Модель натурального ряда чисел и его элементов. Кратные клетки строк




В очередной работе из цикла статей о натуральном ряде чисел (НРЧ) используются понятия и обозначения Г – модели НРЧ в форме дискретной (из клеток с координатами (х1, хо)) бесконечной плоскости (см.здесь), в которой составное четное или нечетное натуральное число (СННЧ) в каждой клетке модели описывается соотношением N =x1 2 ± 2. Рассматривается очередное важное для решения задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ) свойство Натурального ряда чисел — кратность клеток модели модулю шифра RSA.

Об алгебраических кольцах и шифре RSA


Шифр RSA и ему подобные в своей основе имеет строгую математическую конструкцию – конечное числовое кольцо вычетов (КЧКВ) по модулю составного числа N = dмdб, где dм – меньший простой делитель, dб – больший делитель.

Требованием к ключу (в частности к модулю N) шифра является то, чтобы оба делителя были простыми числами очень большой разрядности (до 300 десятичных цифр). см.здесь

Другим важным требованием к ключу шифра является требование для разности делителей
|dб – dм| = Δ. Она должна иметь столь же высокую разрядность как сами делители. Простым примером КЧКВ может служить начальный фрагмент натурального ряда чисел с добавлением нулевого элемента. Кольцо образуют все числа подряд от 0 до N – 1. Более подробно о кольцах можно прочитать в учебниках по высшей алгебре.

Стойкость шифра RSA к раскрытию ключа оценивается как очень высокая и все усилия криптоаналитиков мира по взлому шифра с момента его публикации (1978 год) успеха до сих пор не имели. Можно назвать ряд причин такого положения.

Публикуемые алгоритмы для реализации атак на шифр базируются в своей основе на концепции числового решета, предложенного Эратосфеном еще до новой эры. С каждой новой публикацией мы видим несколько улучшенную, усовершенствованную версию алгоритма, но, по-видимому, эти усовершенствования недостаточны для достижения успеха. Идея решета Эратосфена [1] была прогрессивной в его время, но сейчас это не срабатывает.

В сети Интернет имеется список RSA-чисел, которые фирма предлагается факторизовать. Список опубликован в 1991 году, и он пока далек от завершения. Анализ результатов мультипликативного разложения чисел из списка доступен, как и сами числа, открыт для всех.

Из анализа следует, чем больше цифр в описании числа, тем большее время требовалось для его разложения. Напрашивается вывод о том, что для разложения модуля N используются алгоритмы весьма чувствительные к разрядности чисел, т. е. алгоритмы используют свойства чисел, сильно зависящие от их разрядности. Я же имею в виду свойства подобные «признакам делимости» чисел. Они практически от разрядности факторизуемого числа не зависят (см.здесь).

Публикуемые работы ограничиваются, как правило, обработкой непосредственно самого числа, игнорируя его окружение, свойства ближних и дальних соседей в рамках конкретной системы счисления. Очень большие надежды авторов и ожидания возлагаются на новые вычислительные средства: квантовые, фотонные, молекулярные и тому подобные вычислители.

Авторы публикаций и владельцы фирмы, т.е. алгоритмов шифрования не отрицают других новых подходов, и не исключают возможности создания новых алгоритмов на новых идеях, перед которыми задача факторизации больших чисел не устоит и ее решение будет успешным. Меня как автора настоящей публикации привлекают как раз новые оригинальные разработки в области решения ЗФБЧ.

Большинство моих публикаций посвящены как раз новым подходам, начиная с синтеза моделей натурального ряда чисел, изучения их свойств и использования таких свойств при разработке новых оригинальных алгоритмов решения ЗФБЧ. Двигаясь в этом направлении удалось установить (открыть) Закон распределения делителей (ЗРД) числа N в НРЧ ЗРД.

Вертикали (столбцы) Г – модели НРЧ


Примером такого нового подхода может служить использование сумм пар квадратов чисел. Эти числа берутся из НРЧ и должны удовлетворять требованиям: два числа смежные и их сумма равна составному числу N, которое хотим факторизовать, еще два числа квадраты, удовлетворяющие уравнению N + x1 2 = 2.

Еще одно требование: суммы квадратов смежных чисел аддитивного разложения с найденными двумя квадратами должны иметь равные (совпадающие) значения (см.здесь). Если удается выполнить перечисленные требования, то факторизация N гарантирована. Пример 1 ниже по тексту иллюстрирует эту возможность.

Рассмотренная схема оригинальная, отличается от предложенной Л. Эйлером и другими математиками более простым и прозрачным для понимания содержанием.

Пример 1. (Сумма квадратов). Задано составное число N = dмdб = 209723. Требуется найти его мультипликативное разложение, т. е. значения множителей dм и dб.
Решение. Воспользуемся свойствами сумм квадратов в Г2+ – гиперболо-круговой модели.

Извлекаем квадратный корень из N, √209723 = 457,955 = 458 и округляем до большего целого.
Далее находим разности последующих квадратов и числа N с проверкой равенства этой разности полному квадрату: 458 2 – 209723 = 41 ≠ ▢, 459 2 – 209723 = 958 ≠ ▢, 460 2 – N ≠ ▢,
461 2 – N ≠ ▢,

462 2 – 209723 = 3721 = 61 2 = ▢. На 5-м шаге искомая разность равна полному квадрату. Находим аддитивное разложение N = 209723 = sм + sб = 104861 + 104862 на смежные слагаемые. Проверяем равенство сумм квадратов в клетках модели
N (х11, хо) = N (х11, sм), N (х12, хо2) = N (х12, sб),
где sм, sб – номера столбцов, а х11 и х12 – номера строк, модели. Эти номера определяются из соотношений равенства сумм квадратов.

2 + 462 2 = 104861 2 + 213444 = 10995829321 + 213444 = 10996042765;
2 + 61 2 = 104862 2 + 3721 = 10996039044 + 3721 = 10996042765. Суммы в клетках, как и ожидалось, оказались равными между собой.

Для таких сумм записываем равенство 2 + 462 2 = 2 + 61 2 и преобразуем его в равенство разностей квадратов 462 261 2 = 22. Справа разность квадратов всегда равна N, а левая разность преобразуется в произведение
462 261 2 = (462 – 61)(462 + 61) = 401·523 = 209723 = N.

Оба множителя – простые числа, т.е. факторизация числа N успешно завершена. Недостаток такого подхода состоит в необходимости отыскивать в смежных столбцах модели суммы квадратов с совпадающими значениями. При больших числах это достаточно трудоемкая операция. По существу эта задача сводится к подбору такого квадрата, который при суммировании с числом N дает больший квадрат.

Горизонтали (строки) Г2- – модели НРЧ


Работа с числами, решение актуальных задач типа ЗФБЧ или дискретного логарифма предполагает, что исследователь каким-то образом упорядочил и классифицировал числа (здесь) и работает не вслепую, не наугад, а прогнозирует ожидаемый результат, на основе выдвинутых гипотез о результате.

Одним из свойств строк (горизонталей) Г 2- – модели НРЧ является линейная зависимость значений каждой клетки последующей строки модели от значений в клетках предыдущей, что выражается простым суммированием значений из клеток верхней из двух смежных строк с постоянным значением из последней клетки нижней строки, то есть
N(х1, хо) = N(х1-1, хо) + N(х1, х1 — 1), хо пробегает при этом всю нижнюю строку (Табл.1)


Кликабельно
Рисунок 1-Значения кратные составным нечетным числам в первой 100 (выделены заливкой)
На рисунке выделены заливкой клетки с числами равными произведению номеров диагоналей.

Особенностью этих чисел является то, что номера диагоналей в КЧКВ по модулю N, рассматриваемые как элементы кольца, при отображении их (возведении в квадрат) и приведении результата по модулю кольца остаются самими собой (неподвижные элементы).

Первое число в качестве модуля N =15. Для него кратная клетка содержит произведение номеров диагоналей 10·6 = 60 = 15·4 кратное модулю с коэффициентом k = 4. Для номеров диагоналей выполняется: 6 2 ≡ 6(mod15);10 2 ≡ 10(mod15).

Возьмем второе число в качестве модуля N =35. Для него кратная клетка содержит произведение номеров диагоналей 21·15 = 315 = 35·9 кратное модулю с коэффициентом k = 9. Для номеров диагоналей выполняется: 15 2 ≡ 15(mod35);
21 2 ≡ 21(mod35). Так будет для всех чисел N, принадлежащих длинной диагонали Д1, в строке которых указана заливкой кратная N клетка.

Пример 2.(Вычисление кратной клетки). Задан составной модуль КЧКВ N =77. по свойствам 1,2 значение в клетке N(х1 = 39, хо = 17) вычисляется как сумма значений в клетке сверху над заданной и в последней клетке строки х1 = 39 равная модулю КЧКВ.
N(х1, хо) = N(х1 = 39, хо = 17) = N(38, 17) + N(39, 39 – 1) => 1232 = 1155 +77.
N(х1, хо)=N(х1 = 39, хо = 17)=N(38, 17)+ N(39, 39 –1) = 38 217 2 + 39 238 2 => 1232 = 1155 +77.

С другой стороны, значение в каждой клетке произвольной строки вычисляется как разность квадратов координат клетки или как произведение разности координат клетки на их сумму
N(х1, хо) = N(х1 = 39, хо = 17) = 39 217 2 = (39 – 17)(39 + 17) = 22·56 = 1232 =16·77.

Существуют и другие менее наглядные способы вычислений значения в клетке.

Рассмотренный пример замечателен тем, что устанавливает формализованную связь рассматриваемой модели с конечным числовым кольцом вычетов по составному модулю.

Известно, что длинная первая диагональ Г – модели НРЧ. содержит в своих клетках все нечетные подряд следующие числа, которые могут рассматриваться как модули приведения алгебраических структур. Сами структуры образованы из элементов – натуральных чисел. Здесь не будем углубляться в понятия высшей алгебры, а укажем только факты интересные с позиций их отображения в Г2 - – модели НРЧ.

Среди всех элементов структуры КЧКВ по модулю N имеется множество И= {x}, которые называются идемпотентами, и квадраты которых после редукции (приведения их по модулю) сохраняют свои значения х 2≡ х(mod N). Такие элементы называются в теории отображений – неподвижными. Далее будем обозначать идемпотенты символами И1, И2,…

Другой класс элементов множество Н = {x} КЧКВ, называемых инволюциями, обладает следующим свойством х 2≡ 1(mod N). Далее будем обозначать инволюции символами Н1, Н2,…

Роль таких элементов колец весьма велика при решении прикладных задач и здесь мы рассмотрим отдельные интересные и полезные для решения ЗФБЧ факты. Дело в том, что теория колец не отвечает на вопрос, какие конкретно из элементов кольца являются идемпотентами, какие инволюциями. Как установить эти элементы, как определить их значения, при заданном модуле N кольца.

Оказывается, идемпотенты являются, к тому же, элементами кратными разным делителям модуля N. Их произведение по модулю равно нулю, так как кратно N, но сумма двух идемпотентов равна N + 1. Располагая значением идемпотента, можно решить задачу нахождения наибольшего общего делителя (общего как для модуля, так и для идемпотента).

А отсюда недалеко и до решения задачи факторизации модуля кольца, которая обеспечит нахождение личного ключа асимметричного шифра и успешность атаки на такой шифр.

Рассмотренный пример с клеткой, имеющей значение кратное значению в крайней правой клетке строки (кратной клеткой) имеет особенность, состоящую в том, что произведение диагоналей в кратной клетке – это произведение идемпотентов кольца.

Факторизация N с использованием идемпотентов конечного числового кольца


Схемы факторизации СННЧ N. Использование идемпотентов КЧКВ
Все (х1, хо) клетки Г2 - – модели уникальны и объединяются в линии: горизонтали с номерами х1 (они содержат число х1 клеток), вертикали с номерами хо, диагонали: короткие (K) с номерами х1 + хо и длинные (Д) с номерами х1 – хо.

В каждой клетке (х1, хо) модели пересекаются линии названных типов, номера которых определены координатами клетки. В клетках модели могут находиться не любые числа, а только представимые разностями квадратов других чисел (координат).

Горизонталь модели может быть задана ее номером х1, а вертикаль соответственно номером хо. В каждую клетку вписано число N (х1, хо) = х1 2хо 2. Последние клетки горизонталей образуют длинную диагональ Д1 и содержат значения

N(х1, х1 – 1) = х1 2х1 2 + 2х1– 1= 2х1 – 1,

зависящие от номера горизонтали. В клетках этой диагонали содержатся все следующие подряд нечетные числа. Для диапазона чисел [d1min, d1max], d1min, d1max ∊ Д1, сумма их значений задает аддитивную форму числа N.

Пример 3 (Вычисление значения kN кратной клетки как суммы элементов фрагмента диагонали Д1 )

= 77+75+ 73+ …+ 37+35 = 1232 = 16·77= 22·56,,
где i= 1(1)22.

Последнее означает, что количество слагаемых (22) в сумме равно меньшему делителю
N (х1, хо), а среднее слагаемое (56) – большему делителю N (х1, хо).

Если клетки главной До диагонали Г2 ± – модели с уравнением х1 = хо включить в Г2 - — модель, то значение в них будет равно нулю. Тогда при порождении значений в клетках строки с номером х1 в ее последней клетке получим значение 2х1–1, так как оно суммируется со значением из клетки строки с номером х1–1, находящейся сверху над ней и это значение равно 0. Важными свойствами Г2 - — модели и ее клеток являются следующие.

Свойство 1. Все числа в клетках текущей горизонтали х1 могут быть получены из чисел в соответствующих клетках предшествующей (верхней) горизонтали с номером х1 – 1 путем суммирования их значений с постоянным значением 2х1 – 1.

Таблица 1 – Фрагмент Г2 - — модели из 2-х строк 38-й и 39-й, N = 77



Действительно, N (х1, хо) = N (х1 –1, хо) + 2х1 – 1 = х1 2 – 2х1 + 1+ 2х1 – 1– хо 2 = х1 2 хо 2.

Свойство 2. Второе свойство вытекает из первого. Любое число N (х1, хо) в клетке горизонтали с номером х1 может быть получено как сумма значений в клетках фрагмента длинной диагонали Д1, из которых большее d1max – число в последней клетке горизонтали х1, а меньшее d1min – число лежит в клетке пересечения диагонали Д1 с вертикалью хо.

Свойство 3. Для бесквадратного СННЧ N, помещенного в крайнюю правую клетку горизонтали х1, в этой горизонтали найдется клетка, в которой будет помещено число кратное N, т. е. число kN, k > 1. Поиск такой клетки нетривиальная трудно решаемая задача.

Иллюстрацией этого свойства являются данные таблицы 2. Для чисел первой сотни, которые бесквадратные и составные N, размещенные в клетках d1∊ Д1 со значением 2х1 – 1 указывается другая клетка (х1, хо), содержащая значение N (х1, xо) = kd1 кратное d1.

Таблица 2.


К·Д — произведение диагоналей, пересекающихся в клетке со значением kN.

Свойство 4. Все числа N (х1, хо) в клетках текущей горизонтали х1 могут быть получены как произведения номеров диагоналей а = х1+хо короткой и b = х1 – хо длинной, пересекающихся в этих клетках.

Иллюстрацию свойств удобно выполнить на числовом примере
Пример 4. Будем рассматривать Г2 - – модель. Зададим для факторизации СННЧ N = pq = 7·11 = 77. Это нечетное число и для него в длинной диагонали Д1 имеется клетка, которая лежит в горизонтали с номером х1 = ½ (N + 1) = 39.

Само число 77 помещено в последней клетке этой горизонтали, содержащей, как и все другие клетки, разность квадратов координат х1 2 хо 2.

Первая клетка этой горизонтали в вертикали хо = 0 занята числом
х1 2 = 39 2 = 1521. Значение числа в любой промежуточной клетке горизонтали х1 равно, с одной стороны, произведению номеров b = х1 – хо длинной и короткой a = х1 + хо диагоналей, пересекающихся в ней ab = (х1 + хо)( х1 – хо).

С другой стороны – равно разности квадратов номеров горизонтали (для всех клеток горизонтали этот квадрат х1 2 одинаков) и вертикали хо 2, также пересекающихся в этой промежуточной клетке, т.е.
N(х1, хо) = х1 2 хо 2.

Кроме этого, все значения в клетках горизонтали х1 (по свойству 1) равны сумме значений N(х1, хо) = N(х1 – 1, хо) + 77 из соответствующих клеток горизонтали с номером х1 – 1, т.е. из верхней над ней и константы, равной N = 77.

Допустим, что в качестве номеров диагоналей выбраны у короткой значение х1 + хо = И1= 56 и для длинной значение х1 – хо = И2 = 22, т.е. значения нетривиальных идемпотентов кольца вычетов по модулю N.

При перемножении нетривиальных идемпотентов в роли диагоналей Г2 - – модели получаем в некоторой клетке горизонтали (с номером х1 = 39) в качестве их произведения число, кратное модулю (77) кольца вычетов, который размещается в последней клетке этой горизонтали, т. е. И1·И2 = 56·22 = kN = 16·77 = 1232.

Также из теории колец известно, что сумма нетривиальных идемпотентов равна И1+ И2 = N+1. Таким образом, относительно неизвестных идемпотентов получаем алгебраическую систему уравнений, которая кроме двух неизвестных идемпотентов содержит еще и третью неизвестную – коэффициент кратности k>1.



К счастью коэффициент k может быть определен вне системы алгебраических уравнений. Допустим, что коэффициент k нами уже определен k = 16.Тогда решаем систему уравнений.



Последнее слагаемое в квадратном уравнении необходимо сделать квадратом числа 39. Для этого добавим в левую и правую части уравнения число 289 = 17 2. Тогда получаем
(И2 — 39) 2 = 17 2 или И2 – 39 = ±17 и окончательно, И2 = 17 + 39 = 56 или И2 = 39 – 17 = 22.
Ответ: Идемпотенты равны И2 = 22; И1 = 56 или наоборот: И2 = 56 и И1 = 22.

Теперь вернемся к вопросу определения значения коэффициента кратности k.
Рассмотрим следующий алгоритм определения коэффициента кратности модуля N.

Алгоритм

1. Задано составное число N = 77 – модуль кольца вычетов;

2. Определяем по N значение номера горизонтали x1 = ½ (77+ 1) = 39, в первую клетку
которой помещаем квадрат 39 2 = 1521, а в ее последнюю клетку помещаем N = 77;

3. Произведение идемпотентов появляется в промежуточной клетке горизонтали x1 = 39; для этой клетки выполняется то условие, что число в ней равно kN, и оно представимо разностью квадратов натуральных чисел.

4. Следовательно, вычитая многократно из квадрата числа первой клетки горизонтали 39 2 = 1521 последовательно значения хо = 1,2,3,..., определяем каждый раз значение k, и является ли оно целым числом? Как только разность становится кратной N, задача решена: найдено kN.

Рассмотрим также другой алгоритм определения коэффициента кратности модуля N.

1. Задано составное число N = 77 – модуль кольца вычетов;

2. Определяем по N значение номера горизонтали x1 = ½ (77+ 1) = 39, в первую клетку
которой помещаем квадрат 39 2 = 1521, а в ее последнюю клетку помещаем N = 77;

3. Произведение идемпотентов появляется в промежуточной клетке горизонтали x1; для этой клетки выполняется то условие, что число в ней равно kN, и оно представимо разностью квадратов натуральных чисел.

Используя свойство 2, число kN можно находить указанным там путем, а именно, суммированием монотонно убывающих нечетных чисел из фрагмента диагонали Д1, начинающегося числом d1max = 77, и завершающегося числом d1min, значение которого априори неизвестно, d1min, d1max ∊ Д1.

4. Для установления последнего слагаемого после каждого шага суммирования проверяется делимость полученной суммы на N = 77. Решением будет сумма, делящаяся нацело на 77.

Таблица 3 – Числа N кратные 3 на осевой линии (заливкой выделен прогноз)



В этой таблице составные числа (кратные трем) следуют с чередующимися пропусками величиной 6 и 12. Действительно, в строке N имеем 21 – 15 = 6, а 33 – 21 = 12 и далее в таком же порядке. Предположительно пропуски между табличными значениями N вызваны тем, что в шестерке смежных чисел встречаются простые числа-близнецы, например, 16, 17, 18, 19, 20.

Следующее число кратное трем 21 как раз шестое по счету после 15. Либо в 12 подряд следующих чисел возможны пары простых чисел-близнецов, например, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, либо к простым близнецам подмешиваются квадраты 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50. В общем, выбор осуществляется с гарантией не cтолкнуться на не составное число в позиции, соответствующей числу кратному трем.

Именно, такое условие обеспечивает надежность прогноза далеко вперед. Пропущенные числа при этом оказываются кратными не только трем, но и большим простым числам, что позволяет их рассматривать с других позиций.

Список публикаций

1.Стечкин Б.С., Матиясевич Ю.В. Сито Эратосфена // Труды международной школы С.Б. Стечкина по теории функций. — Екатеринбург, 1999. – с. 148.

Комментарии 7

    +2
    Снова повторюсь — предлагаемые алгоритмы эквивалентны простому перебору делителей, а потому мало полезны на практике.

    Но сама структура интересна. Поэтому её стоит изучать, только вот доносить результаты изучения не стоит с упором на алгоритмы, которые не дают практической пользы. Здесь аудитория условно «развлекательная», хотя и с техническим уклоном, поэтому некие закономерности без практической пользы здесь почти никому не нужны. И тем более, если практическая польза всё же предлагается (в виде алгоритмов), а на самом деле она ничтожна, то это ещё сильнее убивает восприятие найденного.

    Закономерности натурального числового ряда интересны лишь тем, кто понимает, что даже без практической пользы сейчас они могут помочь при решении практических вопросов в будущем, путём упрощения достижения новых результатов с опорой на ранее достигнутое, хоть и не давшее никакой практической пользы. Я для себя вынес кое-что полезное из вашего подхода, но практическая польза для меня, опять же, лишь в выделении закономерностей, которые, как мне кажется, можно было бы использовать при изучении других направлений теории чисел.

    С другой стороны понятно, что хочется заинтересовать читателей упоминанием про факторизацию чисел криптографического порядка, но если такая факторизация, как и прежде, остаётся несбыточной мечтой, то зачем раздражать людей? Неявно вы обманываете их ожидания. Видимо не со зла, но результат именно такой.

    Я, не имея каких-то практических результатов или же не умея увлекательно рассказать о неких закономерностях, предпочитаю просто молчать. Зафиксировать результат исследования можно на сайтах вроде arxiv.org, там много подобных работ, а раздражения они не вызывают, поскольку очень мало кто их читает, но вам-то хочется застолбить приоритет? Для этого arxiv вполне подходит. Если же хочется поделится и услышать комментарии, то вы видите результат — без практической пользы и без увлекательной искры вы вряд ли здесь найдёте положительный отклик. Ну а с точки зрения именно математических достижений, подозреваю, что многие вами упоминаемые закономерности уже давно открыты, но так и лежат в каких-то научных статьях, недоступные для массового читателя, а потому с точки зрения математиков ваши выводы неинтересны (ведь давно известны, хотя и в узких кругах).

    Ещё вариант — можно просто показать саму структуру и лёгкость обнаружения закономерностей с её помощью, но опять же, без ссылок на существующие работы по математике всё будет выглядеть как некая алхимия, когда рассуждают о математике, а результаты непонятно как классифицировать — то ли это не стоящее затрат времени сочинение очередного изобретателя, то ли это давно известные факты, то ли ещё что. Третий вариант (ещё что, включая открытия) крайне редок, надеюсь вы это понимаете, а потому и реакция ожидаемая — воспринимают как то ли глупость, то ли банальность.

    Может быть стоит подойти примерно так — в математике известно, что… и далее сообщить некие закономерности, доказанные неким непонятным для большинства путём (в терминах колец, групп и т.д.), а потом предложить взглянуть на результаты с другой точки зрения и показать, например, ваши таблицы, объяснив, что с их помощью можно получить все перечисленные математические законы по сути на пальцах, без привлечения колец, полей и прочих методов теории чисел, которые не учат в средней школе. Но увлекательно подать такой материал непросто.
      0
      По поводу известности излагаемых результатов. В ж. Нелинейная динамика 2010г, Т.6, №3, с.513 -519 Арнольд В.И. Случайны ли квадратичные вычеты? Математик, академик, читал лекции в Сорбоне, в США, в РФ. Везде у него были аспиранты, он ими руководил.
      Сам я по проблемам, которыми занимаюсь уже много лет, консультировался в отечественных ведущих университетах, начиная с МГУ, беседовал с Кострикиным зав.каф. алгебры, с другими профессорами. Они ответов на мои вопросы не знали и даже не могли подсказать, кто в мире занимается подобными проблемами. Мои запросы в сети успеха не имели.
      Важную информацию содержит сайт RSA, но там Вы можете убедиться с 2010 г тишина.
      Поэтому Закон распределения делителей — вещь новая, оригинальная и для моих исследований весьма важная. Именно ее (можете сделать запрос в сети) единственную из моих публикаций скачали из Хабра и пропагандируют, не спрашивая даже моего согласия. А на Хабре ее отминусовали (-8), что меня не удивляет.
      Пишу я в основном для своих учеников и они читают, образуются и задают вопросы, им, да и мне так удобно, а в диссертациях и дипломах реализуют алгоритмы в том числе и атак на шифры, на ЭЦП и др объекты. Чтобы успешно защититься приходится пройти достаточно серьезные фильтры. Могу сказать, что работа идет достаточно успешно в 2019 на кафедре защищено 5 докторских (3 моими учениками).
      Практические результаты представляют интерес для многих, но они имеют ограниченное распространение. Из того, что опубликовано, Вы оцениваете со своих позиций. Да в работах показаны переборные схемы. Но ведь никто не запрещает найти более прямые пути. Ту же кратную точку рассмотреть в подробностях и обойти перебор стороной, или дополнить число N до полного квадрата суммируя N с меньшим квадратом.
      Разжеванное глотать просто, но не интересно. Я помогаю увидеть направление действий, а над результатом надо поработать, в этом и есть интерес.
      В целом, Спасибо, что уделили время и внимание.
      Мои Вам поздравления с Днем защитника Отечества!
        0

        Про успешную работу в 2019 году, очень понравилось) Зная вас лично и учебное заведение, в котором вы обитаете, очень сомневаюсь что человек в здравом уме выберет вас в наставники. Вы уже лет так 15, рисуете числа и ломаете RSA. Могу с уверенностью констатировать, никому из выпускников не пригодились эти "чудо" знания, а учить криптографию пришлось заново) Как развлечение и лекарство от маразма, вполне хорошее у вас хобби

          0
          Если Вы знаете меня лично, то возможно знаете и моих дипломников? Много лет подряд по 4-5 человек выбирали меня наставником как руководителя их дипломов. Они были не самыми захудалыми обучаемыми, а дипломы их шли на ура. Не могу припомнить, кто получал не отлично, а хорошо.
          Чем-то они Вас хорошо достали, что Вы их здравого ума лишаете. По поводу вашей уверенности могу сказать, что в 2019 году защитил диссертацию Лапиков И. и приехал ко мне домой, до этого были защиты других моих учеников и тоже были у меня дома. Знания, полученные на кафедре, именно они способствовали их защите.
          Я бы Вам посочувствовал, что-то у Вас видимо не так идет, как Вам хочется. Но за чужой счет Вы вряд ли подниметесь.
          RSA Вас задевает. Меня нет. Для меня более важно пополнить теорию чисел обратной операцией к умножению, так как это и есть факторизация. RSA — умрет, а операция останется. И этому можно посвятить не только 15 лет, а всю жизнь. Рекомендую: откройте в Гугле запрос «Распределение делителей числа в натуральном ряде чисел». Есть единственная ссылка на мою работу. Так, что не как Вы думаете, и как Вам бы хотелось идут дела. Есть и успехи.
            0

            По поводу диссертаций, смогли бы они защититься в СПбГУ или ИТМО) ответ на этот вопрос вы знаете

              0
              Кандидатские диссертации моих учеников защищались не на нашей кафедре, а по месту жительства в Москве в Бауманке и в ИКСИ, но темы продолжались дипломных проектов. Сам я бывал на защитах и в СПбГУ (я там 9 лет преподавал) и в ИТМО, и в других ВУЗах в качестве оппонентов по диссертациям. Могу сказать, что уровень далеко не зашкаливает, у наших ничуть не слабее.
              Хотелось бы понять с кем разговариваю. Списки выпускников, с которыми работал у меня сохраняются. Год выпуска, № уч группы Инициалы, если Фамилию раскрывать не хотите.
      0
      Кандидатские диссертации моих учеников защищались не на нашей кафедре, а по месту жительства в Москве в Бауманке и в ИКСИ, но темы продолжались дипломных проектов. Сам я бывал на защитах и в СПбГУ (я там 9 лет преподавал) и в ИТМО, и в других ВУЗах в качестве оппонентов по диссертациям. Могу сказать, что уровень далеко не зашкаливает, у наших ничуть не слабее.
      Хотелось бы понять с кем разговариваю. Списки выпускников, с которыми работал
      у меня сохраняются. Год выпуска, № уч группы Инициалы, если Фамилию раскрывать не хотите

      Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

      Самое читаемое