Одним из самых непонятных явлений в автомобильной поездке становятся внезапно возникающие фантомные пробки. Большинство из нас с этим сталкивалось: машина перед вами внезапно тормозит, заставляя тормозить вас, что заставляет тормозить водителя за вами. Но вскоре вы и окружающие вас машины снова ускоряются до исходной скорости, и становится очевидно, что на дороге нет ни видимых препятствий, ни заметных причин для замедления.
Так как движение быстро восстанавливает исходную скорость, фантомные пробки обычно не вызывают серьёзных задержек. Но не являются они и просто малозначительными досадными помехами. Это очаги аварий, потому что они заставляют неожиданно тормозить. А дёрганое движение, к которому они приводят, вредит автомобилю, снижает ресурс и повышает потребление топлива.
Так что же происходит? Для ответа на этот вопрос математики, физики и инженеры-транспортники разработали множество различных видов моделей трафика. Например, микроскопические модели вычисляют пути отдельных автомобилей и хорошо подходят для описания взаимодействия единичных машин. Макроскопические модели описывают трафик в виде жидкости, а машины в ней интерпретируются как частицы жидкости. Они эффективны при изучении крупномасштабных явлений с участием множества автомобилей. Наконец, клеточные модели разделяют дорогу на сегменты и предписывают правила, по которым машины движутся из клетки в клетку, создавая структуру для описания неопределённости, присущей реальному дорожному движению.
Для того, чтобы начать понимать причины формирования фантомных пробок, нам сначала нужно узнать о множестве эффектов, присутствующих в реальном трафике, которые, вероятно, могут вносить свой вклад в образование пробки: разные типы транспорта и водителей, непредсказуемое поведение, въезд и съезд с магистрали, смена полос движения, и так далее. Можно предположить, что некое сочетание этих эффектов необходимо для создания фантомной пробки. Одно из огромных преимуществ изучения математических моделей заключается в том, что все эти различные эффекты в теоретическом анализе или компьютерной симуляции можно отключить. Так мы можем создать группу одинаковых предсказуемых водителей, едущих по однополосному шоссе без всяких съездов с него. Другими словами, идеальную дорогу до дома.
Как ни удивительно, но при отключении всех этих воздействий фантомные пробки всё равно возникают! Это наблюдение говорит нам, что фантомные пробки — не вина отдельных водителей, но результат коллективного поведения всех водителей на дороге. Это работает так. Представьте однородный поток транспорта: все машины равномерно распределены по шоссе и едут с одной скоростью. В совершенных условиях такой идеальный трафик может сохраняться вечно. Однако в реальности движение постоянно подвергается небольшим колебаниям: несовершенство асфальтового покрытия, небольшие проблемы с двигателями, доли секунды, на которые водитель ослабляет внимание, и так далее. Для прогнозирования эволюции такого транспортного потока нужно ответить на важный вопрос: все эти небольшие колебания затухают или усиливаются?
Если они затухают, то поток стабилен и пробки отсутствуют. Но если они усиливаются, то однородный поток становится нестабильным, а небольшие колебания вырастают в движущиеся назад волны, названные «джемитонами» (jamitons, от jam — пробка). Такие волны можно наблюдать в реальности, они заметны в различных видах моделей и компьютерных симуляций, а также были воссозданы в тщательно контролируемых экспериментах.
В макроскопических (гидродинамических) моделях каждый водитель, интерпретируемый как частица жидкости транспортного потока, наблюдает локальную плотность трафика вокруг себя в любой момент времени и соответствующим образом выбирает скорость, которой нужно придерживаться: высокую, если поблизости мало машин, или низкую при большом заторе. Затем он ускоряется или замедляется до этой целевой скорости. Кроме того, он предполагает, что трафик будет делать дальше. Этот эффект движения с прогнозированием моделируется «давлением трафика», который во многом ведёт себя аналогично давлению в реальной жидкости.
Математический анализ моделей дорожного движения показывает, что эти два эффекта соперничают. Задержка перед достижением нужной скорости приводит к росту колебаний, а давление трафика гасит колебания. Состояние однородного потока стабильно, если доминирует эффект предсказания, а это бывает при низкой плотности потока. Эффект задержки доминирует при высокой плотности трафика, что вызывает дестабилизацию и в конце концов фантомные пробки.
Переход от однородного потока к потоку, в котором доминирует джемитон, схож с тем, как вода переходит из жидкого состояния в газообразное. В потоке машин этот фазовый переход происходит, когда плотность потока достигает определённого критического порога, при котором ожидания водителей уравновешиваются эффектом задержки при регулировании скорости. Самый удивительный аспект этого фазового перехода заключается в том, что характер движения кардинально меняется, хотя отдельные водители вообще не меняют своего поведения.
Видео возникновения джемитона. Поток, текущий слева направо, приводит к распространению джемитона справа налево. Вертикальная ось обозначает плотность машин на дороге. Резкий переход от низкой к высокой плотности (и от высокой к низкой скорости) является характеристикой всех джемитонов.
Следовательно, возникновение волн трафика (джемитонов) можно объяснить поведением при фазовом переходе. Но чтобы понять, как предотвращать фантомные пробки, надо также разобраться в подробностях структуры полностью устоявшегося джемитона. В макроскопических моделях трафика джемитоны являются математическим аналогом детонационных волн, которые в реальном мире возникают во время взрывов. У всех джемитонов есть локализованная область высокой плотности трафика и низкой скорости. Переход от высокой к низкой скорости чрезвычайно резок — как ударная волна в жидкости. Машины, столкнувшиеся с ударной волной, вынуждены резко тормозить. После удара есть «зона реакции», в которой водители пытаются снова ускориться до исходной скорости. Наконец, в конце фантомной пробки с точки зрения водителей находится «точка линии перехода через скорость звука».
Название «точка линии перехода через скорость звука» (sonic point) возникло из аналогии с детонационными волнами. При взрыве это такая точка, в которой жидкость превращается из сверхзвуковой в дозвуковую. Это имеет важные последствия для потока информации как в детонационной волне, так и в джемитоне. Точка перехода создаёт информационную границу, схожую с горизонтом событий чёрной дыры: никакая информация ниже по потоку не может повлиять на джемитон по другую сторону от точки перехода. Из-за этого рассеивать джемитоны довольно сложно — после прохождения через точку перехода автомобиль не может повлиять на джемитон.
Поэтому на поведение машины нужно влиять до того, как она попадёт в джемитон. Одним из способов достижения этой цели является беспроводная связь между автомобилями, и современные математические модели позволяют нам разработать подходящие способы использования технологии будущего. Например, когда машина обнаруживает событие резкого торможения, за которым сразу же следует ускорение, то она может транслировать «предупреждение о джемитоне» автомобилям, движущимся за ней в пределах одной мили. Водители этих машин могут, по крайней мере, подготовиться к неожиданному торможению; или, что тоже хорошо, увеличить интервал, чтобы внести свой вклад в рассеяние волны трафика.
Результаты, получаемые при наблюдении за гидродинамическими моделями транспортных потоков, могут помочь в решении многих других проблем реального мира. Например, логистические цепочки демонстрируют поведение, схожее с транспортными пробками. Явления пробок, очередей и волн можно также наблюдать в газопроводах, информационных сетях и потоках биологических сетей — всех их можно рассматривать как аналоги потоков жидкостей.
Кроме того, что фантомные пробки — это важный пример для математического изучения, они, вероятно, являются также интересной и наглядной социальной системой. В местах возникновения джемитонов, они вызываются коллективным поведением всех водителей, а не несколькими «паршивыми овцами». Те, кто действует на упреждение, могут рассеивать джемитоны и помочь всем водителям, едущим за ними. Это классический пример эффективности золотого правила нравственности.
Поэтому когда в следующий раз вы попадёте в беспричинную, бессмысленную и спонтанную дорожную пробку, то помните, насколько она сложнее, чем кажется.
Об авторе: Бенджамин Сейболд — профессор математики в Университете Темпл.
