Логична ли математика или почему парадоксальны аксиоматические теории

image

Сегодня мы поговорим об основах. Теоретические основы задают пределы возможного и показывают пути достижения целей, а потому глубина понимания в таких вопросах никогда не будет лишней.

Все основы мы осветить не сможем, поэтому пока направим свой просветительский луч на занимательные задачки, называемые парадоксами. По ходу освещения темы мы постепенно углубимся в недра подхода, называемого логикой, а затем обратим внимание на связи логики и математики, после чего наши читатели смогут легко разобраться не только в причинах полезности логики при выводе аксиоматических теорий, но и зачем вообще аксиоматические теории нужны, а так же поймут как не надо подходить к строительству непротиворечивых теорий.

Начнём со списка занимательных задачек. Эти задачки называют парадоксами, поскольку как бы мы не отвечали на вопрос, который ставится в задаче, автор парадокса всегда легко докажет, что мы неправы. То есть говоря другими словами — задачки не предполагают наличия решения, но скорее занимательным образом показывают нетривиальность логических рассуждений.

Парадокс брадобрея



В некой деревне некий брадобрей заявил, что он бреет в своей деревне всех, кто не бреется сам. Вопрос — кто бреет брадобрея?

Если вы ответили, что брадобрея бреет сам брадобрей, то сторонники парадоксов вам быстро объяснят, что брадобрей по условиям задачи бреет тех, кто не бреется сам, а значит он не может брить себя, иначе получилось бы, что он бреется сам и тем самым бреет того, кто бреется сам.

Если же вы ответили, что брадобрея бреет кто-то другой, то сторонники парадоксов опять напомнят условия задачи — в них указано, что если человек не бреется сам, то его обязан брить именно брадобрей, ведь он же сказал — бреет всех, кто не бреется сам. Значит если его бреет кто-то другой, тогда он не бреется сам и по условию должен быть брит брадобреем.

Пока не стоит глубоко погружаться в логические противоречия данной задачи, она лишь вводит вас в мир парадоксов и за ней последуют ещё несколько противоречивых задачек. Хотя если вы нашли неожиданное решение — не спешите, далее вы увидите, как сторонники парадоксов обойдут любые неожиданные решения.

Парадоксы множеств



Аналогично парадоксу брадобрея сто с лишним лет назад был открыт парадокс, серьёзно повлиявший на основы математики, при чём на столько серьёзно, что этот период был назван кризисом основ математики. Правда сильно беспокоиться за математику всё же не стоит, ведь и кризис этот был не первый, и на содержательные разделы математики он повлиял слабо. Но тем не менее, кризис наглядно показал слабость наших познаний в той области, которая всегда считалась строгой и чуть ли не всеобъемлющей.

Сначала покажем основу одного из парадоксов на упрощённом примере. Представим множество (или же список, массив) всех положительных целых чисел, а затем представим число, соответствующее количеству чисел в нашем множестве. Представили? Если да, то что будет со множеством после добавления в него числа, равного количеству его элементов с прибавленной единицей? Если там уже есть все элементы, вспомним, что они могут быть отсортированы по возрастанию и тогда станет очевидным, что наибольший элемент равен количеству элементов в нашем множестве. Но если прибавить к количеству единицу, то мы получим элемент, которого в множестве нет, значит вроде бы представить такой список нельзя, ведь каждый раз будет всплывать вопрос о новом элементе. Но с другой стороны — мы же можем сформулировать фразу «множество всех положительных целых чисел». Так чего же мы реально можем и чего не можем?

Пока вы раздумываете над ответом на предыдущий вопрос мы зададим вам следующий. А если представить множество всех множеств, да такое, что бы ни одно множество не включало бы само себя в качестве элемента? Возможно ли такое? Например множество чисел { 1, 2, 3 } не включает себя в качестве элемента. Так может и все остальные множества можно так же представить?

Если вы скажете, что такое возможно, то тогда сторонники парадоксов зададут вопрос — а включает ли представленное множество само себя?

Если вы скажете «да», то сторонники парадоксов ответят, что по условию задачи множество не должно включать таких множеств, которые включают сами себя, но раз вы сказали «да», то включили представленное множество само в себя и тем запретили его включение, ведь оно стало множеством, включающим себя, что противоречит условию задачи.

Если же вы скажете «нет», то сторонники парадоксов ответят, что по условиям задачи представленное множество должно включать все множества, не включающие себя, а значит и само представленное множество (которого нет в самом себе) тоже должно быть в нашем множестве.

Так же как и, возможно, вы сейчас, математики всего мира были слегка задеты явным отсутствием здравого смысла в предложенном парадоксе. Ведь мало того, что здравый смысл куда-то убежал, но незадолго перед этим математики успели предложить использовать теорию множеств (а мы как раз говорим о её представителе — множестве всех множеств, не включающих самих себя) для построения на её основе всей математики. И в результате случился кризис — в основе математики, как оказалось, отсутствует здравый смысл. Как вам такая математика? На эту тему хорошо выразился Винни-Пух — она хорошая, но почему-то хромает (с).

Но это ещё не всё. Далее для полноты картины приведём парочку парадоксов несколько иного плана.

Парадокс самоприменимости



Есть слова, смысл которых можно применить к этим словам. Например — слово «трёхсложно» состоит из трёх слогов и его смысл нам тоже говорит о трёх слогах, поэтому такое слово можно назвать самоприменимым. Аналогично слово «русское» написано по русски и выражает смысл принадлежности к русскому, то есть опять самоприменимо. А вот слово «сиреневенький» обычно пишется совсем не сиреневым цветом и на сирени не растёт, значит оно несамоприменимо. Но есть ещё слово (и мы его только что видели) «несамоприменимо». Применимо ли такое слово к самому себе?

Если борьба со здравым смыслов внутри вас успешно закончилась и вы сказали, что слово самоприменимо, то сторонники парадоксов скажут — как же оно может быть самоприменимо, если в нём написано — несамоприменимо?

Если же вы скажете, что слово несамоприменимо, то сторонники парадоксов ответят, что смысл слова совпадает с определением, которое вы ему дали (несамоприменимо), а значит вы сами же и показали способ самоприменимости, и значит вы опять неправы!

Но радость сторонников парадоксов будет неполной, если мы не покажем ещё одну задачку.

Парадокс ложного высказывания



Задачка очень простая — вы должны ответить «да» или «нет» на вопрос — является ли следующее высказывание ложным — «это высказывание ложное».

Если вы ответите «нет», то сторонники парадоксов скажут, что в высказывании же написано — оно ложное, значит вы говорите что-то не то.

Если вы ответите «да», то сторонники парадоксов скажут, что раз вы утверждаете, что высказывание ложное (ответив «да»), и само высказывание утверждает, что оно ложное, то где же здесь ложь? Значит вы опять ответили неправильно! Далее сторонники парадоксов опять радуются.

Немного демистификации



Мы не станем унывать, наблюдая веселье в стане сторонников парадоксов, но попробуем вскрыть то зло, которое, так сказать, усиленно пудрило нам мозги во всех приведённых парадоксах. Да что нам — куча математиков до сих пор не уверена в непротивречивости основ своей науки!

Сначала про брадобрея. Посмотрим внимательнее на состав участников парадокса. Мы заметим пару сущностей, это брадобрей и некие «все», которых брадобрей бреет. Так же мы увидим некое отношение, в которое вступает брадобрей с теми, кого он бреет. Назовём это отношение по простому — «бреет». На языке математики мы бы могли написать — х бреет у, то есть некий икс находится в отношениях с неким игреком, а называется отношение — бреет. Далее в парадоксе мы видим алгоритм отбора в состав сущности «все». Суть алгоритма — проверка на условие «не бреется сам». Так же мы видим обязательство брадобрея брить всех, кто входит в упомянутую сущность «все».

Теперь, записав для нашей задачки часть «дано», мы переходим к части «решение».

Предположим, что некая комиссия отбирает людей из деревни, и всех, кто ответит «не бреюсь сам», включает в состав множества из условия задачи (множество «все»). После завершения работы комиссии мы имеем группу лиц, которых нашему брадобрею необходимо соответствующим образом обработать. Далее можно легко представить, что в момент опроса брадобрей сказал, что он бреется сам, а потому его в группу подлежащих обработке лиц не включили. В итоге получаем вполне благостную картину — все, кто не бреется сам, будут спокойно побриты нашим брадобреем. А разве не будут? Как минимум, никаких препятствий со стороны здравого смысла мы здесь не увидим, а потому легко представим все подходящие по условию бритые лица и весьма довольного брадобрея. Но вот сторонники парадоксов в такой ситуации окажутся не у дел, ведь парадокса-то, получается, совсем нет!

Но на самом деле парадокс есть. Ведь не зря же математики всего мира озаботились кризисом!

Для выявления причины возникновения парадокса необходимо включить в уравнение его сторонников. Они скажут, что брадобрей же утверждал, что бреет тех, кто не бреет себя сам, а потому он не имеет права брить себя, ведь тогда он будет брить того, кто бреет себя сам и тем нарушит условие задачи. Тогда в терминах логики мы можем сказать, что утверждение «брадобрей бреет брадобрея» ложное по условиям задачи. Но в результате брадобрей должен быть включен в состав множества лиц, которые подлежат бритью брадобреем. И брить их всех должен именно брадобрей, ведь иначе тут же появятся сторонники парадоксов и напомнят нам про условия задачи.

Для большей наглядности сократим описание ситуации. Обозначим брадобрея буквой Б, отношение «бреет» пусть останется без изменений, оно и так короткое. Множество «все» так же можно не сокращать. Тогда в краткой записи получим:

1) ложно(Б бреет Б) значит Б принадлежит к «все»
2) Х бреет Б и Х=Б

Такая запись означает, что (первая строка) из того, что брадобрей не бреет брадобрея следует, что брадобрей принадлежит ко множеству «все». Вторая строчка говорит нам, что некий икс должен брить брадобрея и этот икс должен быть сам брадобрей.

Теперь выполним минимальные преобразования со второй строчкой — заменим в ней икс на Б, ведь по условию они равны, а так же обозначим истинность получившегося утверждения. Получим:

истинно(Б бреет Б)

Но из строки (1) имеем:

ложно(Б бреет Б)

И эти два условия (по требованию сторонников парадоксов) должны выполняться одновременно.

Так в чём же здесь зло? Как мы видели, до вмешательства сторонников парадоксов в деревне царил мир и порядок, все должные лица были бриты и брадобрей был доволен. А вот после вмешательства сторонников парадоксов мы получили требование одновременно истинности и ложности утверждения о том, что брадобрей бреет брадобрея. Говоря по другому — мы получили противоречивые требования. И конечно же, если требование противоречивы, то и решить задачу с такими требованиями невозможно. Как бы мы не выкручивались, как бы не изобретали новые и новые варианты ухода от парадокса, например заявляя, что брадобрей вообще не бреется и носит бороду, либо что брадобрей женщина и не имеет необходимости бриться, но сторонники парадоксов неуклонно возразят — этого в условиях задачи нет, значит всё должно быть именно так, как мы сказали. Но в результате подчинения строгости заявлений сторонников парадоксов мы получаем неразрешимую задачу.

После указания на противоречивость условий мы можем попробовать выделить ряд факторов, которые привели к ситуации, когда по сути глупые требования (а как ещё назвать требование одновременно бриться и не бриться?) были восприняты всерьёз очень и очень многими людьми.

Во первых, стоит указать на неявность противоречивых требований. Аналогичная задача, но с очевидным противоречием в условиях, была бы сразу отвергнута и никаких парадоксов бы никто не знал, но именно скрытый характер противоречивости ограничений привёл к многочисленным попыткам решения безнадёжной задачи. Например, задача найти число, которое одновременно больше нуля и меньше нуля, вряд ли привела бы к возникновению понятия парадокса, ведь в такой задаче всем очевиден противоречивый смысл требований. А вот в задаче про брадобрея неочевидность противоречивости ограничений потянула за собой значительные последствия. Поэтому в любом парадоксе в первую очередь следует искать неявные противоречия в ограничениях, накладываемых на решение задачи.

Во вторых, помимо неочевидности в подобных задачах присутствуют собственно противоречивые ограничения (которых на первый взгляд не видно). Здесь стоит подчеркнуть — именно ограничения на решение, а не что-то другое. То есть не предметная область, к которой относится задача, каким-то образом противоречива, и не язык, на котором излагается задача, но противоречия закладываются вне этих понятий и именно в виде ограничений на возможное решение. Поэтому следует всегда внимательно изучать ограничения на решение, пытаясь выявить в них возможные противоречия.

В третьих, противоречивые задачи обязательно включают искажающий реальность формализм. Жёсткое следование только лишь озвученным условиям, исключающее нахождение решений вне противоречивой области, есть очевидный признак, который следует внимательно искать и в других задачах, которые на первый взгляд и не выглядят парадоксально.

В остальном же в задаче про брадобрея мы видим свойственные именно ей особенности, которые могут и не повториться в других парадоксах. Но тем не менее, будет полезно указать и на них.

Во первых, для задачи про брадобрея характерно безапелляционное требование «брить всех», при этом не допускающее никаких исключений из правила «кто не бреется сам». Если бы в задаче не ставилось такое жёсткое ограничение на «брить всех», то брадобрея можно было бы легко исключить из опасного для задачи списка. Если бы в задаче не было ограничения на исключительно тех, кто не бреется сам, то опять брадобрей обошёлся бы нам лишь лёгким испугом вместо создания кризиса основ математики. Поэтому и в других задачах, где ставится жёсткое требование из разряда «всех таких и только таких элементов», стоит уделить внимание поиску внутренних противоречий в такой постановке.

Во вторых, брадобрей в задаче выступает особенной сущностью, отличающейся от всех остальных своим участием в бритье каждого, кого по условию положено брить. Без брадобрея система сущностей развалилась бы и не составила бы единой и осмысленной задачи. Но не смотря на такой особенный статус в системе сущностей и ограничений, сторонники парадоксов настаивают на едином отношении ко всем участникам процесса, не взирая на дополнительные ограничения, которые накладываются на брадобрея. Но именно особенный статус брадобрея и привёл к возникновению противоречия в требованиях, ведь помимо отношения «как ко всем», требующего, что бы брадобрей был побрит, к брадобрею предъявляются ещё и требования не бриться самому, а другие брадобреи исключаются в условии задачи. Поэтому в других задачах следует выявлять системообразующую функцию элементов, и в случае её наличия — тщательно проверять соотносимость требований «ко всем» и требований к данному элементу. Иначе легко получить очередное противоречие в требованиях.

Проблемы в остальных парадоксах



Пока мы пропустим парадокс множеств, поскольку он нам понадобится позднее в связи с проблемами теории множеств.

А сейчас посмотрим, где же кроется зло в парадоксе самоприменимости. На ряду с указанной ранее особенность в виде неявности противоречия в условиях здесь мы можем добавить ещё и свободу интерпретации смысла самоприменимости. То есть смысл отношения самоприменимости можно трактовать довольно широко, а потому в эти широкие зазоры легко может проскользнуть противоречие. Поэтому в данном случае была бы не лишней строгость определений. Но и завышать строгость до абсолюта тоже нельзя, иначе, как мы видели на примере брадобрея, противоречия станут следствием самой строгости.

Так же, как и в парадоксе брадобрея, в парадоксе самоприменимости мы имеем специальный элемент системы, выделяющийся среди остальных тем, что при его рассмотрении изменяется алгоритм работы системы. Для всех остальных слов нам достаточно понять, как область определения смысла слова соотносится с самим словом (то есть вычислить количество слогов или обратить внимание на язык, на котором написано слово), а вот для слова «несамоприменимо» мы имеем не вполне очевидную область определения, возможно совпадающую с самой системой, в которой производится оценка самоприменимости. То есть для слова «несамоприменимо» сама задача поясняет нам некий возможный смысл применимости, но пояснение это носит неявный и нестрогий характер.

Далее можно выяснить конкретные ограничения, которые противоречат друг другу именно для слова «несамоприменимо». Очевидно, что после получения любого ответа на вопрос о самоприменимости, сторонники парадоксов просто запускают алгоритм оценки ответа, который сравнивает ответ со смыслом слова «несамоприменимо» и выдаёт отрицание как в случае самоприменимости, так и в случае несамоприменимости. Алгоритм состоит в указании на смысл слова в ответ на решение о самоприменимости, и в указании на совпадение смыслов в случае ответа о несамоприменимости. При этом если для других слов можно было получить однозначный алгоритм, например, подсчёта количества слогов, то для слова «несамоприменимо» алгоритм выявления самоприменимости совершенно неочевиден. А в задаче требуется не только дать ответ о применимости, но и неявным образом найти алгоритм самоприменимости, только после применения которого возможен внятный ответ. Каков алгоритм самоприменимости для слова «несамоприменимо»?

Если принять, что такого алгоритма в природе не существует, то сразу становится очевидным, что такое слово несамоприменимо, но тогда потребуются как минимум один новый алгоритм, убеждающий сторонников парадоксов в необходимости игнорировать сходство ответа «несамоприменимо» со смыслом слова «несамоприменимо». И при создании такого нового алгоритма мы уже ступаем на зыбкую почву борьбы с неявно задаваемыми смыслами, которые сторонники парадоксов, несомненно будут трактовать исключительно в свою пользу. То есть потребуется создать алгоритм, строго доказывающий нечто в условиях наличия совершенно нестрогих правил, которые трактуются весьма произвольно. Как минимум, это очень сложная задача, чем и обеспечивается жизнеспособность парадокса — просто никто не хочет убивать время и нервы на достижение чего-то, что, вполне возможно, недостижимо.

Если же принять, что алгоритм самоприменимости существует, то опять же мы столкнёмся с жёсткой позицией сторонников парадоксов, требующих принять их опровержение в виде указания на противоречие смысла слова «несамоприменимо» наличию алгоритма его самоприменимости. И опять мы попадём в условия, когда нужно будет строго доказывать нечто, а ответ сторонников парадоксов по прежнему будет опираться на весьма нестрогие правила.

В целом для случая самоприменимости имеем удачное соответствие слова «несамоприменимо» как положительному, так и отрицательному ответу, позволяющее сторонникам парадоксов в обоих случаях отрицать аргументацию решающих задачу. То есть в руках сторонников парадоксов есть простой алгоритм, обеспечивающий ответ «неправильно» во всех возможных случаях. Альтернатива для пытающихся решить задачу состоит в поиске алгоритма, способного обойти расставленные сторонниками парадоксов препятствия. Поскольку поиск такого алгоритма представляется, как минимум, сложным, у сторонников парадоксов появляется очень серьёзное преимущество перед всеми, кто пытается решить такую задачу.

Для большей наглядности можно привести пример похожей задачи, но с очевидным большим отличием сложности позиции критика и позиции решающего. Вопрос — есть ли жизнь около звезды на противоположном конце вселенной? Очевидно, что строгое доказательство в данном случае несколько затруднено, в то время как позиция критика предполагает лишь простейшие сомнения в ответ на любое решение. При выдаче решения в виде «жизнь есть» критик заявит «докажи!», что очевидно непросто. При выдаче решения в виде «жизни нет» критик заявит «а вдруг есть?».

Очень похожая ситуация имеет место и для парадокса ложного высказывания. Здесь прямой смысл фразы противопоставляется любому ответу. Но в одном случае указывается на несовпадение смыслов, что принимается за доказательство ошибочности решения, а в другом случае указывается на совпадение смыслов, что опять принимается за доказательство ошибочности решения. То есть как и в парадоксе самоприменимости, выбрана удачная фраза, позволяющая строить простой алгоритм отрицания любого из двух возможных ответов. При этом алгоритм доказательства правильности решения опять выглядит несопоставимо сложным по сравнению с отсутствующей сложностью на стороне сторонников парадоксов.

Можно свести к минимуму предыдущий парадокс, задав вопрос — истинна ли ложь? Для такой постановки по прежнему нет проблем со стороны сторонников парадоксов, и по прежнему непонятно как аргументировать расплывчатое понимание бессмысленной по своей сути фразы. Бессмысленность не даёт возможности возражать сторонникам парадоксов аргументированно, но их самих такая бессмысленность вполне устраивает, ибо она ими трактуется формально, как некие условия задачи, которая совершенно не обязана иметь хоть какой-то смысл. Но именно такой отстранённый от реальности подход, как мы видим, легко приводит к противоречиям типа отрицательного ответа в любом случае. А неявность противоречий позволяет сторонникам парадоксов настаивать на своём. Если мы можем доказать, что чисел одновременно больших и меньших нуля не бывает, то в случаях с удачно составленными фразами не имеющими смысла, доказательство противоречивости нетривиально (ведь если нет смысла, то что доказывать?), а потому в таких случаях сложно выявить противоречия в ограничениях на решение, что в свою очередь ведёт к наличию почвы для прорастания очередных парадоксов. Именно поэтому ещё раз стоит подчеркнуть возможность ухода формальных рассуждений в сторону бессмысленного, а потому чреватого парадоксами, что опять может поколебать в том числе такие строгие науки, как математика.

Проблемы теории множеств



Чем парадоксы опасны для математики? Очень просто — если некая формальная теория позволяет вывести противоречивые результаты, то это означает, что такая теория позволяет вывести абсолютно всё. Другими словами — такая теория даст нам возможность вывести любую глупость. Поэтому стоит тщательно следить за отсутствием противоречий в используемых теориях. Но как избежать противоречий в теориях?

Сначала была, так называемая, наивная теория множеств. В этой теории рассуждения о множествах оформлялись в виде предложений на естественном языке (изначально на немецком), но как мы видели немного выше, рассуждениям на естественном языке свойственен уход иногда в противоречивую сторону, а иногда и просто в бессмысленную. Но неочевидность такого поворота мешает даже весьма продвинутым умам вовремя рассмотреть опасность. Поэтому создатель теории множеств Георг Кантор пропустил ряд подобных моментов, когда потребности его теории подсказали ему вроде бы простой, но не до конца обдуманный способ их удовлетворения. Так само наличие возможности представить всё что угодно позволяет нам представить бесконечное множество чисел, но как мы видели немного выше, за таким представлением могут последовать парадоксы. Другая потребность — в конструировании множеств математическим путём — так же привела к аналогу парадокса множеств, но уже записанному в математических терминах.

Вспомним парадокс множеств — можно ли включить во множество всех множеств, не включающих самих себя, само это множество? Здесь, как было показано на примере парадокса брадобрея, имеем системообразующий объект (множество множеств) и ограничение по использованию такого объекта «на общих основаниях» не отменяющее дополнительных ограничений, налагаемых на объект из-за его системообразующей роли. В результате, теперь нам это очевидно, после небольших преобразований системы ограничений мы получим требование одновременно принадлежности множества самому себе и запрета на принадлежность самому себе. Такое противоречие в ограничениях, естественно, ведёт к парадоксу, то есть к неразрешимости поставленной задачи в рамках заданных ограничений. Но сама постановка подобной задачи при создании теории множеств оказалась совершенно вне поля зрения создателя теории.

Кантор (создатель теории множеств) не смог преодолеть этот барьер, но поскольку тогда в математике была очень актуальна тема её обоснования, теория Кантора пришлась кстати именно для такой роли, а потому её всё же попытались развивать, но немного по другому.

Математики увидели причину возникновения парадоксов в недостаточно строгом определении теории, что позволяло некоторые вольности, которые, как мы видели, могут привести к полной бессмысленности некоторых определений. Но поскольку одной строгости отнюдь не достаточно для устранения парадоксов (именно поэтому выше приведен гораздо более обширный список признаков потенциальных проблем) математики вскоре даже в строгом изложении теории нашли парадокс.

Для формирования множеств математики предложили использовать набор функций, возвращающих истину если элемент принадлежит множеству и ложь, если элемент не принадлежит множеству. То есть был создан математический фильтр, который работал очень просто — все элементы, которые через него прошли, включались в новое множество. Таким образом можно было строгим математическим путём конструировать любые множества. Сама идея очень проста и, естественно, вполне работоспособна, точно так же, как работоспособно бесконечное количество фильтров в технике и, особенно (в чистом виде, очень близком к теории множеств), в информационных технологиях. Но вот её строгая реализация оказалась не такой простой.

Для фильтрации была предложен следующая формула:

$\exists y \forall x (x \in y \equiv P(x))$



Здесь значки $\exists$ и $\forall$ обозначают «существует такой» и «для всех», что в сочетании с названием переменной (х или у) даёт ограничение на следующую за знаком формулу. На обычном языке это означает, что существует такой у, для которого истинной является формула, в которой для любого х является истинной формула, которая отделена скобками. В скобках же мы видим значок $\in$, обозначающий принадлежность х ко множеству у, а затем знак эквивалентности, который объявляет принадлежность х множеству у эквивалентным выполнению логической функции Р(х) (её называют высказывательная функция или предикат). В целом формула в скобках утверждает, что если элемент х прошёл фильтрацию в функции Р(х), то он принадлежит множеству у, и наоборот — принадлежащие у элементы удовлетворяют Р(х). Вся формула читается так — существует множество у, для которого при любом х выполняется такое ограничение, что если х отфильтрован функцией Р(х), то он принадлежит множеству у.

Теперь обратим внимание на наличие разницы между изначальной идеей фильтрации и её оформлением в виде формулы. В формуле хоть и ограничен произвол, присутствующий в неформально заданном фильтре, но всё же совершена та же ошибка, которая привела к парадоксу брадобрея.

В формуле все без исключения элементы х трактуются одинаково. Но в выше приведённых парадоксах мы видели, что такая трактовка всех «под одну гребёнку» является причиной возникновения парадоксов. В результате быстро был найден контр-пример, показывающий противоречивость такой формулы. Поскольку в формуле нет ограничений на значения х, то ничто нам не мешает подставить вместо него у, а вместо фильтрующей функции подставить $\neg( x \in x)$. Здесь знак $\neg$ обозначает логическое отрицание. Тогда после всех замен получим:

$( x \in x) \equiv \neg( x \in x)$

То есть отрицание принадлежности оказалось эквивалентным принадлежности. Правда в строгом виде необходимо вывести две такие формулы, что бы одна была отрицанием другой, но мы оставим это упражнение математикам, ведь для нас смысл понятен и так. Здесь мы видим, что трактовка всех элементов х, как подчиняющихся общим требованиям, привела к противоречию при подстановке вместо х системообразующего элемента у, что уже было ранее показано для других парадоксов.

В результате математикам пришлось исправляться. Но исправили они ситуацию следующим образом (знак $\wedge$ означает логическое И):

$\forall a \exists y \forall x (x \in y \equiv (x \in a \wedge P(x)))$



То есть в предыдущую формулу добавлено множество а, которое дополнительно ограничивает допустимые для включения в у элементы. Идея была правильной — если брать для нового множества только те элементы, которые входят во множество допустимых параметров Р(х), тогда мы получаем возможность исключить попадание в набор системообразующего элемента у. Но получилось ли в результате устранить парадоксы?

Как и в прежнем варианте мы имеем полную свободу для переменных а и х, а это, если мы вспомним признаки парадоксов, весьма опасное ослабление ограничений. Такая свобода в показанных выше случаях приводила к возможности в одной фразе или формуле задать два противоречащих друг другу ограничения. Кроме того, системообразующий элемент у в новой формуле опять трактуется наравне со всеми, поскольку всё ещё допустима подстановка у вместо х. Поэтому есть теоретическая возможность задать такую формулу Р(х), которая противоречила бы остальным конструкциям общей формулы, что и может привести к противоречию.

Но мы не будем искать такую подстановку, а просто дадим оценку возможных вариантов любых подстановок в новую формулу. Для этого сначала рассмотрим вариант, когда а равно пустому множеству, тогда $x \in a$ невыполнимо и для достижения эквивалентности придётся выбрать у, для которого невыполнимо $x \in y$. Таким значением у может быть пустое множество. То есть при таких подстановках формула не содержит противоречий. Но поскольку а может быть любым, нам нужно проверить что будет, если а будет непустым множеством. Тогда всё будет зависеть от возможности подобрать такой у, что бы при любом х и любой Р(х) формула оставалась истинной. Здесь стоит заметить, что такая формула в теории множеств принята в качестве аксиомы, а потому её ложность при некоторых подстановках станет несколько неудобным моментом для всей теории.

При заданном непустом множестве а множество у может принимать следующие значения:

1) пустое множество
2) непустое множество:
2.1) не пересекающееся с а
2.2) пересекающееся с а:
2.2.1) включающее дополнительные к пересечению элементы:
2.2.1.1) пересечение меньше а
2.2.1.2) пересечение равно а
2.2.2) не включающее дополнительные к пересечению элементы:
2.2.2.1) пересечение меньше а
2.2.2.2) пересечение равно а

Ниже приведены ограничения на х и значения Р(х), при которых аксиома становится ложной. Здесь $\wedge$ — логическое и, $\vee$ — логическое или.

1) $x \in a \wedge P = (x=x)$
2.1) $x \in y \wedge \neg (x \in a)$
2.2.1.1) $x \in y \wedge \neg(x \in a) \vee x \in y \wedge x \in a \wedge \neg(x \in x) \wedge P = (x \in x) \vee x \in y \wedge x \in a \wedge x \in x \wedge P = \neg(x \in x) \vee \neg(x \in y) \wedge x \in a \wedge P = (x = x)$
2.2.1.2) $x \in y \wedge \neg(x \in a)$
2.2.2.1) $x \in y \wedge x \in x \wedge P = \neg(x \in x) \vee x \in y \wedge \neg(x \in x) \wedge P = (x \in x)$ $\vee \neg(x \in y) \wedge x \in a \wedge P = (x=x)$
2.2.2.2) $x \in y \wedge x \in x \wedge P = \neg(x \in x) \vee x \in y \wedge \neg(x \in x) \wedge P = (x \in x)$

Как мы видим, в случае, если а содержит какие-либо элементы, нет ни одного варианта подстановки у, для которого нельзя указать такие х и/или Р(х), что бы аксиома всегда была истинной.

Какой вывод можно сделать из такого результата? На личный взгляд автора этого текста вывод мог бы быть таким — при переводе здравой идеи о применении фильтра на сухой язык формул была допущена ошибка в виде потери связи с реальностью, или же говоря по другому, не все свойства изначальной системы были выявлены и формализованы подобающим образом. Ну а признавать выводы или отвергать, конечно же, выбирать читателю, который теперь уже точно в курсе, как самостоятельно разобраться в подобных вопросах.
Поделиться публикацией

Комментарии 257

    +1

    Теме неплохо раскрыта в книгах Мориса Клайна.

      +2
      Математики не спешат признавать его заслуги. Он популяризатор, но не математик, а потому со стороны математиков к его тексту отношение снисходительно-безразличное, что ли.

      А в массы он донёс идею о том, что имеет смысл подумать, чем же там занимаются математики. Но на самом деле математики в списке тех, о чьих занятиях реально стоит подумать, стоят где-то ближе к концу.
      0
      всё просто — брадобрей бреется в другой деревне (сам или не сам — не важно). деревня ведь в условии задачи есть (в отличие от женщин).
        +1
        некий брадобрей заявил, что он бреет в своей деревне всех, кто не бреется сам
        Возможно, бреет себя с чьей-то помощью, поэтому бреет себя, но не сам. Или он живет в другой деревне, а под «своей» подразумевал рынок, разделенный между брадобреями. Или, что еще проще, он ошибся, брякнул, не подумав. Или для бритья себя выходит за пределы своей деревни, да.
        Можно и другие ответы поискать, опираясь на несовершенства формулировки, но смысл статьи отнюдь не в этой одной из иллюстраций. И всё не просто.
          +1
          Его бреет робот, на которого не накладывали ограничения, кого брить, а кого не брить (как минимум, не по признаку «бреется/не бреется сам»!
            +1
            Или сам брадобрей является роботом, не входящим во множество бреющихся людей, о которых шла речь. Потому что если во множество входят не только люди, то брадобрей устанет брить камни, деревья и гоняться за птицами.
            Можно и другие ответы поискать, опираясь на несовершенства формулировки, но смысл статьи отнюдь не в этой одной из иллюстраций.
              0
              Робот не спасет. Всех, кто не бреется сам (то есть пару брадобрея с роботом) должен брить брадобрей.
            +1
            Или у него есть брат близнец и брадобрей это фамилия
              0
              Занимательное решение, всё в рамках ограничений :)
                0
                Можно рассмотреть версию сиамских близнецов .)

                Сиамские близнецы
                image
              0

              Возможно, в деревне два брадобрея, и они бреют друг друга. В условии парадокса в посте не сказано, что он в деревне один.

                +1

                Суть не в том, что бы найти изъян, опираясь на настоящих брадобреев или деревни. Суть в том, что можно сформулировать проблему, которая сама по себе противоречива. Вы легко можете дополнить задачу сами, добавив ограничение, что никто из деревни никогда не бреется за пределами деревни.

                  –2
                  можно сформулировать проблему, которая сама по себе противоречива

                  На самом деле противоречивы ограничения на решение. А проблемы, в общем-то, вообще нет…
                  +1
                  Ну мы же математику рассматриваем.
                  Люди — числа.
                  Люди или бреются сами, или их бреет брадобрей. Т.е. имеют всего 2 делителя. Значит все люди — простые числа.
                  Брадобрей и может бриться сам, и может быть брит брадобреем, но так как он и есть брадобрей, то эти ситуации равны, значит у него 2 одинаковых делителя. Вывод: брадобрей — единица.
                  Единица число не простое, значит правило брадобрея на нее не действует. Брадобрей выбирает себе любой делитель — бреется сам или будет бритым собой. Результат одинаков, правила математики не нарушены.
                  Всё, задача решена.
                    0
                    Занимательно :)
                  +2
                  Собственно, не понимаю, почему нельзя сказать, что брадобрей бреет себя сам. По поводу тех, кто не бреется сам, брадобрей высказался предельно ясно. Но ничего не было сказано про тех, кто бреется сам: позиция брадобрея по этому вопросу не определена!
                  Ох уж эти брадобреи-слизеринцы.
                    0
                    Просто в исходной формулировке еще есть слово «только».
                      +1
                      Я догадывался. У меня просто включился режим зануды, потому что задачи на логику и небрежность формулировок в моем представлении несовместимы.
                        +3

                        Это скорее небрежность статьи, а не самой задачи.

                        0
                        Так дело не в математике и не в парадоксах, а в неумении сформулировать правильное условие.
                        –1
                        В парадоксах всегда есть часть, которую решающий должен додумать сам. Иначе всё сведётся к виду вопроса про число, которое больше и меньше нуля одновременно. То есть когда всё ясно — парадокса нет. А когда есть неясность — есть возможность произвольных трактовок и она даёт надежду на разрешимость.

                        Если же мы добавим в задачу дополнительные ограничения, то всегда найдётся желающий указать на их неполноту.
                          +2
                          Ну уж нет, условия задачи должны быть полными. Иначе как только её решат, тут же приходят другие люди и хотят странного: оказывается, были еще и другие условия, «само собой разумеющиеся»!
                          Я не сторонник абсурдно полного описания задачи, если она написана в школьном учебнике математики и касается подсчёта яблок. Но в логике подобный волюнтаризм недопустим.
                            –1
                            Ну уж нет, условия задачи должны быть полными

                            Тогда дайте алгоритм самоприменимости слова «несамоприменимо».
                              0
                              С какой целью вы просите меня это сделать? Я не вижу связи с темой разговора.
                                –1
                                С целью дать вам возможность показать полные (на ваш взгляд) условия.
                            0
                            Почему неясность и неполность условий нужно называть парадоксом?
                              –1
                              Потому что ясность называют ясностью, а у неясности может быть много названий.
                          +3
                          Брадобрей бреет себя сам ровно до того момента пока не бреет себя сам. Типичная функция с разрывами (второго рода, вроде бы?) как только он начинает себя брить — он перестаёт себя брить и начинает себя брить заново.
                          В каждой точке этого процесса он себя бреет, если не брил и не бреет если брил. Но точки не обязаны быть связаными.

                          ЗЫ: но статья шикарная, спасибо. Никогда толком не задумывался о сути парадоксов.
                            0
                            Помню, в школе когда-то учительница подшутила и заставила строить график функции, которая оказалась в итоге прерывной в каждой точке. Вспомнить бы ещё теперь, что это была за функция…
                              +1
                                +1
                                функция Вейрштрасса, как раз везде непрерывная, она везде недиференцируемая. Всюду разрывная функция например Дирихле
                                  +1
                                  Да, конечно же. Имел в виду, что построить на графике отдельные точки функции Вейрштрасса в принципе можно, а соединить из плавной линией — уже нет. Построить одну точку на графике функции Дирехле уже затруднительно. Я бы на предложение построить график функции Дирехле нарисовал бы две параллельных прямых, а отсутствие видимых разрывов аргументировал бы тем, что они есть, но их не видно)
                                    +1

                                    Есть ещё лестница Кантора.
                                    Функция непрерывна, производная равна нулю везде, где она определена, но на интервале (0,1) она меняется от 0 до 1.

                                    0
                                    Функция Вейерштрасса — непрерывная, но не имеет производной в каждой точке.
                                    Прерывная(разрывная) в каждой точке — Функция Дирихле
                                    0
                                    Функция Римана, например. Она хоть и разрывна в каждой точке, но тем не менее интегрируема.
                                  0
                                  Бразобрей врет, неосторожно обращаясь с квантором всеобщности.
                                    +2
                                    Объяснение всех этих парадоксов и еще множества похожих, сформулировано не мной
                                    «Любая замкнутая формальная система либо неполна либо противоречива»
                                      0
                                      Любая ли?
                                        +3
                                        «Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна» — так точнее.
                                          0
                                          рекурсивно аксиоматизируемая

                                          Вот этого и не хватало, спасибо.
                                        0
                                        В оригинале говорилось про формальную арифметику.

                                        Ну а ваша цитата (не вспоминая про её неточности) относится именно к замкнутой системе. А брадобрей живёт в открытом мире. Он может выйти за пределы замыкания.
                                          0
                                          Возможно вы слышали о попытках описания объекта(-ов), часть которого включает сам объект? Я думаю что вопрос можно было бы сформулировать в терминах топологии, но я в ней не силён. Возможно ответ так же может быть где-то в дебрях теории категорий?

                                          P.S. Спасибо автору за усилия — не поленился расписать значение всех мат. символов и привёл столько примеров.

                                            0
                                            вопрос можно было бы сформулировать в терминах топологии

                                            Топология основана на теории множеств, а в теории множеств все объекты рассматриваются одинаково, включая брадобрея.
                                          0
                                          Мне больше всех парадоксов вынес мозг парадокс неожиданной казни.
                                          Вообще, ИМХО, все парадоксы основаны на одной и той же ошибке: от неких абстракций, которые по сути являются приемами мышления ожидается поведение, которое ожидается от реально существующих объектов (в физической или виртуальной реальности).
                                          Например, мы можем вообразить клеточный автомат с заданными правилами. Конфигурациям в автомате можно придавать любое состояние и они всегда будут вести себя согласно установленным правилам. При этом никаких парадоксов в работе автомата не возникает: правила применимы всегда, что бы мы не нарисовали и всегда дают ответ на вопрос что станет с описанной конфигурацией.
                                          Дальше мы вводим некие абстрактные понятия типа «множество», «высказывание» или даже «сознание» и выявляем для них правила поведения. В первом приближении это похоже на пример с автоматом — есть некие сущности и правила поведения для них. Но дальше всегда есть способ поставить эти сущности (приемы мышления, абстракции) в ситуацию, когда логика описания этих абстракций мешает работать сама себе. И здесь нет ничего парадоксального.
                                            0
                                            Жёсткое следование только лишь озвученным условиям, исключающее нахождение решений вне противоречивой области, есть очевидный признак

                                            Признак математики и логики в целом. Интересно было бы взглянуть на математику, где разрешено искать "бытовые" решения, где можно следовать условиям мягко и учитывать какие-нибудь ещё дополнительные условия.


                                            — Найдите целочисленный корень из двух.
                                            — Единица, но у неё с собой записочка есть (она же может хранить записочку), что если в квадрат возведут, ей надо на ещё одну единичку увеличиться.

                                              0
                                              Интересно было бы взглянуть на математику, где разрешено искать «бытовые» решения

                                              Бытовые решения каждый день принимаются в быту. То есть вы каждый день видите такую математику в действии.
                                                0

                                                Нет, не вижу. И полагаю, что и вы не видите. Большинство решений в быту принимаются интуитивно или на опыте. Часть — на логике. Оставшаяся небольшая часть использует арифметику, но не более.


                                                А если это аллегория, то да. Бытовая "математика" нелогична, часто противоречива и универсальных решений не предполагает. Что есть, то есть.

                                                  0
                                                  Большинство решений в быту принимаются интуитивно

                                                  Решения в быту принимаются логикой нейронов. С точки зрения математики для неё есть готовые модели (правда упрощённые). Вот вам и «бытовая интуиция».
                                                    +1

                                                    Это объяснение на практике бесполезно. Его нельзя использовать, предсказательной силой оно не обладает.

                                                      0
                                                      На такой логике давно строят различные гаджеты, собак айбо и уже даже боевых роботов (правда в быту боевых роботов пока не применяют).
                                              0
                                              В скобках же мы видим значок ∋, обозначающий принадлежность х ко множеству у

                                              Для данного знака, вроде бы, наоборот? А то, что вы утверждаете, обозначается знаком ∈?
                                                0
                                                Да, вы правы. Набирал латексные коды и в списке кодов увидел первым символ с кодом \ni (ещё удивился, что он наоборот, не \in).

                                                В общем очепятка из-за редкого использования латекса. Но суть все поняли, плюс смысл знака задан словами, хотя по хорошему нужно всё исправить. Постепенно сделаю.
                                                –2
                                                «Критерий истинности — практика»
                                                ==================
                                                Давайте посмотрим правде в глаза — у Природы парадоксов не бывает.
                                                Они есть только в Дуальной Логике.
                                                Следовательно, Дуальная Логика или двоичная логика сама по себе НЕДОСТАТОЧНА.
                                                Природа использует ТРИАДНУЮ логику.
                                                «В качестве примера можно посмотреть „Задача о двух паровозах“.
                                                  0
                                                  В каких-то случаях недостаточна одна логика, в других — другая.

                                                  Логика сторонников парадоксов достаточна до момента, пока нам с ними весело и занимательно. А в реальной жизни мы бы немного остудили их пыл.
                                                    –3
                                                    Остудили, то остудили, но все эти исключения, синие экраны смерти и прочие сбои — это как раз следствие использования двоичной логики.
                                                    Но есть одно «но» — ИИ невозможно построить на двоичной логике.
                                                    Это будет всего лишь сверхбыстрый калькулятор с видимостью разумности.
                                                      +1
                                                      Давайте посмотрим правде в глаза — у Природы парадоксов не бывает.

                                                      это спорно
                                                      Следовательно, Дуальная Логика или двоичная логика сама по себе НЕДОСТАТОЧНА.

                                                      Вы же в курсе, что математики придумали очень много разных логических систем?
                                                      Природа использует ТРИАДНУЮ логику.

                                                      Этому бы хотелось какое-то обоснование.
                                                      Остудили, то остудили, но все эти исключения, синие экраны смерти и прочие сбои — это как раз следствие использования двоичной логики.

                                                      И этому тоже.
                                                      Но есть одно «но» — ИИ невозможно построить на двоичной логике.

                                                      Здесь тоже.
                                                        –2
                                                        Да я в курсе, что есть разработки n-мерных логик.
                                                        Но все они в итоге сводятся к двоичной (((x@y)@z)@k).
                                                        Логика, которую использует Природа невозможно свести к двоичной.
                                                        Я могу это объяснить с философской точки зрения, но я не профессиональный математик и не смогу обосновать математически.
                                                        Вот несколько положений Природной Логики, которые я смог вывести из «задачи о двух паровозах»:
                                                        — она проявляется только в Движении — Движение это Форма Существования Всего. Набор паровозов и вагонов превращается в Состав только в процессе движения.
                                                        — три ее логических полюса НЕРАВНОЦЕННЫ — два из них являются противоположностями, а третий Разделителем Противоположностей. В Составе образуется три группы вагонов — растянутые, свободные и сжатые.
                                                        — этот третий полюс является Стабилизатором — он гасит дестабилизирующие воздействия внешней среды в определенных пределах. Выход за эти пределы будет означать уничтожение сущности. Вагоны из группы свободных присоединяются могут присоединятся то к сжатым, то к растянутым.
                                                        Таким образом, любая Сущность либо стабильна, либо не существует.
                                                    0
                                                    Может «тернарную»?)
                                                      –1
                                                      Тут проблема вот в чем — полюсы этой Природной Логики неравноценны.
                                                      Два из них являются Противоположностями, а третий их Разделителем.
                                                      Поэтому я и выбрал термин Триадная.
                                                        0
                                                        Понятно.
                                                        И что можно выразить Триадной логикой?
                                                        Или зачем она нужна? )
                                                          –4
                                                          Я уже говорил, ВСЕ ЧТО СУЩЕСТВУЕТ — существует по законам Природной Логики.
                                                          Вот допустим, есть две руки правая и левая, но между ними туловище.
                                                          И так во всем.
                                                          То есть даже та же квантовая физика должна описываться не волновой функцией с вероятностями в качестве аргументов, а в терминах Природной логики.
                                                            0
                                                            То есть даже та же квантовая физика должна

                                                            Кому должна? С чего вы решили, что в природе такая логика, как вы описали ( на логику, это кстати не очень похоже)?
                                                              –1
                                                              Тут нужно понять что такое Вероятность.
                                                              Вероятность — это мера нашего НЕЗНАНИЯ.
                                                              И Вероятность — это не синоним Случайности.
                                                              Случайность — это отсутствие Закономерности.
                                                              В случайной Вселенной невозможны ни какие регулярные процессы.
                                                              ==================
                                                              Логика — это наличие алгоритмизированности, позволяющей предвидеть конечный результат.
                                                              Отсюда «научный метод» — повторяемость результатов.
                                                              Вопрос только в том, что «научный метод» не дает нам знаний.
                                                              Он дает нам технологии по методу «черного ящика» или «научного тыка».
                                                              Научное открытие — это нахождение некоего алгоритма, который позволяет получить ожидаемый результат, но не дающий знания почем так происходит.
                                                              Самый наглядный пример — электричество.
                                                              Его использовал еще Архимед, но мы и до сих пор не знаем что это такое.
                                                              ====================
                                                              Поэтому ответ на вопрос «кому нужна» — процессу Познания.
                                                              На начало 21 века у Человечества НЕТ НИ ОДНОГО фундаментального Знания, только прикладные технологии.
                                                              0
                                                              Вот есть правая и левая часть туловища. Что между ними? Ничего.
                                                              И так во всём. =)
                                                                0
                                                                Неверно, туловище у нас одно.
                                                                  0
                                                                  Но почему то я сплю то на правой половине то на левой. Значит половины у туловища две. А четвертины — четыре.
                                                                    0
                                                                    Если мы возьмем Состав из задачи о двух паровозах, а в нем группу свободных вагонов, то обнаружим, что она тоже имеет «правую» и «левую» стороны.
                                                                    И каждая «сторона» взаимодействует со своей визави независимо от всей группы.
                                                                    Таким образом, группа свободных вагонов тоже ТРИАДНА — правая, центр, левая.
                                                                    Более того, свойства «растяжения», «сжатия» изменяются ВОЛНООБРАЗНО.
                                                                    Полный аналог волновой функции квантовой физики.
                                                                    Только РЕАЛЬНЫЕ свойства, а не вероятности.
                                                                      +1
                                                                      Может Вы для начала озвучите задачу о двух паровозах? )

                                                                      ЗЫ: а по поводу вагонов — что будет если оторвать один из вагонов? или добавить вторую эластичную конструкцию между ними? Двояда? Четверияда?
                                                      0

                                                      Вторая проблема Гильберта улыбается, глядя на ваш пост.

                                                        0
                                                        Улыбается радостно или саркастически?
                                                          0
                                                          Улыбкой Геральта.
                                                            +1
                                                            Лёгкой тенью улыбки, скользнувшей по бледному челу Боромира…
                                                        +1
                                                        Мне кажется, что все подобные парадоксы связаны с предубеждением, что в логическом пространстве ответов существует только два значения — Истина и Ложь. Если же допустить, что логическое пространство — это обычное линейное пространство, то Истина и Ложь — это лишь одни из возможных элементов базиса логики. Наряду с ними существуют и другие.

                                                        Например, в таком пространстве можно определить элемент «Противоречие», как среднее между истиной и ложью: Противоречие = (Истина + Ложь) /2.
                                                        Результатом некоторых утверждений, которые называются парадоксальными, является как раз смешанный элемент «Противоречие», а не чистые истина или ложь. Такое бывает, да.
                                                          0
                                                          Есть нечёткая логика, там всё как вы хотите.
                                                            0
                                                            Есть многозначные логики, но там своих проблем хватает.
                                                              0
                                                              Если я правильно понимаю, то многозначные логики это такие, в которых базис расширен до нескольких независимых элементов. Для приведенных же парадоксов на мой взгляд вполне хватает одномерного логического пространства. Что-то типа вероятностной логики.
                                                            +1
                                                            ..., при чём на столько серьёзно,...
                                                            ..., причём настолько серьёзно,…
                                                            0
                                                            Представим множество (или же список, массив) всех положительных целых чисел

                                                            Жена читала Успенского, рассказывала что он критиковал термин «множество» как неудачный перевод английского слова set, которое лучше было бы перевести как «набор» т.к. набор может быть пустым, а множество это вроде как много.
                                                              +1

                                                              Можно еще слово "чернила" вспомнить. Вроде бы они должны "чернить" (т.е. закрашивать черным). Но существуют "красные чернила" :)

                                                              +3
                                                              — Хорошо. Всемогущество — это способность творить всё, что угодно. Так?
                                                              — Вот именно, — кивнул Мазукта. Ключевое слово — «угодно». Угодно тебе сотворить камень — творишь камень. Не угодно его поднимать — не поднимаешь. Это и есть настоящее всемогущество.
                                                              и никаких парадоксов.
                                                                +1
                                                                Так задача-то не в том, чтобы сотворить камень, который будет неугодно поднять. Задача в том, чтобы сотворить камень, который нельзя поднять, даже если это будет угодно.
                                                                  0
                                                                  С камнем проще, есть однозначное решение — всемогущий может и ограничить свое могущество, может перестать быть всемогущим, создав камень, который не сможет поднять.
                                                                    0
                                                                    Декарт, кстати, считал, что Бог может нарушать законы логики. А Фома Аквинский, что не может. Вообще европейские теологи математику весьма уважали и считали, что всемогущество не может превосходить логические законы.
                                                                      0
                                                                      Если в рамках их мировоззрения Бог — это создатель мироздания, то Декарт и Фома спорили о том, сможет ли Создатель мира нарушить законы, которые придумали некоторые из Его созданий на одном из этапов их развития. И их спор как-то относится к математике. Бывает. Здесь можно даже не задумываться о возможных значениях терминов «логика», «закон», «нарушение», «смысл».
                                                                  0
                                                                  В некой деревне некий брадобрей заявил, что он бреет в своей деревне всех, кто не бреется сам. Вопрос — кто бреет брадобрея?
                                                                  Хотя если вы нашли неожиданное решение — не спешите
                                                                  А можно всё-таки попробовать?

                                                                  1) не сказано, что брадобрей бритый — возможно, он не бреется и отращивает бороду;
                                                                  2) возможно, что брадобрей лысый и и волосы у него не растут — бриться нет необходимости;
                                                                  3) брадобрей солгал;
                                                                  4) солгал (или исказил, или недосказал) тот, кто пересказывал слова брадобрея.

                                                                  Задачка очень простая — вы должны ответить «да» или «нет» на вопрос — является ли следующее высказывание ложным — «это высказывание ложное».
                                                                  Ответ тоже простой — и «да» и «нет» одновременно. Конечно я заметил, что по условию задачи должно быть «или». Но запрет на дачу на правильного ответа не делает правильный ответ неправильным. Как шулер, который предлагает определить, под каким стаканчиком находится шарик, в то время как правильный ответ — шарик находится у него в руке.
                                                                    +2
                                                                    Да там нет никакого парадокса. Это неправильная постановка задачи. Примерно как «выберите два предмета, чтобы их было три». Нельзя? Парадокс!
                                                                      0

                                                                      Их было три, выбрали два. Ни какого парадокса.

                                                                        +3
                                                                        В самой постановке «брадобрей бреет всех кто не сам» это примерно как «В деревне живет квадратный круг» и, мол, посмотрите — и круг и квадрат. Парадокс! Не бывает квадратного круга и не бывает брадобрея, который бреет всех, кто не сам

                                                                        «Парадокс» исходит из обманчивого предположения, что такой обьект может существовать, а он не может на самом деле
                                                                          +1

                                                                          Если есть нечто, что-то кажется странным и может вызывать проблемы, надо это запретить и нет проблем. Вы предлагаете хоть и не самое изящное, но вполне себе решение в духе нашего времени.)


                                                                          Любая статья на хабре о мат. парадоксах либо неполна, либо противоречива). Автор не упомянул, что описанной истории про брадобрея больше ста лет. Рассел набросил в 1901, чем вызвал тогда нехилое бурление среди коллег-математиков. Прошло много лет. За это время лучшие умы человечества придумали кучу разных способов выхода из положения, включая новые ограничения и теории. В том числе и сам Рассел сочинил одну из таких.

                                                                            +1
                                                                            Любая статья на хабре о мат. парадоксах либо неполна, либо противоречива)

                                                                            С этим полностью согласен. И можно не ограничивать содержимое парадоксами :)
                                                                              0
                                                                              Нет разговора про запрет. Парадокс в самой постановке задачи. Типа «мы достали лед из печки — смотрите, он одновременно и горячий и холодный. Парадокс!». Нельзя достать лед из печки, чтобы он был одновременно и горячий и холодый (сейчас какой-нить зануда расскажет существование горячих льдов под давлением, но я говорю про обычный)
                                                                                0

                                                                                Если условия задачи по-вашему противоречивы, с позиции математики это еще надо доказать. Причем формально — через аксиомы и теоремы. (есть и другие способы доказательства, например по аналогии с объектами реального мира, на основе здравого смысла, показаний очевидцев, мнения большинства. Просто тогда это уже не математика, а какая-то другая наука — физика, философия, криминалистика, или там социология).

                                                                                  +1
                                                                                  Когда мы приходим к противоречию это есть стандартное доказательство в математике, соб-но, противоречия. Кто-то говорит «Мы берем число такое, чтобы было четным и нечетным — парадокс!». А ему в ответ — число не может быть четным и не четным, потому что это противоречит самому себе. То есть нельзя взять такое число, чтобы оно было и четным и нечетным.
                                                                                  Весь «парадокс» брадобрея исходит из интиутивного нашего предположения, что такой брадобрей возможен, но он просто невозможен по самому постановке задачи.
                                                                              0
                                                                              Я бы сказал, что в последнем и состоит практическая проблема парадокса: мы (люди-не-зануды) не видим причин считать постановку задачи некорректной и усомниться в существовании брадобрея в зависимости от «требований к клиентам», а она, соб-сно, есть.

                                                                              Вот теория множеств ZF пошла по тому же пути: мы не гарантируем существования множества, состоящего только из объектов, удовлетворяющих некоторому (произвольному) предикату; вместо этого мы гарантируем существование множества только для предикатов определённого вида (который требует, чтобы объект, кроме прочего, принадлежал существующему множеству).

                                                                              А можно настоять на наших бытовых представлениях и поставить задачу построить такую непротиворечивую теорию, в которой такой брадобрей будет существовать. Например, ценой отказа от булевой логики.
                                                                                0
                                                                                Проблема в том, что если вы вводите такую систему правил, в которой может существовать хоть одно противоречие, то с помощью этой системы вы можете доказать любой утверждение. Если вы говорите, что такой брадобрей существует и берете это как аксиому, то из этого тут же следует, что 2+2 = 5 = 10, что 2 != 2 и что вы — Лев Толстой и Клара Цеткин одновременно
                                                                            0
                                                                            Нельзя?

                                                                            Можно. В математике можно из одного шара сделать два.
                                                                            +3

                                                                            Важно понимать, что формулировка может быть иснинной, ложной и попросту бредом (бессмыслицей, противоречием). То есть у любых логических выражений есть неявное требование непротиворечивости.

                                                                              –1
                                                                              В математике нельзя оставлять неявными такие требования, которые делают из математики клоунаду.

                                                                              Можно ввести третье значение в набор возможных, можно ввести бесконечный набор значений между истиной и ложью. И можно просто пытаться всегда находить бред, но обычно такой фокус не проходит даже у самых умных.

                                                                              В целом основы ещё ждут своего звёздного часа.
                                                                              0
                                                                              Я ждал разоблачения Гёделя
                                                                                0
                                                                                Отличная статья! Однако, значок вхождения в множество отчего-то развёрнут везде в неправильную сторону. То есть xy означает «множество x содержит y как элемент», а не наоборот. Вот хоть на википедии проверьте: ru.wikipedia.org/wiki/Множество#Элемент_множества
                                                                                  0
                                                                                  Та было, но в момент появления вашего комментария всё уже было исправлено.
                                                                                  +1

                                                                                  Мне кажется, тема не раскрыта.


                                                                                  На протяжении всей статьи ожидал встретить слово "рекурсия", но так и не увидел. А как по мне, так это и является самым интересным — системы, где мы тем или иным образом запретим или ограничим рекурсию, получаются довольно скучными и ограниченными. И в общем-то рекурсию хочется использовать, и её используют (да даже в языке отсылка в предложении на него же является совершенно нормальной, прям как в этом тексте), но тогда получаются сюрпризы типа ухода в бесконечность или недоказуемости некоторых утверждений.

                                                                                    –1
                                                                                    Если рекурсия непротиворечива, то она вполне себе полезна. Хороший пример — доказательство по индукции. в то же время вы всегда можете ввести 2 условия из которых следуют противоположные выводы безо всяких рекурсий.
                                                                                      0
                                                                                      Рекурсия есть цикл с возможным правилом остановки. Хотя правило остановки может всегда выдавать ложь. Но это аналогично отсутствию правила остановки. Сам же цикл ни разу не парадоксален.
                                                                                      0
                                                                                      У нас на прошлой неделе такого же умника в бане сожгли. За то, что его закорючки на голову черта похожи.
                                                                                        0
                                                                                        А где вы живёте? Спасите всех умников, а то заедут ненароком…
                                                                                        +1
                                                                                        На несколько месяцев в 1880-м году целые регионы США поддались пристрастию, аналогов которого ранее никто не видел. «По всей стране буквально разразилась эпидемия», — писал журнал The Weekly News-Democrat города Импория, штата Канзас, 12 марта 1880. «Целые города завлечены, люди теряют сон и сходят с ума». Эпидемия распространилась на Европу, и дошла даже до Австралии с Новой Зеландией.
                                                                                        «Ни один ребёнок не сможет устоять перед таким развлечением, ни один взрослый не окажется настолько сильным или высокомерным, чтобы избежать её очарования», — писала газета. А разочарование, возможно, проистекало из математически доказанного факта, что лишь половину конфигураций этой головоломки можно успешно решить (что, вероятно, было неизвестно попавшим под её влияние).
                                                                                        Это как раз про неё, про «пятнадцать».
                                                                                          0
                                                                                          Противоречия разрешаются, если подняться на уровень выше.
                                                                                          Например, «истина» и «ложь» взаимоисключающие только на одном уровне, — на уровне бита. На уровне байта они образуют цепочку и не взаимоисключают друг друга. На уровне байта разрешено иметь и то и другое.

                                                                                          По аналогии некоторые парадоксы заставляют подняться на уровень выше, чем сама математика.
                                                                                            0
                                                                                            И каково тогда ваше решение, например, для брадобрея?
                                                                                              0
                                                                                              Довольно интересный вопрос. Я сильно не исследовал.

                                                                                              Если двигаться вверх по абстракции, то мы приходим к абстрактным объектам и абстрактным действиям. Но это предпоследний этап. Последний этап — это тот, кто их осознает, то есть сознание. Сознание осознает объекты, но само по себе не является объектом. Что-то типа контейнера, в котором все происходит. Или по аналогии с компьютером — мега-монитор, в котором показываются все мультики, в том числе и математика. Он может показать логичную математики или нелогичную, страшные картинки или добрые. Не его уровне уже нет противорчий, все картинки являются одним из его состояний. Тут мы углубляемся в довольно интересную область
                                                                                                0
                                                                                                А чем же является это сознание, если не объектом?
                                                                                                И может ли оно осознать само себя?

                                                                                                А если не может — значит есть более высокий уровень сознания, который его может осознать? И не противоречит ли это тому, что это и был самый высокий уровень абстракции? )
                                                                                                  0
                                                                                                  да, тут логика плохо работает, легко уходит в рекурсию.

                                                                                                  сознание надо искать там, где оно есть, то есть можно поискать у себя :):):)
                                                                                                  оно всегда при тебе, смотрит через твои глаза и думает твои мысли:):):)
                                                                                                    0
                                                                                                    Вообще говоря — я и есть сознание, и можно не искать.
                                                                                                    Так, по секрету.
                                                                                                    Но там где нет логики — нет и ответов )
                                                                                                      0
                                                                                                      Просто логика не весь опыт покрывает. Например вы не можете описать вкус молока логически. Сознание тоже нельзя описать через что-то другое. Некоторые вещи можно познать на практике и они могут лежать по ту сторону логики.
                                                                                                        0
                                                                                                        Вкус молока — лишь химическая реакция на пупырышках языка ) что вполне логично )

                                                                                                        Сознание тоже нельзя описать через что-то другое.


                                                                                                        это ещё требует доказательства )

                                                                                                        Некоторые вещи можно познать на практике и они могут лежать по ту сторону логики.
                                                                                                        Такие вещи называются «нелогичные» и не имеют ответов. как я и написал.
                                                                                                          0
                                                                                                          Вкус молока — лишь химическая реакция на пупырышках языка ) что вполне логично )


                                                                                                          Тут опять рекурсия — а что такое химические реакции? Начнешь разбирать дальше, тоже встретишь сознание. Кто-то когда-то что-то нахимичил, обобщил и теперь это в сознании крутится как формула.

                                                                                                          это ещё требует доказательства )

                                                                                                          Попрбуйте, тема довольно интересная. Уже много попыток было

                                                                                                          могу старую цитату кинуть на затравку

                                                                                                          Мельница Лейбница
                                                                                                          «Если мы вообразим себе машину, устройство которой
                                                                                                          производит мысль, чувство и восприятие, то можно будет
                                                                                                          представить ее себе в увеличенном виде с
                                                                                                          сохранением тех же отношений, так что можно будет входить в
                                                                                                          нее, как в мельницу. Предположив это, мы при
                                                                                                          осмотре ее не найдем ничего внутри ее, кроме частей,
                                                                                                          толкающих одна другую, и никогда не найдем ничего
                                                                                                          такого, чем можно было бы объяснить восприятие.»
                                                                                                          Готфрид Вильгельм Лейбниц
                                                                                                          «Монадология» (1714)

                                                                                                          Такие вещи называются «нелогичные» и не имеют ответов. как я и написал.

                                                                                                          Так ответы есть. Попробуй молока и все будет понятно без вопросов.
                                                                                                            0
                                                                                                            Ответы в смысле «способность испытать» есть.
                                                                                                            Объяснений, ответов в смысле «это описывается через *» нет… по крайней мере их всегда недостаточно: рано или поздно придётся что-то постулировать. Трилемма Мюнхгаузена.
                                                                                                              0
                                                                                                              Тут опять рекурсия — а что такое химические реакции? Начнешь разбирать дальше, тоже встретишь сознание. Кто-то когда-то что-то нахимичил, обобщил и теперь это в сознании крутится как формула.
                                                                                                              Химическая реакция — это химическая реакция. Не очень понятно как Вы сюда хотите впихнуть сознание )

                                                                                                              Так ответы есть. Попробуй молока и все будет понятно без вопросов.
                                                                                                              Я каждое утро не могу с точностью сказать пропало молоко или нет. =)
                                                                                                              И нет, это не ответ — попробовать.
                                                                                                              Попрбуйте, тема довольно интересная. Уже много попыток было

                                                                                                              могу старую цитату кинуть на затравку

                                                                                                              Мельница Лейбница
                                                                                                              «Если мы вообразим себе машину, устройство которой
                                                                                                              производит мысль, чувство и восприятие, то можно будет
                                                                                                              представить ее себе в увеличенном виде с
                                                                                                              сохранением тех же отношений, так что можно будет входить в
                                                                                                              нее, как в мельницу. Предположив это, мы при
                                                                                                              осмотре ее не найдем ничего внутри ее, кроме частей,
                                                                                                              толкающих одна другую, и никогда не найдем ничего
                                                                                                              такого, чем можно было бы объяснить восприятие.»
                                                                                                              Готфрид Вильгельм Лейбниц
                                                                                                              «Монадология» (1714)

                                                                                                              Ну так это вы утверждаете что сознание нельзя описать через что то другое, вы и доказывайте. Перекладывать необходимость доказательства своих слов на другого — нехороший паттерн )
                                                                                                                0
                                                                                                                Несколько удивлен, что сознанием не интересуются. Для меня некоторые мысли очевидны — например, то, что идеи и мысли крутятся в сознании. Можно долго объяснять и рисовать схемы, но тут проще немного понаблюдать за собой.

                                                                                                                Остальные вопросы более сложные, требуют некоторого опыта.
                                                                                                                  0
                                                                                                                  Ну так и базы данных обрабатывают какие то данные и запросы и в них проистекают какие то процессы. Но вы же не скажете, что они непозноваемы или не машинны )
                                                                                                                    0
                                                                                                                    Вы можете получить базу данных, как внешний объект и рассматривать его от третьего лица. С сознанием так не получается. Когда вы что-то исследуете, то ваше сознание включено и сконцентрировано на объекте. Вы видите объект, но не видите само сознание. Выйти за сознание не представляется возможным. Всегда будет объект, сознание и процесс осознавания. У сознания нет цвета, размера или веса.
                                                                                                                      0
                                                                                                                      Так сознание — это процесс. ОС, а не база данных. БД — это память. В компьютерной программе тоже при самоанализе можно получить рекурсию и другие баги — но при познании извне, другим сознанием (другой программой) эта проблема решается.

                                                                                                                      К тому же, для большинства исследовательских задач важны свойства класса, а не экземпляра.
                                                                                                                        0
                                                                                                                        Довольно мало аналогий подходит под описание сознания, потому что сознание не имеет характеристик, которые есть у аналогий. Лучше отталкиваться от трёх терминов — сознание, процесс осознавания и объект. В аналогии должны эти три термина присутствовать, чтобы как-то приблизиться к теме.
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Не спорю, но путать данные и процесс их обработки всё-таки не комильфо.
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Имелся в виду весь комплекс работы с данными — их обработка, хранение, выдача и трансформация.
                                                                                                                            0
                                                                                                                            Получим то, о чем говори Лейбниц (цитата чуть выше) — куча механизмов и шестеренок, которые друг друга толкают, но ни в одной из них не обнаруживается сознание.
                                                                                                                              0
                                                                                                                              Системы, с точки зрения синергетики, обладают свойством эмерджентности (целое не равно сумме частей и обладает новыми свойствами, отсутствующими у частей) — и это абсолютно нормальная ситуация.
                                                                                                                                0
                                                                                                                                Да это хорошая попытка описания. В науке есть порядка десятка моделей сознания. Эмерджентность — это один из майнстримов. Но ученые подсасывают из буддизма, так как там есть более продвинутые модели.
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Мы же не говорим, что что бы познать базы данных надо выйти за них ) и вообще — вышли мы за них или нет не имеет отношения к тому, познаваемы они или нет.

                                                                                                                          Более того, не познав сознание — как можно утверждать, что оно не может познать себя?

                                                                                                                          А по поводу отсутствия размера, веса или цвета… вполне есть. И всё это вполне умещается в вашу черепную коробку.
                                                                                                                            0
                                                                                                                            сознание может само себя познать, но это задача сопоставимая с тем, чтобы глаз, который видит все вокруг еще и увидел самого себя.
                                                                                                                              0
                                                                                                                              т.е. сознание это глаз?
                                                                                                                              Если нет, то ваш пример неудачен.

                                                                                                                              С другой стороны, раз Вы говорите, что оно познаваемо, значит его можно описать через что то другое? )
                                                                                                                                0
                                                                                                                                Оно познаваемо, но его надо искать там, где оно есть. Если вы нарисуете схему или аналогию, то это будет всего лишь схема или аналогия.
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  значит надо просто использовать верные выражения, и всё ) то, что вы, возможно, их ещё не имеете (или не можете иметь принципиально) — не значит что их нет.
                                                                                                                                    0
                                                                                                                                    Я довольно верные использую, просто жду еще верной реакции
                                                                                                                                      0
                                                                                                                                      Ну, тогда познав сознание вы сможете верно его описать, что и будет описанием сознания через что то другое. =)
                                                                                                                                        0
                                                                                                                                        Прежде, чем ответить, нужно чтобы возник правильный вопрос. То есть нужна подводящая информация.
                                                                                                                                          0
                                                                                                                                          Самопознание это тонкий момент. Только вначале XX века смогли заставить утверждения обращаться к самому себе в формальных системах — теорема Гёделя. Загвоздка в том, что наивный подход не работает. Утверждение «Это утверждение недоказуемо» не корректное. Нужно сделать особый трюк — создать копию данного утверждение, закодировать его в другой форме и вставить в начало утверждения — «ХХХ утверждение недоказуемо». То есть, даже формальная система не может напрямую работать сама с собой. Обязательно нужно нарисовать схему или аналогию.
                                                                                                                                            0
                                                                                                                                            Я нашел кое-какие ходы через мета-системы. Там логика работает немного подругому. Нет отрицаний или утверждений. Есть повышение уровня абстракции. На новом уровне действует не исключащее «или/или», а логика «и то и другое возможно». Например на уровне бита мы можем иметь только 0 или 1, а на уровне байта и то и другое. Пример крайне утрирован, но принцип понятен.
                                                                                                                                              0
                                                                                                                                              логика это не абстрагирование
                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                Есть операция абстрагирования, точнее мета-перехода. Это из теории систем. Могу посоветовать почитать В.Ф. Турчин «Феномен науки
                                                                                                                                                Кибернетический подход к эволюции».
                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                  а при чем тут логика?
                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                    вы что под логикой имеете в виду? программу первого курса универа?

                                                                                                                                                    Боюсь, что это понятие довольно обширное
                                                                                                                                                    Википедия
                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                      На новом уровне действует не исключащее «или/или», а логика «и то и другое возможно»

                                                                                                                                                      Вот эта логика
                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                        я ж пример с битом и байтом привел
                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                          но это не логика
                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                            вы просто не в теме
                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                              рассматривание ряда битов как байт не является булевой логикой
                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                Булева алгебра — это раздел логики. Логика — более широкое явление.
                                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                  Да хватит уже строить из себя педивикию. Вопросы то другие. Я не пойму эти ваши «ходы через мета-системы»:
                                                                                                                                                                  Я нашел кое-какие ходы через мета-системы. Там логика работает немного подругому. Нет отрицаний или утверждений. Есть повышение уровня абстракции. На новом уровне действует не исключащее «или/или», а логика «и то и другое возможно».

                                                                                                                                                                  При чем тут логика к абстракции? Как логика работает по другому? В педивикии такого нет.
                                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                                    Ладно завтра примеров накидаю, чтобы понятнее было. Тема не самая известная
                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                      Для затравочки вспомним историю.

                                                                                                                                                                      Когда не было математики, то не было чисел, которые означали количество. И тогда «пять деревьев» и «пять камней» ничего не объединяло в смысле количества. Потом появились числа и тогда понятие «5» перестало быть привязанным к конкретным предметам. Появилась абстракция, нечувствительная к конкретике. Появилась правила сложения, где фигурировали конкретные числа 1+2=3 и тп. Для каждого числа не имеет разницы — это может быть и 2 дома и 2 камня и 2 пальца.

                                                                                                                                                                      Потом пошли еще дальше — перешли еще к более абстрактынм понятиям в алгебре. То есть оторвались от конретных чисел и появилась запись a+b=c. Теперь для каждого знака не имеет значение, какое число оно означает. Не важно чему равно a=1,2,3,4 или еще какому-то числу. Конечно есть определенные правила, но не привязаны к конкретике.

                                                                                                                                                                      Потом сделали еще один скачек и стали записывать
                                                                                                                                                                      А (операция) B = C

                                                                                                                                                                      Тут возник еще один уровнь абстракции. А — это может быть как матрицей, как комплексным числом, так и совершенно абстрактным понятием из какой-нибудь абстрактной алгебры.

                                                                                                                                                                      Такие переходы называются мета-переходами. На каждом новом уровне какие-то вещи нижнего уровня становятся взаимозаменяемыми и перестают друг друга исключать. Хочешь — подставляй одно значение, хочешь — подставляй другое значение. Хочешь — работай с комбинацией.
                                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                                        Ну и какие ходы через мета-системы вы нашли?
                                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                                          Принцип такой, что то, что было взаимоисключающим на одном уровне перестает быть таковым на другом уровне. То есть нижний уровень становится одной из разновидностей верхнего. Наверное, надо выкатить побольше примеров, чтобы понятнее было.
                                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                                            Ладно завтра примеров накидаю, чтобы понятнее было

                                                                                                                                                                            А обещанные примеры где?
                                                                                                    0
                                                                                                    Интересный подход к решению парадоксов логики и теории множеств — теория типов.
                                                                                                    Там в каждому логическому утверждению ставится в соответствие тип, у которого есть не более одного значения. Например заведомо ложному утверждению False соответствует выделенный пустой тип без значений. Что бы доказать, что из A следует B надо построить функцию из типа A в тип B. Например, существования функции из пустого типа в пустой тип доказывает что из лжи следует ложь. Из пустого типа вообще есть функции куда угодно, по этому становится очевидно, что из лжи следует все что угодно.
                                                                                                    Полезное свойство такого подхода — доказательство может быть проверено компьютером, примерно так же, как компилятор проверяет типы в пользовательской программе. Ну и можно сделать такую систему типов в языке программирования, что ее компилируемость уже доказывает какие-то ее свойства.
                                                                                                      0
                                                                                                      Из пустого типа вообще есть функции куда угодно, по этому становится очевидно, что из лжи следует все что угодно.

                                                                                                      А откуда следует, что из пустого типа есть функции куда угодно?
                                                                                                        0
                                                                                                        Она конструктивно строится. Так как ее аргумент не может иметь ни какого значения, то нет таких случаев, что бы она должна была что-то вернуть.
                                                                                                          0
                                                                                                          нет таких случаев, что бы она должна была что-то вернуть.

                                                                                                          если нет таких случаев, что бы она должна была что то вернуть — то из неё ничего не может следовать, поскольку она ничего не возвращает.
                                                                                                            0
                                                                                                            Следование следует из самого факта существования. Например, из одноэлементного типа в пустой функций не существует — обработать единственный возможный аргумент она должна, а возвращать нечего. По этому из истины не следует ложь.
                                                                                                        0
                                                                                                        Полезное свойство такого подхода — доказательство может быть проверено компьютером

                                                                                                        Это не свойство подхода, это свойства инструмента, с помощью которого формализован подход. То есть обычное логическое исчисление можно применить (и применяют) и для теории множеств и для теории типов. Проверяемыми компьютером такие теории становятся именно после формализации, а сами теории к проверяемости отношения не имеют.
                                                                                                        0

                                                                                                        Здесь еще необходимо вспомнить диалектическую логику, в которой противоречия являются ее сутью. Она сама строится вокруг противоречий.
                                                                                                        Т.е. противоречия это вообще-то обыденность и мы с ними каждый день встречаемся.


                                                                                                        А многие "парадоксы" возникают из-за различных искуственных ограничений и различных фантазий в природе не встерчающихся.


                                                                                                        В вопросе "Кто бреет брадобрея?" можно ответить "Никто" т.к. в условии ничего не сказано о том, что он должен быть бритым. И не надо никаких сложных доказательств с применением софистики. Я лично вообще не вижу никакой проблемы в этой задаче.

                                                                                                          0
                                                                                                          Но бродобрей же бреет всех (по условию задачи). А значит — должен брить и себя. Если «Никто» — значит он себя не бреет и противоречит условию задачи. =)
                                                                                                            0

                                                                                                            в условии написано: "… всех, кто не бреется сам...". Брадобрей вполне может вообще не бриться(ни сам, ни с чужой помощью).
                                                                                                            А фразу "кто не бреется сам" можно трактовать двояко:


                                                                                                            1. Не бреется сам т.к. его бреют другие
                                                                                                            2. Не бреется сам т.к. вообще никаким образом не бреется
                                                                                                              В условиях задачи нет данных какой вариант выбрать, поэтому я выбираю второй.
                                                                                                              Подобные задачи полны различных "лазеек".

                                                                                                            Я же говорю вокруг одни противоречия :)


                                                                                                            Хочется так же отметить, что решение автора (где рассматривается вариант с опросом граждан) как раз отлично напоминает законодательную деятельность, когда она сильно оторвана от реальности. Сначала напридумывают всякого не имеющего связи с действительностью, а когда надо выполнять закон (т.е. применять на практике) или в тексте становятся видны противоречия или огромные "дыры" через которые можно обходить запреты.

                                                                                                              0
                                                                                                              Брадобрей вполне может вообще не бриться

                                                                                                              Раз не бреется — значит и сам не бреется, так ведь? Значит он из «всех, кто не бреется сам».
                                                                                                              Так что, выбор из 1 или 2 неважен )
                                                                                                          0
                                                                                                          Один умный техпис когда-то дал дельных совет: никогда в ТЗ не употребляй слова ВСЕ, ВСЕХ, для ВСЕХ, видимо был знаком с парадоксом брадобрея не по-наслышке.

                                                                                                          P.S. Я наконец понял почему авторы многих языков программирования — с бородой.
                                                                                                            0
                                                                                                            Брадобрею запрещено законом брить тех, кто бреется сам. За нарушение — штраф 1 шиллинг.
                                                                                                            Брадобрею запрещено законом отказывать в бритье любому, кто не бреется сам. Штраф — 10 шиллингов.
                                                                                                            Брадобрей обладает свободой воли.
                                                                                                            Целесообразно ли экономически брить брадобрею самого себя?
                                                                                                              0
                                                                                                              Брадобрею запрещено законом отказывать в бритье любому, кто не бреется сам

                                                                                                              Брадобрей себе не отказывает, он просто не обращается за оказанием услуги.
                                                                                                              0
                                                                                                              Не очень люблю парадоксы и «задачки с подвохом», так как зачастую они притянуты за уши, лишь бы создать парадокс. В случае с брадобреем два взаимодействия (бреет и бреется) почему-то смешали в одно. Но взаимодействие «бреет» требует двоих участников: того, кто бреет и того, кого бреют, а взаимодействие «бреется», очевидно, требует одного. Если угодно в функциональном виде: бреет(А, Б), бреется(А). И если правильно определить взаимодействия, никакого парадокса не будет.
                                                                                                                0
                                                                                                                а взаимодействие «бреется», очевидно, требует одного

                                                                                                                Не очевидно. Х бреется у У.
                                                                                                                  0
                                                                                                                  Нет это Y бреет X. X же не сам бреется, а его бреют. X не выполняет работу «брить».
                                                                                                                    0
                                                                                                                    Если Х это все, то, в принципе, он может выполнять работу «брить».
                                                                                                                      0
                                                                                                                      Х — не множество, а экземпляр.
                                                                                                                        0
                                                                                                                        Окей, экземпляр. И он может брить, потому что им может быть и сам брадобрей.
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Да, может. Это будет взаимодействие бреется(X), и брадобрей не может выполнить бреет(X,Y) над самим собой, так как Y отсутствует.
                                                                                                                            0
                                                                                                                            бреет(Х, Х). Частный случай от бреет(Х, У) когда У=Х.
                                                                                                                            в чём проблема?
                                                                                                                              0
                                                                                                                              Проблема в том, что уравнение X=Y, где Y или X — брадобрей, противоречит условию задачи: «Есть один брадобрей». То есть, если X — брадобрей, и из множества всех существует Y который равен X (Y=X), значит Y тоже брадобрей, что является противоречием.
                                                                                                                                0
                                                                                                                                Нет, это лишь значит что бродобрей входит в множество всех. Но это не значит, что все являются брадобреями, очевидно.

                                                                                                                                Возьмём иной пример: X = люди, Y = китаец. Y включается в множество X и может выступать его экземпляром.

                                                                                                                                Так и с брадобреем — он такой же «все» как и «все». А значит в функции бреет(X,Y) в качестве Y может выступать и X и получается бреет(Х, Х) т.е. бреет сам себя.

                                                                                                                                В задаче не сказано что нельзя брить самого себя, а функция бреет(Х,Y) не накладывает никаких ограничений того, что X и Y должны быть разными элементами.
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  Нет, это лишь значит что бродобрей входит в множество всех.


                                                                                                                                  Есть множество A — это жители деревни (все). A = [лекарь, пекарь, брадобрей, кузнец ...]. Если формализовать задачу досконально, то не существует пары членов множества А, которые будут между собой равны A[n] != A[m]. Потому, что каждый член множества описывает конкретного человека, и все они будут отличаться по ряду признаков: рост, цвет волос, профессия, размер ноги, уровень гемоглобина… Вводить новые переменные тоже нельзя, так как мы, по условию задачи, работаем с жителями деревни, то есть, множеством A.

                                                                                                                                  В задаче не сказано что нельзя брить самого себя, а функция бреет(Х,Y) не накладывает никаких ограничений того, что X и Y должны быть разными элементами.


                                                                                                                                  В этом как раз и есть тот паганый корень всех парадоксов. Все сводится к тому, что вы либо допускаете бреет(Х, Х) и получаете, что брадобрей не бреется, либо накладываете ограничение, бреет(Х,Y) X!=Y и получаете решение. А требовать при возможности бреет(Х, Х) чтобы брадобрей брился — это все равно, что просить сложить два и два, так чтобы получилось 5. Но это не парадоск, это противоречие условий.

                                                                                                                                  Забавно то, что вы сами отсекаете все возможные решения, и утверждаете, что все оставшиеся решения «невозможны». Хотя достаточно использовать бреется(брадобрей) и задача решена, а если функция бреет(Х, Х) приводит к «парадоксу», то такое использование просто следует объявить некорректным, и перестать фокусироваться на «невозможных» решениях. Парадокс существует, только пока его остаивают.
                                                                                                                                    0
                                                                                                                                    Я апелирую лишь к тому, что вы неверно указали на проблему задачи.

                                                                                                                                    В случае с брадобреем два взаимодействия (бреет и бреется) почему-то смешали в одно. Но взаимодействие «бреет» требует двоих участников: того, кто бреет и того, кого бреют, а взаимодействие «бреется», очевидно, требует одного.
                                                                                                                                    Вот к этому. И тут говориться, что одна функция требует одного, а другая двух, в то время, как это не верно — первая функция применима и к одному, если он используется в качестве обоих параметров.

                                                                                                                                    то, что в условиях есть противоречие — очевидно, но оно явно не в разнице «бреет» и «бреется» )
                                                                                                                0
                                                                                                                Мне в задачке про брадобрея всегда было очевидно, что с 9:00 до 18:00 он брадобрей, а с 18:00 до 9:00 — частное лицо. Таким образом он бреет сам себя утром и/или вечером как обычный человек и никогда не бреет в рабочее время как специалист.
                                                                                                                  +1
                                                                                                                  Про брадобрея похоже на это: положи на стол яблоки так, чтобы их было меньше 5 и больше 10.
                                                                                                                    0
                                                                                                                    Брадобрей вообще никого в деревне не побреет! Начнет брить первого, сбреет 1/2 бороды, затем 1/4, затем затем 1/8,… и тд, последний волос долго еще придется делить)
                                                                                                                      0
                                                                                                                      Это да, но в то же время каждый шаг будет выполняться в два раза быстрее, чем предыдущий. Сбрить ½ бороды в два раза быстрее, чем всю бороду. А ¼ бороды сбривается в два раза быстрее, чем ½. То есть брадобрею потребуется осуществить бесконечное количество операций со скоростью, возрастающей в пределе до бесконечности. И если всё это посчитать, то получится вполне конкретное конечное время.
                                                                                                                      0
                                                                                                                      По условиям задачи говорится, что бреет всех в деревне, при этом не имеется всех, а только часть от всех — только тем кому нужно(младенцев, женщин не бреет). Соответственно брадобрей относится к тому множеству которыму не нужно бриться — например, женщина, человек без бороды. и т.д.… Ну или борода сама отваливается :), т.е. производится другая операция, но не бритье. При этом, конечный результат — тот же самый.
                                                                                                                        +1
                                                                                                                        Представим множество (или же список, массив) всех положительных целых чисел, а затем представим число, соответствующее количеству чисел в нашем множестве. Представили? Если да, то что будет со множеством после добавления в него числа, равного количеству его элементов с прибавленной единицей?
                                                                                                                        Нельзя так сделать. Мощность множества целых чисел — это бесконечность. А бесконечность это не число, и логика применимая к числам с ней не работает. Добавив к бесконечности единицу вы получите саму бесконечность. Т.е. ничего нового в множество добавлять не нужно.
                                                                                                                          0
                                                                                                                          А кто вам сказал, что количество всех положительных целых чисел — это мощность?

                                                                                                                          Мощность — это теоретико-множественная абстракция, а количество чисел люди считают без теории множеств, и так же считали до появления теории множеств. Как теория множеств изменила числа? Если никак, то почему вы считаете, что абстрактная конструкция из ТМ чем-то лучше предложенного подхода?

                                                                                                                          В ТМ есть постулат — если мощность принадлежит N, тогда она конечна, если нет — бесконечна. Просто вот так решили, а вы повторяете. Но при этом вы знаете, что такое бесконечность? Или принадлежит ли на самом деле мощность N к N? И мощность ли это вообще?

                                                                                                                          Не стоит подходить ко всему на свете так же, как к составляющим ТМ. Вне жёсткой и формальной логики ТМ есть одна простая истина — ни вы, ни кто другой, не знают, что такое бесконечность. Но часто пытаются о ней что-то доказать, и именно вне ТМ.
                                                                                                                            0
                                                                                                                            А кто вам сказал, что количество всех положительных целых чисел — это мощность?
                                                                                                                            Определение термина «мощность множества». Причем если заменить его на «количество» то ничего не изменится, мы по прежнему возьмем бесконечность, добавим к ней единицу, и получим то что уже есть среди всех положительных чисел.
                                                                                                                            количество чисел люди считают без теории множеств, и так же считали до появления теории множеств
                                                                                                                            Ну это ведь вы множества в условия задачи добавили, не я.
                                                                                                                            Вне жёсткой и формальной логики ТМ есть одна простая истина — ни вы, ни кто другой, не знают, что такое бесконечность.
                                                                                                                            А зачем рассуждать о бесконечности в каких-то непонятных терминах, которые никто не знает?
                                                                                                                              +1
                                                                                                                              мы по прежнему возьмем бесконечность, добавим к ней единицу, и получим то что уже есть среди всех положительных чисел

                                                                                                                              Раньше вы писали по другому:
                                                                                                                              Мощность множества целых чисел — это бесконечность. А бесконечность это не число

                                                                                                                              Это я к чему? Вы по прежнему не можете внятно сформулировать понятие бесконечности. Поэтому путаетесь в показаниях. Ну и по сути возражаете против отхода от «единственно верного» толкования из ТМ.

                                                                                                                              В данном вопросе важен сам факт вашего согласия с тем, что можно представить бесконечность (все числа). Как только вы с этим согласились, вы вынуждены оправдываться в ответ на заявления о количестве членов в бесконечном множестве. И ради оправдания утверждаете про бесконечность, которая, по вашему мнению, не изменится от прибавления единицы. Но какое-то разумное обоснования такой неизменности привести не можете. Просто верите в неизменность.

                                                                                                                              А с другой стороны, понятие количества элементов возможно вообще не применимо к таким сущностям, как бесконечность. Но вы уже приняли на веру некие постулаты, а потому теперь оправдываете и само наличие значения, отражающего количество для бесконечности. Но есть ли такое количество?

                                                                                                                              И все эти вопросы вам возвращаются только лишь потому, что вы проигнорировали ещё один вопрос — вы знаете, что такое бесконечность? Я вам отвечу — не знаете. Хотя бы потому, что не можете привести никаких логических обоснований за своё видение.

                                                                                                                              Приводите доводы, показывайте понимание, иначе вы всего лишь верующий, при чём верующий слепо.