Теория категорий позволяет математике отказаться от равенств

Автор оригинала: Kevin Hartnett
  • Перевод

Две монументальных работы убедили многих математиков отказаться от знака равенства. Их цель – реконструировать основы дисциплины при помощи более слабого взаимоотношения – «эквивалентности». И этот процесс не всегда идёт гладко.




Знак равенства – краеугольный камень математики. Он, кажется, делает фундаментальное и непротиворечивое заявление: две этих сущности абсолютно одинаковы.

Однако ширится круг математиков, относящихся к знаку равенства, как к первоначальной ошибке математики. Они считают его внешним лоском, прячущим важные сложности взаимоотношения величин – сложности, способные открыть решения огромного количества задач. Они хотят реформировать математику, используя более свободный язык эквивалентности.

«Мы породили эту идею равенства, — сказал Джонатан Кэмпбелл из Университета Дьюка. – А на её месте должна была быть эквивалентность».

Наиболее выдающейся фигурой этого сообщества является Джейкоб Лурье. В июле 41-летний Лурье покинул свой пост штатного сотрудника в Гарварде ради факультетской должности в Институте передовых исследований в Принстоне, где работали одни из самых выдающихся математиков мира.

Идеи такого масштаба, как у Лурье, редко встретишь в любой области. В своих книгах, растянувшихся на тысячи насыщенных техническими подробностями страниц, он создал удивительно отличный от обычного способ понимания самых основных концепций математики, выйдя за рамки знака равенства. «Думаю, ему казалось, что это правильный способ мышления о математике», — сказал Майкл Хопкинс, математик из Гарварда и руководитель в аспирантуре.

Первую свою книгу, "Теория высшего топоса", он опубликовал в 2009. 944-страничный том служит инструкцией по интерпретации признанных областей математики на новом языке " категорий бесконечности". В последующие годы идеи Лурье проникли в широкий спектр математических дисциплин. Многие математики считают их незаменимыми для будущего этой области. «Никто уже не будет прежним, изучив категории бесконечности», — сказал Джон Фрэнсис из Северо-Западного университета,


Джейкоб Лурье

Однако распространение категорий бесконечности вскрыло все проблемы, через которые проходит уважаемая область математики, пытаясь впитать новые смелые идеи – особенно такую идею, которая бросает вызов самой важной её концепции. «В математическом сообществе существует определённый уровень консервативности, — сказал Кларк Барвик из Эдинбургского университета. – Не думаю, что от любой группы математиков можно ожидать быстрого принятия любого инструмента без убедительных причин».

Хотя многие математики приняли категории бесконечности, мало кто из них прочёл длинные и чрезвычайно абстрактные тексты Лурье целиком. В итоге часть основанных на его идеях работ оказывается менее строгой, чем принято в математике.

«Я слышала, как говорят: ’Это есть где-то у Лурье’, — сказала Инна Захаревич, математик из Корнелловского университета. – А я говорю: ’Правда? Вы же ссылаетесь на 8 000 страниц текста’. Это не ссылка, это апелляция к авторитету».

Математики всё ещё пытаются осознать как широту идей Лурье, так и уникальный способ их представления. Они извлекают суть его презентации категорий бесконечностии подают его в новой упаковке так, чтобы ими могли воспользоваться больше математиков. В каком-то смысле они выполняют необходимое руководство, которое обязано следовать за любой революцией, переводя революционный текст в повседневный свод законов. Тем самым они создают будущее математиков, основывающееся не на равенство, а на эквивалентность.

Бесконечные башни эквивалентности


Математическое равенство кажется наименее противоречивой из всех идей. Две бусинки плюс одна бусинка равняются трём бусинкам. О чём тут ещё говорить? Однако самые простые идеи могут быть самыми обманчивыми.

С конца XIX века основы математики строились на наборах объектов, именуемых множествами. Теория множеств задаёт правила, или аксиому, по созданию и обращению с этими множествами. Одна из этих аксиом, к примеру, утверждает, что ко множеству из двух элементов можно добавить множество из одного элемента, и получить новое множество из трёх элементов: 2 + 1 = 3.

Формальный способ продемонстрировать равенство двух величин заключается в том, чтобы сопоставить пары друг другу. Сопоставьте одну бусинку справа от знака равенства с одной бусинкой слева. После всех сопоставлений лишних бусинок не останется.

Теория множеств признаёт, что два множества из трёх объектов каждое можно точно сопоставить друг другу, но не обозначает все различные возможные пути такого сопоставления. Первой бусинке справа можно подобрать пару в виде первой бусинки слева, или сопоставить первую справа со второй слева, и так далее (всего таких пар может быть шесть). Сказать, что два плюс один равняется трём, и закончить на этом – означает не увидеть всех возможных способов приравнять их. «Проблема в том, что способов составить пары много, — говорит Кэмпбелл. – И мы забываем их, когда говорим „равняется“».



Тут и вступает в игру эквивалентность. Если равенство является чётким взаимоотношением – две вещи либо равны, либо нет – эквивалентность может быть разной.

Когда вы точно сопоставляете каждый из элементов одного множества каждому элементу другого, вы получаете сильную эквивалентность. Но, к примеру, в такой области математики, как гомотопия, две формы (или геометрические фигуры) эквиваленты, если одну можно посредством растяжения или сжатия без разрывов превратить в другую.

С точки зрения теории гомотопии, плоский диск и точка в пространстве эквивалентны – диск можно сжать до точки. Однако сопоставить точки диска с точками точки нельзя. Ведь у диска точек бесконечное количество, а точка – это просто одна точка.



С середины XX века математики пытались выработать альтернативу теории множеств, в которой математикой было бы проще заниматься с точки зрения эквивалентности. В 1945 математики Сэмюель Эйлеберг и Сондерс Маклейн ввели новый фундаментальный объект со встроенной эквивалентностью. Они назвали его категорией.

Категорию можно наполнить чем угодно. Можно взять категорию млекопитающих, куда будут входить все волосатые теплокровные создания, вырабатывающие молоко. Или можно создавать категории математических объектов: множеств, геометрических фигур или числовых систем.

Категория – это множество с дополнительными метаданными: описанием всех способов сопоставления одного объекта другому, куда включено описание всех признаков, по которым два объекта могут считаться эквивалентными. Категории также можно представить себе в виде геометрических объектов, в которых каждый элемент категории представлен точкой.

Представьте, к примеру, поверхность шара. Каждая точка на этой поверхности может обозначать свой тип треугольников. Пути между точками выражают отношение эквивалентности между объектами. С точки зрения теории категорий мы забываем конкретный способ описания объекта и вместо этого концентрируемся на том, какое место занимает объект по отношению ко всем остальным объектам этого типа.


Каждая точка на поверхности соответствует определённому типу треугольников

«Мы относимся ко многим вещам, как к вещам, хотя реально они представляют собой взаимоотношение между вещами, — сказала Захаревич. – Фраза „мой муж“ обозначает нечто, что мы считаем объектом, но об этом можно думать и как о взаимоотношении. Определённая его часть определяется взаимоотношением со мной».

Версия категорий от Эйленберга и Маклейна хорошо подходила для работы с сильными вариантами эквивалентности. Но во второй половине XX века математики всё чаще использовали более слабые формы эквивалентности, такие, как гомотопия. «Математика становится более тонкой, и неизбежно у нас появляется стремление к более тонким идеям об обычных вещах», — сказала Эмили Рил, математик из Университета Джонса Хопкинса. У этих, более тонких вариантов эквивалентности, количество информации о взаимоотношениях двух объектов резко возрастает. Рудиментарные категории Эйленберга и Маклейна не были предназначены для такого.

Чтобы увидеть увеличение количества информации, сначала вспомните нашу сферу, обозначающую разные треугольники. Два треугольника гомотопно эквивалентны, если один можно превратить в другой растягиванием или иной деформацией. Две точки на поверхности гомотопно эквивалентны, если существует связывающий их путь. Изучая гомотопные пути между точками поверхности, на самом деле вы изучаете разные способы, которыми треугольники, обозначаемые этими точками, связаны друг с другом.



Однако недостаточно заявить, что две точки соединены многими равнозначными путями. Необходимо задуматься также и об эквивалентности всех этих путей. Поэтому кроме вопроса об эквивалентности точек, теперь вы задаёте вопрос об эквивалентности двух путей, начинающихся и заканчивающихся в одних и тех же точках – и есть ли путь, соединяющий эти пути. Этот путь, соединяющий пути, принимает форму диска, границей которого служат два этих пути.



Можно развивать эту идею и дальше. Два диска эквивалентны, если их соединяет путь – и этот путь примет форму трехмерного объекта. Такие трёхмерные объекты могут и сами быть соединены четырёхмерными путями (у пути между двумя объектами всегда на одно измерение больше, чем у самих объектов).

В итоге вы строите бесконечную башню эквивалентности между эквивалентностями. Рассуждая обо всей доктрине целиком, вы порождаете общий взгляд на все объекты, которые вы обозначили точками на сфере.

«Это всего лишь сфера, но оказывается, что для того, чтобы понять форму сферы, нужно в каком-то смысле уйти в бесконечность», — сказал Дэвид Бен-Зви из Техасского университета в Остине.

В последние десятилетия XX века многие математики работали над теорией «категорий бесконечностей» – над тем, что способно отслеживать бесконечную башню эквивалентностей между эквивалентностями. Некоторые из них достигли серьёзного успеха. Но лишь один дошёл до конца.

Переписывая математику


Первая работа Джейкоба Лурье по категориям бесконечности вышла не очень удачной. 5 июня 2003 года 25-летний учёный опубликовал 60-страничный документ под названием "О топосах бесконечности" на сайте научных препринтов arxiv.org. Там он начал делать черновые наброски правил, по которым математики могли бы работать с категориями бесконечности.

Первую работу не все восприняли одинаково. Вскоре после прочтения Питер Мэй, математик из Чикагского университета, написал научному руководителю Лурье, Майклу Хопкинсу, что хотя в работе Лурье и содержатся интересные идеи, она выглядит недоделанной и требует более дисциплинированного подхода.

«Я объяснил наши замечания Майку, а он передал их Джейкобу», — сказал Мэй.

Остаётся неизвестным, воспринял ли Лурье письмо Мэя как вызов, или он уже запланировал свой следующий шаг (Лурье отклонил многочисленные просьбы об интервью). Ясно, что после получения критических замечаний Лурье ударился в многолетний период продуктивности, ставший впоследствии легендарным.

«Я не могу влезть в мозг Джейкоба, и поэтому не знаю точно, о чём он тогда думал, — сказал Мэй. – Но между черновиком, на который мы делали отзыв, и окончательными версиями, которые находятся уже совершенно на другом математическом уровне, существует огромная разница».

В 2006 году Лурье выложил на arxiv.org черновик «Теории высшего топоса». В этой монументальной работе он создал аппарат, необходимый для замены теории множеств новой базой для математики, основанной на категориях бесконечности. «Он создал буквально тысячи страниц этого основополагающего аппарата, который теперь используем все мы», — сказал Чарльз Резк, математик из Иллинойского университета в Урбана-Шэмпейн, проводивший важную работу на раннем этапе разработки категорий бесконечности. «Не могу представить, как можно создать такую работу, как ’Теория высшего топоса’, за всю жизнь – а он создал её за два-три года».

Затем в 2011 году Лурье выдал очередную, ещё более длинную работу. В ней он переизобрёл алгебру.

Алгебра даёт нам прекрасный набор формальных правил манипулирования уравнениями. Математики постоянно используют эти правила для доказательства теорем. Однако алгебра занимается гимнастикой на неподвижных брусьях знака равенства. Уберите эти брусья, заменив их более эфемерной концепцией эквивалентности, и некоторые операции резко усложнятся.

Возьмём одно из первых правил алгебры, которому дети учатся в школе: ассоциативность. Сумма или произведение трёх или более чисел не зависят от их группировки: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4.

Легко доказать свойство ассоциативности для списка из трёх и более чисел, если вы работаете с равенством. Это сложно, когда вы работаете даже с понятием сильной эквивалентности. Но когда вы переходите на более тонкие варианты эквивалентности, с их бесконечными башнями путей, соединяющих пути, даже простое правило, подобное ассоциативности, превращается в тёмный лес.


В алгебре ассоциативность утверждает, что (a × b) × c = a × (b × c). Но с применением эквивалентности ассоциативность сама по себе уже не гарантирует, что любая группировка элементов даст один и тот же результат умножения. Этот ассоциаэдр содержит записи эквивалентностей группировок. Каждая вершина соответствует группировке. Рёбра и грани объединяют группировки, ассоциативно эквивалентные друг другу

«Это чрезвычайно усложняет проблему, из-за чего кажется, что с этой новой версией математики работать невозможно», — сказал Дэвид Айла, математик из Университета штата Монтана.

В «Высшей алгебре», последняя версия которой простирается на 1553 страницы, Лурье разработал вариант ассоциативности для категорий бесконечности – а также множество других алгебраических теорем, которые все вместе образуют основу математики эквивалентностей.

Эти две книжки произвели эффект разорвавшейся бомбы; такие работы порождают научную революцию. «Масштаб был чрезвычайным, — сказала Рил. – Это было достижения уровня Гротендика в алгебраической геометрии».

Однако на революции нужно время, и, как обнаружили математики после выхода книг Лурье, эти годы могут быть хаотичными.

Переварить корову


Математики считаются людьми с однозначным мышлением: доказательство либо верное, либо нет; идея либо работает, либо нет. Однако математики являются ещё и обычными людьми, и они реагируют на новые идеи точно так же, как обычные люди: субъективно, эмоционально, имея личные мотивы.

«Думаю, что о математиках написано много текстов в таком тоне, что они ищут сверкающую кристально чистую правду, — сказал Кэмпбел. – Но всё происходит не так. Это люди с собственными вкусами, зонами комфорта, и они могут отрицать не нравящиеся им вещи по эстетическим или личным причинам».

В этом отношении работа Лурье стала сложным вызовом сообществу. По сути, она была провокационной: вот новый и лучший способ заниматься математикой. Это послание было адресовано особенно математикам, всю свою карьеру разрабатывавшим методы, которые превзошёл Лурье.

«Людям не всегда нравится видеть, как следующее поколение переписывает их работу, и этот процесс порождает напряжение, — сказал Фрэнсис. – Это одна из особенностей теории категорий бесконечности – большая часть предыдущих работ переписывается».

Работу Лурье было трудно переварить и по другим причинам. Объёмы материалов означали, что математикам придётся потратить годы на чтение его книг. Это практически невозможно требовать от занятых математиков, находящихся в середине карьеры, а для аспирантов, у которых есть всего несколько лет для того, чтобы выдать результат, позволяющий найти себе работу, это очень рискованно.

Также работа Лурье была очень абстрактной, даже по сравнению с чрезвычайно абстрактной природой всего, что изучает передовая математика. Да и по вкусу она пришлась не всем. «Многие люди считали работу Лурье абстрактной белибердой, а многие просто влюбились в неё, — сказал Кэмпбелл. – Были и промежуточные варианты, включая и тех, кто её вообще не понял».


Эмили Рил

Научное сообщество постоянно воспринимает новые идеи, но обычно это происходит медленно и с ощущением того, что все движутся одновременно. Появление новых идей порождает трудности для интеллектуального аппарата сообщества. «Очень много всего нового появляется сразу – это похоже на то, как удав пытается переварить корову, — сказал Кэмпбелл. – Через сообщество проходит огромная масса».

Если вы – математик, посчитавший, что подход Лурье является лучшим способом заниматься математикой, то ваш путь вперёд будет одиноким. Мало кто читал работы Лурье, не было никаких учебников, пересказывающих их вкратце, и никаких семинаров, помогающих вам сориентироваться. «Способ изучить всё это очень подробно было только один – сесть и самостоятельно всё сделать, — сказал Питер Гейне, аспирант MIT, потративший год на чтение работы Лурье. – Думаю, это самое сложное. Не просто сесть, и самому во всём разобраться – а именно сесть и самому прочитать 800 страниц Теории высшего топоса».

Как и многим новым изобретениям, Теория высшего топоса требует от математиков активного взаимодействия с аппаратом, который позволяет ей работать. Это как заставлять каждого 16-летнего пацана, мечтающего о водительском удостоверении, сначала научиться перебирать двигатель. «Если бы существовала более дружелюбная версия всего этого, то теория сразу же стала бы доступнее для более широких математических кругов», — сказал Деннис Гейтсгори, математик из Гарварда, работавший совместно с Лурье.

Когда люди начали читать работу Лурье и использовать категории бесконечности в своих исследованиях, появились и другие проблемы. Математики строили свои работы на базе категорий бесконечности. Рецензенты из журналов получали эти работы и спрашивали: что это такое?

«Появилась ситуация, в которой работы либо возвращались из журналов обратно с абсурдными рецензиями, из которых было видно полное отсутствие понимания, или на их публикацию уходило по нескольку лет, — сказал Барвик. – Это может доставить много неудобств, поскольку неопубликованная работа, которая лежит у вас на сайте годами, выглядит всё более нелепо».

Однако самой большой проблемой были не неопубликованные работы, а работы, использовавшие категории бесконечности, и опубликованные – но содержавшие ошибки.

Книги Лурье являются единственным авторитетным источником сведений по категориям бесконечности. Они строгие, но их тяжело осознать полностью. И они особенно плохо подходят на роль инструкций, на которые можно было бы ссылаться – сложно искать определённые теоремы, или проверить, что определённое применение категорий бесконечности, встречающееся в чьей-то работе, реально работает.

«Большинство работающих в этой области математиков не читали Лурье систематически, — сказал Андре Жояль, математик из Квебекского университета в Монреале, чья ранняя работа была ключевым ингредиентом книг Лурье. – На это требуется много времени и энергии, поэтому мы просто предполагаем, что всё, что написано в его книгах, верно – потому, что почти каждый раз, когда мы что-нибудь проверяем, оно оказывается верным. На самом деле, каждый раз».

Недоступность книг Лурье привело к появлению неточностей в некоторых из последовавших за ними исследованиях. Книги Лурье сложно читать, сложно цитировать, и сложно использовать для проверки чужих работ.

«Общая литература по теме категорий бесконечности кажется неряшливой», — сказала Захаревич.

Несмотря на весь свой формализм, математика не должна быть сакральным текстом, читать который могут только священники. В этой области требуются не только толстые тома, но и буклеты, не только изначальные откровения, но и интерпретирующие их описания. А пока что теория категорий бесконечностей существует, по большей части, в виде нескольких крупных книг на полке.

«Можно принять подход ’Джейкоб расскажет, что делать, и всё в порядке’, — сказал Резк. – Или можно решить, что ’Мы не знаем, как достаточно хорошо представить нашу тему, чтобы люди смогли ей пользоваться’».

Однако немногие математики смогли принять вызов и сделать категории бесконечностей технологией, которой могли бы пользоваться больше людей из их области исследований.

Дружественная для пользователей теория


Чтобы перевести категории бесконечностей в объект, способный на реальную математическую работу, Лурье пришлось доказывать связанные с ними теоремы. А для этого ему пришлось выбрать ландшафт, на котором можно было бы создавать эти доказательства – так же, как человеку, занимающемуся геометрией, необходимо выбрать для работы систему координат. Математики называют это выбором модели.

Лурье разработал категории бесконечностей на модели квазикатегорий. Другие математики до него разрабатывали категории бесконечностей на других моделях. И хотя их работы были не настолько всеобъемлющими, как у Лурье, в некоторых ситуациях с ними проще иметь дело. «Джейкоб выбрал модель и проверил, что в ней всё работает, но часто она оказывается не самой лёгкой», — сказала Захаревич.

В геометрии математики чётко понимают, как переходить между разными координатными системами. Также они доказали, что теоремы, доказанные в одних условиях, работают и в других.

Для категорий бесконечностей таких гарантий не существует. Однако когда математики пишут работы с использованием категорий бесконечностей, они часто легко переходят между моделями, предполагая (но не доказывая) переносимость результатов. «Люди не уточняют, что делают, переключаются между всеми этими различными моделями, и говорят: А, это одно и то же, — сказал Гейне. – Но это не доказательство».

За последние шесть лет пара математиков пыталась получить эти гарантии. Рил и Доминик Верити из Университета Макуэйра в Австралии, разрабатывали способ описать категории бесконечностей, преодолевающий трудности, появившиеся в предыдущих платформах, использующих те или иные модели. Их работа, основанная на предыдущих трудах Барвика и других, доказала, что многие из теорем «Теории высшего топоса» остаются верными вне зависимости от используемой модели. И доказывают они эту совместимость подходящим образом: «Мы изучаем категории бесконечности, объектами которых служат сами же категории бесконечностей, — сказала Рил. – Теория категорий кусает себя за хвост».

Рил и Верити надеются развивать теорию категорий бесконечностей и ещё одним способом. Они выбирают аспекты теории, работающие вне зависимости от модели. У такой презентации, не зависящей от модели, есть удобное качество мгновенной применимости, которая, как они надеются, привлечёт в эту область исследований математиков, державшихся от неё подальше, когда единственным входом была «Теория высшего топоса».

«Чтобы попасть в этот мир, нужно преодолеть ров, — сказал Хопкинс. – И они занимаются тем, что опускают мост».

Рил и Верити планируют закончить работу в следующем году. Тем временем Лурье недавно начал работу над проектом Kerodon, который он запланировал превратить в нечто вроде справочника по теории высшей категории, похожего на Википедию. Через тринадцать лет после того, как «Теория высшего топоса» формализовала математику эквивалентностей, эти инициативы пытаются уточнить и распространить эти идеи – чтобы сделать математику эквивалентностей более доступной.

«У гениальности важная роль в разработке математики, но само знание является результатом работы всего сообщества, — сказал Жояль. – Реальная цель знания – стать знанием всего сообщества, а не принадлежать одному-двум людям».
Поддержать автора
Поделиться публикацией
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама

Комментарии 119

    +10
    ГЫ Сейчас попытаюсь кратко объяснить, о чём тут речь. Вместо равенства двух чего-нибудь
    A=B
    желательно говорить об их изоморфизме. Например, вместо равенства (точного совпадения) двух геометрических фигур A и B обычно важна их конгруэнтность. А изоморфизм — это наличие двух функций
    f: A -> B
    g: B -> A
    взаимно обратных друг к другу
    fg = id
    gf = id
    Таким образом, мы всё равно выписали два равенства, но теперь это равенства стрелок. Мы заменили равенство объектов A и B на два равенства между стрелками. Дальше, в некоторых разделах математики бывают ситуации, когда между объектами есть стрелки, между стрелками есть «стрелки второго порядка», между ними есть «стрелки третьего порядка» и так далее. Например, если кто знаком с теорией категорий, там между категориями есть функторы, а между функторами естественные преобразования (уже три этажа). В некоторых случаях можно городить этаж за этажом до бесконечности. И вот идея — вместо равенства стрелок
    fg = id
    gf = id
    рассматривать их «изоморфизм второго порядка». И вообще от любого равенства избавиться на всех этажах. Вот этим и занимается Лурье. Но с некоторых пор группа людей, именующих себя «свидетели Воеводского», а свою науку «основаниями математики 21-го века», пытается убедить, что это всё зачем-то нужно программистам. Не верьте им, не отдавайте им свои денежки.
      +2
      Но с некоторых пор группа людей, именующих себя «свидетели Воеводского», а свою науку «основаниями математики 21-го века», пытается убедить, что это всё зачем-то нужно программистам. Не верьте им, не отдавайте им свои денежки.

      Нужно-нужно, начиная от setoid equality и заканчивая рассуждениями о коданных.

        0
        Всё жду практический пример применения теории категорий в разработке. Ну вот когда она действительно помогает архитектуру построить или код написать. И никак не дождусь.

        Все говорят что нужно, а примеров нормальных нет.
          –1

          Мне недостаточное знание теорката не позволило обобщить в должной мере один паттерн, например.


          Монады всякие те же из теории категорий взяли.


          Или вот, прям первый абзац:


          One of the fun things about category theory is that once you’ve learned an idea in one context it’s easy to apply it to another one. Of the numerous categories available to Haskell programmers, Hask, the category of Haskell types and functions, gets the lion’s share of the attention. Working with standard abstractions in more overlooked categories is a great way to reuse ideas: it makes you look clever, like you’ve invented something new, but actually all you’ve done is put the building blocks together differently. I won’t tell if you don’t.



          Every now and then I’ll see a question on Stack Overflow or Reddit in which a programmer is trying to work with a bunch of record types which share a similar structure. For a contrived example, in a shopping system you may want to differentiate between completed checkout forms, which are ready to be dispatched, and “draft” checkout forms, which the user is currently filling in.
            0
            Мне недостаточное знание теорката не позволило обобщить в должной мере один паттерн, например.

            Можно подробнее?

            Монады вроде и без теории категоий понять можно.
              0
              Можно подробнее?

              Как раз уже почти дописал статью на тему, опубликую — приведу здесь ссылку.


              Монады вроде и без теории категоий понять можно.

              Понять можно, а придумать уже сложнее.

                +1
                Идеи таких штук как Maybe и сравнимых с ними по сложности лежит на поверхности. Особенно студентам, которые в какой-то момент начинают паранаидально пытаться избавиться от лишних ветвлений и вложенностей.
                  –1

                  Это частные случаи. Правильно обобщить, сформулировать правильные законы и построить правильную иерархию Functor/Applicative/Traversable (я уж не говорю о вещах типа этой) на примере Maybe уже чуть сложнее. Или там, не знаю, почему Validation — не монада, хотя вроде выглядит почти как Either.

                    +1
                    Или там, не знаю, почему Validation — не монада, хотя вроде выглядит почти как Either.

                    Это как раз проще объяснить без теории категорий.


                    Идея Validation заключается в том, чтобы собрать все ошибки, а не только первую. А потому, при вызове Failure foo >> Failure bar мы обязаны вернуть Failure (foo <> bar), иначе это неполная валидация. Но мы этого сделать не можем, потому это выражение раскрывается в Failure foo >>= (\x -> Failure bar), а у нас нет значения для x и "вытащить" bar из лямбды мы не в состоянии.

                      0
                      А потому, при вызове Failure foo >> Failure bar мы обязаны вернуть Failure (foo <> bar), иначе это неполная валидация.

                      Почему? Для тех случаев, когда есть зависимости по данным, меня бы вполне могло бы устроить частичное валидирование.


                      Но мы этого сделать не можем, потому это выражение раскрывается в Failure foo >>= (\x -> Failure bar)

                      С ApplicativeDo это раскроется в аппликативные методы, кстати.


                      Но в любом случае вы x справа не используете, так что передавайте bottom. Или докажите, что так нельзя ;)

                        +1
                        Почему? Для тех случаев, когда есть зависимости по данным, меня бы вполне могло бы устроить частичное валидирование.

                        Но монада устроена так, что не позволяет разделить ситуации "есть зависимости по данным" и "нет зависимостей по данным".


                        Но в любом случае вы x справа не используете, так что передавайте bottom. Или докажите, что так нельзя ;)

                        Это костыль, а не нормальное решение.

                          –1
                          Но монада устроена так, что не позволяет разделить ситуации "есть зависимости по данным" и "нет зависимостей по данным".

                          Вам никто не мешает в хаскеле написать аппликативный инстанс, который будет аккумулировать ошибки, и монадический инстанс, который будет вести себя как Either. И попросить пользователей включать ApplicativeDo, да.


                          Для того, чтобы понять, почему так делать — плохая идея, придётся изобретать монадические законы.

                            +1

                            Это нарушит описанные в документации инварианты.

                              0

                              Вы о документации на класс Monad или на ваш validation?

                                +1

                                О первой, естественно.

                                  0

                                  Ну QED тогда ведь.

                        +2
                        >> Это как раз проще объяснить без теории категорий.

                        В Haskell Report (типа спецификации на Haskel, если её вообще можно назвать спецификацией) авторы прямо говорят — не надо вам теорию категорий. Все названия, заимствованные оттуда, вам будет проще банально запомнить и не лазить в теоркат.

                        Реальной пользы от теорката пока никто и нигде не видел. Может когда-нибудь, лет через 100, что-то и проклюнется, но если вам важно решать текущие задачи — не надо углубляться в теоркат, это отнимет много времени и не принесёт заметной пользы. Но если у вас много свободного времени, тогда можно ради любопытства попробовать осилить смысл теорката. Только предупреждаю — это очень абстрактная математика, а смысл теории без практических применений понять гораздо сложнее, нежели всю ту математику, которую используют в инженерных дисциплинах. Разве что вы сможете понимать язык в публикациях на около-теоркатные темы, вот и весь профит.
                          +1
                          В Haskell Report (типа спецификации на Haskel, если её вообще можно назвать спецификацией) авторы прямо говорят — не надо вам теорию категорий.

                          Блин, а в прошлый раз вы мне доказывали, что без теорката и лямбда-исчисления в хаскеле никуда.


                          Но да, вы правы. Чтобы пользоваться этим, никакой теоркат не нужен совсем, и про это сразу выше сказано.


                          Реальной пользы от теорката пока никто и нигде не видел.

                          Вы не видели — никто не видел, ок.

                            +1
                            >> Блин, а в прошлый раз вы…

                            В прошлый раз был именно прошлый раз. Там тема была другая — что нужно знать для хорошего понимания функциональщины. Так вот для хорошего понимания нужно, очевидно, понимать, зачем все эти теоркатные названия присутствуют в хаскеле. Просто для устранения ситуации, когда в инструменте остаётся что-то непонятное. Но когда ситуация улучшается и в инструменте становится всё понятно, всё равно пользы от теорката не видно. Вот в чём «скромная проблема» абстрактной математики.

                            Называть же пользой теорката просто получение понимания, зачем авторы хаскеля использовали все эти теоркатные названия, я бы никогда не стал. Авторы могли бы использовать название «брейнфак» и другие «факи», и тогда тоже возник бы вопрос — а почему такие названия используются? Может в этом что-то есть? И да, после подробного изучения темы «факов» (удивительно!) обнаружилось бы то же самое — нет в этом пользы.

                            Вот ещё модно называть данные «алгебраическим», хотя всем ясно, что зачем-то так назвали самые обычные структуры данных, не являющиеся примитивными. Но внимание, вопрос — а почему операторы сложения и умножения не захотелось назвать алгебраическими? Это же такое адское упущение! Нужно срочно переписать руководства ко всем языкам программирования! Ведь плюс с минусом явно ближе к алгебре, чем структуры данных.
                              –1
                              ак вот для хорошего понимания нужно, очевидно, понимать, зачем все эти теоркатные названия присутствуют в хаскеле. Просто для устранения ситуации, когда в инструменте остаётся что-то непонятное. Но когда ситуация улучшается и в инструменте становится всё понятно, всё равно пользы от теорката не видно. Вот в чём «скромная проблема» абстрактной математики.

                              Ну вот, вы даже не замечаете (или делаете вид, что не замечаете), что говорите о понимании уже придуманного (где теоркат действительно не нужен), тогда как речь о придумывании этого всего.


                              Вот ещё модно называть данные «алгебраическим»

                              Не данные, а типы.


                              Но внимание, вопрос — а почему операторы сложения и умножения не захотелось назвать алгебраическими? Это же такое адское упущение!

                              Ничего, исправлено. Особенно там ближе к концу, где numeric hierarchy.

                                +1
                                >> говорите о понимании уже придуманного (где теоркат действительно не нужен), тогда как речь о придумывании этого всего

                                Так началось всё именно с вопроса — зачем придумано.

                                Я не исключаю, что где-то в дебрях математики есть области, понимание которых слегка упростится в следствии принятия подхода на основе категорий, но я в таких местах пока что не бывал, а в более прозрачных местах пользы от теорката не встречал. Собственно и обсуждаемая статья (со слов математиков) повторяет эти выводы — вроде как что-то где-то можно как-то переосмыслить, но пока никто толком ничего не переосмыслил.

                                >> Ничего, исправлено.

                                Сложные иерархии в программировании не приживаются — узкая специализация получается, плюс много времени на решение простейших задач тратится.

                                Хотя, опять же, может где-то в математике и будет применим подобный пересмотр концепций.

                                Но с другой стороны, математические законы давно пытаются изложить на языке систем автоматического вывода, и там одной только сложной иерархии типов совершенно недостаточно. Поэтому опять получается, что красивая с точки зрения математики иерархия может так и остаться совершенно бесполезной.

                                В общем — развивать хаскель в сторону от универсальности — плохая идея. Он и так довольно специфичен, а тут ещё и максимум усилий прилагают, что бы никто кроме математиков не понимал, зачем всё это надо.
                                  –1
                                  Я не исключаю, что где-то в дебрях математики есть области, понимание которых слегка упростится в следствии принятия подхода на основе категорий, но я в таких местах пока что не бывал, а в более прозрачных местах пользы от теорката не встречал.

                                  Согласен, чтобы подсчитать сдачу в магазине (или даже вероятность вытащить столько-то белых шаров), теоркат не нужен.


                                  Сложные иерархии в программировании не приживаются — узкая специализация получается, плюс много времени на решение простейших задач тратится.

                                  Почему времени-то много?


                                  С более специализированной идрисовской иерархией численных типов работать чуть приятнее, чем с кривоватой хаскелевской из стандартной prelude.


                                  Да и вообще движение идёт в сторону специализации. Applicative/monad proposal, semigroup/monoid proposal, вон ещё вроде что-то распиливать собираются.


                                  В общем — развивать хаскель в сторону от универсальности — плохая идея.

                                  Почему в сторону от? Наоборот, в сторону больше универсальности и применимости. Чем более гранулярная у вас иерархия, тем больше концепций вы можете выразить.

                  0

                  А линзы?

                    0
                    Загуглил, до этого не знал что отдельный термин для такой штуки есть.

                    Если я правильно понял, то, например, по схожим принципам работает память при форке в линуксе. Называется копирование при записи.

                    Идея что часть данных можно вынести в фасад/декоратор, оставив остальные данные в главном объекте не нова.

                    Система прототипов в JavaScript аналогично работает, только там они изменяемые.

                    И нигде не упоминается функциональщина :-)
                      +1

                      Что-то не то вы загуглили. Линза это такое совмещение геттера с сеттером, поддерживающее композицию.

                0

                https://habr.com/ru/post/469441/


                Правда, там далеко не очевидно причём там вообще теория категорий...

              0
              Вместо равенства двух чего-нибудь A=B желательно говорить об их изоморфизме.
              См. Изоморфизм
              Там:
              Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή — «форма») — это очень общее понятие, которое определяется по-разному в различных разделах математики.
              Так что лучше так не говорить.
                –1
                Тут упоминается не просто «изоморфизм» и изоморфизм из Топологии. Изоморфизм имеет направление. Т.е. из А можно сделать B, а из В сделать А — нет. Если изоморфизм «в обе стороны» то это гомоморфизм. Собственно, аналог равенства.
                  0

                  Нет, у изоморфизма нет направления.

                    0
                    Я некорректно выразился, но Вы ошиблись.

                    У изоморфизма есть направление, поскольку изоморфизм — это отображение одного топологического множества в другое, удовлетворяющее некоторым условиям. Так что направление присутствует.
                    Моя некорректность заключается в том, что надо говорить, что А изоморфно В, что подразумевает, что существует изоморфизм А в В.

                      0

                      Я написал "нет направления" в том смысле, что любой изоморфизм всегда можно обратить и получить обратный изоморфизм. Изоморфизм — это же просто биекция с определенными свойствами.


                      Т.е. ситуация "из А можно сделать B, а из В сделать А — нет" невозможна.

                0
                Есть общее теоретико-категорное определение (наличие двух «правильных» отображений, взаимно обратных). Что такое «правильное» отображение, определяется по-разному в разных разделах математики, но есть простые общие свойства (вроде ассоциативности композиции), которые теория категорий берёт за аксиомы.
              0
              Треугольники на сфере можно изобразить большим углом от 90 градусов до 180 и меньшим от 0 до 90? Это значит будет только четверть «северного» или «южного» полушария?
                +8

                Не понимаю проблему вообще. В математике ведь нет абсолютных понятий равенства или эквивалентности объектов. Каждая теория/раздел работают с определенными объектами, либо рассматривают объекты с какой-то отличной от других теорий точек зрения и термины равенства и эквивалентности для конкретных объектов определяются независимо от других теорий.

                  +1
                  Альберт Эйнштейн однажды сказал: «Положения математики в той мере, в какой они описывают реальность, небесспорны; в той мере, в какой они бесспорны, они не описывают реальность». Тед Чан, «Деление на ноль» — короткий рассказ, кмк весьма в тему.
                    –4
                    А еще он сказал что «Бог не играет в кости» и оказался не прав. Не буду говорить что ваша цитата непреминима/неправдива, но прибегать к авторитету тоже не стоит :)
                      +1
                      Цитата приведена в упомянутой книге Теда Чана «Деление на ноль», которую, собственно, я и рекламировал. Она вот прямо в тему.
                        –1

                        Ну так математика и не про описание [физической] реальности.

                          +1
                          А про что она?
                            +2

                            Про игры с придуманными закорючками по придуманным правилам.


                            Просто иногда оказывается, что у части закорючек есть хорошая физическая интерпретация.

                              0
                              Правильней — не только про описание [физической] реальности.
                                +1
                                Математика — про закономерности. А про закорючки — это к тем, кто считает себя математиком, но на самом деле математиком не является.
                                  +1

                                  Вы, похоже, математику с физикой спутали.

                                0
                                Про игры с придуманными закорючками по придуманным правилам.

                                Просто иногда оказывается, что у части закорючек есть хорошая физическая интерпретация.
                                Сейчас когнитивные нейрофизиологи с помощью новых методов нейровизуализации плодотворно исследуют происхождение математических способностей, и собственно самой математики. Достаточно надежно установлено, что основой, и того, и другого, является чувство численности, кот. присуще уже животным, и новорожденным детям. В последних исследованиях это подтвердилось с помощью нейросетевого моделирования чувства численности сверточными сетями глубокого обучения, со структурой сети подобной структуре нейронных сетей (проективной коры) зрительной системы, см. это исследование, и др. независимое исследование здесь. Вполне тянет на нейронный коррелят представления множеств в мозге, и может служить своеобразным нейрокогнитивным аргументом в пользу множественного обоснования математики, и априорной природы происхождения математических понятий. Нейронные корреляты абстрактных математических понятий находятся в вышележащих (ассоциативных) отделах мозга, являясь неоднократными обобщениями эти базовых, сенсорных представлений, в том числе, это относится и к отношению эквивалентности, как обобщению отношения равенства. То есть нельзя утверждать, что математика сплошной креатив свободомыслия математиков) смысл и пользу математическое знание приобретает также, как и любое другое знание, когда в некотором приближении моделирует реальность, и проверяется практикой применения. А за пределами этого, да, только требованиями непротиворечивости оперирования этими закорючками.
                                  +2

                                  Ну так за пределами арифметики тоже есть пара разделов :)


                                  Конечно, математика началась из врождённого счёта и врождённых представлений о логике (которые, впрочем, иногда оказываются бессмысленными — аксиома исключённого третьего, например).


                                  смысл и пользу математическое знание приобретает также, как и любое другое знание, когда в некотором приближении моделирует реальность

                                  Математическую, да. Непротиворечиво и всё такое.


                                  проверяется практикой применения

                                  Математика не проверяется практикой применения [к реальному миру].

                                    0
                                    Ну так за пределами арифметики тоже есть пара разделов
                                    С геометрией еще проще, ее нейрофизиологические основы были установили уже давно. В зрительной системе имеются нейроны-детекторы линий, плоскостей (поверхностей), движения, наклонов (поворотов) и тд., как прототипов геометрических примитивов и операций. Это еще более низкий уровень, чем чувство численности — основы счета. Нейросетевое моделирование подтверждает выделение подобных примитивов. Сложнее с формальной логикой, поскольку она связана с высшими психическими функциями — мышлением и языком. А мышление, как известно, имеется не только абстрактное, но и образное, кот. присуще уже животным и детям, и широкое изучение кот. началось недавно, как пример, эта публикация известного нейрофизиолога Иваницкого. Но и с логикой имеются продвижки, в части представления информации, вот свежий обзор представления концептов в мозге. В этой работе исследовались взаимосвязи физических концептов в процессе обучения. В работе интересные результаты декомпозиции физических понятий. Возможно, если подтвердится, можно будет переписать (точнее переструктуировать) физику, получив знания непосредственно из самого «черного ящика» мозга, так сказать:) минуя прокрустово ложе фазы их логического представления и вербализации. Однако современный уровень исследований еще далек от понимания творческого процесса, инсайта, и того, как его результат облекается в логические формы. Есть, например, работы связанные с исследованием нейронных коррелятов понимания при чтении и составлении предложений, контекста понимания, и тд. Можно даже объективно оценивать знания студентов используя нейровизуалицию и выставлять «нейронную оценку» уровня усвоения ими материала во время тестов, дискриминируя случаи зазубрил-непонимает, от понимает, но не выспался, например, и местами несет не то) Моделирование ИНСами проникает и в эту область. В отличие от проективных зон коры ассоциативные имею более сложную структуру, поэтому результаты пока скромнее, как пример, моделирование некоторых физических концептов.

                                    Что можно сказать об основаниях математики исходя из современного уровня нейрофизиологических знаний в этой области? Самым элементарным уровнем являются геометрические примитивы, на более высоком уровне чувство численности, как основы счета, логика живого языка вообще не вписывается в математические представления, только в виде некого эрзаца — формальной логики, аристотелева уровня «Топики» некоторый промежуточный уровень. Если бы Рассел и Уайтхед в свое время знали про эти когнитивные уровни и коннективности в мозге, то, вероятно, поняли, что методами формальной логики нельзя обосновать математику полностью, и возможно не написали свои эпохальные Приципии. Вообще, несколькими фразами эту ситуацию трудно описать, недавно в одной из тем писал более развернутый комент на близкую тему соотношения формального-неформального в процессе познания, см. если интересно. Остается геометрия и арифметика. Нетрудно видеть, что примитивы, и той, и другой являются наиболее простыми выделенными признаками целостных объектов, как результат обучения нейросетей с определенной структурой, как биологических, так и моделирующих их ИНС. В этом кроется причина универсальности и «необъяснимой» эффективности математического описания, а также надежд на математику, как источника междисциплинарного синтеза знаний (вместо все менее оправдывающего себя общефилосовского анализа). Конечно в природе можно найти примеры почти идеального проявления этих примитивов, которые поддерживают иллюзию их самостоятельного существования в реальности, например, правильные грани и плоскости кристаллов, или задача сравнения и выбора из наборов однотипных объектов, часто важной с точки зрения выживания индивида или группы. Однако существуют только целостные объекты, являющиеся предметом изучения различных наук, в первую очередь естественных, а математические примитивы и построенная на них математика существует только в головах людей, точнее в обученных нейросетях мозга, и созданных людьми носителях информации разных коммуникативных форм общения, как естественных, так и технических. Хотя математика традиционно определяется как наука, когда речь идет о математических структурах и операциях над ними, по своей сути она больше методология, метод исследования, кот. предоставляется другим наукам, исследующим предметы и явления в своих областях приложения, включая самой математике. Но в отличии от философской методологии делающей упор на обобщение целостных объектов и явлений, математический метод направлен на обобщение и формализацию описания составляющих их признаков. Как установила когнитивная нейрофизиология признаки отображаются в виде топографических карт нейронной активности, такой, как карта нейронов чувствительных к числу объектов в сценах (см. 1, 2), и на уровне субъекта проявляют себя, как субъективные состояния (ощущения) подчиняющиеся психофизическому закону Вебера-Фехнера (для численности), становясь частью восприятия индивида и его сознания. С этой точки зрения наиболее общей математической структурой, и соответственно базой для обоснования математики, будет не теоретико-множественная структура и подход, как самое высокое обобщение чувства численности, а самое высокое обобщение геометрических примитивов и операций, и соответственно геометрический подход к обоснованию математики. Естественно, не имеется в виду сама геометрия Евклида, а геометрическая интерпретация в духе геометрии Евклида некоторой обобщенной структуры. Идея не новая, неоднократно востребовылась в разных вариантах. В этом отношении во многом согласен с тем (но не со всеми его утверждениями), что пишет о поиске оснований математики и физики Андрей Родин, см. 1, 2. :
                                    Цитата из 1, в частности
                                    геометрическая теория Евклида строит свои объекты в явном виде с помощью комбинирования нескольких элементарных операций (“построения циркулем и линейкой”). Аксиоматические теории построенные по рецепту Гильберта устроены в этом отношении иначе: все объекты таких теорий предполагаются заранее существующими — либо как лишенные всяких специальных свойств мысленные вещи, либо как объекты других готовых теорий, используемых для построения моделей формальных аксиоматических теорий. По этой причине Гильберт называет метод Евклида генетическим, а свой метод — экзистенциальным([32], стр. 24.) Единственный тип построений, который не просто допускает, но обязательно предполагает аксиоматический метод Гильберта (в своем строгом варианте) — это символические построения, с помощью которых определяется синтаксис данной формальной теории T и которые затем интерпретируются с помощью логических (для логических символов) и специальных математических (для не логических символов) понятий. Хотя такие символические конструкции тоже могут быть объектами некоторой математической теории; соответствующую теорию Гильберт строго отличает от теории T и называет метатеорией теории T (при этом не требуя того, чтобы метатеория была построена с помощью того же самого экзистенциального аксиоматического метода). Таким образом, у Гильберта так же как и у Евклида построения могут играть роль доказательств, но принципиальная разница между их подходами состоит в том, что если у Евклида эти построения являются объектами той самой теории, в которой проводятся соответствующие доказательства, то у Гильберта эти построения являются объектами метатеории. Именно в этом отношении аксиоматическая теория топосов Лавера следует Евклиду, а не Гильберту. Эта аналогия с традиционной геометрией становится еще более очевидной в аксиоматической теории гомотопии...
                                    Автор рассматривает разные математические теории на роль оснований математики и физики, включая теорию категорий, с учетом геометризации, и анализирует имеющиеся попытки. Основная цель этого поиска — найти математический аппарат, кот. позволил бы успешно решить задачу создания теории кв. гравитации. На мой взгляд геометрического уровня для решений этой задачи будет не достаточно, и нужно опуститься ниже — на квантовый уровень восприятия реальности, но это отдельная тема, как реализовать этот уровень квантовых примитивов. И соответственно создать истинно квантовый математический аппарат описания реальности, а не использовать Гильбертово пространство состояний.
                                    Конечно, математика началась из врождённого счёта и врождённых представлений о логике
                                    О врожденности, в данном случае, можно говорить условно. В геноме человека, ни геометрия, ни арифметика с логикой, и даже элементарный счет, никак не прописаны. В них прописана предрасположенность к ним, программа роста структур нейросетей мозга, при обучении кот. возникают соответствующие способности. При восприятии визуальных сцен (и не только, а и звука, тактильных ощущений) новорожденными детьми возникает чувство численности, на его базе в школах (обычно) обучаются счету и арифметике, и тд. Генетическая предрасположенность гибкая система, результат миллиардолетней эволюции в меняющихся условиях, иногда быстро. Если поместить организм с момента рождения в виртуальную реальность с другими законами, к примеру квантовыми, и снабдить соответствующими сенсорами и нейроинтерфейсами, то благодаря пластичности нейронных сетей, мозг, до какой-то степени адаптируется к новым условиям, и вместо геометрических примитивов и операций макроскопической реальности создаст вероятностные примитивы квантовой, кот. позволят организму действовать в этой реальности также интуитивно, как в норме мы действуем в макромире. Но это можно проделать не только в воображаемой вирт. реальности, но и в реале, направив поток информации непосредственно в мозг с помощью нейроинтерфейсов, непосредственно от квантовых объектов. Нейропластичность мозга позволит сформировать соответствующий новый анализатор по типу анализаторов имеющихся органов чувств.
                                    Математическую, да. Непротиворечиво и всё такое.
                                    Когнитивная нейрофизиология не подтверждает существование такой реальности) Условный мир идей Платона, включая математических, да, в пределах черепных коробок людей, точнее нейросетей их мозга, и на различных носителях информации.
                                    Математика не проверяется практикой применения [к реальному миру]
                                    Когда используется в любой науке и технологии, как метод, тогда и проверяется. Не востребованное канет в лету, если даже не противоречиво. В курсе экзотики типа матвселенных М. Тегмарка) Он вообще молодец, накидал наброски своей Теории Всего, разработал свою интерпретацию КМ, еще много, где отметился. Пора нобелевскому комитету обратить на него внимание, тем более, что он из Швеции. Дело за малым — проверить теории на практике.
                                      0
                                      В этом отношении во многом согласен с тем (но не со всеми его утверждениями), что пишет о поиске оснований математики и физики Андрей Родин

                                      Это либо сильно вырвано из контекста, либо он пишет бред (в лучшем случае из серии «слышал звон»).


                                      Автор рассматривает разные математические теории на роль оснований математики и физики, включая теорию категорий, с учетом геометризации, и анализирует имеющиеся попытки.

                                      Я не понимаю, что такое «с учётом геометризации». А почему не абеленизации?


                                      Основная цель этого поиска — найти математический аппарат, кот. позволил бы успешно решить задачу создания теории кв. гравитации.

                                      А вот это уже попахивает фрикачеством, пардон.


                                      Когнитивная нейрофизиология не подтверждает существование такой реальности)

                                      А от неё этого никто и не ждал, тащем.


                                      Когда используется в любой науке и технологии, как метод, тогда и проверяется. Не востребованное канет в лету, если даже не противоречиво.

                                      Это довольно сильное и не очень обоснованное (и не факт что вообще обосновываемое) утверждение. Есть куча идей там, в основаниях, которые принципиально непроверяемы в этом смысле (проверьте мне аксиому выбора плз в науке и технологии или аксиому К), и никто их выкидывать и забывать не собирается.

                                        –2
                                        Это либо сильно вырвано из контекста, либо он пишет бред
                                        Если вы о цитате, то см. источник, ссылку приводил.
                                        Я не понимаю, что такое «с учётом геометризации». А почему не абеленизации?
                                        Вот как раз его статья об этом, и поиске решения. Добавляю к его аргументам подтверждающие аргументы когнитивной нейрофизиологии и психологии об устройстве восприятия и процесса познания. Особенности зрительного восприятия, установленные еще классической нейрофизиологией, подтверждают такой подход. Все целостное восприятие, а вслед за ним образное и абстрактное мышление (с его логикой) построены на геометрических примитивах и операциях. Как все это упаковать в единую математическую структуру вопрос неоднозначный. В идеале это должна быть самая общая структура. Конечно восприятие формирует не только зрение, но и др. органы чувств, но подавляющий вклад за ним. Дополнительно мы расширяем восприятие с помощью различных приборов, но оно по прежнему, в основном, происходит через зрение.
                                        А вот это уже попахивает фрикачеством, пардон.
                                        Все же загляните в статью про применение теории категорий к решению этой задачи. Правда информация в ней несколько устарела. А так, какие только мат. методы не применяются к решению задачи кв. гравитации, и вообще проблемы описания пространственно-временного континуума.
                                        А от неё этого никто и не ждал
                                        Если какая наука и может дать наиболее адекватные ответы на такие вопросы, то именно когнитивистика. Возможно вы думаете о классической психологии, с ее замшелым психоанализом) и другими подобными методами. Нет, когнитивная нейропсихология и психология относительно новые науки, построенные исключительно на научном методе, эксперименте. Приводил вам много ссылок на такие работы. Пока идей входящих в голову она не зафиксировала) только зарождающиеся в ней, и передающиеся коммуникативными средствами.
                                        Есть куча идей там, в основаниях, которые принципиально непроверяемы в этом смысле (проверьте мне аксиому выбора плз в науке и технологии или аксиому К), и никто их выкидывать и забывать не собирается.
                                        Да, что там аксиома выбора, вот есть понятие в физике — масса. Что такое масса? Пока окончательно никто не знает. Давал ссылку на коммент с обсуждением формального-неформального, там разбирал этот момент на примере массы. Вопрос не в этом. Если теория которая использует матметод с этой аксиомой работает, и выдает проверяемые результаты, хотя бы в некотором приближении, то эта аксиома как-то соответствует этой реальности, хотя непосредственно и не проверяется.
                                          0
                                          Все целостное восприятие, а вслед за ним образное и абстрактное мышление (с его логикой) построены на геометрических примитивах и операциях.

                                          Но это же, очевидно, не так.


                                          то эта аксиома как-то соответствует этой реальности

                                          Совершенно не факт.

                                            0
                                            Если какая наука и может дать наиболее адекватные ответы на такие вопросы, то именно когнитивистика.

                                            Что-то у меня складывается впечатление, что мы разные вещи понимаем под основаниями математики.

                                              –1
                                              Что-то у меня складывается впечатление, что мы разные вещи понимаем под основаниями математики.
                                              Да, конечно, см. мой первый комент. Проблема рассматривается с точки зрения когнитивной нейрофизиологии, а не самой математики. Думал интересно будет взглянуть под капот на внутренние механизмы, если пользоваться бытовой аналогией, и сделать какие-то выводы, кот. не просматриваются снаружи. Более точная аналогия с наследственностью. Представления о дарвиновском отборе и селекции возникли и используются на уровне внешних признаков — размеров, окраски, и тд. С установлением внутренних, молекулярных механизмов наследственности и изменчивости появилось новое понимание, и возможность целенаправленного воздействия на признаки, с помощью генной модификации, минуя отбор. Аналогия не поверхностная, опосредованно, через филогенез на уровне организма и всего вида, генетические механизмы определяют математические способности индивидов, возможности и ограничения в этой области. Под способностями понимается не только предрасположенность индивидов к обучению математике, связанными с индивидуальной изменчивостью, но и вся совокупность нейрофизиологических механизмов обеспечивающих такую возможность. Математики смотрят на основания исключительно с математической точки зрения, предполагая исходно данными некоторые базовые математические объекты и операции над ними типа чисел и арифметических операций, геометрических объектов и манипуляций с ними — перемещений, вращений, и др. Все это было изложено в аксиоматической форме еще Евклидом. Считается, что базовые объекты это идеализации реальных объектов и манипуляций с ними, или интуитивное восприятие. Среди математиков занимающихся (и занимавшихся) методологическими вопросами имеются разные воззрения на вопрос их происхождения. Большинство это не заботит, они считают существование этих объектов, как данность, и, если обращались к вопросу их происхождению, то пытались установить наиболее глубокие связи и отношения между ними, с помощью кот. можно обосновать валидность более сложных построений используемых на практике, в той же физике или технологиях. Первым, кто взглянул на эту проблему более широко был Кант, с его представлениями об априорности происхождения математического знания. Статья по ссылке, кстати, весьма точно отражает суть дела, перечисляя достижения, как философов, так и некоторых математиков в понимании априорности математического знания. Кант фактически многое предугадал, но раскрыть внутренние механизмы этой априорности, естественно, не мог. В то время еще не было соответствующих знаний. Их начали получать с середины прошлого века с начало методами классической нейрофизиологии, позже когнитивной. Ссылки на исследования приводил. В последнее время методы когнитивных исследований дополнились моделированием ИНС. Эти методы взаимно дополняют и обогащают друг друга. По своей значимости, на мой взгляд, введение моделирования ИНС для нейрофизиологии равнозначно введению математического метода в классическую физику, кот. осуществили Галлилей и Ньютон, неимоверно усилив ее описательную и предсказательную силу. По сути это тихая революция, сами спецы в массе еще не до конца осознали ценности такой связки. Вероятно, прорывные результаты в понимании глубинных нейронных механизмов ментальных явлений, в первую очередь восприятия и мышления, и их приложения к ИИ появятся в течении ближайших лет, т.к. прогресс весьма быстрый. Уже сейчас достигнуто большое соответствие ИНС нейросетям зрительного тракта приматов, кот. очень близок по структуре к человеческому (примеры работ на вскидку 1, 2, 3). Это оказалось большим сюрпризом для нейробиологов, учитывая весьма отдаленное соответствие свойств формального нейрона свойствам биологического. Это позволило моделировать — проверять и предсказывать нейронные корреляты психофизиологических явлений, в том числе связанных с математическими способностями, обучением и познанием в этой области. О некоторых результаты исследований написал, в частности, происхождении геометрических примитивов и чисел, это свойства нейросетей мозга, кот. возникают при их обучении в определенных условиях (наиболее общее из которых — условие макроскопической реальности). Исходя из структуры этих сетей (иерархии, коннективности), и их моделирования ИНС, можно также говорить об обосновании осуществимости математических объектов, требований непротиворечивости и полноты описания. Это относится не только к математическим объектам, но и физическим. Но на условия их осуществимости накладываются более сильные требования, из-за более высокого нейросетевого иерархического уровня их нейронных коррелятов.

                                              Конечно такой взгляд на способ получения знаний, путем подгядывания механизмов их возникновения, может показаться непривычным при традиционном взгляде на математику. Но тоже самое было в прошлом с молекулярной генетикой, ее методы не принимались традиционно мыслящими биологами и селекционерами. В сталинские времена генетика считалась лженаукой (даже классическая генетика), генетики подвергались гонению, а большинство населения, до сих пор, считает генетически модифицированные продукты опасными для здоровья. Но расширение математических знаний, и не только, из подсматривания внутренних механизмов их возникновения не самый большой шок, кот. нас ожидает) Впереди внедрение нейроинтерфейсов, и управление вещами с помощью мысли не самое поразительное, что ждет. Самое поразительное, передача информации непосредственно в мозг, миную традиционные пути, симбиотические отношения с персональным ИИ, и расширение восприятия и сознания на новые локусы реальности, для начала квантового, а с ними появления и новых, более глубоких оснований математики.
                                                +1
                                                Конечно такой взгляд на способ получения знаний, путем подгядывания механизмов их возникновения, может показаться непривычным при традиционном взгляде на математику.

                                                Если исходить из идентичности "аппаратных" возможностей мозга и структуры разделов математики (т.е., каждое понятие соответствует какой-то форме соединения нейронов), то можно сделать вывод, что, во-первых, вся математика (известная и неизвестная) "записана" в структуре мозга, и, во-вторых, невозможна математика кроме той, что обусловлена структурой мозга.


                                                Нет ли в этом механизме тавтологии по типу "возможно то, что уже придумано"?


                                                И как этот механизм сочетается с появлением новых разделов математики вообще и обучением индивида неизвестным ему разделам математики? Появляются новые структуры в мозге?
                                                Что-то в этих суждениях не так — возможно, перепутана причина со следствием.

                                          +1
                                          Нетрудно видеть, что примитивы, и той, и другой являются наиболее простыми выделенными признаками целостных объектов, как результат обучения нейросетей с определенной структурой, как биологических, так и моделирующих их ИНС.

                                          Нетрудно видеть как раз обратное. Любой результат, полученный нейронной сетью, является лишь статистическим артефактом. Процесс математического вывода нейросетью сэмулировать нельзя.


                                          Не востребованное канет в лету, если даже не противоречиво.

                                          Востребованность теории в математике определяется не практической пользой этой теории, а исключительно желанием других математиков этой теорией упарываться. Вот если вдруг появится значительное количество математиков, которым будет нравиться дрочить вприсядку, то дрочьба вприсядку станет признанным и уважаемым разделом математики. Будут на дрочьбу вприсядку выдавать гранты, будут защищаться по ней диссеры, выходить цитируемые статьи в рецензируемых журналах, будут проводиться конференции. Кому-то филдса дадут за полную классификацию возможных позиций дрочьбы или что-нибудь в этом роде.

                                            0
                                            Любой результат, полученный нейронной сетью, является лишь статистическим артефактом. Процесс математического вывода нейросетью сэмулировать нельзя.

                                            Забавно. Как же тогда люди занимаются математикой, вроде бы мозг — это нейросеть? Возможно, либо используется источник рандома, либо вся математика — статистический артефакт)

                                              0
                                              Забавно. Как же тогда люди занимаются математикой, вроде бы мозг — это нейросеть?

                                              Утверждение "мозг — нейросеть" верно примерно на столько же, на сколько верно утверждение "тесла — это телега". Ну да, вроде и то и то ездит и даже по 4 круглых колеса.


                                              Возможно, либо используется источник рандома, либо вся математика — статистический артефакт)

                                              Ну так в том и дело что нет. Когда вы строго выводите по правилам Х => Y, тут нету никаокго случайности. Нейросеть так не умеет. Нейросеть не может делать выводы.

                                            0

                                            Не вполне понял идею вашего комментария, но, имхо, вы слишком сильно всё привязываете к нейрофизиологии. "Манипулирование закорючками", в разных вариантах (от арифметики до теории категорий), может выполняться не только нейронами в составе мозга, но и транзисторами. Более того, подсолнух способен "вычислять" направление поворота на Солнце и на более скудной элементной базе. Вряд ли математика от замены "железа" перестаёт быть математикой.

                                              0
                                              «Манипулирование закорючками», в разных вариантах (от арифметики до теории категорий), может выполняться не только нейронами в составе мозга, но и транзисторами.
                                              Но откуда взялись транзисторы с такой строгой функцией? Видимо это продукт мозга с такой нейрофизиологией.
                                              Более того, подсолнух способен «вычислять» направление поворота на Солнце и на более скудной элементной базе.
                                              Это мы за подсолнух «вычисляем», строя модель, а он просто осуществляет гелиотопизм.

                                              Математические абстракции, как и любые прочие, и построенные с их помощью модели объектов и явлений, присутствуют только в нейросетях мозга, или зафиксированы на носителях.
                                                0
                                                Но откуда взялись транзисторы с такой строгой функцией? Видимо это продукт мозга с такой нейрофизиологией.

                                                Только вы путаете причину и следствие. Закорючки и базовые правила работы с ними нам даны просто потому, что так устроена объективная реальность. И, поскольку мозг должен в рамках этой реальности функционировать, он эволюционно таков, чтобы уметь с закорючками работать. Ну точно так же как глаз имеет такое строение, потому что он должен воспринимать свет, волны которого распространяются и поглощаются по определенным законам. Не наоборот.


                                                Математические абстракции, как и любые прочие, и построенные с их помощью модели объектов и явлений, присутствуют только в нейросетях мозга, или зафиксированы на носителях.

                                                Это очень спорный тезис. Многие с вами не согласятся по поводу того, что до появления человека натуральных чисел не существовало.

                                                  0
                                                  Закорючки и базовые правила работы с ними нам даны просто потому, что так устроена объективная реальность.

                                                  Как там в объективной реальности с аксиомой исключённого третьего?

                                                    0
                                                    Как там в объективной реальности с аксиомой исключённого третьего?

                                                    Я же говорил про базовые правила. А базово есть ряд закорючек и операция подстановки — все. И это определено, скажем так, физически.


                                                    Дальше вы уже определяете просто что можно на какое место подставлять, а что на какое нельзя — не более того.


                                                    Мозг сформирован так чтобы уметь писать закорючки и подставлять в нужные места какие-то другие куски — это физически обосновано, просто потому что такие процессы в реальности наблюдаются. А вот какую уже семантику придавать закорючкам и это вот все — дело десятое, конечно. Например видит обезьяна что на одном дереве бананов больше чем на другом. И описывает это явление так, как может — закорючками.

                                                  0
                                                  Но откуда взялись транзисторы с такой строгой функцией?

                                                  Почему строгой? Они как элемент универсальны, а сумме (соответствующим образом соединенные и с соответствующим ПО) могут решать довольно широкий класс задач. То же можно сказать про нейроны.


                                                  Математические абстракции, как и любые прочие, и построенные с их помощью модели объектов и явлений, присутствуют только в нейросетях мозга, или зафиксированы на носителях.

                                                  Мне сложно с этим согласиться. Что вы имеете в виду под "математическими абстракциями" и почему они привязаны к нейросетям мозга?

                                        0

                                        Ещё одна точка зрения: математика — она про описание своей, математической, реальности. А иногда эти описания подходят и к нашей реальности.

                                          0
                                          Нет никакой «своей» реальности. Если кто-то задаёт правила — всё, он им должен подчиняться, а значит и от «своего» отказывается, потому что правила исключают свободу. А если же он в одном месте «по правилам», а в другом «как хочу», то это однозначно не математика.
                                            +1

                                            Только правила придуманные и свои. Более того, никто не мешает иметь одновременно две теории с двумя разными (и противоречащими друг другу) версиями правил (банальный пример — классическая vs интуиционистская логика).


                                            а в другом «как хочу»

                                            Про это речи не было. Везде по одним и тем же правилам (по каким, впрочем — как хотите).


                                            Что-то как-то всё глубже пучина непонимания философии науки у вас, похоже.

                                –1
                                Так и не понял, в чём фундаментальная революционность.
                                В программировании любому студенту-первокурснику очевидно, что
                                list(a) == list(b)

                                и
                                set(a) == set(b)

                                — это два разных утверждения
                                  +2
                                  «Во время пребывания в сурдокамере испытуемого Б. мы заметили, что он много времени уделял записям, что-то чертил и производил какие-то измерения, смысл которых был для нас непонятен. После окончания эксперимента Б. представил „научный труд“ на 147 страницах: текст, чертежи и математические расчеты. По материалам, содержащимся в этом „научном труде“, был построен отчетный доклад испытуемого о проведенном эксперименте. „Труд“ и сообщение были посвящены вопросу пыли. Поводом для проведенной работы послужил ворс, выпадавший из ковровой дорожки, находившейся в камере. Б. исследовал количество, пути распространения, циркуляцию, кругооборот пыли, зависимость ее наличия от времени суток, работы вентилятора и других факторов. Хотя испытуемый был инженером, „труд“ его представлял собой набор наивных обобщений и поспешных нелогичных выводов, составленный в пылу увлечения при полном отсутствии знаний в области гигиены. Несмотря на это, Б. был убежден в высокой ценности, объективности и нужности проделанной им работы. Вопрос о пыли заслонил и вытеснил собирание и сопоставление важных сведений, предусмотренных программой эксперимента, что тем самым ухудшило качество работы испытуемого.»

                                  Лебедев В.И. «Личность в экстремальных условиях». М.: Изд-во политической литературы, 1989; Глава VI. Познавательная деятельность в измененной информационной структуре. Параграф «Сверхценные идеи» (см. например по этой ссылке: www.studmed.ru/view/lebedev-vi-lichnost-v-ekstremalnyh-usloviyah_6a2058feee2.html)
                                    +1
                                    странновато… я учился на мехмате сорок лет назад, и уже тогда равенство было только в арифметиках. Видно, старею — описываемое показалось, в целом, знакомым. Новизну не уловил.
                                      0

                                      Какое из пары десятков равенств?

                                        0
                                        Вот именно, равенства и эквивалентности достаточно давно развились в систему и на данный момент эта идея не имеет никакой новизны.

                                        Возможно, всё дело в том, что сейчас развивается «вычисляемая математика», и на те же идеи смотрят по-новому. Неизбежно с переходом от детерминированных программ («могли бы посчитать и сами, но за 100500 лет, а тут быстро») к нейросетям и квантовым вычислениям («очень похоже на точный результат, но пересчитать и проверить промежуточные состояния невозможно»).

                                        Именно появление и развитие вычисляемой математики повышает внимание к понятиям, подобным описанным в статье.
                                        Хотя сами эти понятия далеко не новы
                                        — Что это у тебя бараны на ворота уставились? Ворота ведь старые, подгнили уже!
                                        — Ворота-то старые, да бараны — новые.

                                        Ну, так об этом и надо писать. Начать хотя бы с такого.
                                          0

                                          Нуу.


                                          Definitional equality
                                          Propositional equality
                                          Judgemental equality
                                          Computational equality
                                          Intensional equality
                                          Extensional equality
                                          Functional equality
                                          Homogeneous equality
                                          Leibniz equaltiy
                                          Setoid equality
                                          John Major equality
                                          Denotational equality

                                          Это, конечно, на манер известной гифки про инициализацию в C++, но как минимум половине из этого точно меньше сотни лет.


                                          А если у вас творчество Даны Скотта преподавали через 10 лет после публикации, то, ну, получается, мехмат хороший у вас был.

                                            0
                                            Мехмат-то был неплохой, по крайней мере то, что операция определима множеством различных способов, давал понять.
                                            То, что появились конкретные свежие наработки — никто не спорит. Но то, что до того ничего не было и никто ничего не понимал — ммм, не знаю даже, как сформулировать оценку.
                                              0

                                              Хуже того, знаки равенства разные. В выражениях 10*11=110, tg x = sin x / cos x и sin²x + cos²x = 1 каждый раз разный смысл.


                                              И мы всего лишь ещё говорим о школьной арифметике, без залезания в основания математики.

                                                0

                                                И в чём же отличие смысла равенства в первом выражении и в третьем? Да и второе выражение при желании можно понять так же.

                                                  0

                                                  Первое — computational, вы можете просто механически взять это выражение, сделать ему редукцию нужное число раз и получить 110 = 110.
                                                  Третье — propositional, теорема, по факту, и для любой достаточно мощной теории у вас не может быть алгоритма, его показывающего.
                                                  Второе — definitional, вы просто в вашу систему добавляете ещё одно правило редукции.

                                                    0

                                                    Не вижу необходимости выделения Computational equality в большинстве разделов математики, и ничего страшного не случится если рассмотреть 10*11=110 как Propositional equality.


                                                    Definitional equality отличается от Propositional equality только тем, что его не нужно доказывать.

                                                      0

                                                      Я бы скорее не стремился бы разделять definitional и computational equality. В конце концов, они отличаются только тем, сколько раз вам разрешено делать редукцию (и какую именно).


                                                      А в большинстве разделов математики вообще на всё это плевать, как и на аксиоматику теории множеств, как и на то, работают они в ZF, ZFC или каком-нибудь NF.

                                                        0
                                                        А в большинстве разделов математики вообще на всё это плевать, как и на аксиоматику теории множеств, как и на то, работают они в ZF, ZFC или каком-нибудь NF.

                                                        Вот именно.

                                                          0

                                                          Впрочем, я тут неправ: definitional и computational equality различны (хоть и дуальны, как introduction и elimination в логике, и в этом есть, кстати, очень глубокая связь). Definitional equality добавляет ещё одно правило редукции в систему, computational equality позволяет им пользоваться.

                                                            0
                                                            Впрочем, я тут неправ: definitional и computational equality различны

                                                            Наоборот — это ж как раз одно и то же. Термы, которые редукцией приводятся к одной форме, равны как раз по definitional equality — там разница только в количество редукций, либо одна либо больше, главное — это количество всегда конечно. А вот propositional equality уже к редукции не сведешь — приходится городить id(x, y).

                                                              0

                                                              Почему одно и то же? У вас же даже не зря есть отдельно β-редукция, и отдельно δ-редукция.

                                                                0
                                                                Почему одно и то же?

                                                                Потому что нельзя отличить одно от другого. Эти эквивалентности в теории ведут себя совершенно одинаково. definitional equal термы относятся друг к другу так же, как computational equal — это обычная синтаксическая эквивалентность (эквивалентность термов).
                                                                В случае propositional же эквивалентны интерпретации, а не термы.

                                                                  0
                                                                  как computational equal — это обычная синтаксическая эквивалентность (эквивалентность термов).

                                                                  Нет. Терм (λx.x) y вычислительно равен терму y, но синтаксически они не равны.


                                                                  То есть, да, для computational equality есть последовательность редукций от обоих термов, приводящих к синтаксически одинаковым термам, но это же немного другое.

                                                                    0

                                                                    А, тьфу ты, только сейчас увидел, что вы про эквивалентность. Если вы говорите о эквивалентности как об симметричном транзитивном замыкании отношения редукции, то да.

                                                                      0
                                                                      Терм (λx.x) y вычислительно равен терму y, но синтаксически они не равны.

                                                                      Как раз синтаксически (вне зависимости от интерпретации, т.е.) они и равны (равны как термы). И никак нельзя отличить computational от definitional — поведение этих эквивалентностей полностью совпадает, они неразличимы. Если вам дать два терма, описать свойства их отношения, но не дать, с-но посмотреть на это отношение изнутри — вы не сможете узнать, definitional оно или computational. Именно по-этому в контексте теории типов эти вещи не различают.


                                                                      А вот в f (x: Nat) (y: Nat) (evidence: Pi_(x, y): Id_Nat(x, y)) =… термы х и y не равны как термы (т.е. синтаксически), но равны их интерпретации.


                                                                      А, тьфу ты, только сейчас увидел, что вы про эквивалентность.

                                                                      А о чем еще? Вроде про эквивалентности мы и говорили изначально :)

                                                                        0
                                                                        Как раз синтаксически (вне зависимости от интерпретации, т.е.) они и равны (равны как термы).

                                                                        У вас какое-то непривычное мне понятие синтаксического равенства (кстати, надо добавить в тот список выше).


                                                                        А о чем еще? Вроде про эквивалентности мы и говорили изначально :)

                                                                        Я чё-т на равенство перешёл случайно.

                                                                          0
                                                                          Я чё-т на равенство перешёл случайно.

                                                                          Ну так равенство — это просто некоторая эквивалентность, которую мы так назвали. В том смысле, что те эквивалентности, которые мы называем равенствами, ничем качественно не отличаются от тех, которые не называем.

                                                                            0

                                                                            А это зависит от вашей школы. Для меня-то тоже = — это просто ещё один функциональный символ, а есть логические школы, где = понимается как поэлементное равенство во всех интерпретациях.

                                                  0

                                                  А чем отличается setoid equality от extensional equality?

                                                    0

                                                    А чем они похожи?


                                                    Setoid equality — это просто взятие фактор-множества. Без сетоидов работать с конструкциями типа той же группы Гротендика больно.
                                                    Extensional equality — это когда ваша теория типов позволяет вещи типа {f, g : a -> b} -> ({x : a} -> f x = g x) -> f = g.

                                                      0

                                                      Ну, я пытаюсь найти определение Setoid equality, и натыкаюсь на следующее:


                                                      In contrast, setoids may be used when a difference between identity and equivalence must be maintained, often with an interpretation of intensional equality (the equality on the original set) and extensional equality (the equivalence relation, or the equality on the quotient set)
                                                        0

                                                        Intensional/extensional — вообще довольно перегруженные термины. Вероятно, мне стоило дописать там «functional».

                                              0
                                              Когда-то и «Принципиа математика» Ньютона занимала 1000 страниц. Сейчас мы эти знания можем изложить, наверное, на 20 страницах максимум. Думаю, оно на том же уровне. Гигантский объём — признак новизны области.
                                                +1
                                                Вы о чём? Я — о том, что описанное, как нечто новое, я слышал уже 40 лет назад в обычном учебном курсе, то есть идея, её развитие и переход в обыденность произошли гораздо раньше.
                                                  0
                                                  А я про новизну. Поверьте, у меня то же впечатление, что и у вас, при прочтении статьи, но оно должно быть обманчиво. Даже если мы используем эквивалентность уже лет 200, обозначаем её каким-то другим символом, и ничего нового в этом конечно нет, всё это давно работает (эквивалентность конечная — состояний автоматов, изоморфизма групп, автоморфизма подстановок и т.д.), но — наша бытовая эквивалентность всё равно строится на обычном равенстве низлежащих элементов. В унивалентной теории равенства вообще нет. Воеводский и Лурье не могут быть безумны, просто аппарат для лаконичного выражения идей ещё недостаточно сформирован.
                                                    +1
                                                    Видимо, проблема не в идеях книг, а в изложении в статье.
                                                      0

                                                      Судя по тому, что на его книги даже не могут нормально сослаться (если в статье конечно правда), то проблема все же в идеях. Мужик сам придумал проблему, в том месте, где другие её никогда не видели (в основном), и теперь героически решает, что, если подумать, вполне в духе математики :) Шум опять же вокруг себя создал — тоже профит.

                                                        0
                                                        Мужик

                                                        получил Breakthrough Prize несколько лет назад, так что думаю он понимает, что делает. Другое дело, что объяснить это не всегда просто
                                                      0
                                                      но — наша бытовая эквивалентность всё равно строится на обычном равенстве низлежащих элементов.

                                                      Это "бытовая эквивалентность". Математическая же эквивалентность не строится на равенствах. Более того — в математике вообще нету равенства в том смысле, в котором это описывается в статье (как некоторой вещи в себе). Любое равенство — это, по определению, просто некоторая эквивалентность, которую ну вот так назвали. Могли бы называть тирьямпампацией, а назвали равенством.

                                                –7
                                                А в математике-то, оказывается, бардак!

                                                Почти шутка, но тем не менее, в ней есть доля истины.

                                                Математика развивается хаотично, и в этом её проблема. Поясню на IT-примерах. Программисты каждый день ваяют новые фреймворки, каждый раз пытаясь в своём новом велосипеде решить старые как мир задачи по новому. И каждый раз автор поделия очень гордится величием достижений. Но на практике все достижения обычно умещаются в пару строк при использовании, а всё остальное — просто мусор из головы автора. Хотя чаще новые креативы вообще никто не замечает.

                                                И точно так же в математике. Там ведь полная свобода, не правда ли? Вот и творят креатив. И да, разница с программированием большая — математики доказывают, что их креатив строго соответствует канонам математических доказательств. Но в обоих случаях польза от креатива бывает весьма скромной, а количество использующих — ещё скромнее.

                                                Не скажу, что креатив математиков бесполезен, ведь и креатив программистов, как минимум, расширяет личный опыт автора, то есть какая-то польза есть всегда. Но в программировании всё же есть более обоснованный критерий разумности — польза для той конторы, на которую работает программист. Эта польза и не даёт возвышаться в безумные дали и отрываться таким образом «от коллектива». У математиков же нет никаких разумных ограничений. Поэтому можно взять некую мысль, поставить справа вторую и заявить — это… (далее следует некий латинизм со множественными возможными ассоциациями), затем можно добавить третью мысль, но уже сверху, потом увидеть в этом всём теорию множеств и само множество (в котором аж три элемента!), затем нужно прикрутить к изделию алгебру, которая сразу сделает набор мыслей крайне математичным и позволит записывать мысли о мыслях в виде алгебраических выражений типа М'+М=М". И действительно, если расшифровать значки справа над буквой М, то всем станет ясно, что в результате действительно получится ровно две буквы М, что и отражают наши замечательно подходящие к ситуации и очень удачно выбранные значки. Теперь дело за малым — нужно формально доказать, что количество М после применения к ним оператора + будет соответствовать именно двум штрихам, а не одному, и не трём. Вот какая прекрасная и полная глубоких смыслов получилась теория! Что? Вы не знаете как её применить? Да вы же не прочитали все 1000 страниц доказательств! Вот и не поняли ничего.

                                                В общем математикам нужен архитектор, или тимлид, который бил бы по рукам за ковыряния в носу, ну и концентрировал усилия на чём-то более полезном с практической точки зрения. А то-ж несчастные уравнения Навье-Стокса уже сколько столетий так и не решены?
                                                  +8

                                                  Главное — чтобы математики тоже считали, что у них такие проблемы, а то ваша мысль выглядит как «что-то я не понимаю, как мне всю эту математику на хлеб намазать, ерундой непонятной они занимаются, давайте к этим яйцеголовым надсмотрщика приставим, чтоб усилия не распыляли».

                                                    –9
                                                    >> Главное — чтобы математики тоже считали, что у них такие проблемы

                                                    Да вы не нервничайте, ваша склонность к свободе самовыражения не пострадает. Единственный важный момент, который вы упустили, это напоминание о свободе творчества за свой счёт, а не за счёт налогоплательщиков. То есть самовыражайтесь сколько угодно, но в официальную науку — ну не надо.

                                                    Хотя с другой стороны, в статье вполне конкретно указано — математики не читали креатив Лурье, но заметьте — это не помешало ему самовыражаться. Единственная проблема — кто оплачивал ему такой праздник жизни. Вот нет бы, по стопам Ферма, долгими зимними вечерами да в свободно время порождать гениальные творения. Но нет, без зарплаты, почему-то, математика не рождается. С чего бы это, а?
                                                      +5

                                                      Вы интересно отождествляете официальную науку и науку за счёт налогоплательщиков, что далеко не всегда так (особенно в каком-нибудь США, особенно в фундаментальной математике, где никаких больших адронных коллайдеров строить не надо, JWST строить и выводить в космос не надо, даже время на кластерах или видеокарты покупать не надо).


                                                      А ещё забавно, что сначала вы считали, что в математике проблемы, теперь вам просто неохота тратить на это деньги (могу понять, я тоже не фанат налогов). Короче, я запутался, что именно вам не нравится.


                                                      Ну и ещё тут была длинная портянка на тему того, как бы ещё что можно было оптимизировать, от физики и театров с балетами до лечения редких болезней, но не будем об этом.

                                                        0
                                                        Единственный важный момент, который вы упустили, это напоминание о свободе творчества за свой счёт, а не за счёт налогоплательщиков.

                                                        Правильно! А то приходят всякие гильберты, напридумывают всякого, а потом из-за этого атомные бомбы взрываются! Деньги налогоплательщиков надо на ключ, и чтобы только с бумажкой от управдома приходили!
                                                    –1
                                                    Что-то я не понял, принесёт ли эта теория какие-то результаты? Вот его с Гротендиком сравнивают — развитие Гротендиком алгебраической геометрии привело, например, к доказательству гипотез Вейля. А здесь что? Поможет ли эта теория какую-нибудь гипотезу доказать?
                                                      0
                                                      И к чему привело доказательство гипотез Вейля? Иногда* науку надо развивать ради науки. Значительный кусок той математики, которую развивали греки на тот момент времени не имел никакого практического значения. Ну и математика не только про доказательства. Создания нового языка или нового взгляда на известные объекты, чем занимается теория категорий тоже одна из важных задач математики
                                                      ________
                                                      *И здесь я имею в виду всегда
                                                        0
                                                        Вот к чему (Deligne (1974, section 8) used the Weil conjectures to prove estimates for exponential sums. (что бы это ни значило)).
                                                        Я согласен с тем, что науку надо развивать ради науки, но при условии что такое развитие приводит к какому-то результату (доказательству гипотезы или более простое изложение существующей теории). А в чём ценность теории, которая пока выглядит как жонглирование абстракциями? Вот он формулирует алгебру на базе своей теории, а сможет ли он получить какие-то новые результаты в алгебре, если даже с таким базовым понятием как ассоциативность возникли такие сложности.
                                                        Вот Мотидзуки, например, построил свою новую теорию (но хотя бы не просто так, а с целью доказательства abc-гипотезы), но пока результата не получил. Какова ценность его теории?
                                                      +3
                                                      Первой бусинке справа можно подобрать пару в виде первой бусинки слева, или сопоставить первую справа со второй слева, и так далее (всего таких пар может быть шесть). «Проблема в том, что способов составить пары много, — говорит Кэмпбелл. – И мы забываем их, когда говорим „равняется“». Тут и вступает в игру эквивалентность.

                                                      Математики формализовали понятия "равенство по ссылке" и "равенство по значению"?)

                                                        –4
                                                        математике написано много букв, а в с++ эквивалентность это !(a<b)&&!(b<a)
                                                          +3
                                                          Однажды, молодой Лурье решил попробовать в ООП и понял, что new A() == new A() дает не совсем то, что подсказывала ему интуиция. Итог: 8000 страниц текста. :)
                                                            –2
                                                            Идеи из статьи абсолютно пустые, о терминах не спорят, а договариваются. Что определить как знак равенства никак не влияет на доказательства теорем, так как там участвует суть операции, а не наименование. Лурье мог бы определить просто ещё один оператор для своих целей, или хоть 10 операторов, ничего не переопределяя, но похоже он просто ищет хайпа и скрывает бездарность за 50-страничными статьями.
                                                              +1
                                                              Я далеко не спец в топологии, но всю жизнь думал, что точка это 0-мерный объект, как ее в двумерный диск растягивают?
                                                                0
                                                                Ну никто же не запрещает растягивать. Главное, чтобы такая операция имела непротиворечивый характер, и представляла какой-то интерес. В топологии есть разные формы эквивалентности между пространствами: гомеоморфизм, гомотопия, диффеоморфизм. В данном случае речь идет про гомотопию. Пусть есть топологические пространства X и Y, гомотопия это непрерывное отображение F: X*[0,1]->Y. [0,1] — это единичный отрезок, поэтому можно рассматривать гомотопию, как семейство отображений, которое задается параметром t от 0 до 1. Пространства называются гомтопными, если есть гомтопия при которой F(t=0 ) = X и F(t=1) = Y При условии, что отображение константа, как раз точка и получается. Т.е. гомотопия шире, чем гомеоморфизм.
                                                                  +1
                                                                  Многим не-математикам (мне например) это всё равно непонятно и необычно. Например, у диска можно отрезать сектор, но как можно говорить что точка эквивалентна диску, если у неё нельзя отрезать сектор?.. Набор математических операций над диском и точкой, имеющих «ненулевое» воздействие (приводящих к изменениям в объекте) для них разный, и говорить об их эквивалентности для нас выглядит странно…
                                                                    0
                                                                    Ну а гомеоморфизм кружки и бублика?
                                                                    Есть анекдот
                                                                    , тополог сидит в кафе и пьет кофе. Кружка выскальзывает у него из рук, ручка откалывается. Тополог говорит:—удивительно, топологически кружка изменилась, но пить из нее можно!
                                                                    Потом заглядывает внутрь и видит, что у кружки откололсоь дно.
                                                                    —Еще более удивительно, топологически кружка не изменилась, но пить из нее нельзя!

                                                                    Эквивалентность в математике, не означает, что над объектами можно проводить одинаковые операции. Она означает, что объекты связаны отношением эквивалентности *, таким что для любых элементов,
                                                                    1. а*a
                                                                    2. если а*b то b*a
                                                                    3. если а*b и b*c то a*c
                                                                    Равенство это один из примров эквивалентности.
                                                                    В данном случае, можно говорить, что гомотопия превращает точку в диск и диск в точку, поэтому для гомтопии они эквивалентны. Всегда можно сделать одно из другого. А вот сделать точку из сферы не получится
                                                                      0

                                                                      Вот это вот и делает предмет обсуждения непонятным. Мы привыкли к знаку равно как к заявлению об идентичности, что операции над левой частью дают тот же результат и над правой частью, в частности, можно левую и правую часть менять местами. И тут приходит какой-то супергений и говорит что от знака равно надо отказаться, но лево с право менять будет нельзя, потому что теперь блекджек будет без девочек. Понятное дело, у обывателя возникает закономерный вопрос — wtf, зачем все эти усложнения, оставьте нам равно и валите в свою бесконечность :)

                                                                        +1
                                                                        Понятное дело, у обывателя возникает закономерный вопрос — wtf, зачем все эти усложнения, оставьте нам равно и валите в свою бесконечность :)

                                                                        Так на обывателя это и не распространяется. Школьное равно, как было так и будет.
                                                                        Мы привыкли к знаку равно как к заявлению об идентичности, что операции над левой частью дают тот же результат и над правой частью, в частности, можно левую и правую часть менять местами.

                                                                        Это зависит от контекста. Равенство существует не само по себе, а относительно какой-то операции. Бублик и кружка разные вещи с точки зрения геометрии, но отдинаковы в топологии. Или математически множество 5 яблок и 5 помидоров эквивалентны, но кулинарно нет.

                                                                          0

                                                                          Строго говоря, в математике нет яблок или помидор. "Ответственность" за оперирование знаком равно лежит на человеке :) "Ненужность" знака в статье, как по мне, не раскрыта.

                                                                0
                                                                Когда складываем яблоки, то каждое полученное яблоко когда-то было в одной из двух исходных групп. А когда складываем числа, то соответствие между составляющими элементами до и после складывания произвольно, абстрагирование! Парадокс в том, что развитие абстрагирования предлагается в уменьшении степени абстрагирования и для каждого элемента перемещения нужен отдельный путь. Ну, мало ли, вдруг «в пути собачка могла подрасти».

                                                                Получается, это как лозунг «не упрощай»… ну, для математики так себе лозунг.

                                                                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                                Самое читаемое