Тонкое искусство математической гипотезы

Автор оригинала: Robbert Dijkgraaf
  • Перевод

Это не доказательство, а догадка, подкреплённая знаниями. Но хорошая гипотеза ведёт математику вперёд, указывая путь в математическую неизвестность.




Автор статьи — Роберт Дейкграаф, физик-теоретик, специалист по теории струн, директор Института перспективных исследований в Принстоне, профессор Амстердамского университета.

Альпинизм – популярная метафора для математических исследований. Такого сравнения практически невозможно избежать: замёрзший мир, разреженный холодный воздух, суровая жёсткость альпинизма напоминает неумолимый ландшафт чисел, формул и теорем. Точно так же, как альпинист противопоставляет свои возможности неподатливому объекту – в его случае, каменной стене – так и математик часто сражается в битве человеческого разума против жёсткой логики.

В математике роли горных пиков играют великие гипотезы – резко сформулированные утверждения, скорее всего, истинные, но не имеющие убедительных доказательств. У этих гипотез глубокие корни и широкие последствия. Поиски их решений составляют большую часть математики. Вечная слава ждёт первого их покорителя.

Интересно, что математики подняли формулирование гипотез до уровня высокого искусства. Самая строгая наука любит самые мягкие формы. Хорошо выбранное, но не доказанное утверждение может сделать его автора знаменитым по всему миру, возможно, даже более, чем того человека, который предложит итоговое доказательство. Гипотеза Пуанкаре остаётся гипотезой Пуанкаре, даже после того, как её доказал Григорий Яковлевич Перельман. И ведь сам британец Джордж Эверест, главный геодезист Индии в первой половине XIX века, никогда не забирался на гору, носящую его имя.

Как и в любом виде искусства, великая гипотеза должна отвечать нескольким обязательным критериям. В первую очередь, она должна быть нетривиальной – сложной для доказательства. Математики иногда говорят, «Задача стоит работы, только если сопротивляется», или «Если задача вас не раздражает, она, вероятно, слишком легка для вас». Если гипотезу доказывают в течение нескольких месяцев, её создатель, возможно, должен был подумать чуть подольше перед тем, как открыть её миру.

Первую попытку собрать всеобъемлющую коллекцию величайших математических задач сделал в начале прошлого века Давид Гильберт, которого называют последним универсальным математиком. Хотя его список из 23 проблем оказался весьма влиятельным, оглядываясь назад, он кажется нам довольно разношёрстным.

В него входят давние всеобщие любимцы, типа гипотезы Римана – часто считающейся величайшей из великих, остающейся Эверестом для математиков более ста лет. Когда Гильберта спросили, что бы он хотел узнать первым, проснувшись после 500-летнего сна, он сразу же вспомнил об этой гипотезе. Она описывает основное интуитивное представление о распределении простых чисел – атомов арифметики – и её доказательство будет иметь обширные последствия для множества ветвей математики.

Но Гильберт перечислил куда как более расплывчатые и нестрогие цели, типа «математическое исследование аксиом физики» или «развитие методов вариационного исчисления». Одну из гипотез, касающуюся равносоставленности равновеликих многогранников, решил его студент Макс Дэн в том же году, когда был опубликован список. Многие из описываемых Гильбертом пиков оказались больше похожими на предгорья.

Высочайшие вершины не покоряются с одной попытки. Экспедиции тщательно расставляют базовые лагеря и протягивают верёвки, а потом медленно взбираются на пик. В математике для атаки серьёзной проблемы часто тоже требуется возвести сложные структуры. Прямая атака считается глупой и наивной. На постройку этих вспомогательных математических конструкций иногда уходят века, и в итоге они иногда оказываются более ценными, чем покорённая теорема. Тогда эти леса становятся постоянным дополнением к архитектуре математики.

Прекрасным примером этого явления будет доказательство великой теоремы Ферма, которое получил в 1994 году Эндрю Джон Уайлс. Известно, что свою гипотезу Ферма написал на полях «Арифметики» Диофанта в 1639. Но её доказательство потребовало более чем трёхсот лет для разработки математических инструментов. В частности, математикам пришлось создать весьма передовую комбинацию теории чисел и геометрии. Эта новая область, арифметическая геометрия, сейчас является одной из глубочайших и далеко заходящих математических теорий. Она заходит далеко за пределы гипотезы Ферма, и использовалась для решения многих выдающихся вопросов.

Великая гипотеза также должна быть глубокой и находиться в самой середине математики. На самом деле, метафора с покорением пика не отражает всех последствий получения доказательства. Его получение – это не конечная цель тяжёлого путешествия, а отправная точка ещё более великого приключения. Более подходящим образом будет горный перевал, седловина, позволяющая путешественнику перейти из одной долины в другую. Именно это делает гипотезу Римана настолько мощной и популярной. Она раскрывает множество других теорем и идей, и из неё следуют обширные обобщения. Математики занимаются изучением богатой долины, к которой она даёт доступ, несмотря на то, что та пока остаётся чисто гипотетической.

Более того, гипотезу должны поддерживать достаточно сильные свидетельства. Известное высказывание Нильса Бора: «Противоположность правильного высказывания ложное высказывание. Но противоположностью глубокой истины может быть другая глубокая истина». Однако для великой гипотезы это явно не так. Поскольку обычно в её пользу говорят обширные косвенные свидетельства, её отрицание кажется маловероятным. К примеру, первые 10 триллионов случаев гипотезы Римана были проверены численно на компьютере. Кто до сих пор может сомневаться в её верности? Однако такой поддерживающий материал не удовлетворяет математиков. Они требуют абсолютной уверенности и хотят знать, почему гипотеза истинна. Только убедительное доказательство может дать такой ответ. Опыт показывает, что человека легко обмануть. Контрпримеры могут прятаться довольно далеко, как, например, тот, что нашёл Ноам Элкис, математик из Гарварда, опровергнувший гипотезу Эйлера, вариацию гипотезы Ферма, которая говорила, что число в четвёртой степени нельзя записать в виде трёх других чисел в четвёртой степени. Кто мог бы догадаться, что в первом контрпримере будет число из 30 цифр?

20 615 6734 = 2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604

У лучших гипотез обычно бывают довольно скромные корни, как мимолётное замечание Ферма на полях книги, однако их последствия с годами растут. Также полезно, если гипотезу можно выразить кратко, предпочтительно, через формулу с небольшим количеством символов. Хорошая гипотеза должна умещаться на футболке. К примеру, гипотеза Гольдбаха гласит: «Любое чётное число, начиная с 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел». Эта гипотеза, сформулированная в 1742 году, до сих пор не доказана. Она стала знаменитой благодаря повести «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха» греческого автора Апостолоса Доксиадиса, не в последнюю очередь из-за того, что издатель в качестве рекламной уловки предложил $1 млн тому, кто сможет доказать её в течение двух лет после выхода книги. Лаконичность гипотезы складывается с её внешней красотой. Можно даже определить математическую эстетику как «объём влияния на один символ». Однако такая элегантная красота может быть обманчивой. Самые краткие формулировки могут потребовать самых длинных доказательств, что вновь демонстрирует обманчиво простое наблюдение Ферма.

К этому списку критериев можно, пожалуй, добавить ответ знаменитого математика Джона Конвея на вопрос о том, что делает гипотезу великой: «Она должна быть вопиющей». Привлекательная гипотеза также несколько смехотворна или фантастична, с непредвиденной областью влияния и последствиями. В идеале она комбинирует компоненты из далёких друг от друга областей, которые раньше не встречались в одном утверждении, как неожиданные ингредиенты выразительного блюда.

Наконец, полезно будет уяснить, что приключение не всегда оканчивается успехом. Как перед альпинистом может встать непреодолимая расселина, так и математики могут потерпеть поражение. И если они проигрывают, то проигрывают полностью. Нет такой вещи, как доказательство на 99%. Два тысячелетия люди пытались доказать гипотезу о том, что пятую аксиому Евклида – печально известную аксиому параллельности, говорящую о том, что параллельные прямые не пересекаются – можно вывести из четырёх предыдущих аксиом планиметрии. А затем, в начале XIX века математики создали конкретных примеры неевклидовой геометрии, опровергнув эту гипотезу.

Но на этом геометрия не закончилась. В каком-то извращённом смысле опровержение великой гипотезы может оказаться даже лучшей новостью, чем её доказательство, поскольку неудача говорит о том, что наше представление о математическом мире сильно отличается от действительности. Проигрыш может быть продуктивным, чем-то противоположным пирровой победе. Неевклидова геометрия оказалась важным предшественником эйнштейновского искривлённого пространства-времени, играющего такую важную роль в современном понимании гравитации и космоса.

Сходным образом, когда Курт Гёдель опубликовал свою знаменитую теорему о неполноте в 1931 году, показавшую, что в любой формальной математической системе существуют истинные утверждения, которые нельзя доказать, он, по сути, ответил отрицательно на одну из проблем Гильберта, касающуюся непротиворечивости аксиом арифметики. Однако теорема о неполноте – которую часто считают величайшим достижением логики со времён Аристотеля – не провозгласила конец математической логики. Вместо этого она привела к расцвету, приведшему к разработке современных компьютеров.

Так что, в итоге у поисков решения великих гипотез есть несколько иные общие черты с горными экспедициями к высочайшим пикам. Только когда все вернулись домой, в безопасность – неважно, была ли достигнута цель, или нет – становится ясной истинная ширь приключения. И тогда наступает время героических историй о восхождении.
Поддержать автора
Поделиться публикацией
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама

Комментарии 48

    0
    >> И тогда наступает время героических историй о восхождении.

    Восторженно и сладко о чём-то непонятном и недоступном посетителям детского сада.

    Мне вот интересно, а кому могут быть полезны такие статьи? Что полезное вы приобрели прочитав все эти слова? Неужели вас купил весь это сладкий пряник, которого автор здесь накрошил просто немеярно? И теперь вы станете математиком? Или?
      0
      Мне вот интересно, а кому могут быть полезны такие статьи? Что полезное вы приобрели прочитав все эти слова? Неужели вас купил весь это сладкий пряник, которого автор здесь накрошил просто немеярно? И теперь вы станете математиком? Или?

      Или.
        +1

        Или я, программист на go, открою книгу Abstract algebra седьмое издание и прочитаю еще одну главу. Не потому, что того обязательно требует моя работа, а потому, что хочется.

          +1

          Лучше Algebra: Chapter 0, second printing.

            0
            Благодарю. Заказал.
        +2
        Не смотря на высокий чин автора, не более чем, должен с ним не согласиться. Мнение, которое он транслирует, заставляет общественность относиться к математикам как к бесполезным ботанам, умеющим единственное, что считать квадратные корни и доказывать бесполезные теоремы. Математика — это то, что дает новый способ думать о мире, то, что помогает выстраивать целые области знания, находить решение прикладных задач, казавшихся до этого неразрешимыми. Вряд ли пара примеров из теории чисел даст возможность правильно понять ее роль. Гипотезы и теоремы — не более чем техническая рутина и ставить их на первый план — значит превращать математику в еще одну религию или вид спорта. Конечно, это всего лишь мое личное мнение, не претендующее на объективность.
          +2

          Конечно, с одной стороны, all math is applied math, eventually.


          С другой — неизвестно, когда и в какой области будет применено какое-то абстрактное построение. Неевклидову геометрию ковыряли не потому, что через N десятков лет она потребуется Эйнштейну, а прост))) Теорию групп и смежные области ковыряли не потому, что через 150 лет криптография и коды восстановления ошибок на компакт-дисках, а прост)))


          Поэтому ботаны, да, это честнее, наверное. Хотя я не математик, чтобы иметь моральное право так говорить, а всего лишь программист, который после работы и по выходным что-то там ковыряет, чтобы лет через N, авось, уйти в академию.

            0
            Создание теорий, направленных на решение новых задач и выдвижение их внутренних проблем проблем этих теорий, как самоцели — противоположные друг другу вещи. Да, интересно на досуге посидеть и немного подумать над выводимостью пятой аксиомы Евклида, но это ведь нельзя делать основным занятием всех людей отдельно взятой профессии. Теология получится вместо науки: через двести лет останется только спорить, можно ли лампочку по субботам включать.
              0
              Да, интересно на досуге посидеть и немного подумать над выводимостью пятой аксиомы Евклида, но это ведь нельзя делать основным занятием всех людей отдельно взятой профессии.

              Но примерно этим занимаются все те люди, область работы которых принято называть pure math. Гротендик как самый каноничный пример. Эрдеша какого-нибудь, наверное, тоже туда можно приписать.

                +1
                Отличие «фундаментальной» науки от «прикладной» с практической точки зрения состоит в том, что на исследования нужно время, которое 1) очень трудно предсказать, 2) потенциально очень большое.
                Вот в играх-стратегиях вы нажимаете кнопку «исследовать ядерное оружие» и у вас прогресс-бар тикает: осталось 30 минут… 20… 10… А в жизни вы запускаете манхэттенский проект, и вам Эйнштейн говорит: лет через пять будет вам бомба. Наверное. Или через 10. Стоит будет миллиарда два. Или пять. А может я ошибся, и бомбу сделать вообще нельзя.
                На развитие теории чисел от записи на полях диофантовой арифметики до изобретения RSA понадобилось ~300 лет. Если бы эти исследования запустили в конце XX века, когда стало ясно, что криптография скоро станет жизненной необходимостью… или в XXIм, когда вдруг захотелось биткоинов…
                  0
                  Есть один момент — когда решение какого-то вопроса очень важно в прикладном плане, то на его исследование выделяются большие деньги и за его решение принимаются целые НИИ, лучшие умы человечества, соответственно прогресс в этом направлении начинает идти значительно быстрей.
                  Если же применимость теории не видна в обозримой перспективе, то ей занимается небольшое число увлеченных исследователей и новые результаты тоже появляются достаточно редко.
                    +1

                    Термоядерный синтез ковыряют уже 60 лет с привлечением лучших умов и огромных средств. А конкретного результата — термоядерного реактора — всё ещё нет.
                    Так что выделение средств ничего не гарантирует, по сути.

                      0
                      Согласен, но тут проблема не только в теории, но и в очень высокой технической сложности устройства самого реактора. В случае теоретической математики, я думаю, связь между скоростью исследований и количеством привлеченных финансовых и человеческих ресурсов намного более выраженная.
                        0

                        "Физикам нужно строить установки. Математикам достаточно бумаги, карандашей и ластиков. А философам даже ластики не нужны :)"


                        С одной стороны, действительно нет необходимости выделять деньги на эксперименты. С другой стороны — экспериментом можно отсеять малоперспективные направления, а в математике такое не работает.

                    0
                    «Математика — значит криптография» — стереотип чуть лучше, чем «математика не нужна», но все равно обнадеживает мало. Интересно, как далеко продвинулась та же теория чисел до осознания потребности ее результатов в криптографии и после?
                      +1
                      Важно одно: до того она была создана. Трудно это корректно сравнить с чем-то на бытовом уровне, но попробую. Изобрести криптографию, когда теория чисел уже есть — это примерно как «понадобилось научиться изготавливать печатные платы — пошёл в библиотеку, посидел с каталогом, нашёл нужную книгу». Изобрести криптографию, когда теории чисел нет — это примерно как «понадобилось научиться изготавливать печатные платы, но никто на планете никогда не слышал слов электричество, провод, паяльник, печатная плата...».
                        0
                        Кажется, мы с вами просто обмениваемся относительно правдоподобными утверждениями не имея предмета спора. Давайте я поясню свою позицию. Любая область деятельности оказывается устойчивой, если она выстроена как пирамида: для нее должен быть широкий и прочный фундамент в виде осознанной потребности извне, массивное тело, которое эту потребность удовлетворяет и небольшая вершина, решающая внутренние проблемы ремесла и определяющая, опираясь на текущую ситуацию, в какую сторону это ремесло должно развиваться. Обычно, результаты деятельности вершины признаются уже не ремеслом, а неким искусством.

                        Например, (представьте что) мы живем на красивых улицах в ухоженных эстетичных домах, гуляем по благоустроенным паркам и ездим по высоким мостам. Все это — работа заурядного архитектора, она востребованна и жизненно необходима. Конечно, осознавая необходимость в себе, архитектура развивается силами, опять же, некоторых людей своей профессии. Эти некоторые могут позволить себе смелые эксперименты, необычные здания, качающиеся мосты и выставки современного искусства. Но обрекать целую профессию на занятие «авось пригодится», когда в ней нет осознанной потребности сейчас (сколько вакансий полевого математика вы найдете в Моем Круге), — это все рано, что устраивать выставки современного исскуства среди голодных жителей уродливых трущоб.

                        У пирамиды, перевернутой с ног на голову, фундамент разрушается вместе с вершиной, а тело приходит в совершенный беспорядок. Если хотите, чтобы я был категоричен, то мое заявление в том, что пока нет промышленной потребности в работе многих математиков, малая их часть имеет моральное право решать внутренние проблемы самой науки только за собственные деньги в свободное от работы время. Стереотип мышления в нашем обществе сейчас примерно таков: математик — это либо преподаватель, что опять же намекает на самозамкнутость причины быть математиком, либо доказыватель ненужных теорем. У работодателей мышление похожее: чистый математик не может принести никакой ощутимой пользы, самое большое — его можно заставить писать какие-нибудь программы на питоне. Должен не без сожаления признать, что подобное отношение является во многом заслуженной репутацией, а ваши комментарии ее только укрепляют.
                          0
                          >> У пирамиды, перевернутой с ног на голову, фундамент разрушается вместе с вершиной, а тело приходит в совершенный беспорядок

                          В принципе правильно, но только фундамент не разрушается, а так же приходит в беспорядок вместе с телом. И потому становится бесполезен. Но сами знания сохраняются. Хотя для их объединения и упорядочивания теперь будут нужны гораздо большие усилия.
                            0
                            Фундамент естественной науки — это способность специалистов за ее чертой ставить к ней задачи и быть способными внедрить их решения. Бытует мнение, что сейчас в России фундамент применения математики в промышленных кругах практически полностью разрушен, и во многом — из-за переворота с ног на голову целей образования на математических факультетах.
                              0

                              Особенно про это будет интересно послушать, наверное, Колмогорову и чувакам из его школы.


                              С фундаментальной математикой в России всё, ну, скажем, так себе именно потому, что на фундаментальную математику всем плевать, все гонятся за быстрым рублём.

                                0
                                >> это способность специалистов за ее чертой ставить к ней задачи

                                Нет, вся проблема в одном месте — в управлении. Специалисты же лишь выполняют приказ.
                              0
                              для нее должен быть широкий и прочный фундамент в виде осознанной потребности извне

                              Непонятно, почему. Кому должен? Зачем? Вы это постулируете, но ведь это совершенно неочевидно.


                              Более того, в основе чистой математики лежит фундамент из самоценности упражнений по оперированию закорючками по некоторым правилам, не более.


                              У пирамиды, перевернутой с ног на голову, фундамент разрушается вместе с вершиной, а тело приходит в совершенный беспорядок.

                              Опыт показывает, что нет. С математикой как-то почему-то всё чуточку лучше сегодня (и последние лет -ста), чем у древних, скажем, египтян, у которых математика была скорее рецептурной на необходимом для измерения земель и прогнозирования затмений уровне.


                              Если хотите, чтобы я был категоричен, то мое заявление в том, что пока нет промышленной потребности в работе многих математиков, малая их часть имеет моральное право решать внутренние проблемы самой науки только за собственные деньги в свободное от работы время.

                              Вы просто заметаете под ковёр проблему первичности потребностей, но неважно.


                              Как насчёт работы в ресёрч-отделах крупных организаций или в институтах?


                              самое большое — его можно заставить писать какие-нибудь программы на питоне

                              Не на питоне :)

                                0
                                Из отрицания частей моей точки зрения я так и не смог увидеть вашей. Не могли бы вы быть столь снесходительны, чтобы выразить ее связным текстом. Я всегда открыт новым мыслям и идеям, я всегда готов пересмотреть свои принципы, если к тому есть какие-то.
                                  0

                                  Чистая математика как самоцель и как изучение абстрактной алгебры просто ради абстрактной алгебры (например) вполне легитимна и на самом деле полезна.

                                    0
                                    Отлично, я с вами полностью согласен, но за чей счет? Теперь вы должны ответить, как зарабатывать на жизнь своим семьям более чем 10 тысячам выпускников, каждый год покидающих скамьи математических факультетов в нашей стране. Иначе выходит, что всех этих юношей и девушек вы откровенно агитируете быть совершенно бесполезными на рынке труда.
                                      0

                                      Так я ж про это и написал:


                                      Как насчёт работы в ресёрч-отделах крупных организаций или в институтах?

                                      А юноши и девушки пусть решают за себя, быть дейта сайентистом за $300k/nanosec или доказывать доказательства про доказательства в институтах.

                                        0
                                        Боюсь, времена о которых вы говорите, остались далеко в советском прошлом, и даже тогда в крупных организациях и институтах вряд ли все поголовно решали только внутренние проблемы математики.
                                        Итак, вы не ответили на вопрос, кто и какому числу молодых специалистов должен платить за занятие абстрактной алгеброй? Напомню, я согласился с вами в том, что этот род занятий как самоцель, тоже необходим и важен.
                                          0

                                          А я вот не боюсь. Есть, например, Microsoft Research, есть ресёрч-группы в IBM, есть вузы типа Стэнфорда или MIT или Беркли (и там если вы хороший аспирант или постдок, скажем, то за образование вам из своего кармана платить уже не нужно), есть пара неплохих европейских вузов.


                                          Надеюсь, это отвечает на вопрос, кто платит. Кто должен платить, впрочем, другой вопрос с другими коннотациями.


                                          И, кстати, кто должен платить историкам, филологам, лингвистам и балеринам с балерунами?

                                            0
                                            Уважаемые выпускники математических факультетов, господин, который не пожелал назвать своего имени, советует всем вам перекачевать в Беркли, Стенфорд и Бостон. Говорят, там можно заниматься чистой математикой и жить припеваючи.

                                            Если без сарказмов, то у каждой перечисленной вами профессии есть потребитель, на которого она работает. Я иногда хожу в балет и актеры там танцуют для меня, я за это заплатил деньги. Я иногда покупаю книги по истории или искусству, читаю журналы, пользуюсь языком. Ни одна профессия не весит в воздухе, погруженная в решение своих собственных проблем. Все эти примеры очередной раз подтверждают мои слова.
                                              0
                                              Говорят, там можно заниматься чистой математикой и жить припеваючи.

                                              Припеваючи вряд ли. Заниматься прикладной математикой было бы сильно выгоднее и денежнее, чудес не бывает.


                                              Я иногда покупаю книги по истории или искусству, читаю журналы

                                              Вот прям историки, проводящие раскопки, пишут для вас книги и журналы? И вы уверены, что оно всё окупается?


                                              Я уж не спрашиваю про исследования в физике. Коллайдеры там всякие, телескопы рентгеновские. Толку с них? Платите деньги, чтобы картинки в интернете красивые посмотреть потом?


                                              пользуюсь языком

                                              Как же он только до лингвистов и филологов существовал.

                                                0
                                                Насколько я вас понял, вы утверждаете, что подавляющее большинство специалистов в ядерной физике работают над абстрактными проблемами бытия, а не обслуживают мирную и не очень ядерную энергетику? Иными словами, эта область человеческой деятельности тоже лишена основного тела, обслуживающего промышленные задачи, и состоит исключительно из верхушки, нацеленной на благо далекого светлого будущего?
                                                  +1

                                                  Люди, работающие на коллайдерах, которых я упоминал, не имеют никакого отношения к обслуживанию ядерной энергетики.


                                                  Жаль, что я не услышал подтверждения или опровержения того, что денег с журналов и книг хватает на оплату работы историков и археологов. И с лингвистами и филологами всё ещё непонятно.

                                                    0
                                                    Я долгое время прожил в Дубне и от этих людей у меня другая информация. Коллайдеры нужны по большей части для того, чтобы поддерживать нужный уровень профессионализма той части физиков, которые готовят прикладников ядерной индустрии. Историки либо преподают, либо пишут книги, либо с полученными знаниями об устройстве порядков и отношений в обществе становятся успешными управленцами и предпринимателями. Теоретиками являются только вторые, еще есть макдональдс. Но я снова забыл, что именно в моих тезисах вы хотели опровергнуть и какие принципы предложить вместо них.
                                                      0

                                                      Ну, я не в Дубне жил, а в одном месте чуть на юг от неё, там и будущие физики были, и преподаватели для этих будущих физиков. Так вот, моя информация с вашей не совпадает.


                                                      Историки либо преподают, либо пишут книги, либо с полученными знаниями об устройстве порядков и отношений в обществе становятся успешными управленцами и предпринимателями.

                                                      Как-то резко мы перешли от одних книг ко всяким предпринимателям.


                                                      Кстати, а преподавать историю зачем? Ну вот какая разница для промышленности, был ли там какой-то Александр Македонский или нет?


                                                      И про филологов мы так и не доразобрались.


                                                      Но я снова забыл, что именно в моих тезисах вы хотели опровергнуть и какие принципы предложить вместо них.

                                                      Ничего, можно вернуться к этому комментарию, он не так далеко.


                                                      В 10 тысяч выпускников в год по направлению чистой математики, кстати, верится немножечко с трудом, но то такое.

                                                        0
                                                        Доброе утро. В задаете очень интересные вопросы, давайте я попробую ответить на них не популярным мнением.

                                                        Зачем нужны историки Китаю? Чтобы в нужном для китайского правительства свете преподносить исторические факты. Преподавание истории в Китае — часть гражданского воспитания общества, в тех рамках, которые китайское правительство считает нужным. Квоты в университетах Китая на исторические факультеты формируются именно из этих двух потребностей в историках профессионалах. Если вы — историк в Китае и просите профинансировать исследование, которое может выставить Мао в неподобающем виде, не стоит удивляться, что вам скорее всего откажут. Чтобы между преподавателями не происходили разногласия, должен быть выработан стандарт исторического видения. Этой работой занимается теологическая верхушка пирамиды. Вполне правдоподобно, что люди, включаемые в ее состав, для выполнения своей работы должны быть достаточно интеллектуальны. Как следствие, они скорее всего имеют трезвый взгляд на вещи и поэтому понимают, для чего существует пирамида профессии историка и кто им платит, чтобы не высказывать своих непопулярных мнений на публику. По большей части их книги вы видите в историческом отделе книжного магазина.
                          0
                          >> Отличие «фундаментальной» науки от «прикладной» с практической точки зрения состоит в том, что на исследования нужно время, которое 1) очень трудно предсказать, 2) потенциально очень большое.

                          Вот эти все «очень» говорят о том, что наукой просто не занимаются серьёзно.

                          >> На развитие теории чисел от записи на полях диофантовой арифметики до изобретения RSA понадобилось ~300 лет

                          Берите больше — от древних греков. Но и здесь та же закономерность — увлечённые одиночки творили исключительно для себя, и так все 2000+ лет. То есть сегодня хочу почесать левую пятку, а завтра — хочу мороженое, а когда захочу подумать — ну не знаю, может когда-нибудь…

                          Для примера, тот же RSA испарится как дым после целенаправленного развития теории целочисленных вычислений, а жив он лишь потому, что одиночки чешут пятки вместо целенаправленной работы. Ну а задать стимул для объединённых усилий коллективов — некому.
                            0
                            Для примера, тот же RSA испарится как дым после целенаправленного развития
                            Или наоборот, после доказательства P!=NP, RSA обретёт железобетонные гарантии, что на подбор ключа длины N надо не менее f(N) операций при определённой процедуре выбора ключа.
                              0

                              Вот как каждый раз вижу отсылку к гипотезе о равенстве P и NP в контексте применимости некоторых видов криптографии…


                              1. Пусть P = NP. Это не мешает несуществованию полиномиального алгоритма со степенью, меньшей некоей достаточно большой, делающей его неприменимым на практике. Равенство классов не гарантирует поломку крипты.
                              2. Пусть P ≠ NP. Это не мешает существованию экспоненциального алгоритма с произвольно низкой константой, делающей его применимым на практике. Неравество классов не даёт никаких железобетонных гарантий.
                                0
                                Это не мешает существованию экспоненциального алгоритма с произвольно низкой константой
                                Например, с какой? Попробуйте с низкой гипотетической константой оценить сложность для длины ключа 16, 32, 64 бита. Она, очевидно, не должна быть меньше единицы.
                                  0

                                  Почему не должна? Мне вот неочевидно.

                                    +1

                                    А, блин, я не так распарсил, вы про сложность, а не про константу. Про сложность очевидно.


                                    Но никто не мешает иметь сложность вида ∑_{i < n} a_i x^i + ε e^x до разумных n. Экспонента? Асимптотически да. Важно ли это для всех разумных x? Зависит от ε.

                                      0
                                      Да, в общем виде на P и NP я зря замахнулся.

                                      Тем не менее, гипотетически могут быть получены минимальные оценки сложности кокретно для факторизации, как есть сейчас для сортировки.
                                  0
                                  Ну мы знаем, что для квантового компьютера отдельные операции мы можем решить алгоритмом за полиномиальное время. И давно подточили существующие алгоритмы, как правило просто добавив длины ключа, чтобы всё было надёжно и в постквантовую эпоху. Ничего страшного не случилось.
                                    0
                                    >> надо не менее f(N) операций

                                    Когда-то про умножение думали, что дальше уже увеличивать скорость вычислений нельзя, но тут выстрелил некто Карацуба…
                          +1
                          Любое чётное число, начиная с 2, можно представить...
                          Ошибка! Должно быть… с 4
                            0
                            Какая глубокая статья. Особенно понравилась эта формулировка:
                            печально известную аксиому параллельности, говорящую о том, что параллельные прямые не пересекаются

                            Очень плохая метафора с альпинизмом. По-моему, у невидевшего гор человека она вызовет только желание держаться подальше. Никакое это не приключение. Представлений о полезном или прекрасном она не даёт.
                              0
                              >> говорящую о том, что параллельные прямые не пересекаются

                              На самом деле она говорит, что:

                              В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой
                                0
                                Вы, должно быть, не распознали сарказм. Параллельные прямые не пересекаются по определению.

                            Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                            Самое читаемое