Трёхмерны ли вы? Микрозадачка пространственному мышлению

Развлекитесь: три одинаковых цилиндра, длиной больше диаметра, взаимно перпендикулярно пересекаются своими осями в одной точке.

То же другими словами: оси координат сделали толстыми-толстыми, круглыми:

задача

?: не пользуясь софтом и справочниками — нарисовать от руки или кратко описать словами форму области пересечения (скрыта шаром на рис. выше).


Очевидно, что никаких дополнительных знаний или тренируемых навыков для ответа не требуется — если человек понимает слова «цилиндр» и «перпендикуляр» — этого достаточно.

Для нетерпеливых или уверенных в себе — под спойлером картинки-подсказки, а ещё внутри дальше — ответ. Спрятано, чтоб не мешать подумать.

открыть подсказку
Чертёж в трёх проекциях. Ч-чёрт, это не шар/сфера оказывается.

чертёж - три проекции

Я не многих теребил этой задачкой, но на этом моменте озадачиваются почти все — что за форма — все три проекции круглые, но не шар? И дыр/пазов вроде не должно быть…

подсказка2 - общий вид снаружи, без отсечки ещё
общий вид

ОТВЕТ - в полутонах
(если кто расскажет, как это развернуть на весь экран, а не в одну узкую газетную колонку — с радостью переделаю, что ж за вёрстка тут...)
«так вот ты какой, сферический куб — кубический шар»











ОТВЕТ - в цвете










Все картинки дальше до самого конца — чисто для наглядности представления, кому форма полностью ясна — можете не отрывать, ничего интересного там нет.

Промежуточные позиции не стал вставлять, но они все есть — если надо — вставлю.

убрал полировку и добавил те самые круги с проекций
Цвет круга — от «его» цилиндра:





вписанный куб
В сферу круг рёбрамни не вписать. А тут — вот:





Куб и окружности одновременно




Искомая сфера для наглядности
Сфера чуть большего диаметра — для ясности, так она вся внутри, касаясь по тем цветным окружностям:





Последний вид с пояснениями




Каждый «лепесток» этого «кубошара»/«шаро-сферо-куба» — часть соответсвующего цвета цилиндра, отрезанная от него другими двумя, штрихи — вдоль его оси. Линии сшивки этих лепестков — и есть те диагонали на чертеже трёх проекций.

Ещё картинок, но уже, скорее, мешающих
Это «в проволоках» и с прозрачным передом, т.е. в цвете задние от наблюдателя поверхности изнутри.




Это «как не надо шить футбольный мяч» — к вопросу чем отличается «3d» от пространственного мышления и надо ли этому учить в школе.

По моим наблюдениям эта вроде бы простейшая задачка – как из «меморандума Бромберга»: «люди будут разделены… по неизвестному нам признаку… на две сильно неравные части...» — для людей старше ~12 лет результат мало зависит от чего угодно — уровня и тематики образования, пола, возраста, хобби и т.п. — % ответивших правильно весьма невелик и равнослучаен. Что никак не мешает жить её не осилившим. А те, кто понимает работу деталей челнока швейной машины, вязальной машины, аксиального ДВС, роликового затвора или кинематики шасси аэробусов — люди штучные, специальные, их много человечеству не надо. Но даже им — в метро проще взглянуть на плоскую схему, чем представлять себе хитросплетения тоннелей переходов в центре.

Не нужно пространственное 3d обывателю. В отличие от, например, финансовой или (мат)статистической грамотности.

Очень интересен % хабралюдей, ответивших правильно сходу, и корреляция с их чем-нибудь, но любопытство — праздное.
Ну и небольшой опрос, ибо у меня проф. деформация:


UPD — P.S. названия я этой фигуры сам не знаю, но кто себе её представляет — обычно фразами
спрятал, что б не мешать подумать
типа «раздутый куб» / «шар с ушками/уголками», «кубошар», «шарокуб»
описывают быстро и понятно. Понятно тем, кто тоже представляет.
Нарисовать же от руки, по-моему, не художнику нереально.
UPD2 — как раблокировалось — добавил опросы

Только зарегистрированные пользователи могут участвовать в опросе. Войдите, пожалуйста.

Какого возраста-образования люди по идее должны её решать влёт как само собой разумеющееся?

  • 4,5%Дошколята71
  • 6,7%Младшеклассники106
  • 29,6%Старшеклассники466
  • 2,2%Гуманитарии — студенты и далее35
  • 10,3%ВУЗ естественно-научный162
  • 34,0%некоторые специалисты (конструкторы, 3d-шники)536
  • 1,1%Заядлые геймеры17
  • 11,6%Отдельные замороченные чудики, прочим она не интресна, не нужна и ничего не добавляет183

Вы ответили верно? (если решали)

  • 38,7%Да716
  • 36,3%Нет672
  • 3,4%Знал заранее63
  • 21,6%Не решал — ну его, в пятницу-то!399
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама

Комментарии 55

    +12
    % ответивших правильно весьма невелик и равнослучаен.
    А как должен человек ответить «правильно»? Фигуру я вот себе представил (при том правильно), но как она называется не знал (и не узнал из поста).
      0
      Если интересно знать процент правильных ответивших, то добавьте опрос.

      Могу сказать, что сходу я представил себе и нарисовал неправильную фигуру. Это был куб из окружностей и впадин на местах углов.
      Все потому, что я просто забыл про те грани которые наружу внутрь самих цилиндров выходят.
      Спасибо за загадку, и ответ на нее :)
        +11
        А вообще, пост очень напомнил про другую зловещую фигуру:

        image
          +6
          А что с ней?
            +17
            Видимо из статьи «Двухмерны ли вы?»…
              +6
              Ее нужно разрезать на две одинаковые части.

              ps: Если у вас не получится, то почитайте эту историю
                +1
                Лурк еще работает? Уже не менее года все ссылки на него не работают.
                Надо будет попробовать через прокси.
                  0
                  А что ему сделается? Ну запретили его официально, ну и что? :)
          0
          Я визуализировал на основе 6 точек пересечения каждой пары цилиндров и вогнутых кривоугольных треугольников, сходящихся на 8 точек пересечения трёх цилиндров.
            +2
            Примерно так же, только в обратном порядке: 8 точек дают «раздутый» каркас куба, дальше по любому из шести пересечений представляем, как будет выглядеть его «грань».

            PS: Картинка в посте сильно упрощает задачу. Если задавать вопрос устно, то процент правильно ответивших, скорее всего, будет ниже.
            +1
            На опрос ответил «старшеклассники», потом вспомнил, что в инсте на первом курсе пересечения изучали. Хотя вроде это на уровне здравого смысла практически.
            Да, как называется фигура, не знаю, но все её видели где-то.
              0
              В опросе не хватает выбора нескольких значений. В классах старшей школы, начальных курсах вуза с этой задачей также должны справиться (помимо, естественно, конструкторов и тридешников).
                0
                Сразу подумал, что где-то там куб должен быть, но до конца представить не получилось.
                  +11
                  До куба ему как до шара.
                  +3
                  Вот я тоже с твёрдой уверенностью думал, что куб, и уже начиная разворачивать подсказку до меня как бы дошло, что стержни немножко так круглые. Но было уже поздно, спойлер открылся. Так что можно сказать, что при попытке решить загадку влёт на одном махе — я позорно провалился.
                    +1
                    Можно представить себе описанные вокруг цилиндров параллелепипеды, тогда их пересечение — точно куб, а потом возврашая по одному исходные цилиндры, этот куб по нему обрезаем. Получается тот самый кубошар (или шарокуб?)

                    P.S. Не отсюда ли пошло выражение «шаро@биться»? :)
                      0
                      В голове как-то сразу сложился метод, взять ограничительный куб, потом обрезать его по каждому из цилиндров. Но вот до описания полученной формы как кубошара или других подобных вариантов мозг не дошёл, видимо, из-за слабого образования по профилю. В голове вертелась какая-то сложнопереводимая хрень типа пересечения перпендикулярных цилиндров таким образом, чтобы в разрезе по центру третьей плоскостью получался круг. Кстати, а в русском языке названия для такого класса фигур нет?

                      По поводу корелляций — в разные моменты интересовался 3д-визуализациями, архитектурой, рисовал скетчи для игровых 3д-моделей.
                    0
                    В институте была такая задача (трубы было 2 диаметра d), только нужно было найти объём фигуры пересечения через тройной интеграл. Преподаватель обещал автомат тому кто решит в течении пары :-) я бы назвал эту фигуру квадрат сходящийся в точку по выпуклому радиусу.

                    «Автоматчиков» никогда не было :), решить её сходу смог только знакомый к.ф.-м.н.
                    P.s студентом думал над этой задачей не один день
                      +2
                      Сечение плоскостью, параллельной образующим — квадрат. Площадь элементарно выражается через растояние от плоскости до точки пересечения. Итого image
                        +3
                          0
                          Спасибо за ссылку на интересную книгу!
                        0
                        Более простой вариант (с двумя трубами) спрашивали на собеседовании. Надо было нарисовать вид сверху при условии что обе трубы в горизонтальной плоскости.
                          +1
                          Хорошая задача, решал около часа, рисуя на листе бумаги, что лежал рядом, — отвлекался подумать над задачей, пока делал другие дела. Вспомнил факт из школьной геометрии: фигура, проекция которой на любую плоскость есть круг, есть шар. Тут три проекции круги, значит это что-то приближающееся по форме к шару. Помогло следующее: представил себе деревянный цилиндр высотой в диаметр основания, из которого сначала напильником «оттачивал» сначала чтобы на одну плоскость проецировалось как окружность, потом — чтобы на ещё одну. Задача имхо по силам продвинутому школьнику изучающему уже стереометрию и обязательна к решению на первых крусах инженерных вузов на начерталке и инженерной графике. В общем-то такие задачи, по крайней мере в нашем вузе, на этих предметах как раз и давались.
                            +18
                            Обычно на собеседованиях спрашивают о том, что сами недавно узнали.
                            +1
                            Первый раз задачка эта попалась нам на геометрии в 11 классе. Мы ее обсуждали, правда, пока я не стала думать — не вспомнилась. Сообразила практически в уме — карандаша не было. Но у нас выше упомянутое три дэ в школе таки было, в виде черчения и инженерного модеоирования. Один из одноклассников даже строил в автокаде эту фигуру. Плюс, я обремененный художественным навыком человек. Но нас тогда эта задача взволновала крайне и показалась интересной.
                              0
                              Такая фигура пересечения в англоязычной литературе по геометрии называется телом (фигурой) Стейнметца.

                              Иначе ее можно описать как куб, у которого все грани заменены сомкнутыми сводами (это архитектурный термин) с квадратным основанием, лежащим на ребрах куба, где лотки (снова архитектурный термин, обозначающий изогнутые «грани») сводов имеют радиус, равный радиусу пересекающихся цилиндров, а центры кривизны лотков лежат на осях этих цилиндров.

                              Забавно, что хотя эта фигура при взгляде со стороны стойко ассоциируется с многогранником (мозг пытается аппроксимировать изогнутые элементы сводов плоскими треугольными), три ее основные проекции, очевидно, являются кругами.
                                0
                                Внутреннюю часть не осилил, но нарисовал пересечение минут за 10 со второй попытки правильно. Занимаюсь 3Д моделированием.
                                результат

                                  +1
                                  Вы нарисовали не пересечение а объединение трёх цилиндров. (тут терминологическая двусмысленность — «линия пересечения тел» и «объём, являющийся общим для всех трёх, т.е. область пересечения их как множеств»… хм, не подумал о неоднозначности формулировки, вот же засада) Хотя нарисовать итог в карандаше действительно непросто. Вот собственно об этом-то и пост — что задачка не столь проста, как кажется, даже для профильных спецов. В связи с чем у меня закрадываются небольшие сомнения, что все ~400 человек ответившие, что решили правильно — на самом деле решили именно её а не «перечение труб», которое кардинально легче (см далее).
                                  Хотя не, это же 400 человек из 24к прочитавших ~полтора процента… «на две неравные части… по неизвестному заранее признаку»…
                                  0
                                  Когда я учился на своей нефтегазовой специальности, на занятиях по черчению и начертательной геометрии нас учили чертить пересечения труб, стыки труб разных диаметров, труб и цистерн — их проекции, развертки, и т.п. Тяжко это было. Однако зная теорию, даже при отсутствии пространственнго мышления можно было начертить правильную развертку.
                                      +4
                                      Эх, не варили вы трубы водопроводные :)))
                                        0
                                        /недоуменно/
                                        А в чем проблема-то? Если разово и не торопясь — прикладываем и подгоняем болгаркой. Если с этого живем — в самом нищебродском варианте мастерим оснастку из спиц и куска ткани/пластика для разметки, а дальше все той же болгаркой.
                                        0
                                        А если не трёхмерны, то сразу — робот?
                                          0
                                          Пересечение труб — совсем-совсем другая фигура. На мой взгляд много проще визуально. С этом «кубошаром» совпадёт всего только в 6 точках.
                                          Сюда закинуть картинку, или стоит отдельной задачкой? —
                                          там если внутрь этот «шарокуб» поместить для сравнения — много картинок надо — и снаружи, и изнутри, и с вырезами для наглядности, и трубы по шву отдельно — иначе совершенный калейдоскоп, что в проволоках, что в оболочках, что в солиде с прозрачностью — и в цвете, и в тенях.
                                            +7
                                            Спасибо вам — вы помогли мне осознать свою истинную размерность.
                                            Зато я теперь могу пролазить в щель под закрытой дверью, а на ночь сворачиваться в компактный рулончик.
                                              +1
                                              Также удобно пресмыкаться перед существами высшего уровня :)
                                              0
                                              Очередная отличная задачка для троллинга.

                                              Скрытый текст
                                              А это точно задачка на трехмерное мышление, а не на количество одновременно удерживаемых объектов в памяти или на способность держать в деталях выдуманную картинку перед глазами? Просто я когда мысленно доходил до 3-5 грани начинал забывать какие были пересечения раньше. Т.е. если мы решили что это не шар, то следующий самый простой интуитивно подходящий объект это куб — а значит нам нужно построить уже 12 граней, чтобы построить каждую грань нужно держать в голове пересечение 3 трехмерных объектов, а потом нужно еще достраивать поверхности. А с учетом что число объектов на которых средний человек может одновременно концентрировать внимание обычно не больше 5, задача мне видится нерешаемой без черчения на бумаге для большинства людей. Даже если моделировать одну плоскость(или использовать любой другой способ группировки основанный на поиске закономерностей), а потом вертеть в голове эти трубы на 90 градусов в любую сторону, чтобы понять что везде плоскости будут такими же, то это уже будет не построение в уме, а скорее анализ закономерностей, что требует задействования других областей мозга, т.е. это уже не первоначальная задачка на построение.

                                              Т.е. задачка может эксплуатировать минимум 2 уязвимости мозга — число одновременно удерживаемых объектов и задействование одного типа мышления.
                                                0
                                                Достаточно представить форму пересечений со стороны одного из цилиндров, остальные будут идентичны.
                                                  0
                                                  Они будут, но почему?
                                                    0
                                                    Что почему? Фигура же симметрична. Вот если вместо трёх цилиндров пересечь три конуса — тогда ой.
                                                      0
                                                      Я просто хочу выстроить для себя полную цепочку рассуждений. По задаче.

                                                      три одинаковых цилиндра, длиной больше диаметра, взаимно перпендикулярно пересекаются своими осями в одной точке.


                                                      И я не могу понять откуда становится известно, что фигура полученная в рамках пересечения будет симметрична. Например половинка цилиндра — тоже симметричная фигура, но если пересечь также взаимно перпендикулярно 3 таких половинки трубы, то полученная фигура может быть несимметричной. Я тоже подумал что фигура будет симметричной, но не могу доказать почему, может вы знаете.
                                                        +5
                                                        Пусть радиусы всех цилиндров равны A>0. Т.к. по условию длина каждого цилиндра больше диаметра, замена цилиндров на бесконечно длинные не изменит их пересечение. Тогда, используя каноническое уравнение поверхности второго порядка для кругового бесконечного цилиндра, можно записать неравенства, описывающие все точки, принадлежащие каждому из бесконечных цилиндров, и только их:
                                                        x^2+y^2<=A^2;
                                                        y^2+z^2<=A^2;
                                                        x^2+z^2<=A^2.
                                                        Точка принадлежит пересечению цилиндров тогда {*} и только тогда {**}, когда ее координаты удовлетворяют одновременно всем трем неравенствам.

                                                        Пусть точка (X,Y,Z) принадлежит пересечению. Тогда из * следует, что для нее выполнены все три неравенства. Т.к. все степени в них четные, точка (-X,-Y,-Z) тоже удовлетворяет всем трем неравенствам. Тогда из ** следует, что она также принадлежит пересечению.

                                                        По определению центральной симметрии получаем, что пересечение симметрично относительно начала координат.
                                                          0
                                                          Вот теперь другое дело.
                                                            +2
                                                            Можно без математики:

                                                            Представим себе, что мы повернули фигуру на 90 градусов вокруг любой координатной оси. Это приведёт к тому, что на месте, скажем, красного цилиндра окажется зелёный, и наоборот. Однако, по условию, все цилиндры имеют одинаковые размеры, и следовательно, поворотом на 90 градусов мы перевели фигуру в саму себя. Ч.т.д.
                                                    0
                                                    С учётом осесимметричности задачи достаточно держать в голове одну грань из шести, а остальные пять будут абсолютно такими же.
                                                      0
                                                      Т.е. задачка может эксплуатировать минимум 2 уязвимости мозга — число одновременно удерживаемых объектов и задействование одного типа мышления.

                                                      By the way, хорошо прокачивает обе способности арифметическое судоку (если не использовать пометок, а все делать в уме).
                                                      +4
                                                      Я представил кусок сочной баранины и резал его заточенными цилиндрами. Сначала сверху, потом сбоку, потом повернул и еще раз сбоку.
                                                        +4
                                                        Потом крч прожарил, и пошел варить цилиндрические макароны.
                                                        +2
                                                        Угадал все буквы, не смог прочитать слово
                                                        Почти правильно представил, но задача скорее на память, ибо удержать фигуру в памяти сложно.
                                                          +1
                                                          Блин, А я сразу построил пересечение, а потом начал убирать трубы выходящие из него и держал в голове фигуру + спокойно крутил…
                                                          +1
                                                          У меня в институте на 1 курсе был курс начертательной геометрии. Там и не такое было… )
                                                            +1
                                                            Если ничего не путаю, у Мартина Гарднера в книге «Математические досуги» есть похожая задача для двух цилиндров.
                                                            Про себя я называю эту фигуру «куб Рело» (по аналогии с треугольником), такие вот ассоциации.
                                                              +1
                                                              Ну, так и есть, два совмещённых тетраэдра Рело. И ещё вот: http://nashi-detochki.ru/image/bomba/9.jpg — это о детях.
                                                                +1
                                                                У тетраэдра Рёло «грани» — сегменты сферы, а тут — цилиндра. Но визуально да, чем-то схожи

                                                            Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                            Самое читаемое