Почему единицу не относят к простым числам, и когда её вообще начали считать числом

Автор оригинала: Evelyn Lamb
  • Перевод
Мой друг инженер недавно меня удивил. Он сказал, что не уверен, является число 1 простым или нет. Я удивилась, потому что никто из математиков не считает единицу простым.

Путаница начинается с определения, которое дают простому числу: это положительное целое число, которое делится только на 1 и само на себя. Число 1 делится на 1, и оно делится само на себя. Но деление на себя и на 1 здесь не является двумя различными факторами. Так простое число это или нет? Когда я пишу определение простого числа, то пытаюсь устранить эту двусмысленность: я прямо говорю о необходимости ровно двух различных условий, деление на 1 и само на себя, или что простое число должно быть целым числом больше 1. Но зачем идти на такие меры, чтобы исключить 1?

Моё математическое образование научило меня, что хорошей причиной того, почему 1 не считается простым, является основная теорема арифметики. Она утверждает, что каждое число может быть записано как произведение простых чисел ровно одним способом. Если бы 1 было простым, мы бы потеряли эту уникальность. Мы могли бы записать 2 как 1×2, или 1×1×2, или 1594827×2. Исключение 1 из простых чисел устраняет это.

Изначально я планировала в статье объяснить основную теорему арифметики и покончить с этим. Но на самом деле не так сложно изменить формулировку теоремы для решения проблемы с единицей. В конце концов, вопрос моего друга разжёг моё любопытство: как математики остановились на этом определении простого числа? Беглый поиск по Википедии показал, что единица раньше считалась простым числом, а сейчас нет. Но статья Криса Колдуэлла и Енг Сюна демонстрирует немного более сложную историю. Это можно понять с самого начала их статьи: «Во-первых, является ли число (особенно единица) простым — это вопрос определения, то есть вопрос выбора, контекста и традиции, а не вопрос доказательства. Тем не менее, определения не возникают случайным образом; выбор связан с нашим использованием математики и, особенно в этом случае, нашей нотацией».

Колдуэлл и Сюн начинают с классических греческих математиков. Они не считали 1 числом так же, как 2, 3, 4 и так далее. 1 считалась цифрой, а число состояло из нескольких цифр. По этой причине 1 не могла быть простым — это даже не число. Арабский математик IX века аль-Кинди писал, что это не число и, следовательно, не является чётным или нечётным. В течение многих веков преобладало представление, что единица — это строительный блок для составления всех чисел, но не само число.

В 1585 году фламандский математик Саймон Стевин указал, что в десятичной системе нет никакой разницы между 1 и любыми другими числами. Во всех отношениях 1 ведёт себя как любая другая величина. Хотя и не сразу, но это наблюдение в конечном итоге привело математиков к принятию 1 как любого другого числа.

До конца XIX века некоторые выдающиеся математики считали 1 простым, а некоторые нет. Насколько я могу судить, это не было причиной разногласий; для самых популярных математических вопросов различие не являлось критически важным. Колдуэлл и Сюн цитируют Г. Х. Харди как последнего крупного математика, считающего 1 простым (он явно указал его в качестве простого числа в первых шести изданиях «Курса чистой математики», опубликованных между 1908 и 1933 годами, а в 1938 году изменил определение и назвал 2 наименьшим простым).

В статье упоминаются, но не разбираются подробно изменения в математике, из-за которых 1 исключили из списка простых чисел. В частности, одним из важных изменений стала разработка множеств за пределами множества целых чисел, которые ведут себя как целые.

В самом простом примере мы можем спросить, является ли число -2 простым. Вопрос может показаться бессмысленным, но он побуждает нас выразить словами уникальную роль единицы среди целых чисел. Самым необычным аспектом 1 является то, что его обратное значение тоже является целым числом (обратное значение x — это число, которое при умножении на x даёт 1. У числа 2 обратное значение 1/2 входит в множество рациональных или действительных чисел, но не является целым: 1/2×2=1). Число 1 оказалось собственным обратным числом. Ни у какого другого положительного целого числа нет обратного значения в множестве целых чисел. Число с обратным значением называется обратимым элементом. Число −1 тоже является обратимым элементом в наборе целых чисел: опять же, оно обратимый элемент само для себя. Мы не рассматриваем обратимые элементы как простые или составные, потому что вы можете умножить их на некоторые другие обратимые элементы без особых изменений. Тогда мы можем считать, что число -2 не так уж отличается от 2; с точки зрения умножения. Если 2 является простым, то и −2 должно быть таким же.

Я старательно избегала в предыдущем абзаце определения простого из-за неудачного факта, что для этих больших множеств такое определение не подходит! То есть оно немного нелогично, и я бы выбрала другое. Для положительных целых чисел у каждого простого числа p два свойства:

Его нельзя записать как произведение двух целых чисел, ни одно из которых не является обратимым элементом.

Если произведение m×n делится на p, то m или n должны быть делимы на p (для примера, m=10, n=6, а p=3.)

Первое из этих свойств — то, как мы могли бы охарактеризовать простые числа, но, к сожалению, тут получается неприводимый элемент. Второе свойство — это простой элемент. В случае натуральных чисел, конечно, одни и те же числа удовлетворяют обоим свойствам. Но это не относится к каждому интересному набору чисел.

В качестве примера рассмотрим множество чисел вида a+b√−5 или a+ib√5, где a и b — целые числа, а i — квадратный корень из −1. Если вы умножите числа 1+√−5 и 1-√−5, то получите 6. Конечно, вы также получите 6, если умножите 2 и 3, которые тоже находятся в этом множестве чисел при b=0. Каждое из чисел 2, 3, 1+√−5, и 1−√−5 нельзя представить как произведение чисел, которые не являются обратимыми элементами (если не верите мне на слово, это не слишком трудно проверить). Но произведение (1+√−5)(1−√−5) делится на 2, а 2 не делится ни на 1+√−5, ни на 1−√−5 (опять же, можете проверить, если не верите мне). Таким образом, 2 является неприводимым элементом, но не простым. В этом наборе чисел 6 можно разложить на неприводимые элементы двумя различными способами.

Приведённое выше число, которое математики могут назвать Z[√-5], содержит два обратимых элемента: 1 и −1. Но есть аналогичные множества чисел с бесконечным количеством обратимых элементов. Поскольку такие множества стали объектами изучения, есть смысл чётко разграничить определения обратимого, неприводимого и простого элементов. В частности, если есть множества чисел с бесконечным числом обратимых элементов, становится всё труднее понять, что мы подразумеваем под уникальной факторизацией чисел, если не уточнить, что обратимые элементы не могут быть простыми. Хотя я не историк математики и не занимаюсь теорией чисел и хотела бы прочитать больше, как именно происходил этот процесс, но я думаю, что это одна из причин, которые Колдуэлл и Сюн считают причиной исключения 1 из простых чисел.

Как это часто бывает, мой первоначальный аккуратный и лаконичный ответ на вопрос, почему всё устроено так, как есть, в конечном итоге стал только частью проблемы. Спасибо моему другу за то, что задал вопрос и помог мне узнать больше о сложной истории простоты.
Поддержать автора
Поделиться публикацией

Похожие публикации

Комментарии 75

    +1
    Я не математик, но статью воспринял, как «число 1 формально соответствует определению простого числа, кроме того оно имеет еще ряд дополнительных интересных „свойств“».
    Не знаю, как по мне, наличие каких-то дополнительных опций не повод исключать число из простых.
    Это как сказать: смартфон — это не телефон, у него конечно есть опция разговора, но ведь он еще умеет фотографировать, а в классическом понимании у всех телефонов есть только опция разговора.
      +5
      В поисках глубинных причин, мне кажется, автор забыл упомянуть одну сугубо практическую: если единицу не исключить из числа простых, то для нее придется делать исключение не только в основной теореме арифметики, но и во многих других местах, где простые числа используются
        +5
        Складывается ощущение, что практическая причина, как раз единственная и есть
          +6
          Проще отрефакторить в одном месте, чем потом плодить if-ы в сотне методов. Логично.
            +1
            я бы сказал закостылить
              +4
              Наоборот. Исправление в одном месте — это более удобная абстракция. А исправления во многих местах — костыли.
            +1
            «число 1 формально соответствует определению простого числа, кроме того оно имеет еще ряд дополнительных интересных „свойств“»

            Соответствует или нет — зависит только от определения. Если в каких-то случаях (пример в статье про множества с бесконечным количеством обратимых элементов) удобнее считать простыми только необратимые элементы, а во всех остальных это не играет роли, то почему бы не использовать одинаковое определение везде? Собственно, я так понимаю, что современное определение простого числа как раз учитывает эту особенность и единица из множества простых исключается.
            Ну да, можно сказать что причина практическая, но ведь в этом и есть суть определения — им должно быть удобно пользоваться.
              0
              Математика все-таки не субъективная наука, не округляем же мы Пи до 3.0 что бы удобнее пользоваться было. Потому мне собственно и не понравился подход.
              Да я примерно понял все за и против в статье, но было бы неплохо все таки формализировать понятия и определения.
                +2
                Определения — это не что-то отлитое в граните, всякое определение кто-то однажды придумал для того, чтобы им воспользоваться. Здесь и возникает вопрос удобства. Если можно использовать другое определение без существенной потери смысла, но при этом новое определение удобнее — почему нет?

                Пи — это просто обозначение (не определение), оно здесь ни при чём. Хотя и утверждение про «мы же не округляем» тоже неверно само по себе, потому что во многих случаях всё-таки округляем.
                  0
                  потому что во многих случаях всё-таки округляем.
                  А в каких не округляем?
                    0
                    image
                      +1
                      Ну в алгебре-то понятно, что ничего не округляют. Но такие равенства ведь не численно получены.
                    +1

                    "Для гренландского кита число Пи равно трём"?

                      +5
                      Кстати, насчёт биологии и пи…
                      Читал на просторах интернета:

                      (Приписывается этому товарищу: vk.com/kknop
                      типа копирайт соблюдён)

                      В незапамятные времена участвовал в конкурсах работ МАН (Малой Академии Наук). Сам по математике, но однажды оказался зрителем на докладе в секции биологии. Работа была посвящена изумительному наблюдению, подкреплённому большим числом замеров: окружность любого муравейника примерно втрое длиннее его диаметра.
                    0
                    Никто не запрещает иметь определение множества, включающего и простые числа и 1, но на него не будут распространяться некоторые свойства множества простых чисел, а также будут распространяться некоторые другие.

                    В этом плане нет субъективности, названия определений придуманы людьми, математических противоречий они не создают.
                  +1
                  Складывается ощущение, что практическая причина, как раз единственная и есть

                  А разве нужны ещё какие-то причины? В математике очень многое делается просто для удобства и для консистентности рассуждений.


                  Если хочется с кем-то похоливарить, можно, например, вспомнить споры насчёт того, чему равно 0ⁿ при n=0. :) И таких примеров достаточно много.

                    +1
                    А в чём холивар? Это вполне явно запрещённая операция в стандартной аксиоматике действительных чисел.
                      0

                      Процессоры с вами не согласны. :)


                      А вообще, потому в математике и не используют обычно, так как единственного удобного обобщения нет, как в случае, например, с возведением чисел в дробную степень.

                        0
                        Вообще да, я сначала ляпнул не подумав, а потом задумался. Действительно, это не связано напрямую с аксиоматикой, скорее с разрывностью функции в этой точке.
                      0
                      чему равно 0ⁿ при n=0
                      Вероятно, чаще это можно определить как равное нулю, а x^0 = 1 при х = 0 (ну почти -_-).
                      Остаётся решить, к чему относится 0^0 (или запретить такое совсем).
                      0

                      Например, является ли 0 четным числом

                        0
                        А тут-то какие могут быть разночтения?
                  0
                  del.
                  Опередили
                    0
                    Смартфоны как раз формально были телефонами, а вот то что сейчас на рынке — ранее именовалось комуникаторами.
                    +1
                    Путаница начинается с определения, которое дают простому числу: это положительное целое число, которое делится только на 1 и само на себя.


                    Сами определение выдумали? Википедия, конечно, не самый авторитетный источник, но все же:

                    A prime number (or a prime) is a natural number greater than 1 that cannot be formed by multiplying two smaller natural numbers

                    Просто́е число́ — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя[

                    math.wikia:
                    Просто́е число́ — это натуральное число, больше единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя


                    Кажется, вы взяли за основу неверное определение и на его основе начали что-то выдумывать…
                      +2

                      Это проблема курицы и яйца — естественно, сейчас в Википедии и других современных источниках определение, исключающее единицу из числа простых

                      0

                      "… каждое число может быть записано как произведение простых чисел ровно одним способом. Если бы 1 было простым, мы бы потеряли эту уникальность. Мы могли бы записать 2 как 1×2, или 1×1×2, или 1594827×2. Исключение 1 из простых чисел устраняет это"


                      А тогда произведением каких простых чисел записать любое простое число?
                      2, 3, 11, 29?

                        +1
                        Произведение из одного элемента: самого простого числа. Примерно как SUM(1)=1 в SQL.
                          0

                          В математике такое практикуется?
                          Первый раз слышу.

                            +2

                            Да, вполне себе практикуется, когда надо перемножить произвольное число членов. С суммой аналогично, например, сумма квадратов чисел от 1 до n:



                            Тут вполне разумно считать, что для n=1 эта сумма равна своему единственному члену

                              0
                              Сумма все же несколько другое, она представляет собой сложение всех элементов. А можно ссылку, где применяется произведение из одного числа, без указания множителя? Т.к. произведение подразумевает «взять некое число N раз».
                                0

                                Почему сумма — это другое? Сумма и произведение отличаются только операцией, которая «расставляется» между значениями.

                                  0

                                  А степень подразумевает «умножить некое число N раз». Тем не менее, думаю вы не будете спорить, что дробные или отрицательные степени очень даже практикуются в математике

                              +2
                              То есть сумма/произведение принимают в качестве аргумента список.
                              Если он пуст, возвращают "нейтральный элемент" этой операции.
                              Это, кстати, отвечает на вопрос, произведением каких простых чисел является единица: никаких (пустой список).
                              +1
                              Думаю, все пошло от некорректного (или устаревшего в связи с признанием 1 непростым) определения. В английском варианте основная теорема арифметики имеет как раз уточнение, отвечающее на ваш вопрос (wiki):
                              every integer greater than 1 either is a prime number itself or can be represented as the product of prime numbers

                              +1

                              Попробуем определить простые числа так:


                              Простые числа это натуральные числа которые не делятся на другие простые числа.


                              Единица как минимальное натуральное не делится на другие числа, значит оно простое, а дальше, раз все другие числа делятся на единицу, то других простых чисел, кроме единицы, нет. Приехали.


                              Наша попытка дать определение провалилась. Ведь это не определение, а свойство простого числа. Если взять второе свойство — не быть единицей, то определение будет в том, что у простого числа два представленных свойства. И тогда все нормально. 2, 3, 5, 7, ...


                              То есть, свойство простого числа не быть единицей обязательно.

                                –1

                                Просто нужно ввести 2 типажа:


                                • trait Prime {} и
                                • trait One : Prime {}.

                                Или даже 3:


                                • trait PrimeBase {}
                                • trait One : PrimeBase {}
                                • trait Prime : PrimeBase {} — для определений, которые к единице неприменимы. В общем-то сейчас так и сделали, просто почему-то не сказали об этой явно, и в разных контекстах возможно под словосочетанием "простое число" имеют ввиду один из этих 3-х типов.
                                  0
                                  в разных контекстах возможно под словосочетанием «простое число» имеют ввиду один из этих 3-х типов.
                                  Насколько мне известно, нет. Честно говоря, я не могу сходу придумать естественных примеров, когда включение единицы в простые числа сделает что-то проще. Ну, кроме определения простых чисел.
                                    0

                                    Откуда тогда споры если все сходятся в определении?

                                      0
                                      Насколько мне известно, среди математиков-специалистов споров нет. Я могу, конечно, ошибаться, я так и не стал настоящим математиком, и в мир труъ-науки заглядываю одним глазком. Но все споры на эту тему, которые слышал лично я, происходили с участием людей, не изучавших математику дальше школьной и того странного предмета, который называется «Высшей математикой» в вузах.
                                        0
                                        Да какой там «странный предмет»? Просто даётся сперва семестр линейной алгебры, а потом три семестра мат.анализа. А в зачётку все четыре семестра пишут одно и то же, не иначе, чтобы не заморачиваться. Ну и кафедра называется «Высшей математики» — понятия не имею, зачем в тех. ВУЗе отдельные кафедры высшей и элементарной математики (нам элементарную не читали).
                                          0
                                          А что за «элементарная математика»?
                                          У нас была вышка и прикладная.
                                          На прикладной что-то про системы массового обслуживания рассказывали, стохастические системы и матстатистику.
                                            0
                                            Значит я что-то путаю. По крайней мере были преподы по элементарной математике. Я с таковыми общался, они так себя называли, но нам они не читали ничего.
                                              0
                                              У нас (на мехмате) был курс по преподаванию элементарной математики. По сути — учили вести математический кружок для школьников.
                                0
                                А вот что меняется от того является ли единица простым числом или нет? То есть какой практический толк от спора?
                                  +1

                                  Какие-то теоремы чуть проще формулировать, если единицу простым числом не считать. Например, основная теорема арифметики, которая упоминается в статье.


                                  Какие-то теоремы про простые числа тогда также хорошо обобщаются на более общие структуры вроде целых чисел (а не натуральных) и гауссовых целых чисел. Получаем одно общее определение — удобнее работать.

                                  0
                                  Несколько не по теме: о формуле простых чисел. Многие серьезные математики (и не только) занимались этой проблемой, но до сих пор — вопрос открытый. Запомнилась одна из последних попыток (автора не помню): 6i — 1, 6i + 1, где i = 1,2,3….
                                  Дело, казалось бы, за малым: убрать из ряда квазипростые числа — произведение простых чисел. Например, 5 * 7 = 35 — не простое число.
                                  Интересно, будет в ближайшее время найдена формула простых чисел? Какие прогнозы?
                                    0

                                    Определить "формулу" мы можем либо очень узко (вроде "можно использовать только арифметические операции", тогда там вообще ничего разумного не сделать), либо так, что получается выражать произвольные алгоритмы. А написать программу для вычисления простых чисел, конечно же, можно. Про это есть прекрасный ответ на английском от Alon Amit на Quora.


                                    Например, вот формула, которая выдаёт 1, если число простое, и 0 иначе (взята из ответа выше):



                                    Как работает: надо проверить, что для каждого числа от 2 до n-1 выражение n%d не равно нулю. Другими словами, все выражения вида d-(n%d) равны нулю. А деление на d с округлением вниз — это как раз такой "if". То есть внутренняя сумма — это количество делителей числа n от 2 до n-1.


                                    Если захотим выразить простое число под номером n, это тоже легко делается через P(n):



                                    Тут мы просто нашли минимальное m такое, что от 2 до m встречается ровно n простых чисел.


                                    Каким-то аналогичным образом можно, например, закодировать любой алгоритм в виде многочлена, в том числе для простых чисел.

                                      0
                                      Каким-то аналогичным образом можно, например, закодировать любой алгоритм в виде многочлена, в том числе для простых чисел.

                                      Понятно — любое простое число можно записать с помощью полинома. На сегодня — это полином, содержащий 26(!) переменных и имеющий степень 25(!).
                                      А есть уверенность в том, что с увеличением вычислительных возможностей компьютеров не придется, например, добавлять в полином 27-ю переменную?
                                        0

                                        Какое отношение свойства физических объектов ("вычислительные возможности компьютеров") имеют отношение к абстрактным объектам из математики (тот самый полином Матиясевича)?

                                      0
                                      Полином Матиясевича — habr.com/ru/news/t/406485/#comment_18361061.
                                      Разные теоремы, например, теорема Ферма помогают отсеять множество псевдопростых чисел.
                                      Тест на простоту
                                        0
                                        Полином Матиясевича — habr.com/ru/news/t/406485/#comment_18361061.
                                        Разные теоремы, например, теорема Ферма помогают отсеять множество псевдопростых чисел.
                                        Тест на простоту
                                        Я не о полиномах и тестах на простоту, которые, кстати, носят вероятностный характер.
                                        В той же Википедии встречается мысль, что ряд простых чисел нельзя отобразить формулой с одной переменной. Если это доказано, то кем и когда?
                                          0

                                          Есть и детерминированный (не вероятностный) тест на простоту.


                                          В той же Википедии встречается мысль, что ряд простых чисел нельзя отобразить формулой с одной переменной. Если это доказано, то кем и когда?

                                          Там не про формулы сказано, а про очень специфичное существование многочленов: не существует неконстантного многочлена (т.е. принимающего хотя бы два различных значения) от одной переменной, который при всех целых значениях своего аргумента выдаёт только простые числа.


                                          Доказательство есть в английской Википедии: пусть есть многочлен P(x), который принимает только простые значения. Тогда, в частности, P(1) простое, обозначим его p. Тогда P(1) сравнимо с 0 по модулю p. Однако тогда для произвольного целого k P(1+kp) тоже сравнимо с 0 по модулю p, то есть тоже делится на p. Но если P(1+kp) простое, что P(1+k*p)=p. То есть многочлен в бесконечном количестве точек равен p, следовательно, многочлен — константа.

                                            0
                                            То есть многочлен в бесконечном количестве точек равен p, следовательно, многочлен — константа.

                                            На практике такое «доказательство» проверить невозможно, поскольку проверка бесконечного количества точек требует бесконечного количества времени.
                                              +1
                                              Если честно, мне кажется, вы написали какую-то херню. Но возможно, она имеет смысл в контексте некоторой теории, о которой вы забыли рассказать собеседникам.

                                              Что для вас значит «проверить доказательство»? Для меня это может означать, допустим, «перевести его на язык формальной логики, а затем, последовательно применяя правило обобщения и modus ponens, свести его к некоторому подмножеству принятой нами аксиоматики». Очевидно, у вас какое-то другое понимание этого. Пожалуйста, поделитесь им.
                                                0
                                                С моей стороны было бы глупо ставить под сомнение публикацию в Википедии. Конечно, математика там корректна!
                                                Но, повторюсь, на практике от такого доказательства — ни холодно, ни жарко. Это определение простого числа не дает ответа ни на одну из многочисленных открытых проблем по теории чисел, которые перечислены там же.
                                                Успехов!
                                                  0
                                                  Минутку, а где здесь было дано _определение_ простого числа? Было показано, что определённый способ их _нахождения_ невозможен (и это, как минимум, сразу помогает перенести внимание на другие подходы).
                                                    0
                                                    Минутку, а где здесь было дано _определение_ простого числа?

                                                    Извините, ошибка.
                                        +1
                                        Интересно, будет в ближайшее время найдена формула простых чисел? Какие прогнозы?
                                        У Джона Дербишира есть неплохая книга на эту тему — «Простая одержимость»
                                          0
                                          У Джона Дербишира есть неплохая книга на эту тему — «Простая одержимость»

                                          Спасибо! Ваша ссылка — подтверждение моей смутной догадки, что проблема поиска закономерности простых чисел на сегодня не закрыта.
                                          А многотысячные призы за очередное новое простое число от разных фирм и фондов — это еще один аргумент: проблема есть!
                                            +1
                                            Я бы не сказал, что это какая-то отдельная проблема.

                                            Когда я был юн, я, как любой нормальный ребёнок, пытался найти формулу простых чисел. Потому что школьная математика приучила меня: для всего есть простые формулы.

                                            Затем я окунулся в дебри высшей математики. Я познакомился с невычислимыми функциями, неберущимися интегралами, нерешаемыми в квадратурах диффурами и прочим. И я обнаружил удивительную вещь: отсутствие явной, «школьной» формулы — это, в общем-то, норма. Настоящая математика полна т.н. «специальных функций», которыми пользуются как обычными. И простые числа — просто очередная специальная функция из ℕ в ℕ. Может, у них есть какая-то «формула», которая вас устроит. Скорее всего, её нет. И в этом не будет совершенно ничего необычного.

                                            Сами по себе простые числа математике, разумеется, интересны. И если бы «формула» была, это было бы круто. Но надежда на её наличие следует лишь из интуиции школьника, переобученной на нерепрезентативной выборке.
                                              0
                                              И простые числа — просто очередная специальная функция из ℕ в ℕ. Может, у них есть какая-то «формула», которая вас устроит. Скорее всего, её нет. И в этом не будет совершенно ничего необычного.

                                              Вы упрощаете мое понимание задачи.
                                              Моя позиция заключается в том, что данная задача будет решена тогда, когда это признает научное сообщество. И неважно — это будет зависимость с одной переменной, полином или что-то принципиально другое. Решение этой задачи даст ответы на многие частные вопросы. Например, конечное или бесконечное множество простых чисел?
                                              И, наконец, приведу историческую аналогию:
                                              Большая теорема Ферма, сформулированная в средневековье, была доказана лишь в конце прошлого века.
                                              Я оптимист и верю, что рано или поздно это событие состоится и в теории простых чисел.
                                              Успехов!
                                                +2
                                                Например, конечное или бесконечное множество простых чисел?
                                                Батенька, бесконечность множества простых чисел доказал Евклид ещё до рождества Христова. И это доказательство понятно даже детям, его в седьмом, кажется, классе в школе проходят.

                                                Я не упрощаю ваше понимание задачи, я в нём сомневаюсь.
                                                  0
                                                  С таким трудом продвигается поиск новых простых чисел, поэтому подумалось — проблема конечности-бесконечности не решена.
                                                  Ошибался.
                                                    0
                                                    Больше скажу — есть асимптотические оценки на их частоту появления: если ничего не путаю, среди n первых натуральных чисел будет примерно n/ln n простых.
                                        0
                                        это положительное целое число, которое делится только на 1 и само на себя
                                        Если честно, никогда не слышал определения простого числа без упоминания «больше единицы».
                                          0

                                          1-ца простое число. KISS.

                                            0

                                            Тогда и ноль, почему нет? :) Тоже ж делится на себя и 1.

                                              +1
                                              Ноль делится и на другие числа.
                                              А на себя он делится «на грани фола» (получается любое число, поэтому это обычно запрещено).
                                                0
                                                Ноль делится и на другие числа.

                                                Позор мне! Попытался пошутить про деление на ноль и так прокололся. :(

                                              +1
                                              KISS.
                                              «Everything Should Be Made as Simple as Possible, But Not Simpler.»
                                              Простые числа имеют ровно 2 делителя: 1 и само число — это просто.
                                              1 имеет только один делитель — это слишком просто, поэтому оно не простое.
                                                0

                                                Два делителя простого числа имеют разные определения:


                                                1. точно определенная константа: "1"
                                                2. самореференция: "само число"

                                                Делители 1-цы тоже два и соответствуют этим определениям:


                                                1. точно определенная константа "1"
                                                2. само число: "1"

                                                То что эти два делителя совпадают несущественная случайность, так как они выведены из разных независимых определениях.


                                                Если хотим исключить 1-ца из простых, то эти две определения надо усложнять и делать зависимыми. Например "2. само число, но не 1-ца". Для этого надо иметь очень веские основания.


                                                Кстати, мне кажется, что "проблемы" с основной теоремой арифметики иллюзорны и устраняются простым уточнением определения.

                                              0
                                              Начиная читать статью, думал, что ответ будет представлять собой что-то вроде этого:
                                              Тождество Эйлера для дзета-функции представляет собой произведение, берущееся по всем простым числам. Единица в это произведение не входит, следовательно…
                                                0

                                                Какой-то математик, считающий, что 1 — простое, легко может в своей монографии записать тождество с припиской p > 1. Так что такой аргумент не очень подходит.


                                                Но то, что отсутствие единицы среди простых делает многие подобные формулировки проще — это аргумент.

                                              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                              Самое читаемое