Отыскание периодических решений одного класса неавтономных систем дифференциальных уравнений

    В прикладной математике иногда возникает задача построения периодических решений нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

    image

    где функция image представляет собой сумму

    image

    многомерного многочлена image и тригонометрического полинома image, являющегося image-периодической векторной функцией.

    Многие из теорем существования периодических решений системы (1) используют тот фундаментальный факт, что такие решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы. Однако использование данных теорем для непосредственного нахождения нужного периодического решения, скорее всего, не представляется возможным.

    Пусть известно, что система (1) имеет единственное image-периодическое решение image. Примерами систем, имеющих единственное периодическое решение, являются системы с конвергенцией (Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М., Л.: Наука, 1964). Рассмотрим один класс таких систем, для которого можно построить приближения к решению image.

    Пусть image — вектор, что

    image

    Здесь для простоты рассуждений мы полагаем, что начальный момент времени равен нулю. Тогда, если удастся определить вектор image, то мы сумеем построить искомое периодическое решение.

    Введем условия, накладываемые на функцию image:

    1. Пусть image — замкнутый шар радиуса r, содержащий значения решения image, image — замкнутый шар радиуса R, причем image, и существует такое положительное число image, что для любых image имеет место неравенство

    image

    2. Существует такое положительное число image, что для всех image и любых image выполняется неравенство

    image

    На рис. 1 приведена графическая иллюстрация этих условий для системы (1) второго порядка.

    image
    Рис. 1. Иллюстрация условий 1-2 для системы второго порядка.

    В моей работе показано, что в этом случае последовательные приближения

    image
    image

    для любого вектора image сходятся равномерно для всех image к некоторой функции image. Причем, если выбрать image, то окажется, что

    image

    Исходя из формулы (2), каждая итерация вычисляется в символьной форме. При этом после преобразований тригонометрических функций под интегралом всегда можно получить тригонометрический полином с нулевым средним интегральным значением. Аналитическая форма представления приближения к периодическому решению удобна тем, что дает возможность провести анализ гармоник, составляющих это приближение. После вычисления очередной итерации строится функция

    image

    минимум которой и даст приближение к вектору image.

    В качестве примера была рассмотрена нелинейная система второго порядка с конвергенцией вида (1) (в работе указаны значения радиусов шаров), где

    image

    image. Обнаружено, что на первой и второй итерациях значения найденных приближений к вектору image одинаковы, и

    image

    Проверено, что траектория исследуемой системы второго порядка, соответствующая найденной начальной точке, возвращается в ее окрестность через период (рис. 2).

    image
    Рис. 2. Дуга траектории, соответствующей найденному вектору image.

    По данной теме можно посмотреть мой доклад на математической конференции (прошу прощения за качество видео — снимали на телефон).
    • +18
    • 7,8k
    • 7
    Поделиться публикацией

    Комментарии 7

      0
      «такие решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы». А расскажите, пожалуйста, что такое оператор сдвига в этом контексте и почему его неподвижные точки определяют периодические решения. И нельзя ли тогда, собственно, вывести этот оператор из системы (1), выбрать произвольное начальное C, найти решение x(t) для этого С и применять этот оператор, пока мы не сойдемся к его неподвижной точке (т.е. периодической траектории)?
        +1
        1. Оператор сдвига. Строгое определение можете посмотреть, например, в книге Марка Александровича Красносельского «Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений» (1966). Оно похоже на определение фазового потока. Отличие в том, что оператор сдвига зависит ещё и от выбора начального момента времени t_0 (хотя в определении последнего лучше отсчитывать время не от нуля, а от t_0). Чтобы представить, что такое фазовый поток или оператор сдвига, представьте частичку, которую перемещают силы из одной точки пространства в другую за время t. В теории динамических систем ещё говорят, что фазовый поток, действуя на начальную точку x_0, перемещает ее в другую току пространства. Кривая, по которой точка будет двигаться, называют траекторией. Если время действия равно нулю, то фазовый поток переходит в оператор тождественного преобразования — после его действия точка остается на месте. Еще могу посоветовать книгу Владимира Игоревича Арнольда по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
        2. Неподвижная точка оператора. Общее определение — это такая точка, которую оператор переводит в нее же. Примерами неподвижных точек оператора сдвига положения равновесия системы (1). Напомню, что положения равновесия — это такие точки фазового пространства, в которых правая часть системы (1) равна нулю для любого t. Как связаны с неподвижные точки оператора сдвига с периодическими решениями системы (1), посмотрите у Красносельского.
        3. Очень часто решение системы (1) нельзя решить в квадратурах. Поэтому применяют приближенные методы. В этом топике как раз это и делается для построения периодических решений.
        +1
        Очень рад, что вопреки всему, есть люди занимающиеся фундаментальной наукой. Вопрос по статье: увеличив размерность системы на один, мы можем перейти к автономному ОДУ, для которого теория переодических решений достаточно неплохо разработана, что здесь принципиально нового? И еще, переодические решения у системы (1) могут возникнуть, если подставить в уравнение h(t) = 0, как эти периоды влияют на отыскание общего периода?
          +2
          Если порядок системы >=3, то здесь как раз возникают проблемы — предельным решением у неавтономной системы с периодической правой частью может быть периодическое решение другого периода или, вообще, почти периодическое решение (или решение с еще более сложной структурой). Для плоского случая теория как раз хорошо разработана — там есть, например, теорема Массера (аналог теоремы Пуанкаре-Бендиксона для автономного случая). Я занимаюсь не существованием периодических решений системы (1), а тем, когда мы знаем точно, что периодическое решение есть (с периодом = периоду правой части; как раз это можно установить из теорем существования), и нужно его построить. Это можно делать по-разному. Например, в системах с конвергенцией оно является аттрактором, поэтому, применяя, например, численный метод Эйлера, можно размотать траекторию до предельного цикла и получить приближенную начальную точку периодической траектории. Однако, когда перед производной в обыкновенном дифференциальном уравнении стоит достаточно малый коэффициент, вычислительный процесс затягивается. Да не даст при этом разложение периодического решения на гармоники.
          +3
          «Папа, ты сейчас с кем разговаривал?»
          Хоть бы какой прикладной пример показали, а то для непосвящённых выглядит так: прибежали, нарисовали кучу формул, убежали.
            0
            Советую посмотреть применение аттракторов динамических систем (например, маятник с трением о воздух при наличии внешней периодической силы). Здесь аттрактором является периодическое решение, к которому со временем притягиваются остальные решения (можно сказать по-другому — наматываются на предельный цикл). Таким образом, такие решения определяют поведение решений системы, поэтому и важно их искать.
              +1
              … Траектория системы наматывается на предельный цикл.

            Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

            Самое читаемое