Представление произвольных полиномов в виде конечных разностей с произвольным шагом

    Введение


    В данной статье рассматривается возможность представление произвольного полинома произвольной целой степени n в виде конечных разностей. Подход в данной статье отличается от уже имеющихся тем, что все формулы выводятся для произвольного полинома с произвольными коэффициентами, а также тем, что в качестве интервала между точками используется произвольный, а не единичный интервал. Полученные формулы универсальны, и могут без изменения использоваться как для вычисления «будущих», так и «прошлых» значений полинома. То есть, например, для любой кривой, выраженной квадратичным уравнением с произвольными коэффициентами, можно вычислить все значения имея лишь 3 заранее известных значения y, взятые через произвольный равный интервал φ. Как следствие, вводится утверждение, что через (n+1) равноотстоящих точек может быть проведена одна и только одна кривая, выраженная полиномом степени n.

    Disclaimer


    Я не математик, я просто программист с 20-ти летним стажем. Я провёл самостоятельные исследования, но не нашёл таких же выводов, что сделал я в этой статье. Буду признателен за любые замечания и «наводки» на существующие разработки, выводы которых аналогичны (или близки) к моим.

    Общая информация


    Для начала приведу общую формулу для вычисления функции S(t), заданной полиномом степени n и выраженной через (n+1) предыдущих значений, взятых через равный интервал φ:

    $S(t)=\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}C_{n+1}^kS(t-k\varphi)$


    То есть, например, для полинома степени n=1 (обычной линии) такая формула будет иметь вид:

    $S(t)=2S(t-\varphi)-S(t-2\varphi)$


    Для полинома степени n=2 такая формула будет иметь вид:

    $S(t)=3S(t-\varphi)-3S(t-2\varphi)+S(t-3\varphi)$


    И так далее. Подробное математическое доказательство приведено в данном документе. Также мною был подготовлен проверочный код, выполненный в виде кода на JavaScript. Получить его можно по этой ссылке. В этой же статье я покажу некоторые практические выводы и варианты использования полученных уравнений.

    Построение полиномов степени 2


    Для общего понимания «полином степени 2» выражается с помощью следующей формулы:

    $S(t)=Q_2 t^2+Q_1 t+Q_0$


    Однако, как оказалось, можно вычислить все значения данного полинома (на самом деле можно вычислить только значения полинома в узлах с неким произвольным шагом φ) с помощью уравнения «в конечных разностях»:

    $S(t)=3S(t-\varphi)-3S(t-2\varphi)+S(t-3\varphi)$


    То есть на основании любых трёх значения функции S(t), взятых через равный произвольный интервал φ, можно получить все значения полинома. Покажем это на реальных данных. Пусть реальный полином будет выражаться следующей функцией:

    $R(t)=1t^2+2t+3$


    Теперь вычислим значения функции R(t) в точках t=111, t=115 и t=119. То есть шаг φ в данном случае равен 4. Полученные значения будут R(111)=12546, R(115)=13458 и R(119)=14402. Теперь вычислим следующие два значения полинома, используя уравнение с конечными разностями:

    $R(123)=3R(119)-3R(115)+R(111)=15378$


    $R(127)=3R(123)-3R(119)+R(115)=16386$


    Нетрудно посчитать, что значения, вычисленные с помощью формулы в конечных разностях, полностью совпадают со значениями, вычисленными с помощью «стандартной» формулы для полинома второй степени.

    Также формула в конечных разностях позволяется вычислять значения «назад» без изменения самой формулы. Например, для вычисления R(107) и R(103) получаем следующее:

    $R(107)=3R(111)-3R(115)+R(119)=11666$


    $R(103)=3R(107)-3R(111)+R(115)=10818$


    Опять же нетрудно посчитать, что значения, полученные с помощью формул конечных разностей, полностью совпадают со значениями, вычисленными с помощью «стандартной» формулы для полинома второй степени.

    Для всех последующих степеней результаты будут аналогичные. Мною были проверены полиномы вплоть до 99-ой степени: результаты, полученные с помощью «стандартных» формул, полностью совпадают с результатами, полученным с помощью конечных разностей.

    Дополнение


    Хотел бы также отметить, что для построения полинома степени n не обязательно иметь именно (n+1) равноотстоящих точек — можно сколь угодно больше (обозначим как (m+1)). Но в этом случае потребуется использовать формулу для полинома степени m. Это можно иллюстрировать следующим примером:

    $Q_2x^2+Q_1x+Q_0 = 0x^4+0x^3+Q_2x^2+Q_1x+Q_0$


    То есть для полинома второй степени можно использовать формулы от полинома четвёртой и третьей степеней — результат всё-равно будет корректный.

    Выводы


    Формулы в конечных разностях позволяют вычислять (и выражать в виде формулы) любой полином функции любой целой степени. Для уравнения в конечных разностях неважно, какие именно коэффициенты были использованы при каких степенях полинома. Для уравнения в конечных разностях неважно, через какой промежуток были взяты начальные точки – интервал может быть сколь угодно малым, или сколь угодно большим. Вычисления в конечных разностях обладают потенциально более высокой точностью по сравнению с вычислением через «стандартные» формулы (из-за отсутствия степенных функций). Функция для полинома в конечных разностях выражается без степенных функций и, как следствие, может иметь только одно значение при заданных переменных. И, следовательно, через (n+1) равноотстоящих точек может быть проведена одна и только одна кривая, выраженная полиномом степени n.

    Комментарии 49

        +1

        По-моему там совершенно другие формулы. Похожие, но другие. Такие же формулы как у меня получены для простейших функций квадратов, кубов и так далее, без обобщения на полином со всеми ненулевым коэффициентами, с единичным интервалом.

          0
          Там шаг единичный, потому что он нормирован к единице — это не ограничение, а стандартная практика для упрощения формул и вычислений. В моём примере ниже (через решение системы уравнений) тоже используется единичный интервал — однако если заменить значения 0,1,2,3,4 на 0,2,4,6,8 — результат получится тот же самый.
          +2
          То, о чем говорит автор, следует из короткой формы интерполяционной формулы Ньютона, но не тривиальным образом. Формула автора проще: она содержит один биномиальный коэффициент, а в короткой форме Ньютона двойное суммирование с произведением биномиальных коэффициентов. Упрощение получается подставлением x = n + 1 и схлопыванием знакомеременной суммы произведений биномиальных коэффициентов.
            0
            Формула автора не является интерполяционной, потому что не позволяет находить значение в произвольной точке. Она позволяет находить значение только в одной, жёстко определённой точке.
              0
              Ну да, в этом и идея статьи: если нам надо найти значения полинома в подряд идущих равноудаленных точках, зная значения в первых нескольких, то можно использовать не стандартные методы интерполяции, а гораздо более простую формулу. Получается trade-off: мы нашли более простую, но менее общую формулу.
          +1
          Спасибо за статью, думаю многие знают эту формулу для линейной функции, у нас на численных методах всплывало соотношение для второй степени. Но лично я как-то не задумывался о том, что линейное соотношение существует для полиномов произвольной степени и произвольным шагом, при этом коэффициенты не зависят от длины шага.

          Очевидно, что это соотношение должно быть хорошо известно, но загуглить его было непросто. Мне кажется, ближе всего написано в разделе «Polynomial sequences» статьи в английской википедии en.wikipedia.org/wiki/Constant-recursive_sequence. Там сама общая формула не указана, но проговорено, что коэффициенты берутся из биномиального преобразования значений полинома в подряд идущих точках, что в точности совпадает с формулой автора статьи.

          Скажите пожалуйста, как была выведена общая формула? Потому что в приложенном файле есть подробные выкладки для 1 и 2 степени, а потом просто приводится общая формула для n-ной степени.

          Когда формула известна, доказать ее — дело техники. Во-первых приведенная формула очень похожа на развернутую формулу конечной разности (n+1)-ой степени, только первый член перенесен в левую часть. Во-вторых, ключевая идея состоит в том, что конечная разность (n+1)-ой степени всегда равна нулю для полинома n-ной степени (по аналогии с (n+1)-ой производной полинома n-ной степени, которая всегда 0). Собственно, вот и все доказательство.

          Относительно произвольной длины шага: если мы доказали некоторое соотношение на значения произвольных полиномов с шагом 1, то оно же будет верно с любым другим шагом. Это тривиальное следствие, но, опять же, оно очевидно только после того, как было сформулировано, спасибо автору за это.

          Практическое применение этой формулы довольно узкое. Я представляю себе такой сценарий: мы рисуем график, который изображает количество пользователей в реальном времени каждый час и хотим быстро экстраполировать это число на следующий час. Обычно я явно реализую что-то типа полинома Лагранжа, что занимает десяток строк. А так можно вставить вашу формулу для второй степени в одну строчку.

          Про численную устойчивость у меня большие сомнения. Мне кажется, ошибка при однократном возведении в степень гораздо меньше, чем при повторении линейной рекуррентной формулы миллиарды раз. Я проверил на python (к сожалению я не изучал внимательно Ваш репозиторий, мог что-то упустить) для случая линейной функции: если мы вычисляем 10^8 подряд идущих значений типа double, то по вашей формуле ошибка составит -0.03:

          def f(x):
              return x / 3 + 1 / 7
          
          vals = {0: f(0), 1: f(1)}
          
          for t in range(2, 10 ** 8):
              vals[t] = 2 * vals[t - 1] - vals[t - 2]
          
          vals[t] - f(t) == -0.03673642501235008
          
          # "стандартный" способ интерполирования линейной функции
          vals[0] + (vals[1] - vals[0]) * t == f(t)
          

          Конечно, никто не заставляет нас применять эту формулу миллиарды раз, если это делать тысячу раз, погрешность пренебрежительно малая. К тому же у меня «игрушечный» пример для линейной функции, может быть при возведении в большую степень действительно будет большая ошибка при обычных методах интерполирования. Нужно аккуратно это изучить. К тому же в приложенном документе уже присутствуют функции ε во всех рассчетах.

          Резюмируя: автор обратил внимание на занимательный факт из теории конечных разностей, который позволяет в одну строчку интерполировать значение полинома в следущией точке сетки по предыдущим значениям. Такая потребность возникает не очень часто, но для общего математического развития полезно.
            0
            На самом деле я довольно долго сомневался в необходимости публикации моих выводов. У меня были очень большие сомнения, что к подобным выводам не пришёл никто до меня. Однако в приведённой статье из Википедии приведены совершенно идентичные формулы и даже сказано «These identities may be proved in a number of ways...», но ни одного доказательства или хотя бы указания на возможный источник, где есть доказательство, не приводится. Я ещё поищу в данном направлении, спасибо за наводку.
            Собственно, вот и все доказательство

            А можно как-то по-подробнее — возможно и у меня получиться упростить свой вариант доказательства.
            Это тривиальное следствие...

            Эм, и как это тривиально доказать?
            Практическое применение этой формулы довольно узкое

            На самом деле подобные моим формулы используются уже очень давно и, на мой взгляд, достаточно широко. В основном в приложениях интерполяции/экстраполяции данных. Также при шаге стремящемся к нулю получаем приложение данных формул к вычислению интегралов фигур.

            На самом деле целью публикации данной статьи в основном являлось получение какой-либо возможной дополнительной информации по этой тематике. Самостоятельно ничего подобного я не нашел. Доказательств моих формул где либо в литературе нет, выводов, подобных сделанным мною я тоже не нашел. По вашей ссылке приведены правильные формулы, однако доказательств там тоже нет. Кроме основной цели также было интересно донести до читателей Хабра интересные факты про полиномы — оказывается их можно полностью определить по (n+1) равноотстоящим точкам и т.д.
              0
              Докажем вашу формулу для шага = 1:

              • Обозначение 1. Введем разностный оператор Δ. Он принимает на вход полином f и возвращает полином Δ(f) такой, что выполняется (Δ(f))(x) = f(x + 1) — f(x).
              • Лемма 1. Если f имеет степень n, то Δf имеет степень n — 1, если f имеет степень 0 (константа), то Δf = 0.
              • Обозначение 2. Обозначим Δ^k (f) = Δ(Δ(...Δ(f)...)) — k-кратное применение Δ.
              • Следствие 1. Если f имеет степень n, то Δ^k (f) имеет степень n — k, в частности Δ^(n+1) (f) равен 0.
              • Лемма 2. Δ^(n+1) (f) = вашей формуле, но внутри суммы k пробегает диапазон от 0 до n + 1 (у вас k=1..n+1).
              • В итоге получаем, что 0 = Δ^(n+1) (f) = ваша формула без первого члена, равного f(x)
              • Следовательно, f(x) = ваша формула


              Для обобщения вашей формулы на произвольный шаг воспользуемся следующим утверждением:

              • Лемма 3. Пусть мы доказали, что для любого полинома степени n выполняется некоторое соотношение на f(1), ..., f(k). Тогда для любого полинома степени n выполняется точно такое же соотношение, но на значения аргумента из любой арифметической прогрессии длины k.
              • Доказательство. Допустим, мы хотим доказать соотношение для последовательности a, a + b, a + 2b,… Рассмотрим линейную функцию h(x) = a + bx. Обозначим g — полином, являющийся композицией f и h, то есть для которого выполняется g(x) = f(h(x)). Заметим, что g имеет степень n, а следовательно мы можем заключить, что для g(1), ..., g(k) выполняется то самое соотношение.
                Так как g(i) = f(a + bi), мы получаем, что соотношение выполняется для f(a), f(a + b),… f(a+kb), что и требовалось доказать.


              Относительно использования этой формулы для доказательства того, что полиномы степени n определяются значениями в n + 1 различных точках, есть некоторая проблема:

              • Обычное доказательство следующее. Предположим противное и нашлись два полинома f и g степени n, которые совпадают в n + 1 точке. Тогда рассмотрим их разность — это тоже полином степени не больше n, у которого n + 1 корень. Но согласно следствию из основной теоремы алгебры ненулевой полином степени n может иметь не более n корней. Следовательно разность f и g тождественно равна 0 и они совпадают. Получаем, что полином степени n однозначно определяется значениями в n+1 точке.
              • То есть это утверждение сводится к основной теоремы алгебры, которая в свою очередь доказывается жестким комплексным анализом.
              • Проблема в том, что вся теория манипуляций с полиномами, которая применялась мною выше, основана на фундаментальном соответствии между функциями и наборами коэффициентов. А для этого соответствия необходимо доказать, что не бывает полиномов с разными коэффициентами и одинаковыми значениями, что сводится к основной теореме алгебры.
              • В итоге то доказательство вашей формулы, что я привел, скорее всего где-то внутри себя уже опирается на факт о том, что полином степени n однозначно определяется значениями в n + 1 точке.
              0
              Кстати, скорее всего ваша погрешность возникла из-за внутренних «проблем» представления чисел на Python.
              print(1.2 + 1.2 + 1.2) #3.5999999999999996
              print(3*1.2) #3.5999999999999996
              

              Именно для устранения таких псевдо-погрешностей я использовал в своём проверочном коде специализированную библиотеку.
                0
                Python тут не при чем, десятичная дробь 1.2 не представляется точно в двоичной системе счисления (она является бесконечной периодической дробью в двоичной системе), как, собственно, большая часть конечных десятичных дробей.
                  0

                  Я не говорил, что это проблема только Python — только о том, что и в Python она тоже есть.

                    0
                    Я к тому, что это не «псевдо-погрешность», при любых несимвольных вычислениях будут ошибки округления. Вычислительный алгоритм может быть устойчив к ним, а может их накапливать. В последнем случае, он «развалится», когда накопленная погрешность станет достаточно велика.
              0
              через (n+1) равноотстоящих точек может быть проведена одна и только одна кривая, выраженная полиномом степени n.
              Точки не обязательно должны быть равноотстоящими — достаточно, чтобы они не совпадали друг с другом. Равноотстоящими они должны быть только для того, чтобы использовать вашу разностную схему.
                0
                В случае произвольных точек для определения всего полинома вам понадобится (n+1) пар (x_i, y_i): только в этом случае вы сможете однозначно определить все множители при степенях полинома. В случае же конечных разностей понадобиться только (n+1) значений y_i, значения x_i не важны. Ну а в общем случае, конечно, через (n+1) точек может быть проведён только один полином степени n.
                0

                А чем метод лучше стандартных интерполяционных формул Ньютона?


                Там и точки могут быть не равноотстоящими, и точка, где вычисляется следующее значение, может быть вообще абсолютно любой, и длинная арифметика для расчёта коэффициентов не нужна.

                  0
                  На самом деле по приведённой ссылке точки взяты именно равноотстоящие, только там шаг не 1, а 0.75. Мне сложно оценить какой метод лучше. Пусть каждый выбирает сам.
                    0

                    Ну, Ваш метод, очевидно, будет лучше подходить, если значения функции целочисленные, т.к. не будет делений с потерей точности, и только если нужны значения на равноотстоящих промежутках.


                    На практике для построения полиномов берутся обычно точки в нулях чебышёвских многочленов, т.к. интерполяция многочленами высокой степени на равномерной сетке численно неустойчива.


                    Для экстраполяции многочлены вообще не самый лучший выбор, лучше пользоваться рациональными функциями.

                  0
                  Возьмём полином 3-й степени a+b*x+c*x^2+c*x^3. Чтобы найти коэффициенты a,b,c,d нужно решить систему из 4-х уравнений — например, прохождением через 4 точки при x=0,1,2,3. Решив её, подставим найденные коэффициенты в исходный полином и получим формулу. Теперь, какое бы мы x не подставили, после упрощения получим сумму игреков с разными коэффициентами:


                  Можно взять и другие точки, не равноотстоящие — и тоже всё будет решаться:
                    0

                    Можете пояснить в чём смысл вашего комментария?

                      0
                      То, что вы назвали «разностная схема», на самом деле лишь частный случай для z[n+1], обобщённый для полиномов n-го порядка. По факту, тут нет никакой «разности» — точно также можно найти обобщённое решение и для других точек, при этом равное отстояние точек вовсе не обязательно.
                        0
                        У меня нет понятия «разностная схема». Можете привести некую обобщённую формулу для полинома произвольной степени, частным случаем которой является моя формула?
                          0
                          Думаю, что интерполяционный многочлен Лагранжа под понятие обобщённой формулы вполне подойдёт.
                            0
                            Я ни в коем случае не критикую вашу формулу — она рабочая и интересная, просто описание у вас несколько сумбурное и может быть непонятным неподготовленному читателю.
                              0
                              А если точнее, то «Newton's Forward Difference Formula».
                                0
                                Нет, вы неправильно поняли: мне действительно интересно получить какие-то общие формулы, как-либо связанные с моей. Я очень даже предполагаю, что нечто подобное уже существует.

                                Насчёт интерполяционных многочленов: в первом же комментарии к данной статье это и было сказано. Там же есть и возражения. Если есть что-то добавить — пожалуйста, добавьте в ту ветку. Насчёт формулы по ссылке: там, как минимум, есть ограничение по величине «шага» — от нуля включительно до единицы включительно. И в настоящий момент я затрудняюсь из этой формулы получить какой-то «частный случай», который бы давал формулу, которая есть у меня. Если вы видите как из формулы по вышей ссылке получить мою — буду благодарен за разъяснения.
                            0
                            Более наглядно это видно, если сгруппировать по y:

                            Если x константно от начальных условий, то и пересчитывать коэффициенты при y каждый раз не нужно.
                            0

                            А вот прямой поиск коэффициентов — это очень неустойчивый метод как раз для высоких степеней.

                              0
                              Он будет неустойчивым только при численном решении. В символьных вычислениях за устойчивость можно не переживать.
                                0
                                Но будет о-о-о-чень медленно считаться.
                                И все значения тоже тогда должны быть заданы символьно / абсолютно точно.
                                  0
                                  Мы же тут обобщённое решение ищем, а не конкретные вычисления делаем.
                            –1
                            Жаль, что настоящие математики в теме так и не отметились (хотя откуда им взяться на хабре).

                            Если полином степени n задан последовательными равноотстоящими значениями y0,y1,y2..yn в точках x=0,1,2..n, то значение этого полинома в любой точке можно посчитать через сумму исходных значений, взятых с коэффициентами по формуле



                            или, если выразить её через гамма-функцию



                            где k — порядковый номер значения, начиная от нуля.

                            Если в этой формуле заменить x на n+1 (следующая равноотстоящая точка), то формула сократится до



                            которая, собственно, и выражает биномиальные коэффициенты, о которых идёт речь в этой статье — в чём можно убедиться в Wolfram Mathematica:
                              0
                              Проверочный код:

                                0
                                Приведите, пожалуйста, доказательства вашей формулы — мне сама формула интересна мало, гораздо более интересно как именно она выводится.
                                  0
                                  Если вам интересно формальное доказательство — то мне на него жалко своего времени. Смысл же этой формулы будет более очевидным, если рассмотреть компоненты суммы по отдельности:


                                  Здесь мы имеем сумму полиномов одинаковой степени, каждый из которых равен 1 в одной точке и 0 во всех остальных. Таким образом, суммарный полином проходит через все эти точки и имеет ту же степень.

                                  Символ Похгаммера обеспечивает эти самые нули в узловых точках, факториалы масштабируют значение ненулевой точки к 1 (которая затем будет умножена на конкретное значение yn).
                                    0
                                    Вы сами эту формулу придумали или всё-таки где-то существующую нашли? Если нашли, то укажите хотя бы источник.
                                      0
                                      Не придумал, а вывел. На саму идею представления интерполирующего полинома в виде суммы других с нулями в узловых точках натыкался когда-то давно не помню где.
                                        0
                                        Ну вот, а говорили, что на Хабре математиков нет :) Кстати, вы же вроде говорили, что это всё уже давно известно. Или всё-таки что-то новое придумали?
                                          0
                                          Я тоже не математик и даже не программист с 20-летним стажем:) Просто интересна прикладная математика.

                                          Всё давно известно — как минимум в таких банальных вещах, как полиномиальная интерполяция. Другой вопрос, кто и в каком виде эти знания распространяет. Если учитель математики или автор статьи в википедии не понимает (или не считает нужным заострять на этом внимание) математического смысла умножения на (x-xn) — то и у ученика/читателя этого понимания возникнуть не может.
                                            0
                                            Хорошо, если всё-таки у вас нет времени на доказательство, то продолжу надеется, что сюда зайдет «настоящий математик» и покажет какое-то более элегантное доказательство, чем моё.
                                              0
                                              А у вас до сих пор есть сомнения в работоспособности моей формулы? Я же уже и графики нарисовал, и откуда берутся биномиальные коэффициенты показал. То, что сумма полиномов одной степени даёт полином той же степени — вроде доказывать не нужно, это же аксиоматика уровня 2+2=4.
                                                0

                                                Эта статья с моей формулой, к которой также приложены доказательства. Мои доказательства очень неэлегантны, и, возможно, повторны. Поэтому мне и интересно получить более элегантные доказательства или ссылки на существующие.

                                                  0
                                                  По моей логике, если все шаги по выводу формулы корректны, то и формула корректна и дополнительных доказательств не требует. Специально доказывать, что x⋅0=0, x-x=0, y+0+0+...+0=y, 1⋅2⋅3⋅...⋅n=n!, a⋅x+b⋅x=(a+b)⋅x и прочее в таком же духе я не понимаю, зачем.
                                                    0
                                                    По моей логике, если все шаги по выводу формулы корректны, то и формула корректна

                                                    Следовательно путь вывода — это и есть формальное доказательство.
                                                    Вы, надеюсь, его сохранили? Дайте почитать.
                                                      0
                                                      Конечно не сохранял — писал формулы в Вольфраме, подставлял, сокращал, обобщал. В Вольфраме пишешь, например, произведение (x+i) для i от 0 до n — он тут же сокращает это до x⋅Pochhammer[1+x,n]. Нет никакого смысла во время вычислений на калькуляторе подробно записывать, что ты делаешь, зачем и чем подобные упрощения обусловлены. Если Вольфрам сделал подобное упрощение — значит, оно корректно, обоснование для которого нужно смотреть отдельно — открываешь описание Похгаммера, читаешь, вникаешь, понимаешь. Первый раз, 2-й раз вникать уже не требуется — осталось понимание с первого. Суть выше описал, его достаточно, чтобы повторить вывод формулы самостоятельно, если кому интересно. Это будет всяко полезней, чем читать формальное доказательство финальной формулы, непонятно откуда взявшейся.

                                                      При выводе формул я обычно держу сразу несколько документов открытыми — так удобнее, а финальный результат уже записываю отдельно.
                                                        0
                                                        Досадно. Я обычно полный листинг сохраняю, чтобы потом самому просмотреть можно было.

                                                        Суть выше описал, его достаточно, чтобы повторить вывод формулы самостоятельно, если кому интересно. Это будет всяко полезней, чем читать формальное доказательство финальной формулы, непонятно откуда взявшейся.

                                                        Эти два занятия — эквивалентны по смыслу, но второе занимает меньше времени.
                                                          0
                                                          Не обязательно. К одной и той же формуле можно прийти разными путями, и наоборот — доказать её совершенно не очевидным образом.

                                                          Вот взять те же биномиальные коэффициенты. Сначала мы определяем их через факториал. Затем приводим к непрерывному виду через гамма-функцию. Затем по свойстве гамма функций мы можем представить их через отношение синуса и полинома. Затем мы можем разложить это в сумму sinc и даже разложить в спектр. И вроде всё корректно, и очевидно, что sinc принимает нули в целых точках кроме нуля, но — WTF? Причём тут sinc, куда делся факториал, где логика?
                                0
                                del
                                  0
                                  Если вам интересно формальное доказательство — то мне на него жалко своего времени.

                                  Причём тут Ваше время? Дайте ссылку на источник и всего делов.

                                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                Самое читаемое