Под преобразованием базиса системы координат понимается замена одного набора базовых вершин (реперов) на другой. По сравнению с обычной системой координат на векторах изменение системы координат на точечном базисе имеет особенности, связанные с тем, что базисы могут принадлежать разным пространствам.

Оглавление
1. Симплексы и графы
2. Определение ди- и би-координат
3. Скалярное произведение пар
4. Пространство графа
5. Преобразование базиса
6. Граф-звезда


В предыдущей части было рассмотрено определение базиса низкой размерности в пространстве высокой размерности и показано, каким образом можно определять дистанции между вершинами, не принадлежащими пространству базиса. При замене базиса требование сохранения метрических свойств системы координат также является ключевым.

Основные матрицы


Под матрицами преобразования (матрицами перехода) обычно понимают такие матрицы, при умножении на которые координат элемента (вершины) в старом базисе, получаются ее координаты в новом. На основании данных матриц преобразуются также метрические тензоры из одного базиса в другой.

Матрицы преобразования базисов содержат сравнительные характеристики двух базисов. Среди данных матриц выделятся инвариантные матрицы — их значения не зависят от выбора базиса. Например, матрица дистанций между вершинами является инвариантной.

Прямые матрицы перехода


Набор исходных базовых вершин обозначим как $a$ (старый базис), новый набор как $p$ (новый базис). Для преобразования координат должна быть задана матрица перехода — описание координат вершин нового базиса в старом. Такими координатами могут быть как ди-координаты вершин, так и би-координаты. Матрицу перехода в ди-координатах обозначим как $Dm_{pa}$. Строка матрицы — это координаты вершины нового базиса $p$ в старом $a$, соответственно столбец — это ди-координаты вершины старого базиса относительно нового.

Матрица перехода должна быть квадратной, следовательно одних координат вершин недостаточно — их количество меньше, чем количество компонент координат (из-за наличия скалярной компоненты в координатах). Поэтому необходимо добавить в данную матрицу ди-координаты вектора нормали [0; 1, 1,… 1]. После чего матрица перехода в ди-координатах становится похожей по форме на мажорный грамиан. Назовем матрицу $Dm_{pa}$ дистанционным тензором преобразования координат (ДТП):

$Dm_{pa}=\begin{pmatrix} 0 & 1_a \\ 1_p & D_{pa} \end{pmatrix} \quad(5.1.1)$

Дистанционный тензор преобразования является инвариантом — его значения не зависят от базиса. При обратном переходе (от $p$ к $a$) значения даной матрицы просто транспонируются (строки и столбцы меняются местами).

Поскольку ДТП — это ди-координаты, то умножая их на лапласиан (ЛМТ), можно получить би-координаты $Bm_{p}^{ a}$. Структура би-координат матрицы перехода:

$Bm_{p}^{ a}=\begin{pmatrix} 1 & 0_a \\ w_p & B_{p}^{ a} \end{pmatrix} \quad(5.1.2)$

Первая строка данной матрицы — это би-координаты нормали: $[1; 0, 0,...]$.
В отличие от ДТП значения би-координат матрицы перехода зависят от того, для какого базиса они получены — для старого или нового. Выбор базиса определяет матрицу ЛМТ. Для определенности би-координаты перехода в базисе $a$ обозначим как $Ba_p{}^a$, а в базисе $p$ как $Bp_a{}^p$. Тогда имеют место следующие тождества. Для исходного базиса:

$Ba_p{}^a=Dm_{pa} \ Lm^{aa}$, $Dm_{pa}=Ba_p{}^a \ Gm_{aa} \quad(5.2.1)$

и для нового:

$Bp_a{}^p=Dm_{ap} \ Lm^{pp}$, $Dm_{ap}=Bp_a{}^p \ Gm_{pp} \quad(5.2.2)$

Здесь $Lm^{aa}$ и $Gm_{aa}$ — лапласиан и грамиан исходного базиса. Соответственно $Lm^{pp}$ и $Gm_{pp}$ — метрические тензоры нового базиса.

При переходе от одного базиса к другому требуется определить метрические тензоры нового базиса, если заданы матрицы преобразования.

Обратные матрицы перехода


Матрицы перехода $Dm_{pa}$ и $Ba_p{}^a$ обратимы при условии отличного от нуля детерминанта матрицы перехода:

$Det(Dm_{pa})\ne 0$ или $Det(Ba_p{}^a)\ne 0$

Нулевой детерминант матрицы преобразования означает ортогональность базисов. В ортогональном базисе невозможно выразить метрику проекций. Будем считать базисы неортогональными. Тогда обратные матрицы перехода выражаются через прямые следующим образом:

$Lt^{ap}=(Dm_{pa})^{-1}=(Ba_p{}^a \ Gm_{aa})^{-1}=Lm^{aa} \ Ba_p{}^a \quad(5.3.1)$

$Ba_a{}^p=(Ba_p{}^a)^{-1}=(Dm_{pa} \ Lm^{aa})^{-1}=Gm_{aa} \ Lt^{ap}\quad(5.3.2)$

Матрица $Ba_a{}^p$ — представляет собой би-координаты вершин старого базиса $a$ относительно вершин нового $p$. То есть обращение би-координат дает взаимные би-координаты.

Матрица $Lt^{ap}$ — это лапласовский тензор преобразования базиса (ЛТП). Ее структура аналогична структуре лапласиана (ЛМТ):

$Lt^{ap}=\begin{pmatrix} g(a,p) & sa^{p} \\ sp^{a} & L^{ap} \end{pmatrix} \quad(5.4)$

Здесь главный минор $L^{ap} $ — это симметричный лапласиан. В окаймлении барицентрические координаты обратных проекций ортоцентров двух базисов (симплексов). Ортоцентр исходного базиса выражена в барицентрических координатах нового — $sa^{p}$, а ортоцентр нового в координатах исходного — $sp^{a}$.
Что понимается под «обратными проекциями», будет пояснено далее.

В углу лапласовского тензора находится скаляр $g(a,p)$. Его значение отражает скалярное произведение двух базисов — нового и старого. Чтобы раскрыть его смысл, рассмотрим две ситуации — 1) базисы принадлежат одному и тому же пространству и 2) базисы принадлежат разным пространствам.

Скалярное произведение базисов одного пространства


В общем пространстве скалярное произведение базисов выражается через нормы ортоцентров ($rs_a$ и $rs_p$) и расстояния между ортоцентрами ($q_{ap}=|Oa, Op|^2$):

$g(a,p) = (rs_a + rs_p - q_{ap})/2 \quad(5.5)$

Данная формула подобна выражению для скалярного произведения пар с общей вершиной (3.8). Поэтому можно считать соотношение (5.5) определением скалярного произведения ортоцентров.

На рисунке показана геометрическая интерпретация скалярного произведения ортоцентров (окружностей). Слева — определение через скалярное произведение смежных пар $(R, Oa)$ и $(R, Op)$. Если окружности пересекаются, то у них есть общий элемент $R$ — элемент смежности пар.

Скалярное произведение элементов можно определить через их взаимные степени (показано на рисунке справа). Геометрическое определение степени точки дано во 2-й части. Согласно (2.9) степень точки $m_p$ относительно элемента выражается через дистанцию от точки до элемента $r_p$ и норму элемента $rs$:

$m_p = r_p - rs \quad(2.9)$

Можно обобщить данное определение, если вместо точки использовать другой элемент. Тогда взаимной степенью двух элементов $a$ и $p$ является следующая скалярная величина $m(a,p)$:

$m(a,p) = q_{ap} - rs_a - rs_p \quad(5.6)$

Данная формула известна как произведение Дарбу. На правом рисунке показано построение точек, значение дистанции между которыми равно взаимной степени элементов:

$m(a,p) = |Ta, Sp| = |Tp, Sa|$

По своим свойствам взаимная степень элементов обобщает свойства степени точки, то есть определяет их взаимное расположение. Если элементы находятся вне друг друга, то их взаимная степень положительна, если пересекаются — отрицательна. Под пересечением здесь понимается ситуация, при которой точки касания $Ta$ (или $Tp$) находятся внутри элемента $p$ (или $a$ соответственно) (на рисунке взаимная степень элементов положительна).

Тогда скалярное произведение (5.5) — это взаимная полустепень элементов (и наоборот). Напомним (2.10), что под полустепенью понимается степень, деленная на (-2):

$g(a,p) = -m(a,p)/2 \quad(5.5')$

Если центры элементов совпадают ($q_{ap}=0$), то их скалярное произведение будет равно их средней норме:

$g(a,p, q_{ap}=0) = (rs_a + rs_p)/2 \quad(5.7)$

Скалярное произведение базисов разных пространств


Если базисы принадлежат разным пространствам, то геометрическая интерпретация их скалярного произведения $g(a,p)$ усложняется. Приведем вначале алгебраические тождества. Они аналогичны подобным для составляющих лапласовского тензора, приведенных в первой части.

Скалярное произведение базисов может выражено через отношение детерминантов дистанционной матрицы перехода и ее главного минора (см. 5.1.1):

$g(a,p) = det(Dm_{pa})/det(D_{pa}) \quad(5.8.1)$

Связь взаимной нормы базисов и барицентрических координат обратных проекций их ортоцентров:

$g(a,p) 1_a = sa^{p} D_{pa} \quad(5.8.3)$ — для вершин базиса $a$.

$g(a,p) 1_p = D_{pa} sp^{a} \quad(5.8.2)$ — для вершин базиса $p$.

Разберемся, что такое обратная проекция точки. Допустим, что у нас есть точка $Tp$, принадлежащая базису $p$. Тогда ее обратной проекцией на базис $a$ будет такая точка $Tp^{(a)}$, что перпендикуляр, опущенный из нее на базис $p$, пересекается с ним в исходной точке $Tp$.

На рисунке обратной проекцией точки $Op$ на пространство $a$ является точка $Op'$, а обратной проекцией точки $Oa$ на пространство $p$ — точка $Oa'$. Точки $Oa$ и $Op$ — это ортоцентры базисов $a$ и $p$ соответственно.

Понятие обратной проекции применимо также к нормам элементов. Норма при обратной проекции становится больше исходной (в отличие от прямой проекции). На рисунке дистанция $rs_a=|Oa,A|$ — это норма ортоцентра базиса $a$. Обратной проекцией на базис $p$ будет дистанция:
$rs^{(p)}_{a}=|Oa',A|=rs_a+|Oa,Oa'|$.
Соответственно обратной проекцией нормы базиса $p$ $rs_p=|Op,P|$ на базис $a$ будет дистанция
$rs^{(a)}_{p}=|Op',P|=rs_p+|Op,Op'|$.
Обозначая дистанцию между обратными проекциями центров как $d'_{ap}=|Oa', Op'|$, получаем следующее выражение для скалярного произведения базисов разных пространств:

$g(a,p) = (rs^{(p)}_{a} + rs^{(a)}_p - d'_{ap})/2 \quad(5.9)$

Видим, что по форме оно совпадает со взаимной нормой базисов одного пространства (5.5), но вместо дистанций используются их обратные проекции на взаимный базис. Если базисы принадлежат одному пространству, то угол между пространствами становится нулевым, и формула (5.9) переходит в (5.5).

Все приведенные формулы применимы также и к пространству графа. В графе нет описанных сфер (базиса), но есть связность. Тогда скалярное произведение базисов графа должно отражать их взаимную связность.

Расчет нового базиса


Здесь также рассмотрим две ситуации: 1) новый и старый базис принадлежат одному и тому же пространству и 2) принадлежат разным пространствам. Первый случай как правило относится к обычному геометрическому пространству (при смене базиса тут редко меняется его пространство), второй — к пространству графа.

Определить принадлежность элемента (вершины) пространству базиса можно по его норме в данном пространстве. Если равна нулю, то элемент принадлежит пространству.

Единое пространство базисов


Для получения грамиана нового базиса $Gm_{pp}$ необходимо умножить ди-координаты элементов нового базиса $Dm_{pa}$ на би-координаты $Ba_a{}^p$. Полученная матрица будет матрицей скалярных произведений в новом базисе $Gm'_{pp}$ (см. 4.4.2 в предыдущей части). Таким образом если пространства базисов совпадают, то матрица норм вершин нового базиса относительно старого — это и есть грамиан нового базиса:

$Gm'_{pp}=Dm_{ap} \ Ba_p{}^a=Dm_{pa} \ Lm^{aa} \ Dm_{ap} \quad(5.10.1)$

Мы пометили данный грамиан штрихом, чтобы помнить об условии общего пространства базисов. Лапласиан нового базиса (ЛМТ) можно получить обращением грамиана (ДМТ):

$Lm'^{pp}=(Dm_{ap} \ Ba_p{}^a)^{-1}=Ba_a{}^p \ Lt^{pa} \quad(5.10.2)$

Координаты элемента в новом базисе могут быть выражены через координаты в старом и матрицы перехода. Ди-координаты $dm_{p}$:

$dm_{p} = Dm_{pa} \ bm^a = Ba_p{}^a \ dm_a \quad(5.11.1)$

Би-координаты элемента в новом базисе $bm^p$:

$bm^{p} = Ba_a{}^p bm^a = Lt^{pa} dm_a \quad(5.11.2)$

Все приведенные выражения аналогичны формулам изменения координат и в обычных (векторных) системах координат. В пределах общего пространства использование точечного базиса аналогично использованию векторного.

Пример преобразования базиса
На КДПВ показан основной базис $a$ из 3-х вершин (A, B, C) и новый базис $p$, образованный вершинами (P, Q, R). Значения ДМТ основного базиса есть в первой статье:
\begin{array}{c | c c c c}
Gm_{aa} & * & A & B & C \\
\hline
* & 0 & 1 & 1 & 1 \\
A & 1 & 0 & -4.5 & -8 \\
B & 1 & -4.5 & 0 & -12.5 \\
C & 1 & -8 & -12.5 & 0 \\
\end{array}
Звездочкой обозначена скалярная компонента. Значение лапласиана (ЛМТ) можно получить обращением грамиана (ДМТ).

Дистанционную матрицу перехода считаем заданной. Ее вид:
\begin{array}{c | c c c c}
Dm_{pa} & * & A & B & C \\
\hline
* & 0 & 1 & 1 & 1 \\
P & 1 & -1.0 & -2.5 & -13.0 \\
Q & 1 & -6.5 & -2.0 & -6.5 \\
R & 1 & -12.5 & -2.0 & -20.5 \\
\end{array}

Значения би-координат матрицы перехода получаем по формуле (5.2.1):
\begin{array}{c | c c c c}
Ba_p{}^a & * & A & B & C \\
\hline
* & 1 & 0 & 0 & 0 \\
P & -1.5 & 0.91(6) & 0.(3) & -0.25 \\
Q & 2.0 & -0.5 & 1.0 & 0.50 \\
R & -5.0 & -0.(6) & 1.(6) & 0.0 \\
\end{array}
Скалярной компонентой (значения первого столбца) би-координат являются орбитали. Сумма барицентрических компонент равна 1.

Лапласовский тензор преобразования (5.3.1):
\begin{array}{c | c c c c}
Lt^{ap} & * & P & Q & R \\
\hline
* & 2.15 & 0.30 & 1.15 & -0.45 \\
A & 0.058(3) & 0.11(6) & -0.0(6) & -0.05 \\
B & 0.9(6) & -0.0(6) & -0.0(3) & 0.10 \\
C & -0.025 & -0.05 & 0.10 & -0.05 \\
\end{array}
Вектор $[0.30, 1.15, -0.45]$ — это барицентрические координаты ортоцентра старого базиса (симплекса ABC) относительно вершин нового (PQR). Соответственно, вектор $[0.058(3), 0.9(6), -0.025]$ — наоборот, барицентрические координаты ортоцентра симплекса PQR относительно вершин старого базиса.

Используя (5.10.1), получаем грамиан нового базиса:
\begin{array}{c | c c c c}
Gm'_{pp} & * & P & Q & R \\
\hline
* & 0 & 1 & 1 & 1 \\
P & 1 & 0 & -6.5 & -8.5 \\
Q & 1 & -6.5 & 0 & -4.0 \\
R & 1 & -8.5 & -4.0 & 0 \\
\end{array}


Базисы в разных пространствах


Если базисы находятся в разных пространствах, то формула (5.10.1) будет давать неверные значения полудистанций между вершинами нового базиса. В предыдущей части было показано, что в общем случае для нахождения правильных дистанций между вершинами необходимо к матрице норм прибавить фундаментальную матрицу $F_{pp}$ (4.5):

$G_{pp} = (G'_{pp} + F_{pp}) \quad(4.5, 5.12)$

Следовательно, при преобразовании базиса к базису из другого пространства необходимо наряду с матрицами перехода задать фундаментальную матрицу нового базиса (относительно исходного).

Для задания фундаментальной матрицы полезно вспомнить ее геометрический смысл (см. 4.6.1). Элемент фундаментальной матрицы — это скалярное произведение нормалей, направленных к вершинам из их проекций на пространство базиса. В частном (но практически важном) случае общего надпространства элемент фундаментальной матрицы вычисляется как произведение расстояний от заданных элементов до пространства базиса.

Скалярное произведение обратных проекций


В пространстве графа значения фундаментальной матрицы можно получить через матрицу смежности между старым и новым базисом $C^{pa}$. Элементами данной матрицы является вес связей между вершинами двух базисов. Если матрица известна и обратима, то можно получить обратную матрицу смежности:

$H_{ap} = (C^{pa})^{-1} \quad(5.13.1)$

Полученная матрица (как и матрица смежности) является инвариантом — ее значения не зависят от выбора базиса. Значения элементов матрицы $H_{ap}$ отражают скалярное произведение обратных проекций между вершинами двух базисов. На рисунке представлена поясняющая схема.

Здесь точка A принадлежит базису $a$, а точка P — базису $p$. Штрихами помечены обратные проекции точек на смежный базис. Тогда значение элемента матрицы — это скалярное произведение векторов $\vec{AA'}$ и $\vec{P'P}$:

$H_{AP} = \vec{AA'} \cdot \vec{P'P} \quad(5.13.2)$

Можно выразить данное соотношение через расстояния от вершин до гиперплоскости пересечения пространств (на рисунке — точка O) и угол между пространствами $\alpha$:

$H_{AP} = |OA| |OP| \sin(\alpha)^2/\cos(\alpha) \quad(5.13.2')$

Из формулы (5.13.2') видно, что если базисы ортогональны $cos(\alpha)=0$, то элементы скалярного произведения обращаются в бесконечность.

Итоговые формулы преобразования базисов


Удобно привести размерность матрицы скалярных произведений проекций $H_{ap}$ к размерности остальных матриц перехода, окаймив ее нулями. Тогда фундаментальная матрица базиса $p$ определяется как

$F_{pp} = Ba_p{}^a \ H_{ap} \quad(5.14)$

Объединяя все вместе, получаем конечное выражение для грамиана нового базиса $p$:

$Gm_{pp} = Gm'_{pp} + F_{pp} = Ba_p{}^a \ T_{ap}=Dm_{pa} Lm^{aa} Dm_{ap} + Dm_{pa} Lm^{aa} H_{ap} \quad(5.15.1)$

Симметричным образом выражается исходный базис при заданных матрицах преобразования:

$Gm_{aa} = Gm'_{aa} + F_{aa} = T_{pa} Bp_a{}^p=Dm_{ap} Lm^{pp} Dm_{pa} + H_{ap} Lm^{pp} Dm_{pa} \quad(5.15.2)$

Здесь $Ba_p{}^a$ и $Bp_a{}^p$ — би-координаты матриц перехода (5.2.1) и (5.2.2). $T_{pa}$ — общая дистанционная матрица преобразования:

$T_{pa} = Dm_{pa} + H_{pa} \quad(5.16)$

Данная матрица является инвариантом, состоит из двух частей — дистанционного тензора преобразования $Dm_{pa}$ и добавки, связанной с некомпланарностью пространств базисов, — матрицы скалярных произведений проекций $H_{pa}$.

Лапласовский тензор базисов получается обращением ДМТ (5.15). Задача определения связи базисов решена.


Подводим итоги. Тяжелая формульная часть серии в целом завершена. Приведены основные понятия и тождества. Точечные базисы — это полезный и мощный инструмент для различных прикладных задач. В заключительной статье рассмотрим базис простейшей структуры — в виде звезды.