andrew526d 13 июн 2018 в 07:58

Ранняя вселенная 4. Кинематика однородной расширяющейся вселенной

24 мин

6.6K

На сайте бесплатных лекций MIT OpenCourseWare выложен курс лекций по космологии Алана Гуса, одного из создателей инфляционной модели вселенной.

Вашему вниманию предлагается перевод четвертой лекции: «Кинематика однородной расширяющейся вселенной».

Изотропия и однородность вселенной

В прошлый раз мы рассмотрели доплеровский сдвиг и немного поговорили о специальной теории относительности. Сегодня мы начнем обсуждать космологию. Мы рассмотрим кинематическое описание однородной расширяющейся вселенной. Наша вселенная, как мы считаем, является таковой в очень хорошем приближении.

На этой лекции мы рассмотрим некоторые базовые описательные свойства вселенной. Вселенная, конечно, очень сложный объект. Например, она содержит меня с вами, а мы довольно сложно устроены. Но космология не изучает все это. Космология — это исследование вселенной в общем. Мы будем рассматривать вселенную на самых больших масштабах, где она описывается очень простой приближенной моделью. В частности, на очень больших масштабах вселенная довольно хорошо описывается тремя свойствами.

Первое свойство – это изотропия. Это слово происходит от греческого корня, означающего одинаковое во всех направлениях. Конечно, если посмотреть вокруг, помещение не выглядит одинаково во всех направлениях. Передняя часть аудитории отличается от задней. Вид на город выглядит иначе, чем вид на реку. Если посмотреть дальше в космос, то в направлении скопления Девы, которое является центром нашего Местного сверхскопления, он выглядит иначе, чем в противоположном направлении.

Но если посмотреть на вселенную на очень больших масштабах, где в нашем случае очень большой масштаб означает несколько сотен миллионов световых лет, она начинает выглядеть очень изотропной. Если усреднить, то на очень больших масштабах обнаружится, что видно почти то же самое независимо от направления.

Это становится наиболее явным, если посмотреть на космическое фоновое излучение, которое является самым дальним объектом, который мы можем видеть. Это излучение появилось вскоре после Большого Взрыва. Стоит напомнить в двух словах его историю.

Примерно первые 400 000 лет после своего рождения вселенная была заполнена плазмой. Внутри плазмы фотоны не могут свободно перемещаться. Они движутся со скоростью света, но у них очень большое сечение рассеяния на свободных электронах, которые заполняют плазму. Из-за этого фотоны все время меняют направление движения и их общее перемещение в каком-то одном направлении ничтожно мало.

Таким образом, фотоны оказались заперты в веществе, их средняя скорость относительно плазмы оказалась равна нулю. Но согласно нашим расчетам примерно через 400 000 лет после Большого Взрыва вселенная остыла настолько, что плазма превратилась в нейтральный газ, подобный воздуху в нашей аудитории. Воздух прозрачен для фотонов, поэтому свет движется по прямой от меня до ваших глаз и позволяет вам видеть мое изображение.

Проводить аналогии между аудиторией и вселенной немного рискованно. Размеры совершенно разные. Но в данном случае физика оказывается абсолютно одинаковой. Как только вселенная наполнилась нейтральным газом, она действительно стала прозрачной для фотонов космического фонового излучения. С этого времени большинство этих фотонов свободно путешествует по прямой. Когда мы смотрим на них сегодня, мы, по сути, видим изображение того, как выглядела вселенная через 400 000 лет после Большого Взрыва.

В космологии процесс нейтрализации газа во вселенной называется рекомбинацией. На самом деле это название неверно, поскольку приставка «ре» подразумевает повторное действие, а газ нейтрализовался впервые. Однажды я спросил у Джима Пиблса, который возможно, впервые употребил это название, почему он его выбрал. Он ответил, что слово «рекомбинация» используется в физике плазмы, поэтому было естественно использовать его и в космологии. Но для космологии это название неправильно, приставка «ре» здесь совершенно лишняя.

Что мы видим, изучая космическое фоновое излучение? Мы видим, что оно чрезвычайно изотропно. Отклонение в температуре фонового излучения равно примерно одной тысячной.

$\frac{δT}T = 10^{-3}$

Это очень маленькое число, но на самом деле фоновое излучение еще более изотропно.
Это отклонение в одну тысячную имеет определенное угловое распределение. Точно такое угловое распределение получается, если предположить, что мы двигаемся через космическое фоновое излучение. Именно таким движением Солнечной системы через фоновое излучение мы объясняем отклонение в $10^{-3}$ .

У нас нет независимого способа измерения скорости такого движения с достаточной точностью. Мы просто подгоняем его так, чтобы максимально избавиться от отклонений в данных. Это трехпараметрическая подгонка, мы можем менять три компонента скорости. У нас есть сложная угловая картина излучения на всем небе, и три числа, которые мы можем менять.

После удаления отклонений, связанных с нашим движением, остаются остаточные отклонения, которые находятся на уровне $10^{-5}$ , одной стотысячной. Излучение действительно крайне изотропно. Однажды я задал себе вопрос, можно ли отполировать шарик, чтобы он стал сферическим с точностью $10^{-5}$ . Это можно сделать, но для этого нужно использовать технологии, применяемые для создания высокоточных объективов, имеющих дело с размерами порядка длины световой волны.

Поэтому $10^{-5}$ — действительно очень высокая степень изотропии. И именно так выглядит наша вселенная.

Второе свойство вселенной – это однородность. Изотропия означает одинаковое во всех направлениях. Однородность означает одинаковое во всех местах. Однородность труднее проверить с высокой точностью. Для этого, например, нужно выяснить, является ли плотность галактик одинаковой на разных расстояниях. Для проверки изотропии мы смотрели, как изменяется космическое фоновое излучение в зависимости от угла. Но чтобы проверить однородность, нужно знать, как распределение галактик изменяется в зависимости от расстояния, а расстояния в космологии очень трудно измерить.

Насколько мы можем судить, вселенная вполне однородна, опять же, на масштабах в несколько сотен миллионов световых лет, хотя точно утверждать это сложно. Существует, однако, взаимосвязь между изотропией и однородностью.

Они очень похожи друг на друга, однако, логически это разные понятия, и стоит потратить немного времени, чтобы понять, как они связаны друг с другом. В частности, лучший способ понять, что означают эти свойства — это рассмотреть примеры, где одно свойство встречается без другого.

Предположим, например, что у нас имеется однородная, но не изотропная вселенная. Возможно ли это, и если да, то каким образом? Я хочу, чтобы вы придумали такой пример.

СТУДЕНТ: Например, вселенная, в которой галактики распределены с постоянной плотностью, но все они вращаются в определенном направлении.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Действительно, галактики вращаются, то есть имеют угловой момент. Угловые моменты разных галактик могут все смотреть в определенном направлении, и это будет примером однородной, но не изотропной вселенной.

Еще один простой пример — это вселенная, заполненная космическим фоновым излучением, в котором все фотоны, летящие в направлении z более энергичны, чем летящие в направлениях x или y. В этом случае вселенная также была бы полностью однородной, но не изотропной.

Можно придумать еще много таких примеров. Теперь давайте попытаемся придумать вселенную изотропную, но неоднородную. Свойство изотропии, кстати, зависит от наблюдателя. Давайте сначала придумаем вселенную, изотропную для нас, но неоднородную. Может ли кто-нибудь привести пример?

СТУДЕНТ: Сферическая оболочка вокруг нас.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Верно. Сферическая структура. Давайте я это нарисую.

Если мы находимся в центре, а материя распределена сферически симметрично, то вселенная для нас будет изотропна, но не однородна.

Такое устройство вселенной, конечно, кажется странными, потому что мы не считаем, что живем в каком-то особом месте вселенной. В этом суть революции Коперника, которая глубоко укоренилась в психологии ученых.

Если же вселенная изотропна для всех наблюдателей, то она обязана быть однородной. Это одна из причин, почему мы уверены, что наша вселенная однородна. Поскольку она изотропна по отношению к нам, мы считаем, что она должна быть изотропна для всех. Тогда она должна быть однородной.

Я предлагаю подумать вам над следующим вопросом: если вселенная изотропна по отношению к двум наблюдателям, может ли она быть неоднородной? Это на самом деле более тонкий вопрос, чем может показаться.

В Евклидовом пространстве изотропии для двух различных наблюдателей достаточно, чтобы гарантировать однородность. Но для Неевклидовых пространств это не всегда так. Мы еще не говорили о Неевклидовых пространствах, поэтому, пока, вы, может быть, не умеете с ними работать. В качестве примера можно взять искривленную поверхность в трехмерном пространстве.

Искривленные поверхности являются очень хорошими примерами Неевклидовых двумерных геометрий. Попробуйте придумать двумерную поверхность, которая была бы изотропной для двух точек, но не была бы однородной. Это вам задание на следующую лекцию.

Изотропия и однородность являются двумя ключевыми свойствами, которые упрощают нашу вселенную на очень больших масштабах. Третье свойство — это расширение вселенной, которое описывается законом Хаббла.

Закон Хаббла

Закон Хаббла гласит, что в среднем все галактики удаляются от нас со скоростью, которая равна постоянной $inline$ , называемой постоянной Хаббла, умноженной на расстояние до галактики, $inline$ . Этот закон не выполняется в точности для всех галактик. Он выполняется в среднем, как в среднем выполняются изотропия и однородность.

Теперь я хочу поговорить о единицах измерения, в которых он измеряется. Это приведет нас к понятию «парсек». Астрономы измеряют постоянную Хаббла, которую я иногда буду называть параметром Хаббла, в километрах в секунду на мегапарсек: (км/с)/Мпк. Это скорость, деленная на расстояние. Километры в секунду — это скорость, а скорость на мегапарсек — это скорость, деленная на расстояние, как и должно быть.

Заметьте, однако, что километр и мегапарсек являются единицами расстояния. Между ними просто фиксированное отношение. Таким образом, постоянная Хаббла на самом деле является временем в минус первой степени. Но выражение постоянной Хаббла в виде времени в минус первой степени редко используется. Вместо этого она выражается в единицах, которые любят использовать астрономы. Они измеряют скорости, как обычные люди, в километрах в секунду. Но расстояния они измеряют в мегапарсеках, где мегапарсек — это миллион парсеков, а парсек изображен на рисунке.

Основанием этого треугольника является одна астрономическая единица, среднее расстояние между Землей и Солнцем. Расстояние, с которого одна астрономическая единица видна под углом равным одной секунде, называется парсеком. Парсек — это около трех световых лет. Один парсек равен 3.2616 световых лет. Мегапарсек – это миллион парсек.

Чему же равна постоянная Хаббла? Она имеет очень интересную историю. Впервые она была измерена Джорджем Леметром в 1927 году, и опубликована в статье на французском языке. Статья в то время была проигнорирована в остальном мире. Ее обнаружили позже. Леметр не был астрономом. Он был теоретическим космологом. Я уже говорил, что у него была кандидатская степень от MIT по теоретической космологии.

Он использовал два разных метода расчета, использовав данные других ученых, и получил немного отличающиеся результаты. Значение, которое он получил в 1927 году для постоянной Хаббла находилось в диапазоне от 575 до 625 (км/с)/Мпк. Через два года, в 1929 году в своей знаменитой статье Хаббл получил значение 500 (км/с)/Мпк.

Между статьями Леметра и Хаббла имеется важная разница. Во-первых, Хаббл использовал в основном свои собственные данные, а Леметр использовал данные других ученых, в основном Хаббла. Кроме того, Хаббл утверждал, что данные показывают пропорциональность $inline$ и $inline$ . Леметр знал, что это верно для равномерно расширяющейся вселенной. Но он решил, что имеющихся данных не достаточно для доказательства данного факта. Тем не менее, он получил значение для $inline$ , взяв среднюю скорость галактик и разделив ее на среднее расстояние.

На рисунке приведены данные Хаббла. Очевидно, они были не очень хорошими. Максимальная скорость галактик достигает всего около 1000 км/с. Что любопытно — можно заметить, что вертикальная ось, где отложена скорость, должна измеряться в километрах в секунду, однако Хаббл написал на ней километры. Но это не помешало изданию статьи в сборнике трудов Национальной Академии наук и стало, конечно, знаменитой работой.

Видно, что данные разбросаны. На графике нарисованы прямые линии, но если убрать линии, то из самих данных не очевидно, что связь действительно линейная. Однако Хаббл решил, что данных хватает. Позже он собрал еще больше данных. Сегодня нет никаких сомнений в существовании линейной связи между скоростью и расстоянием. На очень больших расстояниях имеются понятные нам отклонения, но, по крайней мере, для умеренных расстояний, связь линейна.

Нужно заметить, что скорость Солнечной системы через космическое фоновое излучение также является скоростью Солнечной системы по отношению к расширяющейся вселенной. Поэтому, как Хаббл, так и Леметр должны были сделать оценку скорости Солнечной системы и вычесть ее, чтобы получить данные, похожие на прямую линию.

Леметр оценил скорость нашей Солнечной системы в 300 км/с, Хаббл оценил ее равной 280 км/с. Это была важная поправка, потому что максимальная скорость галактик была всего 1000 километров в секунду, и вносимая поправка составляла около трети от максимальной скорости.

СТУДЕНТ. Что они использовали для оценки скорости Солнечной системы?

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Я думаю, что они просто подбирали такую скорость, при которой среднее расширение во всех направлениях станет примерно одинаковым. Честно говоря, я не уверен. Но мне кажется, это единственное, что они могли использовать.

Постоянная Хаббла

С тех далеких времен было сделано много измерений постоянной Хаббла, и значение сильно изменилось. В 40-60-х годах, была целая серия измерений, в которых основную роль играли Вальтер Бааде и Аллан Сэндидж. При этом значения постоянной Хаббла постоянно снижались от больших значений, полученных Хабблом и Леметром.

Когда я был аспирантом, все говорили, что постоянная Хаббла находится в районе от 50 до 100 (км/с)/Мпк. Все еще сохранялась неопределенность в 2 раза. Но значение было гораздо ниже — в 5 или 10 раз ниже значения, полученного Хабблом. И это значение оставалось основным источником неопределенности в космологии.

Значение постоянной Хаббла начало уточняться в 2001 году. Тогда был запущен проект Hubble Key Project. Слово Hubble здесь относится к телескопу «Хаббл», который был назван в честь Эдвина Хаббла. Телескоп «Хаббл» использовался для наблюдений за переменными цефеидами в галактиках, которые были значительно дальше, чем те, в которых могли наблюдать цефеиды ранее. Тем самым удалось гораздо лучшее измерить расстояния. Цефеиды имеют решающее значение для определения расстояний в космологии.

Полученное значение было гораздо более точным: 72 ± 8 (км/с)/Мпк. Между тем, оно все еще было спорным. Должен заметить, что, когда говорили, что постоянная Хаббла находится в районе от 50 до 100, то не имелось ввиду, что размер ошибки настолько велик. Реальная ситуация заключалась в том, что была группа астрономов, которая утверждала, что значение равно 50, и были другие группы астрономов, которые утверждали, что значение равно 100. Ученые, которые считали, что значение постоянной Хаббла около 50, также проводили исследования в то время и также использовали данные телескопа «Хаббл». В том же 2001 году у них получилось значение 60, с точностью до 10%.

В 2003 году, при помощи спутника WMAP, что значит Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, спутника, посвященному измерению мельчайших вариаций космического фонового излучения на уровне одной стотысячной, получили значение 72 ± 5 (км/с)/Мпк. Это значение было основано на данных, собранных в течение одного года.

В 2011 году та же команда WMAP, используя данные за 7 лет, получила число 70.2 ± 1.4 (км/с)/Мпк, что уже очень точно. Самое последнее значение получено при помощи спутника, аналогичного WMAP, но более современного и мощного, спутника под названием «Планк». Получилось несколько неожиданно низкое значение 67.3 ± 1.2 (км/с)/Мпк.

Значение постоянной Хаббла:
1927 г. Леметр: 575-625 (км/с)/Мпс
1929 г. Хаббл: 500 (км/с)/Мпс
1940-70 г. Бааде и Сэндидж: 50-100 (км/с)/Мпк
2001 г. Habble Key Project: 72 ± 8 (км/с)/Мпк
2001 г. Тамман и Сэндидж: 60 ± 6 (км/с)/Мпк
2003 г. WMAP: 72 ± 5
2011 г. WMAP: 70.2 ± 1.4 (км/с)/Мпк
2013 г. «Планк»: 67.3 ± 1.2 (км/с)/Мпк

СТУДЕНТ: Из-за чего получилось столь сильное расхождение в значении постоянной Хаббла, измеренной в прошлом веке и сейчас?

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: В ранних измерениях ученые делали большую ошибку в оценке расстояний. Мне кажется, что это было связано с неправильной идентификацией цефид. Они использовали одинаковым образом два разных типа цефид, которые должны интерпретироваться по-разному. Я не совсем уверен в деталях, но они точно ошиблись в оценке расстояний. Скорость довольно легко измерить, а ошибка у них получилось очень большой.

СТУДЕНТ: Последние полученные значения 70.2 ± 1.4 и 67.3 ± 1.2 не лежат в пределах погрешности друг друга.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Почему это так? Никто не знает наверняка. Замечу, что погрешность означает стандартное отклонение – σ. Результат не обязательно должен лежать в пределах ошибки в одну σ. С вероятностью 2/3 ответ лежит в пределах σ, но с вероятностью 1/3 он лежит за пределами σ.

Значения отличаются примерно на 2.5 σ. Это означает, что с вероятностью примерно 1% значение постоянной Хаббла удовлетворяет обоим измерениям. До сих пор обсуждается, является ли это приемлемым или нет. В экспериментальной физике и особенно в космологии, такие расхождения появляются регулярно, и у людей часто бывают разные мнения о том, указывает ли это на что-то очень важное или эти расхождения со временем исчезнут.

Хочу добавить, что первоначальное большое завышение постоянной Хаббла имело очень существенное влияние на историю космологии. Ученые при помощи модели Большого Взрыва пытались оценить возраст вселенной. Результат зависел от модели, плотности вещества и тому подобных вещей. Тем не менее, постоянная Хаббла является важным параметром. Чем быстрее галактики разлетаются сейчас, тем меньше времени им было нужно, чтобы удалиться на текущее расстояние, и тем моложе наша вселенная. С очень хорошей степенью точности любая оценка возраста вселенной получается обратно пропорциональной постоянной Хаббла.

Поскольку первоначальное значение постоянной Хаббла отличалось от текущего значения в 7 раз, то возраст вселенной также получался в 7 раз меньше. Ученые получали, что, согласно модели Большого Взрыва, возраст вселенной равен 2-м миллиардам лет вместо 14-ти миллиардов лет, как считается сейчас.

Однако уже в 20-30-х годах пошлого века были значительные геологические свидетельства того, что Земля намного старше 2-х миллиардов лет. Ученые также кое-что знали об эволюции звезд, и было ясно, что многие звезды также старше 2-х миллиардов лет. Поэтому вселенной не могло быть всего 2 миллиарда лет. Это привело к очень серьезным проблемам с развитием теории Большого Взрыва. В частности, это расценивалось как дополнительное доказательство так называемой теории стационарной вселенной. Согласно этой теории, вселенная существует бесконечно долго, а по мере ее расширения создается новое вещество, заполняющее новое пространство, так что плотность материи остается неизменной.

Сам Леметр в своей статье 1927 года построил очень сложную, на мой взгляд, теорию, чтобы она не противоречила известному возрасту вселенной. Вместо Большого Взрыва, его модель начиналась со статического равновесия, где положительная космологическая константа, создающая отталкивающую гравитацию, о чем мы говорили во вступительной лекции, компенсирует нормальную притягивающую гравитацию обычной материи. То есть получалась статическая вселенная точно такого же типа, которую первоначально предложил Эйнштейн.

Но во вселенной Леметра плотность массы была чуть меньше, чем у Эйнштейна, так что постепенно она расширялась все больше и больше. Обычной гравитации было недостаточно, чтобы удержать ее на месте. Со временем расширение вселенной набрало скорость и позволило получить вселенную, которая намного старше, чем та, которая получается в простой модели Большого Взрыва.

Расширение вселенной

Теперь я хочу обсудить, что следует из закона расширения Хаббла. С первого взгляда кажется, что из закона Хаббла следует, что мы — центр Вселенной. Все галактики удаляются от нас, поэтому мы находимся в центре. На самом деле это не так. Если посмотреть более внимательно, как показано на рисунке, то выяснится, что, если закон Хаббла справедлив для одного наблюдателя, он также справедлив и для любого другого наблюдателя, до тех пор, пока нет возможности измерения абсолютной скорости.

Мы считаем, что находимся в состоянии покоя, но это всего лишь наше определение системы отсчета. Если бы мы жили в другой галактике, мы бы с тем же успехом могли считать, что покоится эта галактика. На рисунке показано расширение только в одном направлении, но этого достаточно, чтобы проиллюстрировать идею.

На верхнем рисунке мы считаем, что живем в галактике A. Другие галактики удаляются от нас со скоростями, пропорциональными расстоянию. Мы равномерно разместили эти галактики на рисунке. Соседняя галактика удаляется от нас со скоростью $inline$ . Следующая галактика удаляется со скоростью 2 $inline$ . Следующая со скоростью 3 $inline$ , и так далее, до бесконечности.

Теперь мы хотим перейти от галактики A к галактике B. Предположим, что мы живем в галактике B и считаем галактику B покоящейся. Теперь опишем нашу картину в системе отсчета галактики B. Галактика B не имеет скорости, потому что она находится в покое относительно своей системы отсчета.

При переходе из одной системы отсчета в другую мы будем использовать преобразования Галилея. Модели, учитывающие теорию относительности мы рассмотрим позже. При переходе из одной системы отсчета к другой, все, что нам нужно сделать для преобразования скоростей — это к каждой первоначальной скорости добавить фиксированную скорость, равную разнице скоростей между двумя системами отсчета.

Чтобы перейти от верхней к нижней картинке, мы к каждой скорости добавляем скорость $inline$ , направленную влево. Для галактики B первоначальная скорость равнялась $inline$ и была направлена вправо. После складывания со скоростью $inline$ , направленной влево, мы получаем 0. Это то, что нам нужно. Мы делаем преобразование, которое приведет галактику B к состоянию покоя.

После того, как мы добавим $inline$ к скорости галактики Z, которая двигалась со скоростью $inline$ налево, мы получаем скорость 2 $inline$ налево. Когда мы добавляем $inline$ к галактике Y, мы получаем скорость 3 $inline$ налево. При добавлении $inline$ к скорости галактики С, мы получаем для нее скорость $inline$ вправо. Это приводит нас к нижней картине.

Если мы смотрим с точки зрения Галактики B, то соседние галактики удаляются от нее со скоростью $inline$ . Следующие галактики удаляются со скоростью 2 $inline$ и так далее. Мы получаем абсолютно ту же самую картину. Несмотря на то, что закон расширения Хаббла выглядит так, как будто вы находитесь в центре вселенной, на самом деле он описывает совершенно однородную картину.

Если взять какой-нибудь регион вселенной, то при однородном расширении он в каждое время будет выглядеть идентично. Это будет выглядеть как растягивание фотографии. В каждый последующий момент времени картина выглядит увеличенным изображением первоначальной картины с одним важным исключением. Расстояния между галактиками увеличиваются равномерно, но каждая отдельная галактика не расширяется. Каждая отдельная галактика сохраняет свои размеры.

Если мы говорим о ранней вселенной, до появления каких-либо галактик, то у нас получится равномерное расширение вещества. В среднем каждая молекула будет равномерно отдаляться от каждой другой молекулы.

СТУДЕНТ: Я не понял до конца, при расширении вселенной галактики движутся в пространстве, или само пространство расширяется?

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Обе точки зрения верны. Если бы пространство было похоже на воду, то можно было бы положить в эту воду немного пыли, маленькие кусочки чего-то, что можно увидеть, и посмотреть, уплывают ли они вместе с водой друг от друга.

Однако не существует способа, чтобы пометить пространство. Согласно принципу относительности, нельзя сказать, двигаетесь ли вы относительно пространства или нет. Не имеет смысла говорить о движении относительно пространства. Также не имеет смысла говорить о движении пространства относительно вас.

Поэтому обе точки зрения правильны. Однако в некоторых случаях, например, в случае замкнутой вселенной, если посмотреть на вселенную глобально, можно задаться вопросом: увеличивается ли объем замкнутой вселенной во время расширения. В этом случае ответ – да, объем действительно увеличивается.

Поэтому мы будем считать, что расширяется сама вселенная. Но при локальных наблюдениях нет никакого различия между расширением вселенной и утверждением, что галактики просто движутся в пространстве.

СТУДЕНТ: Почему сами галактики не расширяются?

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Вскоре после Большого Взрыва вселенная была наполнена почти совершенно однородным газом, который просто равномерно расширялся. Но газ был не полностью однороден. Его плотность имела крошечные колебания. Похожие колебания мы сегодня видим в космическом фоновом излучении, которые были вызваны колебаниями плотности газа в ранней вселенной.

Эти колебания в конечном итоге превратились в галактики, потому что они гравитационно неустойчивы. Везде, где есть небольшой избыток массы, создается немного более сильное гравитационное поле. Оно притягивает к себе еще больше вещества, которое создает еще более сильное гравитационное поле. В итоге, это почти равномерное распределение газа с небольшими отклонениями плотности, равными одной стотысячной, превращается в огромные сгустки материи в виде галактик.

Гравитация, образующая галактику, пересиливает расширение вселенной. Вещество, которое образует галактику, расширяется в ранней вселенной. Но гравитационное притяжение галактики притягивает его обратно. Таким образом, галактика достигает максимального размера, затем, начинает уменьшаться и достигает равновесия, где вращательное движение компенсирует гравитацию и определяет ее конечный размер.

Масштабный фактор и сопутствующая система координат

На рисунке показано расширение вселенной. Маленькие пятна изображают галактики. Физическое расстояние между парой галактикой небольшое на левом рисунке и гораздо больше на правом. Более удобный способ описать равномерно расширяющуюся систему — ввести систему координат, которая расширяется вместе с ней. Назовем эти координаты делениями (по английски — notch (насечка, метка)).

Деления — это искусственные координаты, можно считать их метками на карте. При равномерном расширении мы можем взять любой из этих рисунков и считать его картой нашего региона вселенной. Затем мы можем перейти к любому другому рисунку просто преобразовав единицы на карте в физические расстояния с другим масштабным фактором.

Если бы Массачусетс становился с каждым днем все больше и больше, и у нас была бы карта Массачусетса, нам не пришлось бы каждый день выбрасывать эту карту и покупать новую. Мы могли бы учитывать расширение штата Массачусетс на одной и той же карте просто переписывая масштаб в углу карты. Сначала мы бы писали, что 1 см равен 7 км, на следующий день, что 1 см равен 8 км, затем 1 см равен 9 км.

Изменяя масштабный фактор на карте, мы можем описать расширяющуюся систему, никогда не выбрасывая исходную карту. В случае со вселенной слово масштабный фактор имеет точно такое же значение. Система координат, которую мы будем использовать, называется сопутствующей системой координат.

Галактики имеют приблизительно постоянные координаты в сопутствующей системе координат. Масштабный фактор показывает, чему равно физическое расстояние единицы сопутствующего расстояния, и увеличивается со временем. Для описания расширяющейся вселенной в дальнейших лекциях мы будем использовать сопутствующую систему координат.

Итак, физическое расстояние $inline$ (p от английского phisical — физический) между любыми двумя точками на карте равно зависящему от времени масштабному фактору $inline$ , умноженному на сопутствующее расстояние $inline$ (c от английского comoving coordinates — сопутствующие координаты).

$l_p(t) = a(t) \cdot l_c$

Под физическим расстоянием я имею в виду расстояние в реальном мире. Если мы говорим о Массачусетсе, то это расстояние в километрах между реальными физическими объектами.
Для сопутствующих расстояний я собираюсь использовать определение, которое немного отличаются от того, которое часто используется. В большинстве книг сопутствующее расстояние, как и физическое расстояние, измеряется в обычных единицах длины, метрах. Поэтому масштабный фактор получается безразмерным. Он просто показывает, во сколько раз нужно растянуть карту, чтобы она соответствовала реальным физическим расстояниям.

Мне кажется, что значительно удобнее расстояния на карту измерять не в обычных единицах длины, например, метрах, а, как показано на картинке, в делениях. Одно из преимуществ этого заключается в том, что если у вас есть разные копии карты, распечатанные в разных масштабах, то расстояния между делениями растут вместе с физическим размером карты, при этом масштабный фактор одинаков независимо от того, какую копию карты вы используете.

Но самое главное, это позволяет делать проверку размерностей. Карта размечается при помощи какой-то новой произвольной единицы, которая является особенной для карты. Я называю эти единицы делениями. Деления — это просто произвольные единицы, при помощи которых мы размечаем карту. Физическое расстояние, конечно, измеряется в метрах или любой другой стандартной единице расстояния.

Получается, что масштабный фактор измеряется в метрах на деление вместо того, чтобы быть безразмерным. Основное преимущество этого заключается в том, что, когда вы закончите ваши вычисления, ответ не должен содержать никаких делений, поскольку вы вычисляете что-то реальное. Таким образом, имеется хорошая проверка размерности, что деления должны исчезнуть из любого расчета физической величины.

Дальше я хочу показать, что это соотношение приводит к закону Хаббла и понять чему равна постоянная Хаббла при изменении масштабного фактора. Это достаточно простой расчет. Физическое расстояние до какого-нибудь объекта $inline$ задается формулой $l_p(t) = a(t) \cdot l_c$ и мы хотим знать, какова его скорость. Его скорость $inline$ по определению, просто равна производной по времени от $inline$ :

$v_p = \frac d{dt}l_p(t) = \frac d{dt} (a \cdot l_c) = \frac {da}{dt} \cdot l_c$

поскольку $inline$ является постоянной. В среднем, наши галактики покоятся в сопутствующей системе координат.

Можно это уравнение переписать немного более полезным способом при помощи деления и умножения на $inline$ :

$v_p = \frac {da}{dt} \cdot l_c = (\frac 1{a} \frac {da}{dt}) \cdot a\cdot l_c = \frac 1{a} \frac {da}{dt} \cdot l_p(t)$

Преимущество умножения и деления заключается в том, что $a(t) \cdot l_c$ просто равна $inline$ , физическому расстоянию. Получается, что скорость любого удаленного объекта равна $\frac 1a \frac {da}{dt}$ умноженное на расстояние до этого объекта. Это и есть закон Хаббла. При этом постоянная Хаббла, которая сама будет функцией времени, равна:

$H(t) = \frac 1{a(t)} \frac {da(t)}{dt}$

Если мы знаем, как меняется $inline$ в зависимости от времени, мы знаем, как меняется постоянная Хаббла. Постоянная Хаббла полностью определяется функцией $inline$ . Также мы можем произвести проверку размерностей, о которой я говорил. $inline$ измеряется в метрах на деление, поэтому для постоянной Хаббла мы получаем время в минус первой степени, при этом важно то, что деления исчезли. Деления должны исчезнуть из любого расчета физической величины.

Хочу сделать еще одно замечание. В настоящее время почти все обозначают масштабный фактор как $inline$ . Первоначально масштабный фактор ввел Александр Фридман, который первым придумал уравнение, описывающее расширение Вселенной в начале 1920-х годов. Он использовал букву R. Леметр также использовал букву R. Мне кажется, что Эйнштейн, также, вероятно, использовал R. Ближе к настоящему времени, Стив Вайнберг написал книгу о гравитации и космологии, в которой все еще использовалась буква R. Это была последняя крупная работа, в которой использовалась R для масштабного фактора.

Недостатком использования буквы R является то, что в R в общей теории относительности означает также и другое понятие. Это стандартный символ для обозначения так называемой скалярной кривизны. Поэтому, чтобы избежать путаницы между этими двумя величинами, в настоящее время почти все обозначают масштабный фактор как $inline$ .

Распространение света

Если мы хотим изучать нашу расширяющуюся вселенную, нам нужно понимать, как через нее распространяются световые лучи. Это достаточно просто. Пусть $inline$ – это сопутствующая координата, которая измеряется в делениях, и имеется световой луч, движущийся в направлении $inline$ . Я смогу описать, как движется такой световой луч, если я смогу записать формулу для $inline$ , то есть насколько быстро движется луч света в сопутствующей системе координат.

Основной принцип, которым мы будем пользоваться, заключается в том, что свет всегда движется со скоростью света $inline$ . Но $inline$ — это физическая скорость света, скорость, измеренная в метрах в секунду. А $inline$ — это скорость, измеренная в делениях в секунду, потому что наша сопутствующая система координат размечена не в метрах, а в делениях. Это очень важно, потому что соотношение метров и делений постоянно меняется, а мы хотим измерять величины в делениях, чтобы у нас получилась хорошая картина описании вселенной с помощью сопутствующих координат, с которой мы сможем работать.

Поэтому мы хотим знать, чему равно $inline$ , но это просто проблема преобразования единиц измерения. $inline$ — скорость света в делениях в секунду. Мы знаем скорость света в метрах в секунду, которая равна $inline$ . Таким образом, чтобы преобразовать метры в деления нужно просто поделить на масштабный фактор. Снова оказывается удобным измерение сопутствующей длины в делениях, потому что мы можем проверить, какие единицы измерения мы получим.

$\frac {dx}{dt} = \frac c{a(t)}$

Можно убедиться, что все правильно, проверив наши размерности. Для обозначения единиц измерения я буду использовать квадратные скобки. Итак, мы проверим, какие единицы измерения получаются, если $inline$ поделить на $inline$ . Это, конечно, тривиальная проблема, но мы убедимся, что получили правильный ответ.

$inline$ , конечно, измеряется в метрах в секунду. $inline$ , как мы сказали, измеряется в метрах на деление. Метры сокращаются, и мы получаем деления в секунду.

$[\frac c{a(t)}] = \frac {м/с}{м/деление} = \frac {деление}с$

Я говорил, что мы никогда не должны получать деления для физических величин. Но в ответе у нас не физическая величина. Это скорость света в сопутствующих координатах и зависит от того, какие координаты мы выбрали. Поэтому, должны получиться деления в секунду, потому что $inline$ измеряется в делениях а $inline$ измеряется в секундах. Таким образом, мы поместили $inline$ в правильное место. Он должен находиться в знаменателе, а не в числителе.

СТУДЕНТ: Почему мы не учитываем в расчетах, что при расширении вселенной источник света удаляется от наблюдателя?

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: Дело в том, что специальная теория относительности говорит, что все инерциальные наблюдатели эквивалентны и что скорость света не зависит от скорости источника, который выпустил световой луч. Если я нахожусь в состоянии покоя относительно сопутствующей системы координат, то можно считать, что я инерционный наблюдатель. Если световой луч пролетает мимо меня, то для меня его скорость равна c, независимо от того, где был выпущен этот луч, независимо от того, что произошло в прошлом.

На самом деле я не совсем инерционный наблюдатель, потому что во вселенной есть гравитация, но мы будем игнорировать это. Если быть действительно точным, то мы должны использовать общую теорию относительности. Мы будем использовать интуитивное объяснение, которое, как мне кажется, довольно очевидно. Если я стою неподвижно относительно этой расширяющейся системы координат, то я инерционный наблюдатель. При этом мы поучим абсолютно точный результат.

Соотношение между делениями и метрами, между сопутствующими и физическими расстояниями просто равно $inline$ . Можно все это вычислить в более общем виде, с использованием общей теории относительности. Можно объединить общую теорию относительности с уравнениями Максвелла и вычислить, как именно перемещаются лучи света. Мы получим точно такой же результат.

Космологическая синхронизация часов

Теперь я хочу немного поговорить о синхронизации часов в космологической сопутствующей системе координат. В специальной теории относительности, как вы знаете, трудно говорить о синхронизации часов на больших расстояниях. Синхронизация часов зависит от скорости наблюдателя. Это один из принципов специальной теории относительности, о которых я рассказывал на прошлой лекции.

В специальной теории относительности не существует универсального способа синхронизации часов. Можно синхронизировать часы для одного наблюдателя, но тогда они не будут синхронизированы для другого наблюдателя, движущегося по отношению к первому. В нашем случае, кажется все еще сложнее. Часы, неподвижные в сопутствующей системе координат перемещаются вместе с разлетающимися галактиками. Все эти часы движутся относительно друг друга согласно закону Хаббла.

Идея синхронизации таких часов кажется труднопреодолимой. Оказывается, однако, что мы можем синхронизировать такие часы, и можно ввести понятие о так называемом космологическом времени, то есть времени, которое было бы одинаковым на всех этих часах. Я рассматриваю часы, которые неподвижны по отношению к локальным галактикам. Другими словами, часы, неподвижные по отношению к сопутствующей, расширяющейся системе координат.

Наше основное предположение, которое все упрощает, заключается в том, что рассматриваемая нами вселенная однородна. Это означает, что, то, что я вижу, не зависит от того, где я нахожусь. Если бы я жил в какой-то галактике, достал секундомер и засек, сколько времени прошло между изменением постоянной Хаббла от одного значения до другого, я бы получил точно такой же промежуток времени, как и в любой другой галактике. В противном случае вселенная не была бы однородной. Однородность означает, что все видят одно и то же.

Таким образом, у всех нас, независимо от того, где мы живем в такой вселенной, имеется общая история. Единственное, чего пока мы не знаем, это как первоначально синхронизировать наши часы. Чтобы время на моих часах соответствовало времени на ваших часах. Но если мы можем посылать сигналы друг другу, мы могли бы просто договориться — давайте установим наши часы на ноль, когда постоянная Хаббла будет равна, например, 500 (км/с)/Мпк. И тогда у нас будет четкая синхронизация.

Как только мы синхронизируем наши часы таким образом, то для каждого из нас постоянная Хаббла изменяется со временем одним и те же образом, согласно принципу однородности. При измерении временных интервалов мы получаем одинаковый результат. Теперь нам нужно измерять только временные интервалы, потому что мы договорились, что все наши часы установлены на одно и то же время при определенном значении постоянной Хаббла.

Можно задаться вопросом, какие варианты имеются у нас для синхронизации часов. Я упомянул постоянную Хаббла. Это, безусловно, один из параметров, который может быть в принципе использован для синхронизации часов в нашей модели вселенной.

Можем ли мы использовать сам масштабный фактор для синхронизации времени? Нет, не можем, из-за неоднозначности деления. У меня нет способа сравнить мое деление с вашим. Мы можем сравнивать физические расстояния, потому что они связаны с физическими свойствами. Например, размер атома водорода имеет определенный физический размер, независимо от того, где он находится в нашей вселенной.

Мы могли бы использовать атомы водорода для определения метра, и мы все использовали бы одни и те же метры. Мы могли бы использовать метры, чтобы определить единицы измерения времени — как долго свет проходит один метр. Таким образом, мы можем договориться о метрах и секундах, потому что они связаны с физическими явлениями, которые одинаковы везде в нашей однородной вселенной. Но с делениями это не так. Каждый может иметь свое собственное деление. Это просто размер карты, которую он рисует.

Таким образом, мы не можем сравнивать масштабные факторы и договориться, что мы установим наши часы на определенное время, когда оба наших масштабных фактора имеют определенное значение. Мы получим различную синхронизацию в зависимости от того, каким мы выбрали деление. Таким образом, масштабный фактор не может служить механизмом синхронизации, в отличие от постоянной Хаббла.

Если вспомнить о космическом фоновом излучении, то оно имеет температуру, которая уменьшается по мере расширения вселенной. Поэтому оно также может быть использовано для синхронизации часов.

Хочу сделать одно интересное замечание. Для нашей вселенной постоянная Хаббла меняется со временем, температура фонового излучения меняется со временем. Нет проблем использовать их для синхронизации. Но если рассмотреть другие математические модели вселенной, то можно представить себе вселенную, где коэффициент Хаббла постоянен. На самом деле такие модели были изучены вскоре после появления общей теории относительности. Это так называемое пространство де Ситтера. Примерно такое происходит во время инфляции, поэтому мы будем говорить о пространстве де Ситтера позже.

В пространстве де Ситтера коэффициент Хаббла абсолютно постоянен, поэтому, по крайней мере, один из механизмов, которые я упомянул для синхронизации часов, исчезает. Также, в чистом пространстве де Ситтера нет космического микроволнового фонового излучения, так что отпадает и этот механизм. Остается ли что-то еще? Оказывается, нет. В пространстве де Ситтера нет способа синхронизовать часы. Можно показать, что если вы синхронизируете часы в пространстве де Ситтера каким-либо способом, то можно сделать преобразование, которое сделает часы не синхронизованными. При этом пространство будет таким же, как и прежде.

Таким образом, понятие синхронизации не так просто. Оно зависит от того, меняется ли постоянная Хаббла со временем. В случае нашей реальной вселенной она действительно меняется.

Теги:

Хабы: