Теория вероятностей и антропогенный фактор

image

Введение


Среди людей бытует мнение, что человек, поступивший на математический факультет, обязательно выйдет оттуда учителем математики. Это не я придумал, это по опыту, ибо довольно большое количество не очень образованных людей спрашивало, куда я собираюсь идти работать после окончания ВУЗа. Разумеется, найти можно и куда более обширные области применения своих знаний. Одна из них связана с теорией вероятности. Я не хочу вникать в сложные подробности предмета, т.к. люди, не имеющие нужной математической базы, скорее всего запутаются. Но и говорить совсем ни о чем не хочется. Поэтому я хочу написать про связь человека и этой самой теории вероятностей, причем на простом, понятном любому языке. Если интересно — прошу под кат.

Общая информация


Я все же введу пару определений, чтобы хоть немного формализовать написанное.
1) Если имеется несколько возможных случайных исходов, «равновозможных» между собой, то классическая вероятность — это отношение количества «хороших» случайных (элементарных) событий к их общему количеству. Например, если у вас есть 5 шариков, 2 из которых белые, то вероятность взять именно белый шар будет равняться 2/5.
2) Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до ее измерения нельзя точно предсказать. Классический пример — игральная кость. Кидая ее, можно случайно получить одно из шести возможных значений.
3) Математическое ожидание случайной величины — это сумма всех возможных ее значений, помноженных на их вероятность. Говоря простым языком, это «среднее значение» принимаемой случайной величины. Для игральной кости оно равно (1+2+3+4+5+6)*1/6=3.5. Что нам это дает? То, что кидая кость много (например 100) раз, в среднем каждый раз будет выпадать 3.5, а в сумме выпадет примерно 100*3.5=350. При увеличении количества бросков, относительная погрешность реального результата и его математического ожидания, помноженного на количество бросков, будет уменьшаться все сильнее.

Суть


Теперь суть того, что я, собственно, хотел рассказать: математические подсчеты довольно хорошо прогнозируют разные события, если они напрямую не зависят от выбора человека. Если же вмешивается антропогенный фактор, то строить какие-то планы, опираясь только на теорию вероятности нужно с осторожностью. Приведу пару простых примеров. Возможно они немного надуманные, но зато простые и понятные.

Монетка

Случай раз

Вам во время пары в универе (урока в школе, рабочего дня) стало скучно и Вы предложили соседу по парте (коллеге по работе) сыграть в следующую игру: подбрасываете монетку; если выпал орел — Ваш друг платит вам 5 рублей, если же выпала решка, то Вы платите 5 рублей. От скуки человек может и согласиться. Вы будете играть так весь день, а в конечном итоге оба останетесь практически при тех же деньгах, что были изначально. Вероятность выпадения любой стороны монетки 1/2 и, как следствие, математическое ожидание Вашего выигрыша равно нулю. Так что в среднем выигрыш/проигрыш будет в районе плюс-минус 10 рублей. Ну, может быть, немногим больше. В любом случае, для бюджета не критично.

Случай два

Ситуация та же, но вы предложили за проигрыш платить не по 5, а по 1000 рублей. Скорее всего ваш друг/коллега откажется. Ибо не хочется просто так потерять ощутимую сумму денег.

Что же изменилось? Математическое ожидание выигрыша по-прежнему равно нулю. С точки зрения математики все практически то же самое. А тут уже вмешался человеческий фактор, и Ваш план скоротать скучный день провалился.

Лотерея

Вы решили организовать лотерею. Сделали билеты ценой по 10 рублей с пятидесятипроцентным шансом выиграть 15. Математическое ожидание выигрыша равно 15*0.5=7.5 рублей, но так как билет стоит 10, получается -2.5 рубля. Да, клиенту не очень выгодно, но ведь Вы не собираетесь работать себе в убыток, правда? Однако вряд ли такая лотерея будет пользоваться популярностью. Потому что предлагается потратить 10 рублей с сомнительным шансом выиграть 15. Разница-то невелика.

Вы меняете условия и делаете лотерею практически благотворительной. Теперь выигрыш 25 рублей. Математическое ожидание выигрыша минус стоимость билета — 2.5 рубля! Вы даже останетесь в убытке! Но народ в большинстве своем по-прежнему не будет жаловать Вашу лотерею, ибо выигрыш немногим больше цены билета. В лотерею будут играть разве что школьники, которым не хватает мелочи на мороженное.

В то же время Ваш предприимчивый сосед тоже устраивает свою лотерею. Только он берет за билет 50 рублей, а выигрышем является автомобиль стоимостью 500000 руб. Вероятность выигрыша — 0.001%. Математическое ожидание выигрыша — 5 рублей. Минус стоимость билета, получим -45 рублей. Да лотерея соседа просто грабительна! Продав достаточно большое количество билетов, даже разыграв при этом автомобиль, он все равно знатно разбогатеет. Люди же вполне могут покупать билеты, ведь что такое 50 рублей перед перспективой получить задаром неплохой автомобиль?

Читатель может решить, что дело просто в количественном размере выигрыша. Но это далеко не обязательно. Приведу еще один довольно надуманный, но показательный пример:

Очень крупная лотерея

Вам предлагают подарок неслыханной щедрости. «Супер-лотерею». Одну из двух, на выбор. Сыграть в нее можно только один раз. В первой «лотерее» Вам гарантированно выплачивают миллион долларов. А во второй с 50% шансом Вы получите 2 миллиона, с 40% шансом миллион и с 10% шансом уйдете ни с чем. Математическое ожидание выигрыша в первой «лотерее» 1 миллион. Во второй — 1.4 миллиона. Но что же Вы выберете? Может кто-то и выберет второй вариант, но проведение опроса среди некоторого количества людей покажет, что большинство наверняка выберет первый вариант. Ведь, как говорится, лучше синица в руках… Тем более, если синица — это миллион, а во второй «лотерее» есть шанс не получить ничего. И гипотетические 2 миллиона ничего не решают.

Последний пример

Вы написали хорошее и качественное приложение для телефона. Потратили много сил и средств. Вы выставляете его в магазин по цене $9.99. Для такого качественного продукта это, вроде бы, не очень много. Да и Вам нужно окупиться и подзаработать. Но Ваше приложение никто не покупает. Люди сочли, что это дорого. Загрузки минимальны. Вы в отчаянии снижаете цену до $0.99. Фурор, люди скачивают Вашу программу только так, но денег с них идет недостаточно. Тогда Вы вновь поднимаете цену, но уже до $4.99. Да, поток скачиваний снижается относительно самой низкой цены, но все же он выше, чем вначале. И о чудо, Вы получаете вполне неплохую прибыль с Вашего продукта. С точки зрения примитивных подсчетов, количество желающих иметь эту программу всегда было одним и тем же. Однако Вы снизили цену относительно первоначальной, а прибыли увеличились. Снова чисто человеческий фактор.

Ну и что в итоге?


В итоге, с одной стороны, математические подсчеты могут дать не совсем очевидные с точки зрения математики результаты. Человек может из почти одинаковых условий выбирать строго одно, а среди нескольких предложений брать более невыгодное для себя. Почему? Так устроен человек. Выгода одного конкретного человека не всегда может быть просто так подсчитана.
С другой стороны, если смотреть с точки зрения различных фирм, корпораций и т.д., то имея множество клиентов, можно получать неплохие деньги, даже если с точки зрения математики предложение для клиента не самое выгодное. Именно поэтому существуют банки, лотереи, страховые компании. И люди берут кредиты под дикие проценты, покупают сомнительные лотерейные билеты и страхуют вещи, с которыми, скорее всего, все будет в порядке.
А значит, пытаясь применить по отношению к людям какие-то подсчеты «в тупую», мысля как робот, скорее всего, ничего путного и полезного не выйдет. Но ежели действовать с умом, представить себя на месте других людей, то можно горы свернуть и миллиарды заработать с помощью математики.

В общем, думайте как люди, но про математику тоже не забывайте.

P.S. Если я где-то написал какую-то ерунду (примеры-то из головы брал), сильно не пинайте, скажите. Мне интересно мнение других людей.
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама

Комментарии 36

    –1
    Из того, что я помню, у монетки (случай номер 1, например) средний конечный результат (по абсолютной величине) будет равен количеству бросков, умноженному на величину каждого, пополам, так что при большом количестве бросков всё не так просто.
      0
      Средний результат рассчитывается как раз через математическое ожидание, помноженное на количество бросков. Результаты всегда +1 или -1, вероятность 1/2 так что при устремлении количества бросков к бесконечности будет как раз 0.
      Ежели количество бросков умножать на результат каждого, то получится конкретный, реальный результат, (который в каждом эксперименте будет свой), но не средний.
        0
        Я имею в виду средний результат по абсолютной величине, так что кто-то определённо выиграет побольше, чем что-то в районе нуля.
          0
          Если бы кто-то в данной игре гарантировано выигрывал что-то побольше нуля, вероятность события уже не была бы равна 1/2, либо выигрыши не были бы прямо противоположные по модулю.
            0
            Ещё раз, я не говорю о том, что у кого-то из игроков есть преимущество, а о том, что мат. ожидание абсолютной величины выигрыша/проигрыша сильно больше нуля, то есть в конце игры с довольно большой вероятностью один из игроков будет должен другому довольно много.
              0
              Ну так выигрыши прямо противоположные. В чем смысл искать математическое ожидание модуля данной случайной величины? По модулю выигрыш всегда равен 1. Мат. ожидание будет просто-напросто равно количиству бросков, деленному на два. Но это ни в коей мере не будет характеризовать реальный выигрыш любого из участников, ибо деньги они платят друг другу.
                –1
                Так что в среднем выигрыш/проигрыш будет в районе плюс-минус 10 рублей.


                Я говорю о том, что это не будет правдой. Потому что, как вы и сказали,
                Мат. ожидание будет просто-напросто равно количиству бросков, деленному на два.
                Да, вероятность выиграть такая же, как и проиграть, но и выигрыш, и проигрыш будут довольно большими в среднем.
                  +1
                  Не вырезайте из контекста. Я говорил про мат. ожидание модуля, которое в данном случае вообще не имеет особого смысла.
                  Да, при очень большом количестве бросков выигрыш может быть большим. Но скорее всего он будет мал, особенно относительно числа партий.
                  Я сейчас специально набросал код на c++, который имитирует игру в монетку на +-1 рубль. За несколько экспериментов по 100 партий выигрыш всего один раз вылез по модулю за 10 рублей. За десяток экспериментов по миллиону партий выигрыш ни разу не дошел и до 500р, всегда был около 250.
                  Я понимаю о чем Вы, но чтобы выигрыш вылезал за пределы хотя бы 1000р, нужно будет сыграть очень много партий. И по сравнению с их количеством, выигрыш будет все равно мал.
                    0
                    Распределение вероятности.

                    В данном случае мы вообще ничего не можем сказать наверняка, зато точно можем сказать, что «отклонение будет маленьким с большой вероятностью», «отклонение будет средним со средней вероятностью», «отклонение будет большим с маленькой вероятностью».
              0

              Вот распределение вероятностей для 30 бросков если интересно:
              Deviation is equal or less than 0 0.14446444809436798
              Deviation is equal or less than 2 0.41533528827130795
              Deviation is equal or less than 4 0.638405391946435
              Deviation is equal or less than 6 0.7995115779340267
              Deviation is equal or less than 8 0.901262853294611
              Deviation is equal or less than 10 0.9572260547429323
              Deviation is equal or less than 12 0.983875198289752
              Deviation is equal or less than 14 0.9947771206498146
              Deviation is equal or less than 16 0.998569093644619
              Deviation is equal or less than 18 0.9996750857681036
              Deviation is equal or less than 20 0.9999405238777399
              Deviation is equal or less than 22 0.9999915696680546
              Deviation is equal or less than 24 0.9999991320073605
              Deviation is equal or less than 26 0.9999999422580004
              Deviation is equal or less than 28 0.9999999981373549
              Deviation is equal or less than 30 1.0


              код могу кинуть если надо. Короче: +-1 вряд ли будет, но в целом скорее всего отличие будет очень маленькое

          0
          откуда в первом случае появились +-10 рублей?
            +2
            За сотню-другую бросков ровно ноль скорее всего не получится, так что кто-то все же останется немного в плюсе. Но не сильно. Так что +-10 взялось из головы. В реальности может быть что угодно.
            0
            Пользуясь случаем, хочу спросить у математика (студента-математика).

            Имеет ли под собой основание утверждение, что случайности в жизни, вовсе не обязательно случайны, т.к. теория вероятности подразумевает под собой серию опытов (испытаний), а жизнь-то — она одна, и мы не можем повторить опыт (войти дважды в одну и ту же реку).

            Т.е. примерно как цифры в числе ПИ — вроде бы последовательность и случайна, но само-то число — точно не случайно.
              +1
              Это не к математику, а скорее к философу вопрос.
                0
                Разумеется, на все события что-то влияет. Листок падает, потому что ветер подул, мысль в голове возникла из-за другой мысли и так далее. Так что в каждом конкретном случае можно говорить, что данное не случайно, к нему привели другие. Но если смотреть на множество событий в общем, со стороны, то каждое в отдельности рассчитать не представляется возможным, так что можно считать их случайными. Практика вычислений показывает, что в большинстве случаев такие вычисления оправдываются.

                Что касается чисел вроде пи или е, то они получилось такими, какие есть, и вычисления показывают, что другими они быть не могли. Разумеется, считать их случайными нельзя, ведь случайная величина — та, у которой мы не можем узнать точно величину, которую она покажет. У числа пи же можно вычислить любую цифру.
                  +1
                  теория вероятности подразумевает под собой серию опытов (испытаний), а жизнь-то — она одна


                  Если пользоваться колмогоровской аксиоматикой, а не наивным сведением вероятностей к частотам, то окажется, что сами по себе серии опытов не лежат в основе теории вероятностей. При таком понимании вполне можно говорить о вероятности попадания в мишень даже в том случае, когда в результате попадания вселенная будет разрушена и никакой серии опытов не получится в принципе. Но для практики все равно наиболее полезными оказываются результаты (теоремы), относящиеся к сериям повторяющихся опытов (разные варианты закона больших чисел).
                  +1
                  Работать то куда пойдете? :)
                    0
                    Я сейчас на 2 курсе, так что пока просто подрабатываю репетитором по информатике. А дальше как карта ляжет. Выбрал кафедру Математической статистики и случайных процессов, посмотрим, как пойдет.
                    0
                    У вас в примере «Лотерея» в строке

                    > Теперь выигрыш 25 рублей. Математическое ожидание выигрыша 2.5 рубля!

                    похоже ошибка, если шансы на победу 50%, получается 12.5 рублей.
                      0
                      Не совсем корректно написал. Имелось в виду мат. ожидание выигрыша минус стоимость билета. Сейчас исправлю.
                      0
                      Простите за занудство, но считаю своим долгом математика напомнить как автору, так и всем комментирующим, что раздел науки называется «Теория вероятностей», в множественном числе, так как изучает не один какой-то частный случай.
                        0
                        Привычка так говорить просто. Пожалуй, это реально так. Если сильно глаза режет — поправлю.
                        +3
                        Вы забыли про диверсификацию рисков. Я бы не назвал её чисто человеческим фактором.

                        1) Игра в монетки на 1000 рублей. Есть, пусть и маленький, но риск, что когда игра закончится а у вас будет минус, скажем, 3000. И это 3000 сделают вашу жизнь до следующей зарплаты очень тяжелой. Значит ущерб будет не 3000, а 3000 + месяц мучений и неправильного питания. Если в будущем человек выиграет 3000 это ему не компенсирует этот месяц.

                        2) То же самое лотерея — человеку не важно что сегодня он выиграет 5 рублей, ведь если он всю жизнь будет играть в такую лотерею, ничего в его жизни не изменится. А машина сильна изменит его жизнь. Речь не о прибыли/убытке, а о смене образа жизни (ближайшие 5 лет не нужно ходить пешком и копить на машину), и это может принести «дивиденты» в будущем.

                        3) И то же про страхование — если сами можете покрыть риски, страховаться не нужно (не нужно страховать свой мобильник), если же урон сещественный — то нужно (полжизни выплачивать кому-то долг за затопленную квартиру — это не диверсифицируется — жизнь то у вас одна).
                          0
                          Я не спорю, но я же сказал, что не хочу вдаваться в сложности. Просто попытался применить простые подсчеты к человеческой жизни. Собственно, из-за того, что все не так просто, и была создана вся финансовая математика.
                          Вы говорите, не человеческий фактор. Но вся теория рисков не существовала бы без человека вообще. А простая теория вероятностей (какая сторона монетки выпадет) вполне может существовать и без людей.
                            +1
                            Я бы больше назвал это фактором, пришедшим из прикладной области, к которой теория вероятностей в данном случае применяется. У людей ограниченные финансовые возможности, они не могут уходить в глубокий минус. Если бы вместо людей были расчётливые компьютеры — было бы так же. Обычный холодный расчёт.

                            А человеческий фактор, когда что-то делается вопреки всем расчётам, из-за ментальных особенностей, психологии итд.
                          +3
                          Вы знакомы с: Парадоксом Алле?
                            0
                            На лекции в одной математической каникулярной школе нам про этот парадокс рассказывали. Было это несколько лет назад, так что название я не вспомнил. Прочитал — понял, что это оно. Собственно это все и натолкнуло на один из примеров, только числа я брал из головы.
                              0
                              Если вам интересна эта тема, рекомендую прочитать вот эти лекции.
                              –1
                              А мне почему-то вспомнился «парадокс» Монти Холла. Люди с пеной у рта доказывали мне, что такого быть не может… Ну, понятно, проигрывали :D
                              +2
                              bash.im/quote/422381

                              Да и вообще средний человек не рационален, это давно известно.
                                0
                                Я дико извиняюсь, но где связь последнего примера с приложением и теории вероятностей?
                                  0
                                  Связь есть, ведь нужно посчитать, какова вероятность, что люди купят что-либо именно за конкретную цену. И нужно установить нужную цену для наибольшей прибыли, ведь повышение цены не гарантирует повышение дохода. Да, пример не так прямо связан со всем вышенаписанным, но все же не «левый».
                                    0
                                    Тогда стоило описать расчет матожидания в зависимости от цены (например, на основе цен и количества покупок конкурентных приложений) и после этого «выставлять цену». А в текущем виде пример слишком притянут за уши.
                                      0
                                      Как уж есть. Ночью писал, да и вычислять ничего особо сильно не хотелось. Главное, что суть ясна, а на большее я тут не претендую.
                                  0
                                  Всё встанет на свои места, если рассматривать не сами деньги, а их полезность. Полезности плюс десяти и минус десяти рублей практически равны по модулю. Полезности плюс десяти тысяч и минус десяти тысяч — как правило, нет. Если выигрываешь десять тысяч — у тебя просто будут лишние десять тысяч. Если проигрываешь десять тысяч — их, как правильно заметили выше, может не хватить на что-то важное.
                                    +2
                                    При игре в монетку как раз вероятность того что один из игроков будет в выигрыше, а другой в проигрыше как раз выше.
                                    Читаем тут ищем абзац начинающийся с «Распределение арксинуса связано со случайным блужданием.» и читаем текст с пояснением ниже.

                                    Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                    Самое читаемое