чего мы хотели при описании звука: мы хотели лаконичной записи для подмножества функций и вот мы ее получили. Проницательный читатель уже наверняка догадался: уравнения, неравенства и так далее – это все фильтры, вырезающие из всего множества функций только те, которые реально описывают или могут описывать какой-то процесс. При наложении каких-то дополнительных условий (начальных, граничных и т д) возможно поставить вопрос о единственности решения какого-то уравнения. Поэтому вопросы единственности решений занимают такое большое место в курсах дифференциальных уравнений и уравнений математической физики – хочется четко понимать, каких именно условий будет достаточно для единственности решения той или иной задачи. И по этой же причине при решении дифференциальный уравнений важно, среди функций какого класса мы ищем решения. Возвращаясь немного назад, подытожим, что главная мысль заключается в идее взгляда на уравнения как на фильтры. Для демонстрации этой мысли и был задействован пример со звуком.
Как уже было сказано выше, уравнение, описывающее звук, не является фундаментальным в том смысле, что оно получается из более фундаментального второго закона Ньютона. Такая ситуация не редкость, когда уравнения эффективных законов могут быть получены из более фундаментальных уравнений. В каком-то смысле, звук по этой причине нарочно был выбран в качестве примера. В случае же самих фундаментальных законов их уравнения должны быть угаданы либо найдены любыми возможными способами. Здесь, что называется, победителей не судят: если каким-то образом удалось установить фундаментальный закон, то этот результат ценен сам по себе независимо от способа его получения. Конечно, это не умаляет ценности теоретических рассуждений, помогающих искать такие фундаментальные уравнения.
Перед тем как подвести итог наших рассуждений, заметим, что есть законы, сразу формулируемые в виде функциональной зависимости (взаимосвязь длины окружности и ее радиуса 
, закон Кулона). Здесь необходимости в уравнениях нет, поскольку взаимосвязь между интересующими величинами сразу дается некоторой функцией (одной) и это и есть самый лаконичный вид записи закона.
Теперь мы готовы сформулировать основную мысль:
Физические законы делятся на выражающие взаимосвязь физических величин и не выражающие такой взаимосвязи. Законы, выражающие взаимосвязь физических величин представляют собой либо функцию, либо множество функций. В случае одной функции сама эта функция и является самым лаконичным способом записи функций. В случае множества функций самым лаконичным способом записи является фильтр, определяющий это множество функций. Таким фильтром могут являться уравнения, неравенства и вообще что угодно (даже еще не придуманное), что позволяет лаконично описать множество функций как подмножество большего класса функций.
Наглядно это можно представить себе в виде схемы:
Подведем итог: по ходу проделанных рассуждений мы, так или иначе, получили ответы на все вопросы, выдвинутые в начале. Единственный вопрос, не получивший однозначного ответа, это вопрос о том, известны ли нам все способы формулировки физических законов или, возможно, будут обнаружены новые. Автор затрудняется дать здесь однозначный ответ, однако уверен, что идея фильтров позволяет взглянуть рационально и на этот вопрос.
Почему вообще может быть интересно размышлять об этом и в чем польза? К самому вопросу, вынесенному в заглавие статьи, можно подойти как минимум с двух сторон. Первый способ – в контексте принципа относительности. Если (в силу принципа относительности) во всех инерциальных системах отсчета все явления проистекают совершенно одинаково, то, видимо, и описывающие их фундаментальные физические законы должны быть одинаковы. Чтобы понять, как какой-то закон будет формулироваться в разных системах отсчета, необходимо сначала понять, как вообще формулируются физические законы, что и приводит к выше затронутому вопросу. Второй подход реализуется, если, например, после изучения ньютоновской механики переходить к лагранжеву формализму. Эти два метода описывают один и тот же круг явлений, но используют разные математические конструкции, поэтому можно считать, что это один и тот же физический закон, выраженный, скажем так, в разных формах: дифференциального уравнения и принципа наименьшего действия. Встает вопрос, как эти формы связаны между собой и что в них общего. Теперь мы, конечно, понимаем, что это, по существу, два способа наложить один и тот же фильтр. Обычно в курсах аналитической механики доказывается их эквивалентность, что подтверждает наше понимание.
