Теория антиряда

Предназначение у ряда всегда одно: расположить элементы в предопределённом порядке. Как следствие, приходится отличать номер (идентификатор) от самого элемента — то есть его определения. Про номер тоже можно сказать что он ″определён″, однако при сопоставлении понимания определённости применительно к идентификатору и по отношению к идентифицируемому элементу между ними обнаруживается принципиальная разница: если номера ″известны все сразу″, то значения элементов не обязательно должны удовлетворять этому условию — так, квадраты целых чисел предопределены, а число Фибоначчи невозможно определить по его номеру ″моментально″, минуя значение нулевого элемента. Для приведения номера и пронумерованного им элемента к общему типу можно использовать термин ″значение″, а для разнесения по разным категориям воспользоваться, скажем, следующим переключателем:

  • Тип = ссылочный | значимый

Есть и более удачное терминологическое решение: назвать ″значением″ определение элемента, а его номер из соображений совместимости типов полагать ″фиктивным значением″. Для математика, как для теоретика, значение может иметь только ряд как целое, которое ежели дробить на отдельные числа, то это повлечёт за собой тавтологию вида «элементу номер N сопоставлено значение N». Вот на эту тавтологию и ссылается фиктивность, указывая на отсутствие значимой с точки зрения определимости информации, а если перенаправить эту ссылку с теоретического аспекта логики на прикладной, то укажет она на задачи вида ″посчитать яблоки, деньги или землекопов″, которые ежели причислить к категории ″математических″, то называться это будет ″категориальная ошибка″, идентифицируемая на основании критерия определимости. Тогда, если подвести ″определение″ под общую категорию ″логических операций″, определение фиктивного значения будет называться ″фиктивной операцией″, и эта дефиниция будет неоднократно использоваться мною в дальнейших выкладках. Таким образом, фиктивность ссылается на нечто диаметрально противоположное неопределимости, а именно — на отсутствие информации, необходимой для того чтобы определить идентификатор, и я нахожу такое терминологическое решение удачным, поскольку оно привязывает определимость к информационным затратам, которые необязательно вычислять чтобы знать точно есть они или их нет. Если не выходить из предметной области математики, в первую очередь их придётся потратить на определение целочисленного ряда. Приведу его на тот случай если эта задача до сих пор не решена.

Критерием определённости математического термина может послужить информированность о двух значениях, одно из которых тождественно данной абстракции, а второе противоположно по смыслу. Применительно к данному случаю противоположное ″ряду″ значение выявляется на основании двух дискретных переключателей:

  • середина | края
  • начало | конец

Пока переключатели находятся в неопределённом состоянии, они задают четыре возможных значения, и при переходе от объявления к определению достаточно оговорить что они находятся в отношении взаимоопределения — то есть таком отношении, при котором если один из них положить ″определяемым″, то второй выступит в роли ″определяющего″. Принимая определяемым первый, переключаем его налево и определяем через второй:

  • Середина = начало | конец

Так тезис первой дихотомии ставится в зависимость от состояния второй. Какое из двух состояний соответствует тому что мы знаем о числовой оси? Правильно, первое:

  • Середина — это начало

Антитезис вычисляется напрямую путём противопоставления тезису:

  • Края — это конец

Если полученный результат назвать ″определением ряда″, определение антиряда тоже вычисляется напрямую:

  • Середина — это конец
  • Края — это начало

В ″картинках″ это будет выглядеть так:

Ряд: … < -3 < -2 < -1 < 0 > +1 > +2 > +3 > …
Антиряд: | 0 > +1 > +2 > +3 >...< -3 < -2 < -1 < ∞ |

Ключевая мысль, приводящая к представлению о числовой оси — это мысль о начале (выбор масштаба необходим только в прикладной части логики и не несёт значимой информации в теоретической, а от выбора направления можно и нужно абстрагироваться дабы вернуть нулю статус начала координат вместо «промелькнувшей на пути от минус до плюс бесконечности точки» — то есть исходить из того что ряд целых чисел распространяется равномерно в оба направления). Что же касается мысли о конце отсчёта, то она жёстко привязана к первой: если середина принимается начальным ограничителем, то конец как антиограничитель будет фиктивным (и наоборот — как в случае с антирядом). Для заимения исчерпывающего представления о целочисленном ряде необходимо различать три критерия категориальной принадлежности матабстракций — для чего воспользуемся небольшим опросником:

  • вопросы единице: «где ?» — здесь; «сколько ?» — столько
  • вопросы нулю: «где ?» — здесь; «сколько ?» — нисколько
  • вопрос бесконечности: «где ?» — нигде

Из полученных ответов следуют необходимые оговорки на приведение типов:

  • для подведения нуля и бесконечности под общую категорию ″ограничителей″ придётся специально оговаривать фиктивный ограничитель
  • для подведения нуля и единицы под общую категорию ″количества″ придётся специально оговаривать фиктивное количество

Обратим внимание на то, что особый статус нуля, определяющий его совместимость с обоими типами элементов числового ряда, наделяет его ″встроенной мыслью №0″, озвученной на стадии его определения: начало — это середина. Что же касается бесконечности, то если на роль ограничителя, пусть фиктивного, она ещё и может как-то претендовать, то под категорию чисел её уж точно не подведёшь. Из этого однако не следует фиктивность ″мысли номер бесконечность″, поскольку если тезис определён, определение антитезиса ″даётся в подарок″ (так, зная о том что такое ″умножение″, математики на автомате задаются вопросом «что такое умножение наоборот», и как следствие распознают сразу два сопряжённых значения — исключений из этого правила не существует). Таким образом, будучи неотобразимой на числовую ось, бесконечность идентифицирует антиряд, который можно держать только в уме пока не переключишь внимание на вторую картинку. Впрочем, как элемента не существует и нуля, если полагать его элементом не числового а смыслового ряда, абстрагируясь от его типовой совместимости с числом.

Итак, по меньшей мере нам известна ″мысль №0|∞″, и прежде чем перейти к дальнейшим выкладкам, зададимся следующим вопросом: в каком отношении пребывает ноль с любой парой противоположных по знаку чисел? Запишем ответ: сумма таких чисел равна нулю. Подведя сумму под общую категорию ″объединения″ и обозвав ноль ″фиктивным количеством″ перепишем этот ответ в соответствующем виде: объединение противоположных чисел даёт фиктивное количество. Теперь подставим ″мысел″ вместо ″чисел″, и запишем полученное суждение: объединение противоположных смыслов даёт фиктивную мысль. Действительно, как ноль непригоден для выражения количества, так и совмещение противоположных значений приводит в логике к нарушению закона исключённого третьего. Следовательно, для отображения нефиктивных значений, два из которых уже найдены и значатся под номером ″ноль″ и ″антиноль″ соответственно, следует выбрать антиряд — то есть такой математический объект, в котором именно середина полагается недостижимым пределом, а не края. Поскольку края в таком случае превращаются из фиктивных ограничителей в значимые, они берутся из середины которая теперь стала краем и преобразуются в собственные значения:

| ничто > тезис1 > тезис2 > тезис3 > … < антитезис3 < антитезис2 < антитезис1 < всё |

Собственные — значит такие, на которые ссылаются ноль и бесконечность, выступающие в числовом ряде в роли нумерующих, а в смысловом тождественные определению его крайних ограничителей. Дихотомия ″ничто | всё″ как абстракция хоть и не принадлежит предметной области математики, однако с точки зрения определимости она ″ничем не хуже″ математических дефиниций, а с точки зрения доступности для различения её значения как ″именно такого и никакого иного″ вполне соответствует своему начальному положению на смысловой (античисловой) оси. Оговорю во избежание терминологических накладок, что семантику терминов ″мысль″, ″абстракция″, ″дихотомический аспект″ и ″значение″ (если оно не фиктивное) я полгаю тождественной — теоретические исследования не требуют проведения такого различения. В этот список можно поместить и сам термин ″термин″, поскольку само собой разумеется, что в математических выкладках используется значение на которое ссылается буквосочетание, а не графическое изображение символов из которых оно состоит. Что же касается термина ″дихотомия″, то именующий объявленный переключатель термин не может выступать в роли идентификатора значения пока дихотомия находится в неопределённом состоянии, соответственно возможность её использования появляется только после того как термину присваивается значение тезиса или антитезиса, и тогда определять этот термин будет не ″всю дихотомию″, а один из ″дихотомических аспектов″. Пока что достаточно отметить существование низкоуровневой терминологии, по отношению к которой математические термины находятся на более высоком уровне абстрагирования, а именно — на третьем, если отсчитывать от нулевого. Сейчас я оговорю лишь такую возможность как ″вынесение значения из предметной области″, позволяющую рассматривать термин как ″вещь в себе″, которая никак не используется, но при этом её значение распознаётся как уникальное, присущее ″именно этой и никакой иной абстракции″. Например, на стадии ознакомления с переместительным законом сложения и антипереместительным законом вычитания можно вынести из предметной области математики оба состояния переключателя ″коммутативность | антикоммутативность″, отделив их от математической дихотомии ″сложение | вычитание″, после чего применить, скажем, к дихотомии ″пространство | время″, про тезис которой известно то что он ″изотропен″ (коммутативен по направлениям); про антитезис — то что он ″анизотропен″ (антикоммутативен по направлениям). Очевидно что время в отличии от пространства не является математической абстракцией (от переименования ″оси x″ в ″ось t″ она не перестанет быть ″осью абцисс″), но ведь из того что любому математику понятен смысл утверждения «в математике времени не существует» не следует неопределённость значения термина ″время″, и если быть последовательным в суждениях, то пространства в ней тоже не существует — там есть ″евклидово″, ″сферическое″, ″фрактальное″ и так далее, но никак не ″пространство как таковое″, и если предположить что оно неопределено, тогда на каком основании математики причисляют все перечисленные его разновидности к категории ″пространства″? Из риторичности этого вопроса следует вывод о том, что математики хорошо распознают это значение как критерий категориальной принадлежности объектов к ″геометрическим″, равно как и противопоставленное ему по смыслу, на основании которого собственно и приходят к выводу об отсутствии в математике времени — то есть вообще никакого (разновидности времени я признаться затрудняюсь себе помыслить). Так вот, любой математический термин можно вынести из математики и пользоваться им в других предметных областях. Собственно, не обязательно в других — только что я вынес из неё дихотомию ″ничто | всё″, от которой унаследовала свою семантику дихотомия ″ноль | бесконечность″, и теперь могу назвать треугольник у которого все три точки лежат на одной прямой ″ничтойным″ (в математике принято использовать в таких случаях термин «вырожденный»), а треугольник с двумя прямыми углами — ″всёйным″ (антивырожденным соответственно). Распознавание собственных значений — это довольно существенный момент, поэтому я так подробно расписал его в данном абзаце. Если различать эти низкоуровневые нюансы, появляется возможность определить, скажем, то же ″пространство | время″ через ещё более элементарные переключатели смыслов (для пространства оба находятся в левом положении; для времени, соответственно, в правом):

  • Коммутативность = да | нет
  • Статичность = да | нет

Столько же информации потребует определение предметной области математики, если пользоваться низкоуровневыми терминологическими средствами. К этому вопросу я вернусь немногим позже, а сейчас из соображений удобочитаемости рассмотрю привычный математикам пример использования антиряда.

Отматываю рассуждения к той мысли, что числа как элементы ряда выступая по отношению к мыслям как элементам антиряда в роли идентификаторов сами по себе ничего не значат — являются ″фиктивными значениями″, ″вырожденными смыслами″, ″ничтойными абстракциями″ — короче нечего в математике с ними делать пока не определены действия над ними. Полагая ″действием номер ноль″ сравнение чисел друг с другом, найдём первую тройку элементов множества математических действий. По аналогии с предыдущим случаем здесь целесообразно задаться вопросом о тех причинах, по которым сравнение выступает по отношению к остальным действиям в роли фиктивного. Ключевое слово здесь ″друг с другом″: если числа можно сравнивать только между собой — так что результат этого действия никак на них не отразится (следовательно есть все основания утверждать что «с ними ничего не делается» — действие производится как бы над ними, а его результат не получится записать в одну из сравниваемых переменных без приведения типов), то начиная со сложения появляется возможность отличать то ″что″ прибавляется от того ″к чему″ оно прибавляется, при том что типы результата и аргументов будут совпадать. В общем та же история что и с нулём как фиктивным количеством: сравнение неотобразимо на смысловой ряд, поскольку требует привлечения чего-то третьего, тогда как остальные элементы определяемой им категории действий в этом отношении самодостаточны. Ответ этой задачи является общеизвестным фактом (семантика нулевого элемента наследуется от дихотомии ″больше | меньше″, поэтому в условии не значится):

| инкремент > сложение > умножение > степень > … < логарифм < деление < вычитание < декремент |

Дихотомия ″инкремент | декремент″, фигурирующая здесь под номером ″0″, определяет соответственно ″нулевую повторяемость″, а любому эн-ному тезису из этого списка сопоставлена эн-ная глубина вложенности: сложить с X — значит инкрементировать X раз, умножить на X — значит сложить X раз, возвести в степень X — значит умножить X раз, и так далее. То есть определён этот ряд настолько, насколько определён ряд Фибоначчи — не напрямую, а путём последовательного определения значений предшествующих элементов. Общая для любого антиряда тенденция ″стремления к недостижимой середине″ проявляется в том, что каждый последующий тезис обеспечивает базовую возможность приведения типов предыдущих тезиса с антитезисом: изменить знак числа можно путём его умножения на -1, перевернуть дробь можно путём её возведения в степень -1, ну и так далее — пока не наткнёшься на фиктивный ограничитель :) Таким образом, существует некоторое количество информации, сообщающей нечто о всех элементах антиряда сразу, а всё остальное можно считать ″объявленным″ — так, не добравшись до ″антитезиса №2″ нельзя заранее предусмотреть ″проблемы деления на ноль″; не добравшись до ″тезиса №3″ — ″проблемы извлечения корня из отрицательного числа″. Зато можно с уверенностью утверждать о том, что по мере продвижения по антиряду информационное окружение его элементов будет расширяться, а возникать эти проблемы будут в процессе согласования с определениями предшествующих элементов, необходимого для переключения опции ″состояние текущего элемента″ из положения ″объявлен″ в положение ″определён″. Исходя из того что для каждого из трёх искомых элементов эта опция стоит в положении ″определён″, назовём эту категорию ″ациклическими функциями″, и полагая её тезисом получим антитезис ″в подарок":

  • Элементарные функции = ациклические | циклические

Затем раскапываем тригонометрию, и по итогу размышлений над тем какие действия можно применить к элементарным функциям записываем полученный результат:

  • Мета-функции = производная | интеграл

Штудируя неопределённые интегралы сталкиваемся с ″проблемой неберущихся интегралов″, потом доказываем теорему об их неопределимости через элементарные функции и озадачиваемся следующим вопросом: получится ли их взять если дополнить множество элементарных функций ″элементом №4″? Пока он только ″в проекте″ — то есть объявлен и его ещё предстоит определить, но на общих основаниях можно заведомо утверждать о том, что ежели тезисом этого элемента ″отчетверячить″ по минус единице возведение в степень, получится логарифм (по аналогии, про «минус полторную производную» можно сказать что это «полторной интеграл», и на этом основании утверждать о существовании «мета-мета функций», полагая их объявленными а вопрос «как их взять» отодвинутым до лучших времён). Ответ на предыдущий вопрос мне неизвестен, возможно он содержится в доказательстве упомянутой теоремы — не суть. Суть в том, что антрирядом в математике пользоваться можно и нужно. Но как было сказано выше, пользоваться им можно не только в математике, более того — можно определить с его помощью саму математику и показать, что в нумерованном списке предметных областей, для которого на данный момент определён только ″элемент №0″, она фигурирует ″тезисом №3″:

| ничто > абстрактное > логика > математика > алгебра > … < геометрия < информатика < физика < конкретное < всё |

Что именно из себя представляет ограниченный мыслепарой | ничто … всё | диапазон заведомо известно — это множество абстракций, немыслимых за пределами этого диапазона. Но следует ли из этого тождество предметной области, закреплённой за идентификатором ″всё″, этой самой ″сфере абстрактного″, из которой ″не может выпрыгнуть ни одна мысль″? С точки зрения разума, по определению индифферентного к чувствам, так оно и есть, но ведь человек не только разумное, а ещё и живое существо — то есть такое, которому не нужно думать для того чтобы констатировать факт наличия у него ощущений, после чего поставить перед этим фактом разум, сообщив ему о существовании такой сферы, объекты из которой в принципе недоступны мысленному восприятию. Операция передачи разуму информации о наличии смежной сферы восприятия является фиктивной — то есть её осуществление не требует мыслительных затрат и в умозрение передаётся только ссылка на смежную предметную область, при том что информация о самих ″конкретных объектах″ по-прежнему остаётся для него недоступной. А большего и не требуется для получения очередной ″опции″, переключающей противоположные по смыслу состояния — так в античисловом ряде появляется второй элемент (первый если вести отсчёт от нуля):

  • Абстрактное = | ничто > … < всё |
  • Всё = абстрактное | конкретное

Если в первой дихотомии ″всё″ выступает в роли ограничителя, то во второй оно идентифицирует предметную область, к которой применяется другой переключатель, разбрасывающий по разные стороны от вертикальной чёрточки ″всё то что можно помыслить″ и ″всё то что можно почувствовать″ (сам способ определения, при котором левые части фигурируют в правых тезисом и антитезисом, назову ″рекурсивным″). В контексте второго определения можно со всей математической строгостью утверждать о следующем: не существует ничего, что нельзя было отнести ни к категории ″абстрактного″, ни к категории ″конкретного″; в том числе будет логически противоречивым любой объект совмещающий в себе оба качества. Следует ли из этого то, что геометрические объекты не являются абстракциями — ну, раз их можно увидеть? Нет, не следует — математики абстрагируются от цвета фигур свойства которых изучают, а увидеть ″треугольник никакого цвета″ невозможно. Конкретность геометрических форм состоит здесь в ″прямой совместимости с визуальным восприятием″ (зрительное я отношу в данном контексте к частному случаю визуального, полагая что в общем случае визуализируемые объекты не обязательно должны быть ограничены трёхмерной пространственной метрикой и даже удовлетворять требованию целочисленности этой метрики — здесь принципиально то, что точка как нульмерный объект вписывается в любой наперёд заданный пространственный). Таким образом, для преобразования геометрического объекта из ″глазозрительного″ в ″умозрительный″ достаточно отключить опцию ″цвет″, и по аналогии с ″операцией передачи разуму информации о существовании антиразума" это преобразование будет фиктивным ввиду полного соответствия (изоморфности) копии оригиналу: о цвете фигуры уму знать всё равно ничего не нужно, а до идеального объекта она округляется в умозрении автоматически — просто потому что воспринимать неидеальные объекты разум не умеет. При всей своей фиктивности мысленная перегонка наблюдаемой фигуры в математическую абстракцию полезна тем, что позволяет проследить базовую совместимость конкретного с абстрактным, разместив геометрические объекты на нулевом уровне абстрагирования. Числовой ряд — это тоже математическая абстракция, но поскольку она не относится к категории ″геометрических объектов″, про её уровень абстракции можно однозначно утверждать что он выше нулевого. Понижение числовой оси до геометрической прямой делает её совместимой с визуальным восприятием, но не полностью — в отличии от фиктивного преобразования ″от никакого уровня абстракции к нулевому″ понижению всегда сопутствуют информационные потери, которые необходимо учитывать для приведения копии в соответствие с оригиналом. Поскольку случай с ″визуализацией числовой оси″ тривиален, определить эти потери несложно — на нулевом уровне абстрагирования не высвечивается точка, ссылающаяся на антиноль, да и самого нуля там нет как нефиктивного значения, расположенного на ненулевом уровне абстрагирования. Таким образом, геометрические фигуры ничего не мешает причислить к категории ″конкретных абстракций″, и это не будет оксюмороном на локальном уровне сопоставления предметных областей — если по критерию ″абстрактное | конкретное″ дифференцировать не всё а математику, прикладной (конкретной) частью которой является геометрия.

Забываем про левые части и банально комбинируем состояния переключателей, помня о том что применяются эти значения к предметной области математики:

  • ″прикладное ничто″ — это точка
  • ″прикладное всё″ — это предметная область геометрии как ″науки о точках″
  • ″теоретическое ничто″ — это ноль
  • ″теоретическое всё″ — это предметная область алгебры как ″науки о числах″

Больше терминов для исчерпывающего (полного и непротиворечивого) определения математики не требуется:

  • Пустое множество = точка & ноль
  • Полное множество = геометрия & алгебра

В роли ограничителей здесь уже выступают не дихотомические аспекты, а дихотомии целиком, которые применительно к данному случаю являются уже не ″переключателями в неопределённом состоянии″, а терминами, определёнными через другие термины. Суть этой операции, обеспечивающей полноту определения математики, состоит в следующем: пустое множество как единичный объект (″данное конкретное дерево″) принимается критерием категориальной принадлежности (″деревянность″), и таким образом результирующее значение становится указателем на полное множество математических (наделённых свойством ″точечности | численности″) абстракций. Определив математику результатом синтеза геометрии с алгеброй, можно пробежаться по частным случаям этого синтеза — то есть случаям совмещения в одной матабстракции её прикладного аспекта с теоретическим. Например, вектор как ″направленный отрезок″ можно назвать гибридом отрезка, которому в прикладном аспекте математики всё равно где у него лево а где право, с числовым ортом, от которого вектор наследует свойство ″распространяться в заданном направлении″. Стрелочка на конце вектора — это условность (вспомним про отсутствие в математике времени), и с таким же успехом его направление могла бы указать поперечная чёрточка в его основании. Другое дело отрезок, визуальное восприятие которого пребывает в полном соответствии с его умозрительным восприятием как геометрической абстракции. Тогда ″чисто-геометрическим″ можно назвать любой объект составленный из точек и не содержащий информации о направлении их распространения, а к любому алгебраическому можно применить операцию понижения до визуального образа, содержащего условные обозначения того что не видно глазу но видно уму (чтобы ″разглядеть″, например, мнимую часть комплексного числа, неотобразимую на числовую ось, его придётся понижать два раза). Так и осуществляется ″совместимость несовместимого″: понижаем абстракцию до геометрических форм и ″включаем цвет″. И обратно — ″выключаем цвет″ и шагаем по уровням абстрагирования насколько мозгов хватит.

И это далеко не полный перечень нюансов, которые можно извлечь из первых двух элементов глобального антиряда. Например, сопоставляя левый и правый столбцы можно прийти к соответствующему выводу: все абстракции выступают по отношению к конкретциям (то есть мысли по отношению к чувствам) в роли ″ничто″. Ну а как иначе если первые невозможно почувствовать? Чувства, соответственно, невозможно помыслить, а точнее их восприятие как информации не требует временных затрат (вспомним про ″миг между прошлым и будущим″) — в отличии от мыслительного процесса, про который не известно ничего кроме того что он даёт результат, то есть мысль — в данном например случае мысль о том, что любой мысли в противовес чувству свойственна некая ″временная протяжённость″, придающая восприятию некий ″объём″. Причём этой мысли можно дать вполне логическое обоснование: ощущения не могут никому не принадлежать (то есть у них всегда есть собственник), а поскольку почувствовать ″я″ само по себе не представляется возможным, ему методом исключения остаётся быть лишь абстракцией, которая обладая свойством ″временной протяжённости″ собственно и обеспечивает восприятию ″ненулевой объём″.

Ещё один довольно существенный нюанс связан с вопросом о направлении развития теории:

  • Развитие = теория <=> практика

Это сокращенная форма записи, которую если привести к тезисно-антитезисной форме, то получится следующее:

  • Развитие = (теория => практика) | (практика => теория)

Включаем тезис, и получаем ссылку на использование теоретических наработок для решения прикладных задач; переключаем на антитезис, и получаем ссылку на использование теоретических наработок для создания новой теории. Поскольку следствием дихотомирования предметной области становится то, что сколько бы она не развивалась её теоретическая часть никогда не пересечётся с прикладной, необходимо отличать теорию как сферу производства абстракций от практики как сферы их потребления, и если не проводить между ними чёткого разграничения, то каша в голове гарантирована. Так, довольно распространено заблуждение, согласно которому теория должна проверяться на непротиворечивость практикой. Чтобы не путаться в этих ″двух соснах″, достаточно понимать, что противоречивую теорию в принципе невозможно применить на практике (сложить 2+2 яблока и получить их 5), а непротиворечивая в принципе не может иметь расхождений с опытом (Пифагору не нужно мерять треугольники линейкой для проверки на истинность доказанной им теоремы, а иначе какой смысл её вообще доказывать ?). Если название этой монографии понимать буквально, то вся теория антиряда исчерпывается начальными выкладками, а остальное — это его ″практика″. Но только практика в контексте антитезиса рассматриваемой в данный момент дихотомии — то есть такая практика, которая даёт на выходе теорию, ведь это принципиально разные вещи — использовать числа для подсчёта яблок и нумеровать ими ″кванты мысли″. Здесь главное понимать, что в логике как теоретической дисциплине нет никаких ″теорий″ — сколько бы она не развивалась, это будет одна и та же взаимосогласованная теория. Прикладных же областей науки может быть сколько угодно — физика, химия, история, биология, астрономия, психология. К слову, ″антитезис №2″ (физику) так и следует расписать, подставив вместо него ″прикладные области науки″ или дописав ″и так далее″. Многих сбивает толку словосочетание ″научные теории″ — может сложиться впечатление, как будто бы их там много. Нет, теория по определению одна, поскольку она не обновляется, а только дополняется, ведь любое доказанное средствами логики утверждение один раз туда попав остаётся в теоретической части ″до скончания науки″. В прикладных же её областях обновляется не теория, а ссылки на неизменные абстракции, призванные наилучшим образом аппроксимировать опытные данные, которые по определению конкретны. Проще говоря, таблица умножения не меняется — она либо подходит для решения данной прикладной задачи, либо умножение придётся заменить чем-то другим — скажем, возведением в степень. Для того чтобы этой каши в голове не возникало, достаточно вместо ″теорий″ подставить ″конкурирующие ссылки на те или иные элементы раз и навсегда определённой теории″, помня о том что критерий попадания информации в теоретическую часть науки всегда один — логическая непротиворечивость, верифицируемая формулой ″! (A U ~A)″. Если по каким-то причинам учёного-прикладника не устраивает существующая теория, он может создавать новую, и на это время становится теоретиком — то есть привязка здесь осуществляется не к человеку как субъекту научной деятельности, а к категориальной принадлежности результатов этой деятельности. Вот эти категории и переключает рассмотренная опция.

Следующий нюанс связан с определением дедукции как ″продвижения в направлении от вся к ничту″ и обратного по смыслу определения индукции. Значения элементов глобального антиряда вычисляются путём банального половинного деления тезиса на ″теоретическую | прикладную″ части, а в качестве исходной принимается предметная область на которую указывает местоимение ″всё″ — например, математика как ″тезис №3" определена как ″теоретическая часть теоретической части теоретической части всего″. Выше был рассмотрен индуктивный метод определения её предметной области путём развёртки математического определения пустого множества, выступающего в роли её крайнего левого (″ничтойного″) ограничителя до ″точечно-числовых объектов в общем случае″ — крайнего правого (″всёйного″) ограничителя соответственно. Индуктивный метод как антитезис сложнее дедуктивного и здесь я не буду его подробно рассматривать (сам пока толком не разобрался). Могу только предположить, что на следующем шаге индуктивной развёртки результат будет следующим:

  • Пустое множество = точка & ноль
  • Спираль = прямая & окружность
  • Пространство = ортогональное & сферическое
  • Полное множество = геометрия & алгебра

Где-то там спряталось пространство имени (Римана | Лобачевского), но сейчас углубляться в эти детали я не стану. Ключевой нюанс который я хотел отметить состоит в том, что дедуктивная свёртка осуществляется в направлении понижения уровня конкретности путём отсекания прикладной части и дальнейшего дихотомирования теоретической, а индуктивная развёртка — в направлении повышения уровня абстрактности путём ″отвлечения от конкретики″, при том что оба случая указывают на направление развития теории в сторону абстрагирования. В прикладном аспекте это направление инвертируется и научная деятельность приобретает аппроксимационный характер, проявляющийся в том, что теоретические (умозрительные) абстракции выбираются из соображений наилучшего соответствия прикладным (опытным) данным. Экспериментальная верификации степени этого соответствия осуществляется путём последовательного понижения уровня абстракции до нулевого — геометрических форм и прочей чувственной информации (вспомним про комплексные числа, которые необходимо понизить два раза для того чтобы стала доступной возможность их использования в радиоэлектронике). Логике как теоретической части науки сопоставлено правое положение рассмотренного выше ″переключателя направления развития″:

  • Развитие = (теория => практика) | (практика => теория)

Как для антитезиса указывающего на сферу производства абстракций этот вектор расслаивается на индуктивное (повышение абстрактности) и дедуктивное (понижение конкретности) направления, так и для тезиса указывающего на сферу их потребления это направление расслаивается на «экспериментальную верификацию теории» (понижение абстрактности) и «выбор теории, наиболее конкурентоспособной по части аппроксимации опытных данных» (повышение конкретности). Так дихотомии ″ничто | всё″ и ″абстрактное | конкретное″ работают в паре — в чём собственно и состоит смысл ″рекурсивности″ оговоренного вначале способа их определения.

И это рассмотрено только два элемента глобального антиряда, хотя конечно большая часть текста ушла на иллюстрации. В дальнейшем чтобы не размывать внимание я буду его уделять главным образом вопросу идентификации предметных областей. Перескакиваю сразу на ″элемент №4″, чтобы продвигаться в направлении ″от привычного″:

  • Математика = алгебра | геометрия

Для идентификации предметной области выделяется фундаментальная абстракция, коей применительно к данному уровню выступает точка, семантику которой наследуют все объекты геометрии как прикладной части математики, уровень абстракции которых полагается нулевым по отношению к теоретическим. Если такое соответствие установить удалось, этого вполне достаточно для обретения уверенности в полноте и непротиворечивости определения предметной области.
Идём дальше (точнее ближе к нулевому элементу антиряда и ниже по уровню абстрагирования от конкретики):

  • Логика = математика | информатика

В информатике роль фундаментальной прикладной абстракции отведена биту, который математике даром не нужен — она себе даже «представить не может», зачем нужна абстракция, определение которой гласит о том что она лишена смысла. Поскольку любой полученный математиками алгоритм является единственно верным решением для общего случая (а иначе он считается недоделанным), он по определению является определением — то есть нет никакого смысла плодить лишний математический термин, специально оговаривая категорию ″алгоритмов″. Так, общий случай решения системы линейных уравнений Гаусс получил задолго до появления информационных технологий, а для того чтобы программисту перевести алгоритм Гаусса на язык компьютеров ему необходимо полностью прогнать его в голове. То есть появление информационных технологий не привнесло в математику новых возможностей, ведь компьютеру невозможно ничего объяснить и думать за математиков он не умеет. Как следствие, задачи математики и информатики не имеют общих точек пересечения. Можно сказать что математика ″недоумевает″, зачем например преобразовывать «число пи» в битовую последовательность, если это преобразование с необходимостью приведёт к нарушению его тождества самому себе, и как следствие сделает непригодным для решения теоретических задач. Но если посмотреть на информатику с позиций логики а не математики как теоретической её части, то смысл использования бита станет понятным, поскольку при взгляде с более низкого терминологического уровня он перестаёт быть фиктивным значением, нарушающим закон исключённого третьего оксюмороном «неопределённый смысл», и становится осмысленным термином, определённым как «объявленный, но не определённый переключатель», предназначенный для наделения смыслом (находящимся в голове программиста естественно, а не в памяти «думающего компьютера») путём определения формального языка, выполняющего посредническую функцию между понятным программисту текстом программы и бессмысленной для компьютера «кашей» из битов, требуемая функциональность которых обеспечивается технологическими возможностями переключения физических состояний микрочастиц. С известной долей осторожности информатикой можно назвать формальную логику, но лучше так не делать, поскольку информационное окружение аббревиатуры «ФЛ» кишит разного рода профанациями «а-ля думающий компьютер», и всё из-за неумения отличать теоретическую часть логики от прикладной — даже сформулированный Аристотелем закон тождества философы умудрились перевернуть в ног на голову, приписав ему авторство ФЛ, хотя он имеет к ней такое же отношение как я к балету (не думаю что Аристотель был настолько недалёким человеком, что был не в состоянии отличить идентификатор от значения и назвал «логическим законом» необходимость соблюдения синтаксических правил). Лучше привязаться к аббревиатуре «ФС», о которой от Гёделя нам заведомо известно, что формальные системы в математике заведомо непригодны по причине заведомой неспособности обеспечить полноту теоретических построений. Ну и само собой к смежным предметным областям применим критерий «обновляемость» теории (кавычки указывают на оговоренную выше необходимость преобразования этого словосочетания в ″обновляемость ссылок″ — дабы не поставить ненароком [одно и то же] математическое определение умножения в зависимость от [разных] способов его реализации в машинных кодах). Из сказанного можно сделать соответствующий логический вывод: если применить значение термина ″обновление теории″ к математике, получится нарушение закона тождества (в понимании Аристотеля естественно, а не в интерпретации питающих нежные чувства к мудрости людей). Для информатики же как для прикладной части логики обновление теории характерно постольку поскольку не существует «единственно правильного языка программирования» или «единственно правильной операционной системы». Ну а в математике понятное дело что тезис о существовании единственно правильного решения для общего случая остаётся незыблемым. Поскольку с ″соблюдением законом тождества″, как и с ″обновлением теории″, может возникнуть терминологическая накладка, этот момент стоит оговорить отдельно. Я бы не стал применять к термину ″закон″ предикат ″логический″, оставив его для прикладных областей науки и определив как ″ссылку на конкурирующую теорию″: ткнули ею в опытные данные и повесили абстракцию претендующую на наилучшее с ними соответствие. Так вот, накладка состоит в следующем: в логике закон тождества нарушиться не может (то есть по меньшей мере ссылка на его ″соблюдение″ оказывается избыточной информацией), но ведь ничего не мешает ему это сделать за её пределами, в «сфере конкретного как прикладной части всего» (вспомним о том, что статичная с виду картинка на мониторе обновляется раз эдак сто в секунду, или народную мудрость, со всей математической строгостью утверждающую о том как ″в одну и ту же реку два раза не войдёшь″). В общем в прикладных областях другие представления о законах, и лучше этот термин к математике не примешивать. Но это так, мелкий терминологический нюанс. Содержательная его сторона состоит в том, что ″закон тождества″ — это логическая операция, определяемая как ″проверка на самотождественность″: если объект является ″определяемым″ (или, что то же самое — принадлежит предметной области ″абстрактного"), возвращается ″true″; если чувственным (и тогда вполне терминологически обосновано назвать его ″антиобъектом″) — ″false″. Так появляется ещё один переключатель (″закон″ я использую здесь из соображений удобочитаемости и оговоренных выше уточнений это не отменяет):

  • Закон = тождества | антитождества

Причём это унарная операция, а не бинарная, и если её записать не так ″=A″ а так ″A=A″, то логическую операцию инверсии придётся записать не так ″~A″ а так ″A~A″ — что будет крайне безграмотно. Других унарных операций кроме инверсии и проверки на самотождественность в логике не существует — стоит их чуть усложнить, как придётся привлекать нечто второе, которое тут же лишит логическую операцию свойства унарности. Отсюда очередная дихотомия:

  • Самоприменимость = Авто(подтверждение|отрицание)

Полагая что с логикой разобрались, опускаемся ещё на ступеньку вниз по терминологической лестнице (конкретно — на первую):

  • Наука = логика | прикладные области

Понижению терминологического уровня сопутствует понижение специфичности абстракций — сравним например по этому признаку дихотомии ″коммутативность | антикоммутативность″, заимствованные из математики, и ″пространство | время″, которая будучи достаточно широкоупотребимой в быту считается в то же время философской категорией. Приведу несколько примеров использования терминологических средств данного уровня.

Традиционная научная парадигма полагает незыблемым тезис «время одно на всех», хоть и не выражает его в явном виде, поэтому «проблема полудохлого кота» и физический смысл квантовых эффектов лежит за рамками её компетенции. Между тем, если переключиться на антитезис «время у каждого своё», вполне мыслимый если вспомнить о приватности ощущений, то обнаружится что эта задача имеет логически непротиворечивое решение путём включения в рассмотрения такого варианта, что намерение экспериментатора открыть дверцу камеры инициирует событие в прошлом. Логического противоречия на тему «временных петель» здесь не возникает, ведь по условию задачи до этого момента экспериментатор лишён возможности узнать что происходит с котом «здесь и сейчас», а после определяющее состояние кота событие происходит «час назад». В роли фундаментальной абстракции, определяющей предметную область науки как сферы познания, выступает следующий дискретный переключатель:

  • Выбор = «нет» (детерминизм) | «есть» (антидетерминизм)

Ключевой тезис, определяющий специфику это уровня, гласит следующее: факт наличия выбора невозможно верифицировать экспериментальным путём. Как следствие, в прикладной части науки «выбору» делать нечего: она «не понимает» что такое «антидерминированные объекты» — в противовес теоретической, которая именует их «субъектами», и определяет для них такую предметную область как «теория принятия решений», предназначенную для решения логических заморочек вроде следующей:

Дано: мы не можем узнать есть ли у нас выбор путём проведения физического эксперимента.
Найти: правильный ответ на вопрос «есть ли у нас выбор».

На первый взгляд единственно верным её решением будет фиктивное — то есть ответ «задача не имеет решения». Действительно, если тезис о наличии выбора мы не можем подтвердить экспериментальным путём, значит всё что нам остаётся — так это принять его на веру. Или не принять — как ни крути, ни одно из решений не может претендовать на научное. Весь фокус здесь состоит в том, что в предметной области науки на роль критерия истинности, регламентирующего законодательство в предметной области логики, может претендовать критерий целесообразности — в том случае если оценка «плохо | хорошо» приводима к дискретной. Применительно к данному случаю делается это так:

  • На самом деле = «выбора нет» | «выбор есть»
  • Гипотетически = «выбора нет» | «выбор есть»

Переключаем первую опцию в положение «выбора нет», и убеждаемся что если так оно и есть в действительности то мы по определению не можем принимать решения, следовательно нет никакой разницы ошибаемся мы или истину глаголим — ну, раз изменить всё равно ничего нельзя и что бы мы об этом не думали результат такого «думания» будет по определению фиктивным. Теперь включаем состояние «на самом деле выбор есть», и убеждаемся в том что принятие ошибочного решения (то есть гипотезы, согласно которой все события предопределены и мы не можем на них повлиять) противоречит критерию целесообразности ввиду упущения объективно доступных возможностей. Даже если допустить такое, что отсутствие возможности выбирать в каких-то ситуациях может оказаться более предпочтительным, то это допущение нивелируется возможностью «совершения выбора отказаться от выбора», так что ничего не мешает подвести подобные ситуации под тезис «иметь выбор — это всегда хорошо» (по меньшей мере — «неплохо»). Следовательно, правильным ответом здесь будет следующий:

  • принятие гипотезы об отсутствии выбора заведомо нецелесообразно

Так длинно формулировать нет надобности, поскольку на практике это высказывание тождественно [анти]тезису «выбор есть», следовательно сократится в нём только количество слов но никак не содержательная нагрузка. Подобно биту, который в предметной области математики как теоретической части логики является по определению осмысленным (то что я называю здесь «дихотомией») а в предметной области информатики по определению бессмысленным (это программист наделяет его смыслом который остаётся у него в голове и не передаётся компьютеру); вот точно так же в предметной области логики как теоретической части науки термин «выбор» наделён смыслом и используется в теории принятия решений, а в прикладных областях науки антидетерминизм это полный оффтоп, поскольку учёные-прикладники только тем и занимаются что детерминируют реальность.

Шагаем дальше (точнее ниже, а ещё точнее — на нулевой терминологический уровень):

  • Всё = абстрактное | конкретное

Здесь дифференцируется на «мысленную» и «чувственную» сфера восприятия как таковая, вместо которой без информационных потерь можно подставить термин «жизнь» (мысленно убираем всё то что может быть потенциально доступно восприятию живых существ в сколь угодно далёкой перспективе их развития, и чувственно смотрим на то что осталось — полезный всё-таки термин, «фиктивное значение»). Что значит «нулевой терминологический уровень»? То и значит — слова в общем случае, предназначенные для выражения либо мыслей, обозначаемых терминами, либо чувств, обозначаемых антитерминами — то есть идентификаторами таких значений, которые разуму (мышлению) по определению антидоступны. Тем не менее, создавая художественное произведение автор стремится к соответствию результата своей творческой деятельности оригиналу, коим выступает идея произведения, и качественным оно будет настолько, насколько высока степень этого соответствия. Таким образом на уровне общей тенденции стремление к оригиналу сохраняется, но если для знания как целевого ориентира научных изысканий это соответствие должно быть полным, то в гуманитарной части творческой деятельности можно говорить лишь о той или иной степени соответствия тому, что разум не может воспринять как целое — отсюда необходимость привлечения чувственного восприятия для оценки упомянутой степени соответствия. Полагаю я привёл достаточное количество примеров использования дихотомий чтобы уже не приходилось тратить так много текста на согласование жизненных проявлений с состояниями переключателей, определяющими нижеперечисленные дихотомии:

  • Сфера = научная | гуманитарная
  • Цель = знания | переживания
  • Мысль = абстракция | идея
  • Семантика = дискретная | континуальная
  • Доступ = публичный | приватный
  • Информационные потери = недопустимы | неизбежны
  • Творчество = коллективное | индивидуальное

Так можно противопоставлять целые столбцы, а потом цеплять полученное определение к чему-то другому — в данном например случае к функции языка, предназначенного в познавательной части творческой деятельности для выражения мыслей как целевых ориентиров этой разновидности творчества; в прикладной, соответственно — для выражения чувств, необходимых для восприятия произведений творчества гуманитарного. Схематически это можно представить так: недалеко от левого от края словарного диапазона расположен термин «коммутативность сложения», недалеко от правого — междометие ″ой″, и если я скажу «ой, оказывается сложение коммутативно», то моему среднестатистическому собеседнику полагаю не составит труда отличить в моём высказывании тривиальную мысль от сопровождающего её примитивного чувства.

Приведу несколько примеров использования вышеозвученных «опций»:

  • если знания не являются целевым объектом мышления, то называться это будет «фиктивная деятельность» — как в случае с художественным творчеством, которое никого не цепляет
  • публичный доступ к абстракциям обеспечивается за счёт отсутствия у мыслей чувственного содержания
  • на статус научного знания могут претендовать только такие результаты, которые воспроизводятся без информационных потерь в умозрении любого кому не жалко на это своих мыслительных затрат

Полагая теорию инструментом, получаем ссылку на информацию о том как им пользоваться — это так чтоб отличать знания от умений во избежание терминологических накладок (умение пользоваться теорией в прикладных областях жизни тоже ведь ничего не мешает назвать «знанием»).

Итого: средствами нулевого терминологического уровня [в идеале] можно выразить всё — любые мысли и любые чувства. Если исключить из языка все слова прямо или косвенно ссылающиеся на неопределимые значения прикладной части жизни как сферы переживания (проще говоря — на чувства), то в нём останутся только определения терминов, выступающих в роли идентификаторов мыслей. Теперь, если выделить из полного множества абстракций только термины нулевого уровня, то они будут идентифицировать такие значения, которые можно рассматривать до и вне их применения для получения новых значений, полагая их потенциально применимыми к тезису (теоретической части) любой из предметных областей глобального антиряда. Стало быть вопрос о приобретении теоретических знаний не получится рассматривать в отрыве от распознавания этих значений.

Шагнув ещё на одну ступеньку вниз (или назад, в противоположном номинальному направлении перечисления элементов), доходим до крайних ограничителей «сферы абстрактного» — предметной области, для последовательного дихотомирования которой собственно и предназначен глобальный антиряд:

  • Абстрактное = | ничто > … < всё |

Как и положено нулевому элементу антиряда, его тип несколько отличается от типа остальных элементов и по всей видимости является единственным исключением для которого подходит такая форма записи — когда две вертикальные чёрточки «прижаты к краям». Начиная с первого элемента и далее эти чёрточки переворачиваются в горизонтальную позицию, и суть этого переворота состоит в следующем:

  • ничто в собственном смысле — это «када ваще ничё»
  • всё в собственном смысле — это «усё, и усё тут»
  • всё в понимании «предел» — это фиктивный ограничитель предметной области, ссылающийся на пустое множество условий категориальной принадлежности ко «всю»
  • ничто в понимании «предел» — это антификтивный ограничитель, указывающий на то, что понадобится полное множество ограничивающих условий (проще говоря — все мысли), для того чтобы в ограничиваемой этими условиями предметной области ничего не осталось (или, что то же самое — «осталось ничто»)

Тогда про все остальные элементы антиряда кроме нулевого можно сказать, что для них это множество ограничивающих условий является не пустым и не антипустым, добавив к этому что с точки зрения информационных затрат на определение не имеет значения, прибавить одно ограничивающее условие ко «всю в понимании предел», или отнять таковое из «ничта в понимании предел». Таким образом, математический смысл переворачивания чёрточек из вертикального положения в горизонтальное состоит в преобразовании типа элементов глобального антиряда как указателей на предметные области из «ссылочного» в «значимый» — то есть такой, который при определении этих областей указывает на конечные информационные затраты.

***

Вроде ничего существенного не упустил, и на этом пожалуй буду заканчивать. Мне главное было разобраться с чего здесь нужно начинать и где находится отправная точка мыслительного процесса. Выходит что здесь:

  • Середина = начало | конец

Если спроецировать эту мысль на визуальный образ, получится отрезок с точкой посередине, которую видно глазами, но непонятно умом — пока не переключишься в одно из крайних положений, мысль будет висеть в цикле. Результат это переключения можно озвучить следующим образом (неважно как это интерпретировать — «подвожу» я к этой мысли рассуждения, или «вывожу» их из неё): сначала идёт мысль о начале, а мысль о конце идёт не в конце, а сразу за первой (точнее «нулевой», по отношению к которой вторая выступает «антинулевой»). Сказанное означает, что пребывают эти мысли в состоянии взаимоопределения, которое ежели запечатлить в связном тексте, то получится следующее: «антиначало — это конец; антиконец — это начало». Если подвести их под общую категорию, идентификатором этой категории выступит термин «ограничитель», и тогда термин «середина», определяющий семантику антиограничителя, пополнит этот терминологический список автоматически. Вот это я и называю «полнотой определения» — когда становится известным целое, а не отдельно взятая его часть. Ну а там как говорится «чем дальше в лес тем толще партизаны» — даже на разбор элементарных вещей у меня ушло куча текста. Теперь хоть знаю чем отличается идентификатор от значения и почему «пол-бита» в информатике не бывает.
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама

Комментарии 20

    0
    Статья побудила меня задаться вопросом — что такое теория?

    На примере статьи автор показывает, как ему лично помог взгляд на основе изучения пространства между крайностями с некой операцией инверсии. Ну хорошо, автору помогло, это радует. Но теория ли это?

    Формально — конечно не теория, ведь формальная теория основана на логическом выводе от аксиом к теоремам с соответствующими доказательствами. Но чем наличие признака «формальная» помогает кому-то, кроме автора?

    Формальную теорию можно формально проверить формальными методами. Классно. Но зачем?

    Вот есть теория категорий, она вполне формальная, но где от неё польза? Опять — лишь в головах неких авторов, которые считают, что пользуясь словарём на основе теории категорий они постигли нечто большее, нежели могли бы постичь без использования терминологии теории категорий.

    В данной статье автор так же показывает, что постиг некие глубины. В чём отличие формально выводимой (подтверждаемой) теории категорий в плане помощи авторам от данной неформальной (не подтверждаемой) «теории антиряда»? Обе помогли авторам. Обе не содержат практически полезного. Отличие исключительно в применении формального аппарата вывода.

    Хотя с другой стороны, как нам много раз говорили математики, формальные методы дают некую «незыблемость» результата. То есть в рамках формализма формальная теория нерушима, потому что её невозможно опровергнуть не выходя за рамки формализма (аксиом и правил вывода). А вот неформальная теория имеет очень короткую жизнь. Но если за период жизни она помогла что-то постичь, то может она уже сослужила свою службу? Ах да, математики ещё говорят, что вот настанет светлое будущее, вот придут новые учёные, вот расцветёт новая теория, и вот тогда!!! Вот тогда и увидите пользу от неё. А почему так нельзя сказать про неформальную теорию? Потому что она неподтверждаема. То есть один её интерпретирует так, а другой — эдак. И в результате у обоих разные выводы. Правда пользы бывает немного и от всегда одинаковых выводов на основе некоторых формальных теорий.

    В общем, философствовать в духе статьи можно долго. Главное — автор видит для себя некую пользу от использования такого формата рассуждений. Не очень понятно, как польза проявляется на практике, но что-то в этом есть — переход к новым глубинам или что-то такое. Даже поставил бы плюс, но меня здесь считают злым и посадили в клетку…

    Автору вопрос — ваше неформальное определение математики как чего-то между алгеброй и геометрией как-то учитывает дискретные разделы традиционной математики? Например — графы. А от графов надо бы перейти к их сути, от которой идёт смысл понятия «отношение». Где отношения в вашем представлении математики, которая между алгеброй и геометрией?

    По мне так есть всего две науки — формальная и неформальная. Первая — от аксиом к теоремам, а вторая — от действительности к абстракциям и обратно. Первая и вторая при этом могут причудливо пересекаться в самых неожиданных местах. Но сути это не меняет.
      0
      Первая — от аксиом к теоремам, а вторая — от действительности к абстракциям и обратно.

      Обычно их называют соответственно «абстрактными» и «естественными» науками.
      Реальные науки — это некоторая их смесь.
        0
        user_man:

        Статья побудила меня задаться вопросом — что такое теория?

        Теория — это результат познавательной деятельности, одним словом — знания. Или так: теория — это любая информация, доступная в публичном просмотре (точнее «продуме» — термин «просмотр» я использую в данном контексте апеллируя к общему корню слов «зрение» и «умозрение»). Вот ключевая цитата из статьи:

        публичный доступ к абстракциям обеспечивается за счёт отсутствия у мыслей чувственного содержания

        То есть отвлечённо о теории говорить нет смысла — Вы либо ставите целью мыслительной (она же познавательная) деятельности приобретение знаний, и соответственно обеспечиваете стопроцентное соответствие объективной действительности всего того о чём здесь пишете, либо делитесь общими впечатлениями о прочитанном. Угадайте, дискуссия в каком из двух форматов мне интересна.
        теория основана на логическом выводе от аксиом к теоремам

        Недоказуемых аксиом не существует. И это можно доказать.

        Остальное, извините, даже не берусь комментировать. Понять бы для начала посыл Вашего комментария — Вы хотите разобраться в прочитанном, или мне что-то объяснить?
          0
          Недоказуемых аксиом не существует. И это можно доказать.

          Докажите. И если у вас получится, то это будет лучшим ответом всем.

          Правда я пока не вижу такого потенциала. Сужу по вашим ответам — часто не по существу, а если по существу — коротко и нелогично.
            0
            Докажите. И если у вас получится, то это будет лучшим ответом всем.

            Констатируем два факта:

            • математики думают над формулировками аксиом
            • аксиома — это истинное утверждение

            Допустим, Вы отдаёте себе отчёт в том, что формулировки аксиом являются результатом не божественных откровений, а самостоятельных рассуждений. Тогда ответьте пожалуйста на такой вопрос: как называется та процедура, которая по итогу рассуждений приводит к появлению истинного утверждения?

            Правда я пока не вижу такого потенциала.

            И ещё один вопрос: доказали ли Вы в своей жизни хоть одно утверждение, никем ранее не доказанное? Вижу некоторые основания предполагать, что по Вашему [честному] ответу станет прозрачной та причина, по которой Вы этого потенциала не увидели. Проверить моё предположение несложно: приведите пожалуйста доказательство переместительного закона сложения.

            Сужу по вашим ответам — часто не по существу, а если по существу — коротко и нелогично.

            Даю стопроцентную гарантию, что Вы не сможете раскрыть смысл словосочетания «формальная теория» — так чтобы Ваши суждения не вступали друг с другом в прямое противоречие (при условии разумеется что будете объяснять своими словами, не прибегая к шпаргалкам, копипасту чужих мыслей, и аргументу «усе так говорять»).

            P.S. Заранее извиняюсь если этот вопрос связан у Вас с чем-то глубоко личным — мне вовсе не импонирует роль того «злого дяди», который посягает на веру ребёнка в Деда Мороза (а то прецеденты уже были).
              0
              >> как называется та процедура, которая по итогу рассуждений приводит к появлению истинного утверждения?

              Вообще, название, на мой взгляд, никакой роли не играет. Скорее вы намекаете на неидеальность аксиом, связанную с неидеальностью нашего понимания мира. Но такой намёк совсем не подходит на роль доказательства, о котором вы говорили, что «это можно доказать».

              >> доказали ли Вы в своей жизни хоть одно утверждение, никем ранее не доказанное?

              Дело в том, что я понятия не имею, кто, где и когда что-то доказывал. Этих «кто и где» миллиарды, поэтому я в принципе не способен охватить такой безумный масштаб, не говоря уже об отсутствии возможности «видеть сквозь туман войны».

              >> приведите пожалуйста доказательство переместительного закона сложения

              Если возьмём Х яблок и прибавим к ним У яблок, получим кучу. Теперь пересчитаем эти яблоки (из кучи). Получим Х+У яблок. Затем возьмём из кучи У яблок и сложим во вторую кучу. Потом возьмём из первой кучи Х яблок и добавим во вторую. Пересчитаем яблоки во второй куче. Получим Х+У яблок.

              Это не доказательство, но скорее схема рассуждений, применимая к значениям Х и У, равным 1. По этой схеме, опираясь на аксиомы неизменности количества после операции, повторяемости результата операции для одного яблока и т.д., переходим к утверждениям про 2 яблока, потом про N яблок, получая вариант индуктивного рассуждения. Продолжая индукцию выводим неизбежность повторения заявленного выше результата для любых N, Х, У.

              Такой формальный трюк вроде бы Пеано первым из известных математиков осуществил. Подробности, соответственно, у него. Мой подход в своей сути не отличается от трюка Пеано (хотя детали я давно забыл).

              >> Вы не сможете раскрыть смысл словосочетания «формальная теория»

              И что это доказывает? Особенно в свете вашего заявления про «это можно доказать».

              В целом вы подтвердили мои опасения — вместо доказательства имеем встречные вопросы и совершенно неконкретные, а так же очень краткие рассуждения.

              Вообще, я бы рекомендовал вам почитать о формальных теориях. Может это нудно и сухо, утомляет необходимостью запоминать надуманную терминологию, но когда вы всё же пройдёте через это болото, вы поймёте смысл формального подхода. Понимание этого смысла расширяет ваши возможности в том числе и по свободному философствованию. Потому что формальный подход задаёт базу для неуязвимых рассуждений. Точнее — рассуждения будут неуязвимы, пока есть согласие с предложенным набором аксиом. Сравните такую интересную возможность с вашими хрустальными построениями, которые распадаются от первого же лёгкого удара чем-то прочным.
                0
                >> Вообще, название, на мой взгляд, никакой роли не играет.

                Разумеется — в математике роль играть могут только определения, а иначе это будет разговор в формате «обмена общими впечатлениями». В связи с чем я ещё раз предлагаю Вам пересмотреть свои взгляды на уместность такого подхода при обсуждении этой темы.

                >> Скорее вы намекаете на неидеальность аксиом, связанную с неидеальностью нашего понимания мира.

                Математиков не интересует мир в контексте их профессиональной деятельности, как не интересуют неидеальные объекты. Для Вас это новость?

                >> Дело в том, что я понятия не имею, кто, где и когда что-то доказывал.

                Я тоже не склонен забивать себе голову избыточной информацией. Мне достаточно того, что Ваш ответ на мой вопрос понятен и исчерпывающ, хотя конечно для достижения однозначности этого понимания можно было бы обойтись и меньшим количеством слов.

                >>Это не доказательство, но скорее схема рассуждений

                Я имел в виду именно доказательство а не схему (то есть дедуктивное а не индуктивное). Подумайте над этим если хотите не в теории, а на практике узнать о том, что недоказуемых аксиом в математике не существует. Из того что над вопросом о доказуемости аксиом никто ещё толком не задумывался не следует ведь что они недоказуемы. Я всё понимаю — верить всегда проще чем думать, но сделайте хотя бы скидку на то что Вы отвечаете в теме о математических исследованиях.

                >> И что это доказывает?

                Пока ещё не доказывает, но убедительно говорит в пользу того, что значение словосочетания «формальная теория» недоступно Вашему пониманию. А иначе что Вам помешало просто взять им и поделиться? Взять например теорему Пифагора в качестве примера элемента теории, и объяснить своими словами: в чём конкретно состоит её формальность и зачем вообще математикам мог понадобиться этот термин.

                >> вместо доказательства имеем встречные вопросы

                Это ложное утверждение — Вы игнорировали мои вопросы, следовательно до «вместо» здесь не доходит. Повторю проигнорированные Вами вопросы:

                • отдаёте ли Вы себе отчёт в том, что формулировки аксиом являются результатом не божественных откровений, а самостоятельных рассуждений ?
                • как называется та процедура, которая по итогу рассуждений приводит к появлению истинного утверждения?

                >> Вообще, я бы рекомендовал вам почитать о формальных теориях. Может это нудно и сухо, утомляет необходимостью запоминать...

                Ну тогда моё Вам встречное пожелание: изучите русский алфавит. Понимаю, это очень долгое и нудное занятие, но уверяю Вас — как только Вы его изучите, почувствуете себя настоящим профессионалом в математике.
                  0
                  Дабы не растекаться мыслью по древу и обеспечить приемлемый уровень обсуждения этой темы я бы предложил Вам сконцентрироваться на двух ключевых моментах:

                  • правильные ответы на оба проигнорированных Вами вопроса известны любому математику — то есть человеку, для которого математика является предметом профессионального интереса а не отвлечённого трёпа
                  • математики не пользуются формальной логикой (от слова «вааще и никак»)

                  Да, теории бывают не только математическими, тем не менее оба пункта справедливы по отношению к любому информационному объекту, попадающему под категорию «теории» (при условии разумеется её пригодности для практического применения). Сказанное означает, что ни одному человеку при построении теории не приходилось и не придётся воспользоваться информацией из предметной области ФЛ, поэтому я и говорю что Вы не сможете себе помыслить ни одного примера в подтверждение обратного (от слова «стопроцентная гарантия»). Если человек утверждает о том чего не может помыслить, то я называю такую мысль «фиктивной» — то есть не несущей значимой информации. Поэтому предлагая Вам это обсуждение я исхожу из того что Вы сами не заинтересованы забивать себе голову информационным балластом, и соответственно заинтересованы в этом вопросе разобраться. Если не заинтересованы, значит скорее всего этот вопрос является для Вас предметом веры (то что я выше назвал «глубоко личным»). В таком случае конструктивная дискуссия на эту тему не представляется возможной, а полемизировать по этому поводу у меня признаться нет никакого желания.
                    0
                    >> Математиков не интересует мир в контексте их профессиональной деятельности, как не интересуют неидеальные объекты. Для Вас это новость?

                    Зачем бы я тогда говорил о формальных теориях?

                    >> Я имел в виду именно доказательство а не схему (то есть дедуктивное а не индуктивное).

                    Дедукция опирается на общие законы, которые откуда-то берутся. Откуда? Вот от этих самых аксиом, которые вы хотели доказать. В итоге всё вернётся именно к уровню «я мыслю, следовательно существую». Поэтому аксиомы недоказуемы, ну а ваше заявление про их доказательство, видимо, было поспешным.

                    >> Из того что над вопросом о доказуемости аксиом никто ещё толком не задумывался не следует ведь что они недоказуемы.

                    Вы же сами подтвердили, что «тоже не склонен забивать себе голову избыточной информацией», но тогда с чего вы взяли, что «никто ещё толком не задумывался»? Это очередной поспешный вывод.

                    >> А иначе что Вам помешало просто взять им и поделиться?

                    Поделиться не так просто. Нужно вводить формализмы. А потом показывать пример вывода формальной теории. Я бы не сказал, что это просто (в смысле быстро). Хотя можно попробовать, но с ограниченной строгостью.

                    Предположим, что есть аксиома а=б. Далее предположим, что есть правило вывода — вместо а или б можно подставлять любое истинное утверждение про а и/или б. Тогда, если мы подставим вместо а с, получим необходимость истинности утверждения а=с. И если истинность а=с дана, то тогда по правилу вывода имеем с=б. Таким образом мы пришли к теории, утверждающей, что с=б на основании аксиом а=б и а=с и при помощи указанного правила вывода.

                    Чем прекрасна наша теория? Она неопровержима. Пока мы не оспариваем аксиомы и правило вывода — спорить с нашей теорией бесполезно.

                    Теперь вас заинтересовали формальные теории?

                    >> отдаёте ли Вы себе отчёт в том, что формулировки аксиом являются результатом не божественных откровений, а самостоятельных рассуждений?

                    Да.

                    >> как называется та процедура, которая по итогу рассуждений приводит к появлению истинного утверждения?

                    В итоге появляется не истинное утверждение, а утверждение, истинное при определённых условиях, то есть при допущении истинности аксиом и применимости правил вывода.

                    >> математики не пользуются формальной логикой

                    Есть автоматический вывод теорем. Но да, математики свысока смотрят на это чудо, хотя сами же его и придумали.

                    >> Сказанное означает, что ни одному человеку при построении теории не приходилось и не придётся воспользоваться информацией из предметной области ФЛ

                    Ещё как приходилось и, тем более, придётся. Я сам, будучи далёким от математики, сталкивался с необходимостью использовать такой подход. Потому что тогда вместо меня думать будет железный Феликс, что мне очень даже нужно ради экономии моего времени.

                    Дабы вы не придирались, немного о фразе «построение теории». Под построением можно понимать как закладку основ, так и развитие. Так вот по части развития автоматический вывод теорем — это как раз то, что доктор прописал.

                    Поэтому я и вам рекомендую обратить внимание на формализмы. Потому что ни полезны.
                      0
                      >> Дедукция опирается на общие законы, которые откуда-то берутся. Откуда?

                      Ниоткуда, индукцию мы вообще сейчас не трогаем — при наличии объективной возможности дедуктивного вывода любой аксиомы из других аксиом она спокойно отдыхает в сторонке и не отвлекает нас от конструктивной дискуссии.

                      >> Вот от этих самых аксиом, которые вы хотели доказать.

                      Тут неважно кто чего хочет или не хочет — факт в том что они доказываются. Вообще, при моей индифферентности к вопросам веры я испытываю довольно существенные затруднения при общении с людьми, индифферентными к фактам.

                      >> Поэтому аксиомы недоказуемы, ну а ваше заявление про их доказательство, видимо, было поспешным.

                      Вообще-то я Вам доказательство в общем виде привёл а не заявление, а судя по Вашему игнору моих вопросов правильные на них ответы известны Вам не хуже чем математикам. Поэтому с моей точки зрения поспешные выводы делаете именно Вы.

                      >> Вы же сами подтвердили, что «тоже не склонен забивать себе голову избыточной информацией», но тогда с чего вы взяли, что «никто ещё толком не задумывался»? Это очередной поспешный вывод.

                      Если бы об этом хоть чуть-чуть задумывались, то доказательство переместительного закона сложения было бы общеизвестным. Мне оно известно, как известно и то что оно тривиально. Следовательно, на эту тему никто толком не задумывался. Думаете Вы один такой слепо уверовавший в недоказуемость аксиом?

                      >> Поделиться не так просто.

                      Да я с несколькими десятками человек обсуждал этот вопрос — все как один твердят "ну-у-у… долго объяснять в общем… почитайте книжки короче — там всё написано". То что Вы снизошли до разъяснений — это уже большой прогресс.

                      >> Нужно вводить формализмы. А потом показывать пример вывода формальной теории. Я бы не сказал, что это просто (в смысле быстро).

                      Как Вам такой пример «доказательства таблицы умножения»:


                      Суждение №2.2: Два умножить на два равно четыре.
                      Суждение №2.3: Два умножить на три равно шесть.
                      Суждение №2.4: Два умножить на четыре равно восемь.
                      Суждение №2.5: Два умножить на пять равно десять.
                      Суждение №2.6: Два умножить на шесть равно двенадцать.
                      Суждение №2.7: Два умножить на семь равно четырнадцать.
                      Суждение №2.8: Два умножить на восемь равно шестнадцать.
                      Суждение №2.9: Два умножить на девять равно восемнадцать.


                      Понимаю, бедноватая ФС получилась, но что изменится для «достаточно богатой» кроме навороченности перебора вариантов?

                      >> Чем прекрасна наша теория?

                      Тем что она ни о чём. С таким же успехом Вы могли назвать «теорией» формулу «a*a + b*b = c*c», не оговорив никаких подробностей. Следует ли из Ваших слов то, что теорема Пифагора не является элементом теории — ну, раз она не абстрагируется от того содержания, на которое ссылаются a b c?

                      >> Она неопровержима. Пока мы не оспариваем аксиомы и правило вывода — спорить с нашей теорией бесполезно.

                      Опровергать компьютерную программу — это как? Надеюсь Вы хоть понимаете что всё это делается ради того и только ради того, чтобы потом забить в компьютер?

                      >> Теперь вас заинтересовали формальные теории?

                      Я со школы ими интересуюсь (программист по специальности), так что можете не сомневаться в том что к формальным систем я отношусь со всем пиететом.

                      >> В итоге появляется не истинное утверждение, а утверждение, истинное при определённых условиях, то есть при допущении истинности аксиом и применимости правил вывода.

                      Если истинность переместительного закона сложения математики только допускают, а не знают об этом наверняка, значит остаётся место и для допущения обратного — что рано или поздно найдётся такая пара чисел, для которых коммутативность сложения не выполняется. Так как Вы рассуждают только философы, не имеющие ни малейшего представления о методологии приобретения математических знаний.

                      >> Есть автоматический вывод теорем.

                      Да, я в курсе. Как и о том, что сначала было доказано существование такой возможности. Людьми доказано, а не компьютером — чувствуете подвох? То есть Вы банально перепутали последовательность: сначала что-то доказывается, а потом переводится на язык компьютеров, но никак не наоборот.

                      >> Но да, математики свысока смотрят на это чудо, хотя сами же его и придумали.

                      Причина подобного «высокомерия» математиков вполне обоснована:

                      Так, общий случай решения системы линейных уравнений Гаусс получил задолго до появления информационных технологий, а для того чтобы программисту перевести алгоритм Гаусса на язык компьютеров ему необходимо полностью прогнать его в голове. То есть появление информационных технологий не привнесло в математику новых возможностей, ведь компьютеру невозможно ничего объяснить и думать за математиков он не умеет. Как следствие, задачи математики и информатики не имеют общих точек пересечения.

                      А по Вашим словам получается что компьютер умеет думать за человека.

                      >> Я сам, будучи далёким от математики, сталкивался с необходимостью использовать такой подход. Потому что тогда вместо меня думать будет железный Феликс, что мне очень даже нужно ради экономии моего времени.

                      Вот потому Вы и допускаете столь ламерские ошибки в суждениях, что далеки от математики. А для меня эти ваши перлы «а-ля думающий компьютер» звучат как лязг железа по стеклу, особенно когда вы начинаете настаивать на своих заблуждениях.

                      >> Так вот по части развития автоматический вывод теорем — это как раз то, что доктор прописал.

                      Ну не умеет компьютер доказывать теоремы за человека, можете Вы это наконец понять?

                      >> Поэтому я и вам рекомендую обратить внимание на формализмы. Потому что ни полезны.

                      Разве я спорю с тем что они полезны? Я говорю о том, что к теориям они не имеют никакого отношения, и полагаю что причины тому объяснил Вам исчерпывающе.
                      0
                      мыслью по древу

                      Блин. Мысью же! Белкой, а не мыслью.
                        0
                        Спасибо за поддержку, Вы себе даже не представляете, сколько людей, со средним а то и высшим образованием, не понимают того, что над доказательством нужно думать, даже если это переместительный закон сложения, а компьютер думать не умеет, даже если это последний писк технологий. У меня уже уши в трубочку сворачиваются от оксюморонов типа «думающий компьютер», «формальная теория», или «математики не уверены в истинности переместительного закона сложения». Хотя, с другой стороны, если бы философы так не ненавидели математику за то что там нужно сто раз подумать перед тем как уверенно о чём-то утверждать, вряд ли бы я узнал то о чём идёт речь в этой статье.
            –1
            И вообще, «формальная теория» — это оксюморон. Причём это строго доказано — в статье я уделил внимание этому вопросу:

            Лучше привязываться к аббревиатуре «ФС», о которой от Гёделя нам заведомо известно, что формальные системы в математике заведомо непригодны по причине заведомой неспособности обеспечить полноту теоретических построений.

            Хотелось бы всё-таки рассчитывать на минимум компетенции участников обсуждения во избежание перлов вида «дырявые теории в науке нарасхват» и прочего копипаста чужих заблуждений принимаемых на веру без предварительного анализа.
              0
              Хотелось бы всё-таки рассчитывать на минимум компетенции участников обсуждения

              В таком случае вам стоит освоить минимальную компетенцию автора публикации: из первого абзаца должно быть понятно, какова цель этой публикации, о чем она. Без этого условия публикацию не будут читать, какой бы прорывной и гениальной она не была (и это действует не только на хабре).
                0
                В интернете нет ни одного форума, участники которого были бы заинтересованы в получении результатов совместной научно-теоретической деятельности, поэтому мне нет смысла соблюдать эти формальности, понимая что кроме как на свои внутренние монологи рассчитывать мне больше не на что.
                  0
                  На Хабре всё как обычно. Не понял статью — заминусовал. Не могут вот некоторые со своим скудным умишкой просто мимо пройти. Обязательно автору нагадить надо!
                    0
                    Я ориентировался главным образом на критерий «наименьшей идеологизированности» информационного ресурса. Математические форумы все как один специализированы на «помощи школьнику», от научных за километр несёт казёнными штампами, за философские вообще молчу. Вот я и подумал что хабр — далеко не худший вариант где это можно опубликовать. Заодно и у себя в голове порядок навёл.
                    0
                    Если вы пишите статью, предполагая, что читать её будете только вы сами, но при этом выставляете на общее обозрение некоторому сообществу, то отрицательная оценка этой статьи — закономерный результат.
                    В интернете нет ни одного форума, участники которого были бы заинтересованы в получении результатов совместной научно-теоретической деятельности

                    Зачем же вы тогда тратите свое время на то, чтобы писать что-то на форуме в интернете?
                    поэтому мне нет смысла соблюдать эти формальности
                    Для людей, которые профессионально занимаются наукой (да и не только), эти формальности позволяют быстрей и эффективней находить полезную для них информацию.
                      0
                      Если вы пишите статью, предполагая, что читать её будете только вы сами, но при этом выставляете на общее обозрение некоторому сообществу, то отрицательная оценка этой статьи — закономерный результат.

                      Логично — может и рад бы возразить, да нечем.

                      Зачем же вы тогда тратите свое время на то, чтобы писать что-то на форуме в интернете?

                      Когда мозги начинает распирать от мыслей, приходится с этим что-то делать. К тому же можно использовать собеседников для развития этих мыслей, не спрашивая у них на то согласия.

                      Для людей, которые профессионально занимаются наукой (да и не только), эти формальности позволяют быстрей и эффективней находить полезную для них информацию.

                      Я имел в виду не «науку вообще», а отдельно взятый форум (хоть один), участники которого (простите) не переводят свои мозги на говно, а достигают результатов. Поскольку исключений из этого правила наблюдать мне ещё не приходилось, я прихожу к выводу что на совместные теоретические разработки наложен негласный запрет. О причинах могу только гадать — возможно для данного пространственно-временного сектора такой вариант не предусмотрен, и вполне допускаю что на то есть веские основания.
                –1
                user_man:

                Автору вопрос — ваше неформальное определение математики как чего-то между алгеброй и геометрией как-то учитывает дискретные разделы традиционной математики? Например — графы. А от графов надо бы перейти к их сути, от которой идёт смысл понятия «отношение». Где отношения в вашем представлении математики, которая между алгеброй и геометрией?

                Извините, пропустил Ваш вопрос мимо внимания — хоть что-то по существу написали. Ответ здесь:

                Тогда «чисто-геометрическим» можно назвать любой объект составленный из точек и не содержащий информации о направлении их распространения, а к любому алгебраическому объекту можно применить «операцию понижения» до визуального объекта, сопроводив его условными обозначениями того что не видно глазу но видно уму

                То есть граф — это ни разу не геометрический объект, поскольку его графическое представление не содержит ничего кроме условных обозначений. У вектора хоть палочка соответствует тому что мы о нём понимаем (в уме только стрелочка), граф же как абстрактный информационный объект начисто лишён визуальной составляющей и содержит информацию только о связях, воспринимаемых сугубо умозрительно.

                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                Самое читаемое