Знаменитые уравнения жидкости дали течь

Автор оригинала: Kevin Hartnett
  • Перевод

Исследователи столетиями искали примеры ситуаций, в которых уравнения Эйлера для гидродинамики идеальной жидкости окажутся неверными. И вот, наконец, такой пример нашли математики.



При сближении колец жидкости в определённых упрощённых случаях описывающие их движения уравнения Эйлера не работают

Математики уже много лет подозревали, что при определённых условиях уравнения Эйлера откажутся работать. Однако они не могли описать конкретный сценарий, в котором это происходит. До сегодняшнего дня.

Эти уравнения представляют собой идеализированное математическое описание движения жидкости. В границах определённых предположений они моделируют распространение волн на пруду или просачивание патоки из банки. Они должны уметь описывать движение любой жидкости в любых условиях – и более двух столетий всё так и было.

$ \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v = g – \frac{1}{\rho} \nabla p $



Однако новое доказательство демонстрирует, что при определённых условиях эти уравнения всё же отказываются работать.

«Полтора года назад я бы сказал, что не рассчитываю увидеть подобного развития событий ещё при своей жизни», — сказал Тарек Элгинди, математик из Калифорнийского университета в Сан-Диего, автор новой работы.

Элгинди доказал существование недостатков в уравнениях Эйлера в двух работах, опубликованных в 2019-м году – апрельскую он написал сам, а октябрьскую – в соавторстве с Теджеддином Гоулом и Надером Масмуди. Работы перевернули столетние предположения по поводу этих знаменитых уравнений для жидкости.

«Мне кажется, это прекрасное и замечательное достижение», — сказал Питер Константин, математик из Принстонского университета.

Работа Элгинди не возвещает конца уравнений Эйлера. Она доказывает, что при совершенно определённых условиях уравнения как бы перегреваются и начинают выдавать бессмыслицу. Но в более реалистичных условиях уравнения пока что остаются неуязвимыми.

Однако найденное Элгинди исключение удивило математиков, поскольку он происходит в таких условиях, при которых, как считалось ранее, уравнение должно работать в любом случае.

«В целом, мне кажется, что люди удивлены примером, приведённым Тареком», — сказал Влад Викол, математик из Нью-Йоркского университета.

Как уравнения Эйлера рванули


Леонард Эйлер вывел уравнения для жидкости, носящие ныне его имя, в 1757 году. Они описывают эволюцию жидкости со временем, так же, как уравнения Ньютона описывают движение бильярдного шара по столу.

Точнее, эти уравнения обозначают мгновенные движения бесконечно малых частиц жидкости. В их описание входит скорость частицы (насколько быстро и в каком направлении она движется) и такая связанная с ней величина, как завихрённость (насколько быстро частица вращается на манер волчка, и в каком направлении).

Вся эта информация целиком формирует «поле скоростей», мгновенный снимок движения жидкости в заданный момент времени. Уравнения Эйлера начинаются с изначального поля скоростей, и предсказывают, как оно будет меняться в любой момент в будущем.


Тарек Элгинди

Уравнения Эйлера не описывают жидкость реального мира буквально. Они включают несколько не физических предположений. К примеру, они работают, только если внутренние потоки в жидкости не создают трения, двигаясь относительно друг друга. Также предполагается несжимаемость жидкостей, то есть, по правилам уравнений Эйлера нельзя сжать жидкость, уместив её в пространство меньшего объёма, чем она уже занимает.

«Эту модель можно представить себе как идеализированный мир, а уравнения – как правила движения этого мира», — писал Владимир Сверак из Миннесотского университета нам в емейле.

Эти необычные условия позволили математику и физику Джону фон Нейману в шутку заявить, что эти уравнения моделируют поведение «сухой воды». Для моделирования более реалистичной жидкости, испытывающей внутреннее трение (т.н. вязкость), исследователи используют уравнения Навье-Стокса.

«Уравнения Эйлера очень идеализированы. В реальных жидкостях присутствует трение», — сказал Константин.

Но при этом уравнения Эйлера всё равно занимают уважаемое место в науке. Исследователям хотелось бы знать, работают эти уравнения чётко в рамках этого идеализированного мира без трения и сжатия – то есть, могут ли они описать все будущие состояния всех возможных начальных вариантов полей скорости. Или, иначе говоря: бывает ли такое движение жидкости, которое не могут моделировать эти уравнения?

«В основе своей вопрос прост: всегда ли эти уравнения выполняют свою работу?» – сказал Сверак.

В теории, подставив в уравнения значения текущего состояния жидкости, вы получите точные величины для описания её будущего состояния. Потом вы можете вновь подставить эти новые величины в уравнения, и продлить ваш прогноз. И обычно подобный процесс можно продолжать на любой отрезок времени в будущем.

Однако также возможно, что в очень редких условиях уравнения ломаются. Они могут скрипеть, пыхтеть, выдавать выходные значения, подходящие на роль будущих входных параметров, а потом вдруг выдать значение, которое для них совсем не подходит. В таких случаях математики говорят о том, что уравнения «рванули».

Если уравнения Эйлера и рванут, то это будет оттого, что они начнут усиливать скорость или завихрённость точки каким-то неестественным образом. Это усиление будет настолько сильным, что за конечное время скорость или завихрённость точки станет бесконечной. А как только уравнения выдадут бесконечное значение, они сломаются и перестанут описывать любые состояния среды в будущем. Всё потому, что обычно нельзя вести вычисления с бесконечными значениями – это всё равно, что делить на ноль (кстати, значения скорости в таком случае превысят скорость света – правда, в идеализированном мире модели это не самое страшное).

Эти роковые бесконечные значения называются «сингулярностями». Когда математики задают вопрос «всегда ли работают уравнения Эйлера?», на самом деле они спрашивают «есть ли сценарии, в которых уравнения Эйлера выдают сингулярности?»

Многие математики считают, что есть – однако до настоящего времени они не могли найти конкретный сценарий, в котором уравнения действительно взрываются.

«Складывалось ощущение, что Эйлер пытается избежать сингулярности, и до недавнего времени у него это получалось», — сказал Константин.

Новая работа не демонстрирует, как уравнения выдают сингулярности при условиях, более всего интересующих математиков. Однако пока этот результат подошёл к цели ближе остальных. И для этого Элгинди рассмотрел упрощённую модель движения жидкостей.

Уменьшая сложность


У математиков есть множество разных способов уменьшения сложности движения жидкости, для моделирования которой они используют уравнения Эйлера. Многие из наиболее интересных результатов, похожих на достигнутый Элгинди, включают демонстрацию того, насколько сильно можно упростить поведение жидкости – то есть, насколько сильно можно упростить данные, подставляемые в уравнения – и при этом ещё иметь возможность сказать что-то осмысленное касательно самих уравнений.

В реальной трёхмерной жидкости, такой, как вода в пруду, у любой частицы есть три возможных оси для движения: ось x (вправо-влево), ось y (вверх-вниз), и ось z (вперёд-назад). Довольно большая свобода перемещений. Более того, движение частиц в одной части жидкости не обязательно будет сильно связано с движением частиц в другой части.

«Приходится слишком много всего отслеживать», — сказал Элгинди.

В новой работе Элгинди упрощает работу для уравнений Эйлера. Он требует, чтобы жидкость была симметричной вдоль оси z, чего обычно в реальных жидкостях не встретишь. Благодаря симметрии становится легче подсчитать поле скоростей, поскольку известно, что точки с обеих сторон оси z зеркально симметричны. Поэтому, если вы знаете скорость или завихрённость у одной точки, нужно просто поменять знак у этих значений, и получить эти величины для другой точки.


1) Жидкости двигаются навстречу. Поля скорости отслеживают движение небольших участков жидкости.
2) Центры колец притягиваются, что заставляет кольца вытягиваться.
3) Кольца сталкиваются, порождая точку «сингулярности», вращающуюся с бесконечной скоростью.


Также он ограничивает возможные перемещения точек в жидкости. Частицам можно двигаться либо вдоль оси z, либо от неё, либо по направлению к ней. Им нельзя вращаться вокруг оси z. Математики говорят, что в таких жидкостях отсутствуют водовороты.

«Это сводит задачу к двумерной», — сказал Элгинди.

Наконец, Элгинди накладывает ещё некоторые условия на изначальные данные, вводимые в уравнения Эйлера. В каком-то смысле эти данные грубее тех, что описывают реальные жидкости, и увеличивают вероятность формирования сингулярностей.

В реальной жизни, если перейти от одной точки к другой, расположенной очень близко к ней, то и скорости этих двух точек будут почти равны. Завихрённости двух этих точек тоже должны быть очень похожими. Математики говорят, что поля скорости с таким свойством «гладкие», то есть, значения на них меняются постепенно – или гладко – при движении от одной точки к другой. Быстрых изменений не происходит.

Но в случае с описанием жидкости от Элгинди всё по-другому.

«Завихрённость в данных Тарека может меняться очень сильно, — сказал Викол. – У близких точек может быть очень разная завихрённость».

Может показаться, что упрощения Элгинди очень сильно отходят от поведения реальных жидкостей для того, чтобы быть полезными. Однако они всё-таки гораздо менее жёсткие, чем многие из упрощённых сценариев, в которых учёные раньше рассматривали уравнения Эйлера. На самом деле, Элгинди даже показал, что при этих упрощённых – но не слишком – условиях уравнения Эйлера начинают выдавать очень неожиданные результаты.

Игра окончена


Чтобы понять открытие Элгинди, представьте ёмкость с водой. Это не совсем точный пример, поскольку в работе Элгинди рассматриваются жидкости, не имеющие границ, то есть, летающие, как пузырь в невесомости. Но для того, чтобы визуализировать сценарий, находящийся в центре его работы, полезно будет расположить воду в ёмкости. Хотя наиболее важные математические гипотезы – и те, что сложнее всего доказать – касаются жидкостей без границ.

Затем представьте себе два толстых кольца воды, расположенных с разных концов резервуара. Они формируют небольшие воронки, типа водоворотов – организованные возмущения внутри жидкости. Подобные явления встречаются в природе, и похожи на кольца дыма, которые умеют выдавать опытные курильщики.

Теперь представьте, как два противоположных кольца сближаются.

Во время сближения уравнения Эйлера работают нормально, подсчитывая поля скоростей, описывающие жидкость в каждый момент времени. Но когда они сближаются достаточно сильно, уравнения начинают выдавать очень странные результаты.

Они показывают, как кольца начинают притягиваться друг к другу всё сильнее и сильнее – а центральные точки колец притягиваются друг к другу ещё сильнее, чем внешние части. В итоге кольца вытягиваются, и начинают походить на воронку. И чем сильнее сближаются центры колец, тем сильнее увеличивается их скорость. А потом они сталкиваются.

И если в этот момент посмотреть на поле скорости, описывающее столкновение, можно увидеть то, что при таком наборе предположений за всю историю уравнений Эйлера никто не видел: сингулярность. Элгинди доказал, что уравнения Эйлера выдают бесконечную скорость в точке столкновения. Игра окончена.

«Классическая форма уравнения ломается, — сказал Элгинди. – После этого непонятно, что происходит».

У результата есть свои ограничения. А именно, невозможно экстраполировать поведение уравнений Эйлера в полностью «гладких» условиях на основе этого результата. Математики ещё несколько десятилетий назад доказали, что при «гладких» условиях сценарий, рассматриваемый Элгинди, не выдаст сингулярности.

Однако в остальном его результат полностью меняют взгляд математиков на эти старые уравнения.

До работы Элгинди математики не могли доказать существование какой-либо ситуации в жидкости без границ, в которой уравнения Эйлера работают некоторое время (пока кольца сближаются), но не бесконечно. Во всех предыдущих работах у математиков получалось, что если уравнения в принципе работают, то они работают всегда.

«Это весьма примечательный результат, ведь он доказывает наличие сингулярностей в сценарии, который мы называем ''корректно заданным''. Он имеет смысл, но при этом мы приходим к сингулярности за конечное время», — сказал Константин.

Многие поколения учёных искали слабое место в уравнениях Эйлера. И наконец – с некоторыми оговорками – математик нашёл его.
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама

Комментарии 33

    +20

    Я правильно понял из этого моря воды, что он взял 3D уравнения, применил их к 2D системе с разрывом начальных условий и сказал, что всё сломалось?

      +2
      Я понял примерно так же
        0
        Насколько я понял, была доказана некорректность постановки задачи (уравнения Эйлера + начальные и граничные условия) в классе разрывных функции. Я, конечно, не знаю, как это отразится на применимости моделей, содержащих уравнения Эйлера, в физике. Это достижение уравнений математической физики, где чисто математически, с отрывом от физической природы, исследуются уравнения в частных производных.
          +5
          Статья действительно крайне запутанная. Типа длинная для того, чтобы быть популярной, однако это затрудняет понять что к чему. Я вообще только к середине статьи стала догадываться, из-за чего вообще сыр-бор. Если я правильно понимаю, то изначально кольца изолированы в пространстве. Если это так, то тут изначально нет сплошной среды, т.к. есть поверхности. Это сразу же означает разрывность поля скоростей в начальных условиях. Ну а дальше «чему вы удивляетесь».

            +4
            Статья действительно сложна и запутана (тут нужно понимать уравнения математической физики и функциональный анализ). В статье рассматривается система из уравнения Эйлера и несжимаемости, а также условия Коши. Затем строится эквивалентная система для завихрения, и исследуется именно она. Основной результат: для любого a > 0, что для любой бездивергентной начальной скорости, дифференцируемой один раз по пространственной переменной (или лучше сказать переменным) и a раз по времени, и такой, что ее завихрение имеет компактный носитель, и завихрение три раза дифференцируемо, существует единственное начальное решение в классе измеримых функций, интегрируемых по Лебегу в квадрате модуля, и дифференцируемых один раз по пространственной переменной (или лучше сказать переменным) и a раз по времени имеет место равенство: предел при t -> 1 интеграла от 0 до t от L-бесконечности нормы завихрения по пространству (объему) стремиться к бесконечности. Более того, такое решение устойчиво.

            И еще как часть результата важно следствие: в классе решений, которые измеримы, интегрируемы по Лебегу в квадрате модуля, и дифференцируемы один раз по пространственной переменной (или лучше сказать переменным) и a раз по времени, трехмерных уравнений Эйлера невозможно усилить критерий Била-Като-Майды в размере Lp пространств. В частности, для каждого p, меньшего бесконечности, существует классическое решение трехмерного уравнения Эйлера, для которого супремум Lp норм завихрения при фиксированных t из [0, T) меньше бесконечности пока предел при t -> T интеграла от 0 до T от L-бесконечности нормы завихрения по пространству (объему) стремиться к бесконечности.
              +1
              Всю эту информацию вы извлекли из текста приведенной выше статьи? 8[]
                +1
                arxiv.org/abs/1910.14071 — октябрьская работа Тарек Элгинди, про которую эта публикация.
                  –1
                  Спасибо за ответ! Никогда правда не понимал, как в газе, состоящем из абсолютно упругих шариков движущихся без трения могут возникать вихри. Они же все по прямой двигаются между столкновениями.
                0
                Ещё и при какой-то хитрой норме, как я вижу.
                  0
                  Ага. Самое интересное, что по Lp норма все хорошо (следствие), даже по супремуму таких норм тоже. А вот супремум интегралов L-бесконечность норм уже плох. Вот вообще, интересно, являются ли те супремумы нормами (что-то мне подсказывает что нет, т. к. это функциональный анализ и надо esssup брать, а не sup).
                    0
                    Простите, я функан не учил. Интересный выходит вариант с «существественным супренумом».
                      0

                      L-бесконечность это и есть существенный супремум. Если эта норма равна бесконечности, то это надо читать как "Множество, на котором функция принимает значения больше любого заранее заданного числа, не является множеством меры нуль." Например, x^(-1/2p) на отрезке [0;1] имеет конечную Lp-норму и бесконечную L-бесконечность норму.

              +1
              не совсем. Он взял двумерную систему и упрощёнными численными методами начал считать…
              +2

              Написано путано, но проблема уравнения Эйлера в том, что было неизвестно всегда ли в трехмерном случае решение уравнения будет гладким, то есть без сингулярностей.
              Хотя найденная ситуация связана с большим увеличением скорости, что явно выводит уравнение за рамки классического подхода без учета релятивистских эффектов.

                +2
                1. Дело скорее не в релятивистских эффектах. Однако по своему вы правы. Уравнения Эйлера подразумевают закон Паскаля в том смысле, что взаимодействия в жидкости распространяются мгновенно. Это значит, что скорость звука считается бесконечной.

                Поэтому «релятивистские эффекты» возникают, когда появляются скорости, становятся сравнимы со скоростью звука, а не света.

                2. Ну и второй момент. Какой бы идеальной ни была бы жидкость при больших скоростях вязкость нельзя отбрасывать. В общем большой привет Навье со Стоксом.
                +1

                Детский сад какой-то. Любая формула — это приближенная модель реального мира. Уравнение состояния идеального газа тоже плохо применимо к реальным газам, но достаточно хорошо описывает разреженные газы. Механика Ньютона тоже работает только в ограниченных условиях.

                  0
                  Механика Ньютона тоже работает только в ограниченных условиях.

                  Позвольте поинтересоваться, в каких условиях только работает? Исключая скорости, близкие к световым.
                    +2

                    Еще не работает в случае размеров, близких к атомным. В случае очень сильных гравитационных полей, насколько помню, тоже не работает.

                      +2
                      В любых квантовых системах не работает, например.
                        +8
                        Исключая скорости, близкие к световым.

                        А это что, не «ограниченные условия»?
                          0
                          Как указали ниже, механика Ньютона (Лагранжа, Гамильтона) является приближением квантовой механики. Один из критериев, когда можно использовать механику Ньютона — действие на траектории много больше h/2/pi. Это никак не выполняется при попытке описать любой электрон на стационарном уровне в атоме, но можно попробовать создать состояние с главным квантовым числом n = 100 и каким-то значением орбитального числа l, которое будет похоже на класс. механику.
                        +2
                        После слов «Эти уравнения представляют собой идеализированное математическое описание движения жидкости. В границах определённых предположений они моделируют распространение волн на пруду или просачивание патоки из банки.» приводится уравнение без члена, отвечающего за вязкость (т.н. уравнение сухой жидкости). Т.е. просачивание патоки из банки такое уравнение не описывает. Может в этом и причина существования сингулярных решений?
                          –1
                          Почему-то сразу приходит на ум моделирование столкновения «чёрных дыр» или нейтронных звёзд. Слово «сингулярность» — оно такое…
                            –1
                            Им нельзя вращаться вокруг оси z.

                            В этом и весь фокус. Элгинди рассматривает 2D воду. В 3D будет решение в виде вихрей вдоль «запрещённой» оси. Они будут «квантовыми», их появление (место и количество) будет описываться некоей квантовой теорией, которой ещё нет.
                              0
                              Т.е. для и так идеально сухой воды создали ещё и идеально необычные, невозможные условия?
                                +2
                                Опять ученый изнасиловал всех вокруг. «А давайте ограничим задачу, уменьшив количество измерений и возможные процессы в среде и напишем статью с желтым заголовком». Меня на прошлой работе в НИИ коллеги засмеяли бы за такое. Плюс если рассматривать чистого Эйлера без сжимаемости и Навье-Стокса, то в таких экстремальных условиях как центральное сжатие вполне естественно получить бесконечные значения: вспомните работу имплозивного ядерного заряда, насколько сильно центральный взрыв сжимает ядро при том, что все законы физики «включены»
                                  +1
                                  Прежде чем ставить крест на уравнениях Эйлера, стоит проверить, не образуется ли в таких условиях настоящая чёрная дыра.
                                    +2
                                    Взять уравнения, применить их для случая, для которого они изначально не применялись, еще и в краевых условиях и сказать, что они опровергнуты — ну такое. Ладно, спишу еще на «перевод», оригинал, возможно, совсем не об этом. Но вообще к матмоделированию надо крайне аккуратно подходить, а уж тем более — к трактовке полученного результата.
                                      +1
                                      Что значит что уравнение «сломалось»?
                                      Жидкость — сложная система. У нее есть турбулетность, а это хаотичность. Если есть сингулярности — значит это правдивое уравнение. А если трения нет — то вполне логично.
                                      И таких точек с нулевой мерой можно достаточно легко найти, сколько угодно
                                        –1
                                        Просто типичный пользователь нашёл баг в Матрице, не покрытый интеграционными тестами. Еще одно доказательство что Вачовски не врали!
                                          +6
                                          Вот таки недостаточно воды в статье про сломанные об колено уравнения жидкости! Я хочу прочитать про то, как ломатель уравнений на выходных звонил другу в Сан-Диего и они обсуждали важность проблемы, пил вино в мексиканском ресторане на 6й Авеню и испытывал мучения из-за плохих уравнений, забирал детей из школы Спрингфилда и обувь дочери поднимала волны в луже по которой шла, как похрустывала пицца на его зубах и масло из пиццы стекало на его язык, как мать его жены в Айдахо взращивает газон около дома и вода разбрызгивается из сприклера на этот газон… Содержание всего этого это первейшая необходимость таких статьей.
                                          А тут, на тебе. Взял и сломал уравнения.
                                          «Приходится слишком много всего отслеживать», — сказал Элгинди.
                                            0
                                            Выше уже неоднократно правильно высказались, но, пожалуй, соберу все в кучу и добавлю пару своих мыслей:

                                            1. Любое уравнение (модель) описывает какое-то явление лишь приближенно, в рамках тех предположений, в которых это уравнение строится. Соответственно, когда мы применяем это уравнение в условиях, когда описанные предположения нарушаются, то да, следует ожидать, что результат будет ерундой.

                                            1а. Каюсь, грешен, его статью с ArXiv-а посмотрел по-диагонали, но заметил, что он берет сферическую систему координат, а там уже неизбежно заложена сингулярность (страшное слово, привлекает внимание)

                                            1б. Помимо несовершенства самой модели важно также заметить, что методы решения уравнений тоже могут иметь свои особенности. В данном случае статья по математике, поэтому он там исследовал все честно, но видосик в начале статьи получился именно в результате численных расчетов. И описанного эффекта я там не заметил.

                                            1в. И да, не забываем про уравнение Навье-Стокса, в которое зашита вязкость (уравнение второго порядка, а Эйлера — первого), поэтому она все сингулярности нейтрализует. Плюс, в численных расчетах есть т.н. эффект «численной вязкости», поэтому сингулярности могут и не образоваться.

                                            2. В статье написано: «запретил создавать вихри вокруг оси z». А зачем? Может, в этом-то и дело?

                                            3. В статье рассмотрен крайне идеализированный случай, когда сталкиваются два кольца. Можно задаться вопросом: где это реализуется в природе, поэтому с какой целью была поставлена задача? Скорее всего, внятного ответа получено не будет, но на то это и фундаментальная наука, чтобы слепо искать какие-то новые интересные фичи.

                                            4. Фактически, получилась просто абстрактная математическая задача, в которой решается два уравнения: уравнение движения (то самое уравнение Эйлера, которое ломается) и уравнение неразрывности. Однако, обычно в физике вместе с ними еще и уравнение сохранения энергии пишут. То есть, попросту говоря, часть энергии при столкновении должна перейти в нагрев/высветиться/привести к ионизации и т.д.

                                            5. Как математик он рассмотрел сплошную среду, независимо от масштабов события. Фактически, если мы столкнем два микроскопических кольца и два кольца астрономических масштабов, результаты в лучшем случае сойдутся в качественном описании.

                                            P.S. встроенный редактор не умеет в вложенные списки
                                              0
                                              Также предполагается несжимаемость жидкостей, то есть, по правилам уравнений Эйлера нельзя сжать жидкость, уместив её в пространство меньшего объёма, чем она уже занимает.


                                              Это частный случай. Но можно считать, что сжимаемость большинства жидкостей намного меньше, чем у газов.

                                              Это усиление будет настолько сильным, что за конечное время скорость или завихрённость точки станет бесконечной.

                                              Значит нужно в изначальные формулы ввести СТО и получить что-то совсем сложное. Ещё может уравнение состояния P = P(V) придется модифицировать при другом виде свободной энергии Гельмгольца.

                                              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                              Самое читаемое