Решения задач из статьи об идеальной случайности

Существует ли объективная, идеальная случайность, или она является следствием нашего неведения?

В сентябре было опубликовано несколько задачек, с помощью которых мы изучали случайные процессы в повседневных объектах – замках для велосипеда или головоломках. Давайте теперь посмотрим на решения этих задач.

Загадка 1: случайные комбинации

Задачка звучала следующим образом:

Рассмотрим простой кодовый замок для велосипеда, похожий на приведённое изображение. У него есть три вращающихся диска, на каждом из которых изображено 10 цифр по порядку. Когда три эти диска повёрнуты так, чтобы выдать заданную комбинацию – 924 – замок открывается. Когда вы хотите закрыть его, вам нужно перемешать цифры так, чтобы они далеко отстояли от заданной комбинации. Но что означает «далеко» в данном контексте? Если вы переместите диск максимально, на 5 положений, вы зададите номер 479. Однако взломщику будет легко случайно наткнуться на эту позицию, если он просто повернёт все пять дисков одновременно, и посмотрит, не откроется ли замок. Представьте, что у взломщика есть время на испытание пяти различных комбинаций. В каждом случае наш потенциальный вор пробует наш замок после одного из следующих действий (а в случае неудачи возвращает замок к изначальной конфигурации):

1. Повернуть один диск на случайное число позиций.
2. Повернуть два диска одновременно на случайное число позиций.
3. Повернуть все три диска одновременно на случайное число позиций.
4. Повернуть два диска на разные углы.
5. Повернуть все три диска по-разному.

Наша загадка следующая: если код открытия замка – 924, какой набор перемешанных чисел будет наиболее стойким для случайных попыток открыть замок, и сколько таких наборов существует? Какова вероятность обнаружить код?

Первая формулировка задачи получилась несколько двусмысленной, поскольку сначала я не указал, что после каждого шага вор поворачивает замок в изначальное положение. Один из читателей проанализировал эту задачу при условии, что «случайное число» в трёх первых случаях не равно нулю, а «разные» углы поворота в вариантах 4 и 5 обязательно не равны. Однако другой читатель указал, что если принять последнее предположение, и повернуть диски замка так, чтобы два диска были повёрнуты на один угол, а третий на другой – как, к примеру, в комбинации 036 – тогда вору не удастся открыть замок, поскольку ни один из вариантов не отрабатывает такой комбинации.

Решение задачи учитывает, что в действиях 4 и 5 диски могут быть повёрнуты на разные углы. Также мы предполагаем, что в трёх первых вариантах вор может повернуть выбранные диски на полный оборот, т.е. на 10 (или 0) цифр, и вернуть их в изначальное состояние. Уточнив это, подсчитаем вероятность каждого из действий вора. Отметим, что любое действие, предпринятое вором для получения определённой комбинации, потенциально обратимо – для этого нужно выполнить обратное вращение, которое дополняет первое и имеет ту же вероятность. Поэтому вероятность того, что случайное вращение левого диска приведёт нас от комбинации 924 к комбинации 624, равна 1 шансу из 10 – как и вероятность того, что случайное вращение приведёт нас обратно, от 624 к 924. И это справедливо вне зависимости от того, вращаем мы случайно один диск, два или три. Поэтому чтобы подсчитать, сколько комбинаций нужно будет перебрать вору для подбора искомой, если он выполняет определённое действие, мы можем начать с нашей заданной комбинации 924 и затем подсчитать, сколько трёхзначных комбинаций мы можем получить из неё.

1. Начиная с номера 924, и поворачивая один диск, можно получить трёхзначные комбинации вида x24, 9x4 and 92x, где х – любая из 10 цифр. Таких комбинаций существует по 10 штук каждой. Однако включать во второй и третий вариант ту же самую комбинацию 924 будет излишне, поэтому реально у нас получается 10 + 9 + 9 = 28 разных комбинаций. И если мы, случайно повернув цифры замка, чтобы закрыть его, получили одну из этих 28 комбинаций, то у вора будет 1/28 шанса открыть замок.
2. Поворот двух дисков вместе даёт нам возможные комбинации вида 9##, #2# и ##4, где знаки # обозначают разницу между цифрами полученной комбинации и цифрами начальной (и эта разница будет одинаковой для обоих дисков). Их также по 10 штук каждой, и исключая 924 из второй и третьей формы, мы тоже получим 28 комбинаций и 1/28 шанса на успех.
3. Поворот всех трёх дисков позволяет получить 10 комбинаций — 035,146, 257, 368, 479, 580, 691, 702, 813 и 924 – и 1/10 шанса на успех.
4. Случайный поворот двух дисков, не обязательно на одинаковые углы, даёт доступ ко всем комбинациям, начинающимся с 9 (от 900 и выше), всем комбинациям, с 2 в середине, и всем комбинациям, заканчивающимся на 4. Каждого из видов может быть по 100 штук. Однако в комбинациях 9хх, уже были посчитаны 10 комбинаций, заканчивающихся на 4, и 10 вариантов комбинации x2x; кроме того, в комбинациях х2х уже подсчитано девять других комбинаций, оканчивающихся на 4. Поэтому общее количество комбинаций будет равно 300 − 10 − 19 = 271 для этого шага, и у него будет 1/271 шанса на успех.
5. Поворот всех трёх дисков на случайный угол даёт нам все комбинации из трёх цифр, и 1/1000 шанса на успех.

У нас есть два набора «безопасных» чисел, наиболее стойких к попыткам взлома. Их нельзя получить первыми четырьмя методами, а можно наткнуться только в пятом методе, где вероятность успеха равна 1/1000. Первую стойкую комбинацию можно получить, повернув каждый из трёх дисков на разный угол так, чтобы ни один из них не остался в первоначальном положении. Таких позиций будет 9 × 8 × 7 = 504. Другой набор стойких комбинаций можно получить, повернув два диска на один ненулевой угол, а третий – на другой ненулевой угол. Это ещё 3 x 9 x 8 = 216 комбинаций, и в сумме их получается 720. Поэтому 720 комбинаций оказываются безопаснее остальных.

Загадка 2: от случайности к порядку в загадках

Задачка звучала следующим образом:

Допустим, мы решаем пазл, состоящий из шестиугольных кусочков – как соты. Картинка пазла представляет собой вьющуюся лиану. Поскольку узор повторяющийся и самоподобный, нельзя гарантировать, что два соседних кусочка подходят друг к другу физически, даже если они подходят по картинке. Допустим, что к каждому краю заданного кусочка могут подойти три других. Поэтому, когда два кусочка подходят к друг другу по картинке, то вероятность того, что они подойдут физически, составит 33,33%. Однако если вы сможете найти ещё один кусочек, подходящий к обоим рассматриваемым, то есть, такой, у которого по одному общему краю с каждым из этих двух, то ваша уверенность в успехе возрастает. Попробуем оценить, насколько именно она возрастает.

1. Вы нашли три кусочка, на первый взгляд подходящих друг к другу, без очевидного смещения рисунка лианы на их соприкасающихся краях. Какова мера вашей уверенности в правильности подбора кусочков?
2. Вы нашли центральный шестиугольный кусочек, и шесть его окружающих, и по картинке они вроде бы совпадают. Какова мера вашей уверенности в правильности подбора кусочков?

Чем больше становятся группы из кусочков, тем сильнее ваша уверенность в правильности их сборки. Разумно предположить, что три изолированных группы, в которых в сумме есть семь соединённых кусочков, по уверенности не сравнимы с единственным окружённым шестиугольником, описанным выше.

Третья часть этой загадки имеет допускает поправки, и является попыткой количественно оценить указанную выше разницу. Можно ли придумать меру степени завершённости частично решённого пазла? Таковой метод должен позволять назначить число от 0 до 100 любому частично собранному пазлу из шестигранников размером 10х10. Это число должно обозначать степень завершённости, грубо коррелирующую с пропорцией текущего состояния пазла по отношению к законченному варианту.

Читатель ответил на первые два вопроса следующим образом:

1. Для трёх кусочков, расположенных треугольником, ответ будет равен p = (2/3)³, поскольку есть три грани, которые можно удалить, и вероятность удаления каждой из них составляет 2/3. Это даёт нам 1 − p = 0,7037, то есть уверенность в 70,37%.
2. У шести кусочков могут не совпасть 6 + 6 = 12 граней, что даёт нам 1 − p = 1 − (2/3)¹² = 0,9923 или уверенность в 99,23%.

Используя такие данные по уверенности, мы можем выбрать простую метрику на основе суммы значений уверенности для законченных частей пазла так, чтобы полностью законченный пазл давал уверенность в 100%. Делается это так. Возьмите все завершённые группы из двух или более соединённых кусочков. Сложите количество уверенности для каждого из отдельных кусочков. То есть, для группы из трёх кусочков с общей вершиной мы получим 3 × 0,7037 = 2,11%, а для полного шестиугольника получим 7 × 0,9923 = 6,95%. Частично законченный пазл из трёх групп по три кусочка и одного шестиугольника даст вам 6,95 + 2,11 + 2,11 + 2,11, или 13,3%. С другой стороны, если у вас будут два полных шестиугольника, ваш итог будет равен 6,95 + 6,95 = 13,9%, даже несмотря на то, что в этом случае вы использовали на два кусочка меньше.

Читатель развил эту идею дальше, и предложил меру, использующую логарифмы, и связанную с концепцией энтропии – естественной меры беспорядка и случайности. Его мера для сетки 10 × 10 равняется n − 100 × (log m)/(log 100), где m – количество альтернативных раскладок, а n – общее количество размещённых на поле кусочков.

Загадка 3: возможна ли идеальная случайность?

Сегодня преобладает мнение о том, что квантовая физика основывается на присущей природе, объективной и идеальной случайности. Я призвал читателей поделиться мнениями об этой философской загадке, присоединяясь либо к команде Эйнштейна (Э), либо к команде Бора (Б). Команда Б принимает объективную случайность квантового мира, а команда Э считает физическую случайность логической невозможностью, вскрывающей наше неведение о детерминистских казуальных явлениях, происходящих на субпланковских масштабах. Голоса читателей разделились примерно поровну [как и в нашем голосовании / прим. перев.].

Читатель с ником RRG отлично описал мою мотивацию для предложения подобной дискуссии:

В квантовой механике, если мы рассмотрим стандартный двухщелевой эксперимент, мы не можем предсказать, в каком именно месте экрана окажется конкретная частица, но можем предсказать вероятность её попадания в то или иное место. И эти вероятности могут быть чрезвычайно точными и надёжными. Эта надёжность и точность вероятностей является явным признаком наличия какого-то скрытого процесса.

Происходящее похоже на термодинамику. Мы можем очень точно измерить температуру в комнате, не зная, что именно делает каждая из молекул воздуха. Как вероятности в квантовой физике, температура проявляется на основе более глубокого физического уровня.

Именно так рассуждал и я! Почему определённая частица, проходящая через двойную щель, ударяется, допустим, о верхнюю левую часть экрана, а не о нижнюю правую? Некая причинная цепочка (возможно, флуктуации массы-энергии на уровне квантовой гравитации) должна была привести к выбору определённого места в определённом случае. Если так, то квантовая случайность не идеальная, объективная и волшебная часть Вселенной, но следствие нашего неведения принципов лежащей в её основе физики – прямо как классическая случайность.

Как написал читатель Марк Томас, вероятностное пространство, определяемое планковской массой-энергией, может быть огромным. Оно может быть достаточно большим для того, чтобы достичь показателей, близких к идеальной случайности в колмогоровском смысле (спасибо другому читателю за ссылку с пояснениями касательно колмогоровской сложности и случайности). Но в таком случае уравнение Шрёдингера будет приближением, и его нельзя трактовать, как нечто неприкосновенное, и нельзя использовать в качестве основы для популярной ныне «многомировой интерпретации», основанной на соображениях математической простоты. Последний подход пропагандирует физик Шон Кэрролл.

Читатель Роб Макичерн прокомментировал этот мой пассаж: «Если бы вам были известны все силы, действующие на подброшенную монетку или брошенный кубик, то при наличии достаточных вычислительных мощностей вы могли бы предсказать результат» следующим образом:

Это утверждение неверно. Вам нужно также знать все связанные с этим экспериментом начальные условия. И тут кроется проблема. В любой сложной ситуации информационное содержание начальных условий оказывается гораздо больше, чем информационное содержание всех сил или законов природы. Соответственно, гораздо труднее (а часто даже в принципе невозможно) получить всю необходимую информацию о начальных условиях, чем получить точное знание всех законов.

Я соглашусь, что идеального знания начальных условий с бесконечной точностью получить нельзя. Но думаю, что большинство физиков согласятся, что можно получить знание, касающееся подбрасыванию монетки в помещении, с достаточной точностью, и предсказать результат в большинстве случаев. Конечно, это будет невозможным, если в окно внезапно влетит ураган и организует хаос. Возможно, что упомянутые флуктуации массы-энергии на планковских масштабах и есть те ураганы, которые постоянно сеют хаос, являющийся истинной причиной квантовой случайности. Но даже в таком случае в принципе должна существовать причинная цепочка. Команда Э просто скажет, что мы не знаем всех деталей.

Читатель Абхинав Дешпанде дал прекрасное, сбалансированное, исчерпывающее и подкреплённое доказательствами описание текущего положения вещей в данной области, а также ссылки на очень интересные статьи. Он верно заявляет: «Не думаю, что основатель теории относительности хорошо относился к нелокальности (даже если нелокальность не разрешает передавать информацию быстрее света)». Но нужно вспомнить, что теорема Белла была доказана через десять лет после смерти Эйнштейна. И перед лицом убедительных экспериментальных подтверждений неравенств Белла у команды Э не было выбора, кроме как подправить изначальное мнение Эйнштейна и принять факт наличия нелокальности и «пугающего дальнодействия». Значит, возможно существование сверхсветовых или надпространственных связей компонентов запутанного квантового объекта, даже если внешняя передача информации и ограничена скоростью света согласно теории относительности, и нелокальность никогда не даёт видимой утечки.

Я как-то наткнулся на такую яркую картинку: представьте себе озеро с непрозрачной поверхностью. В нём плавает перевёрнутый вверх ногами огромный деревянный слон, размером почти со всё озеро, и его ноги торчат наружу в четырёх углах озера, как колонны, а его тело скрыто под водой и не видно. Сначала вы можете решить, что четыре колонны – это независимые объекты. Однако потом вы видите, что их движения идеально коррелируют друг с другом – они запутаны. Точно так же запутанные частицы формируют единственную сущность, способную простираться на всю Вселенную, а её внутренние связи могут быть сверхсветовыми или надпространственными. С этим связана интересная идея, известная, как ER = EPR – загадочная гипотеза, выдвинутая гениальными теоретическими физиками, Хуаном Малдасеной и Леонардом Сасскиндом. Идея в том, что запутанные частицы (EPR) соединены червоточиной, мостом Эйнштейна-Розена (ER). Изначально её предложили в контексте изучения чёрных дыр, но, возможно, она работает и для всех запутанных частиц. Как показывает теория Бома, детерминизм и квантовая механика могут сосуществовать и отрицать локальность с внутренними сверхсветовыми связями, не испытывая необходимости в объективной случайности.