Продолжаем рассмотрение элементов натурального ряда чисел (НРЧ) и их свойств в рамках плоскостной Г 2∓-модели НРЧ. Здесь будут изложены и на примерах показаны свойства диагоналей названной модели и их клеток. Свою задачу вижу в том, чтобы обратить внимание читателей на удивительные факты в модели НРЧ. Возможно, кого-то они заинтересуют и человек займется их изучением и исследованием. Уверяю Вас они того стоят. По сути, НРЧ для нас до сих пор неизведанный мир со своими законами и свойствами.

Автор продолжает разработку этой модели для решения задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ), считая подход более перспективным, нежели модели совершенствуемых решет. Решета, по-видимому, исчерпали себя (как пишут Манин Ю. Н., Панчишкин А.А. стр. 104). Свидетельство тому — почти 10-летние перерывы с публикациями (в 2010 г и очередное в 2019 г) о новых результатах. Указанные недостатки подхода с решетами исследователям устранить не удается, а новых идей просто нет или они на начальном уровне (Коваленко Д.В., Сидоров Д.П.). Или (здесь).

Введение. Смежные клетки и факторизация чисел


Предлагаемый ниже пример иллюстрирует возможность факторизации числа N, если в его окрестности найдется пара смежных клеток с близкими к N числами. Получению таких пар чисел способствует моделирование свойств коротких диагоналей Г2--модели НРЧ.

Пример 1. В рамках Г2--модели НРЧ требуется факторизовать число N = 1333 с использованием двух других чисел N1 = 1476 и N2 = 1377, размещенных в смежных клетках.
Решение. Предварительно необходимо установить тип смежности (горизонтальная или вертикальная) заданной пары чисел N1 и N2. Эти числа не могут принадлежать диагонали, так как их четность различна. Находим разность этих чисел ∆ = 1476 – 1377 = 99.

Разность нечетная и число ∆ может принадлежать длинной диагонали Д1. В этом случае аддитивное разложение ∆ на два смежных слагаемых (99 = 49+50) интерпретируется как сумма номеров смежных столбцов, при этом горизонтальное расположение заданных чисел возможно в одной строке смежных столбцов, но в верхней полуплоскости, что нарушает условия задачи.

Допущение о вертикальном расположении клеток с числами N1 и N2 соответствует тому, что меньшее лежит в строке (горизонтали) с номером х11 = 49, а большее – в строке х12 = 50, столбец хо у клеток общий. (Это легко проверяется в Г2--модели по рисунку 2).

Номер столбца определяется формулой хо = √(492 – 1377) = 322. Число N2 лежит в длинной диагонали с номером х1 – хо = 49 – 32 = 17 и N2 делится нацело на этот номер 1377:17 = 81.
Таким образом, определены координаты клеток для заданных чисел N1(50, 32) = 1476 и
N2(49, 32) = 1377. По координатам определяются номера коротких и длинных диагоналей, пересекающихся в клетках заданных чисел. (см.здесь).

Определим теперь ромб (клетку центра ромба), которому принадлежат заданные числа. В пределах ромба для нечетного числа 1377 по вертикали от его клетки на 2 строки (выше/ниже), а по горизонтали – на 6 столбцов (правее/левее) лежат числа с такими же флексиями (7). Допустим, что число N2 = 1377 лежит ниже и левее центра ромба. Тогда число N3 с флексией 7 лежит в 32-м столбце и с такой же флексией должно быть число в строке с номером
х1 = 49 – 2 = 47, т. е. N3(47, 32) = 2209 – 1024 = 1185.

Флексия N3 равна 5 ≠ 7. Допущение неверно, число N2 = 1377 лежит выше клетки центра в своем ромбе. Тогда для клетки центра номер строки х1ц = 49 + 1 = 50 и хоц = 32 + 3 = 35 или
Nц (50, 35) = 2500 – 1225 = 1275.
Заданного числа N = 1333 в этом ромбе нет, что легко проверяется. Числа с флексией 3 этого ромба лежат в горизонталях с номерами 47 и 53, в смежных сверху полосах ромбов в горизонталях с номерами 48 и 42 и далее в следующей полосе в горизонталях с номерами 43 и 37 и т. д.

Колонки в ромбах каждой полосы, содержащие числа с флексией 3, следуют в порядке через клетку, следующий ромб – через 7 клеток и т. д. В полосах ромбов выше и ниже порядок сохраняется, но со сдвигом на две клетки. Так для ромба с центром в клетке (х1ц, хоц)=(50,35) в горизонталях 47 и 53 столбцы: 36 и 34 и влево далее 26 и 24; 16 и 14; 6 и 4 повторяясь через полосу ромбов. В смежных полосах (горизонтали верхние 48 и 42; нижние 52 и 58).

Вычисления и анализ результатов для обозначенных клеток приводит нас к клетке (37, 6), в которой и содержится заданное для факторизации число N(37, 6) = 1369 – 36 = 1333=dм·dб.
Далее вычисляем факторы dм =37 – 6 = 31 и dб =37 + 6 = 43 или N(37, 6) = 31·43 = 1333. (см.здесь).

Для контроля ниже вычисления осуществляются другим независимым способом. Это число по свойству диагоналей должно нацело делиться на номер Д нечетной длинной диагонали, из диапазона 17 < Д < 40, т.е. на один из номеров:19, 21, 23, 25, 27, 29, 31,… Выполним проверку делимости нацело числа N 1333:19 = 70,1; 1333:21 = 63,4; 1333:23 = 57,95; 1333:25 = 53,32; 1333:27 = 49,37; 1333:29= = 45,96; 1333:31 = 43. Целое частное 43 – это номер короткой диагонали, проходящей через клетку с числом N = 1333.

Из системы двух линейных уравнений х1 – хо = 31 и х1 + хо = 43 легко определяются прямоугольные координаты клетки, т. е. номера горизонтали и вертикали клетки с числом
N(х1 = 37, хо = 6) = 1333. Впрочем, в этом нет надобности, так как факторы N (делители) 31 и 43 уже найдены, т. е. заданное в примере число факторизовано N = dм·dб = 31·43 = 1333.
Обратим внимание на то, что одна из коротких диагоналей для исходных чисел имела номером полный нечетный квадрат 1377:17 = 81.

Диагонали модели. Повороты диагоналей


Важные вопросы возникают в связи с изучением элементного состава и свойств диагоналей Г2-модели и их поворотов вокруг центров вращения. Оказывается, некоторые короткие Дk диагонали могут содержать в своем составе клетки, совпадающие значениями с клетками длинных Дi. Такое совпадение наблюдается при поворотах диагоналей.

Какие диагонали, и вокруг каких центров (клеток), могут поворачиваться? Сколько таких точек (центров) для конкретной диагонали? Как описываются такие точки, координатами, значениями, другими представлениями? Какие коэффициенты растяжения сжатия имеют место и как они формально задаются?

Поиск ответов на эти и другие не менее интересные и важные вопросы – предмет дальнейших исследований и экспериментов по проверке выдвигаемых гипотез.

Классификация диагоналей


Конкретность сформулированных вопросов предполагает (требует) рассмотрения не менее конкретных ситуаций для получения ответов и условий для их изучения. Так как всегда в ситуациях будут использоваться диагонали, то полезно все множество диагоналей классифицировать, т.е. разбить на классы.

Ранее уже вводились такие классы коротких и длинных диагоналей, каждый из них представлен классами четных и нечетных диагоналей. Установлено также, что каждый из этих 4-х классов может иметь диагонали, содержащие общие точки с биссектрисами Б3 и Б8, или множество таких точек пусто (см.здесь).

Другими словами, по этому признаку возникают три класса диагоналей (по количеству точек пересечения с биссектрисами): 0–точек, 1–точка, 2–точки. Наконец, можно рассмотреть классы нечетных диагоналей с простым и составным или квадратным номером. На основании приведенных рассуждений сформирована следующая схема.


Рисунок 1 – Классификация диагоналей

Экспериментально установлено, что в ближней области (около ста первых чисел НРЧ) нечетные диагонали с номерами: простыми числами вида 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107…, составными числами 35, 55, 91, 95,… не пересекаются с биссектрисами Б3 и Б8, так же как и четные диагонали с номерами: 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40, 46, 50, 52, 56, 58, 62, 64, 68, 70, 74, 76, 80, 82, 86, 98, 94, 98, 100, 104, 106.

Скорее всего, имеется какая-то не очень сложная формула для описания множеств таких диагоналей, но пока она не найдена. Простой способ определения номера диагонали пересечения с биссектрисами — вычислять координаты клетки биссектрис Б3 и Б8 и находить номера диагоналей которые в них пересекаются. Приведем некоторые установленные факты. Короткие диагонали с номерами равными простым числам и нечетным составным, не делящимися на 3, но кратными числу 5 (например, 35, 55, 65,…) могут иметь совпадающие значения в клетках других диагоналей.

Это явление можно отождествить с поворотом диагоналей. При поворотах отображаются все клетки коротких диагоналей в некоторых клетках длинных (Д). Например, диагональ Дk=35 имеет центр поворота в клетке со значением, 245 = 35·7 = 5·49.

Пример 2. Длинная диагональ Д20 пересекает линию Б8 в клетке (30, 10) и линию Б3 в клетке (40, 20), т. е. имеет две общие точки с биссектрисами Б8 и Б3; короткая диагональ Дk60 пересекает Б8 в клетке (45, 15) и Б3 в клетке (40, 20)-общей для них, т. е. также имеет две общие точки с биссектрисами Б8 и Б3. Общая клетка (40, 20) может быть центром поворота этих диагоналей.


Рисунок 2 Пересечения коротких и длинных диагоналей, клетки центров поворотов

На рис.2 показаны лучи биссектрис Б3 и Б8 (клетки с бледной синей заливкой), пересекающая их короткая диагональ Дk60 в клетках (40,20) и (45,15) — это два центра вращения. Через эти же клетки проходят длинные диагонали Д30 и Д20 соответственно. Значения клеток короткой Дk60 отображаются (Дk60 как бы поворачивается в двух центрах — клетках пересечения) в клетках этих длинных диагоналей (с растяжением), но шаг совпадающих значений при этом разный. Для Д20 через 2 клетки, а для Д30 через 1 клетку.

Короткая диагональ Дk27 пересекает линию Б3 в клетке (18, 9) (центр поворота против часовой стрелки) со значением N(18, 9) =243 и в этой же клетке длинную диагональ Д9. После поворота значения клеток короткой отображаются с растяжением в клетках длинной (шаг через 2 клетки).

Пусть длинная диагональ имеет номер равный номеру короткой, поделенному на число 5. Тогда шаг совпадения чисел в клетках диагоналей равен 5. Убедитесь в этом самостоятельно, используя рисунок 2.

Короткие диагонали с номерами, равными квадратам нечетных (простых) чисел: 9, 25, 49, 81,…, центром поворота имеют клетку не на биссектрисе, а клетку со значением N=33,53,73,… в ней, равным кубу (3-й степени) этого нечетного числа. Номер длинной диагонали равен этому нечетному числу, т.е. Дi= 3, 5, 7,… и шаг для совпадающих чисел в клетках также равен 3, 5, 7,….

Повороты диагоналей


Ранее рассматривались свойства диагоналей и их описание. Здесь будет продолжено выявление свойств и установление вновь открывающихся закономерностей. Напомним, что все диагонали разделяются на короткие и длинные, которые в свою очередь делятся на четные и нечетные.
В Г-плоскости можно указать линии (прямые), которые разделяются на лучи, сходящиеся в одной начальной клетке, и прямые общего положения (здесь).

Клетки (точки) линий, как правило, не образуют непрерывной цепочки клеток, а размещаются вдоль прямых с некоторым постоянным шагом. Изменение величины шага (в числе клеток) происходит в широких пределах. Координаты клеток, принадлежащих одной прямой (или лучу) оказываются связанными между собой математическими соотношениями.

Например, имеется луч, все клетки которого имеют координаты вида
(х1, хо) =(2хо, хо), т. е. первая координата в два раза превышает вторую. Значение числа в клетках этого луча (Б3) зависит только от координаты xо, т.е.
N(х1, хо)=N(2хо, хо) = 4хо2 -хо2 =3хо2. Клетки этого луча размещаются вдоль него в каждой второй горизонтали (с шагом единица по координате х1) и непрерывно по хо – в каждой вертикали (по координате хо). Сами значения чисел в клетках чередуются четные с нечетными.

Каждая клетка этого луча лежит справа от середины горизонтали Г-плоскости. Это свойство обусловило название этого луча биссектрисой (Б3) горизонталей Г-плоскости. Каждую клетку биссектрисы пересекают две диагонали короткая (а) и длинная (b) одинаковой четности и при этом N(х1, хо)= аb. Здесь a – номер короткой, а b – номер длинной диагоналей, произведение номеров которых также формирует значение числа N в клетке.

Особенностью диагоналей, как линий Г-плоскости, является делимость не номер Д нацело значений в их клетках. Другой особенностью является возможность вращением одной из них, например, короткой (Дk) до совмещения ее положения с другой длинной (Д) (поворотом на угол 90º) обеспечить совпадение значений в клетках после растяжения/сжатия.

Точкой (центром) вращения часто является клетка луча – биссектрисы. Будем вращать короткую диагональ а, проходящую через клетку луча – биссектрисы, против часовой стрелки до совмещения ее с длинной диагональю b. О совмещении можно говорить не только в геометрическом смысле, но и (с учетом растяжения короткой диагонали) можно говорить и о совпадении значений чисел в клетках обеих диагоналей (см. табл. 1,2).

Пример 3. Выполним поворот (центр в клетке (x1=18, xo = 9) со значением в ней N = 243) короткой диагонали с нечетным номером Дk27 = 33 против часовой стрелки на угол 90º. После поворота клетки короткой диагонали как бы раздвинулись на две клетки одна от другой, а их значение совпало со значениями в клетках длинной диагонали. Это совпадение значений раздвинутых клеток с клетками Д9 иллюстрируется таблицей 1 и рис.2.

Таблица 1 – Совпадение (после поворота) значений в клетках длинной (Д9) и короткой (Дk27) диагоналей

Действительно, все клетки короткой диагонали с номером Дk = 27 и значения чисел в них как бы переместились на длинную диагональ с номером Д9 = 9, кроме одной клетки
(N(18,9) = 243), которая и является центром поворота. Эта клетка является общей для обеих диагоналей, и необходимости смещать ее не возникает. Ее координаты удовлетворяют условиям принадлежности обеим диагоналям Дk27 и Д9.

Для всех остальных клеток координаты потребовалось изменить так, чтобы условие принадлежности новой диагонали было выполнено. Исключение составляет единственная клетка (14, 13) со значением N(14, 13) = 27 = Дk. Оказалось, что верхнюю часть клеток короткой диагонали с Дk = 27 не удается разместить в верхней части длинной диагонали.

Выход состоит в том, что “лишние” клетки направляются вновь на короткую (но уже на другую) диагональ с номером Дk9 = Д9 = 9, совпадающим с номером длинной диагонали. Понятно, что условие принадлежности при этом тоже изменилось: х1+хо = 9 =3+6. Заметим, что шаг растяжения остался без изменений.

Поворот может выполняться и для длинной диагонали со сжатием интервала между совпадающими клетками. Очевидно, что центральной клеткой этого поворота будет служить клетка биссектрисы, сам поворот выполняется на угол 90º, но уже по часовой стрелке, и поскольку клеток на короткой диагонали существе��но меньше, то поворот сопровождается стягиванием “сжатием” клеток. Часть клеток, тех для которых на короткой диагонали нет соответствующих значений, просто “выкидывается”, удаляется.

Процедура прореживания (сжатия) длинной диагонали состоит в простом удалении части клеток, определяемых коэффициентом сжатия.
Это действие обратное по отношению к растяжению для короткой диагонали. У короткой диагонали все точки сохранялись и даже появлялись вставки – промежуточные точки. Значения чисел в этих новых клетках легко восстанавливается как элементов арифметической прогрессии (АП(b, 2b)), соответствующей длинной диагонали. Описанный поворот хорошо иллюстрируется таблицей 1.

Таблица 2 – Совпадение значений клеток короткой и длинной (после поворота) диагоналей


таблица внизу — продолжение верхней таблицы 2

Пример 4. Выполнить поворот длинной диагонали с номером b = 9 на 90º по часовой стрелке в точке N(18, 9) = 243 биссектрисы до совмещения ее с короткой диагональю с номером Дk = 27. В таблице незаполненным позициям соответствуют удаленные клетки (сжатые) длинной диагонали.

Дублирование клеток одной короткой диагонали
Известно, что число клеток длинной диагонали бесконечно велико. Следовательно, при всем желании их невозможно разместить в ячейках короткой диагонали с конечным числом клеток. Выход в этой ситуации аналогичен предыдущему примеру. Переход на другую с тем же номером длинную диагональ, продолжающую после излома короткую.

Сетка с дублируемыми значениями клеток в узлах наклонных линий *Короткие диагонали*.
В Г 2∓-модели НРЧ, разделенной на две полуплоскости с разными законами образования числовых значений в клетках модели, можно наблюдать удивительное явление: в парах клеток одна – ниже (До) главной диагонали (х1i, хоi )- ∊ Г 2--модели, и
другая – выше главной диагонали (х1i, хоi ) + ∊ Г 2+-модели, i — текущий номер пары дублированных клеток, получают равные значения.

У многих коротких диагоналей Дk модели регулярно встречаются совпадающие числовые значения, причем клетки эти расположены в диагоналях не симметрично (координаты клеток в общем случае взаимно не заменяемые). Клетки (дубли) в короткой диагонали с меньшим номером являются порождающими для индуцируемых коротких диагоналей подмножества пар клеток, элементы (клетки) которых распределены регулярно вдоль наклонных (в общем случае не прямых линий).

Все такие линии имеют разные наклоны в модели и образуют «расходящийся веер». Замечено, что если номер короткой диагонали – полный квадрат, то среди ее клеток имеются клетки-дубли и, как правило, более одной пары. Приведем три пары клеток с дублирующими значениями в клетках: одну на Дk9: N(7, 2)=N+(3, 6) = 45, и две пары на короткой диагонали
Дk25: N(21, 4) = N+(5, 20) = 425 и N(19, 6) = N+(10, 15) = 325
такие пары клеток имеют короткие диагонали с номером Дk = х1i + хоi =9, 25, а, например, диагональ Дk с номером 1600 имеет таких 20 пар.

Ниже в таблице 3 приводятся данные о дублирующих клетках в коротких диагоналях Дk начального фрагмента модели. Заметим, что интерес, как правило, представляют только те пары клеток, которые не являются порожденными (индуцированными) парами, т. е. пары с наименьшими значениями или порождающие дубли пары.

В таблицу 3 не включены дублирующие пары клеток (начальная и конечная клетки короткой диагонали), так как такие клетки имеют все короткие диагонали без исключения. Следовательно, рассматриваемые короткие диагонали содержат всегда две или более дублирующих пар.

Таблица 3 — Дублированные пары значений в клетках Дk, номера которых квадраты.

Поясним устройство таблицы 3.Таблица содержит две вертикальные части с одинаковым назначением состава колонок, разделенные пустой колонкой. Левая часть содержит данные о клетках и четных числовых значениях номеров коротких диагоналей Дk, правая – о нечетных номерах Дk.

Все номера Дk в таблице 3 равны квадратам следующих подряд натуральных чисел. Обе вертикальные части таблицы разделены на нумерованные горизонтальные слои (sℓ), содержащие множества монотонно возрастающих значений номеров (i) пар клеток. Слой и номер слоя обозначены символом sℓ, а мощность множества клеток в слое обозначим числом |sℓ| = |{(,),(,),…, (,)}|, sℓ = 1(1)…, содержащим пары клеток четных и нечетных коротких диагоналей.

Слой образован парой коротких диагоналей с четным и (большим) нечетным номерами. Номер слоя sℓ указывает сколько пар дублирующих клеток содержат короткие диагонали текущего слоя. Индекс i=1(1)…определяет текущий номер дублирующей пары клеток конкретной диагонали Дk слоя sℓ.

Определение количества пар дублирующих клеток короткой диагонали при заданном номере Дk выполняется по формуле sℓ = Дk/2√Дk=√Дk/2. Целая часть этой дроби равна числу дублирующих пар клеток в Дk. Для четных номеров Дk (левая сторона таблицы) нижняя клетка последней в слое пары имеет равные координаты, т. е. х1i = хоi = Дk /2.

Это означает, что клетка принадлежит главной диагонали (До) модели, а числовое значение в ней равно N(х1i, хоi) = 2(хоi) 2. Все клетки-дубли верхней полуплоскости располагаются на короткой диагонали равномерно, с постоянным шагом. Если задан четный номер Дk короткой диагонали, то значение sℓ = Дk /(2√Дk ) =√Дk /2 целое число, равное количеству пар клеток, если номер Дk – число нечетное, то значение sℓ =√Дk /2 округляется до целого в меньшую сторону.


Рисунок 3 — Дублируемые значения клеток коротких диагоналей в Г 2∓-модели

Из этого следует, что нижние клетки пар могут располагаться друг от друга на меньших расстояниях. Обращает на себя внимание следующий факт: для пары нижних клеток
(х1i, хоi )- ∊ Г 2- коротких диагоналей с нечетными номерами (9,25,49,...) расстояние между столбцами клеток образует последовательность чисел 1,3,5,7,… в направлении к осям (см.здесь).

При четном (4,16,36,...) номере Дk такие расстояния образуют последовательность 0,2,4,6,8,…. Отсчет начинается от пары с наибольшим номером i, клетки которой ближние к главной диагонали. Для Дk координаты первых верхних в слое клеток (х1i, хоi )+ ∊ Г 2+, принадлежащих слою с меньшим номером, пропорциональны и соотносятся как 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6 и т. д., где первый член отношения равен единице.
Для остальных клеток (х1i, хоi )+ ∊ Г 2+ слоя пропорция изменяется, но сумма членов пропорции остается постоянной. Изменение происходит монотонно за счет перераспределения количества единиц в пропорции
х1i = i√Дk, хо i = (√Дk – i )/ √Дk.

Определение координат (х1i, хоi )- ∊ Г 2- — дублирующих пар клеток и числовых значений в клетках.
Для каждой Дk є sℓ (четной и нечетной) в таблице 3 для множеств (sℓ) пар клеток слоя приводятся значения координаты. Клетки нижняя (х1i, хоi )- ∊ Г 2-, и верхняя (х1i, хоi )+ ∊ Г 2+, содержат равные числовые значения, и сами эти значения N(х1i, хоi )- ∊ Г 2-, N(х1i, хоi )+ ∊ Г 2+.

Пары клеток в Дk нумеруются индексами i, начиная с первой от координатных осей модели. Пара клеток с i = 0 опущена. Для всех Дk любого слоя вторые координаты хоi всех нижних клеток
(х1i, хоi )- ∊ Г 2- первых пар – это последовательные натуральные числа (1, 2, 3,…). В таблице 3 через эти числа проходит синяя линия.

Для всех Дk любого слоя первые координаты хоi всех верхних клеток (х1i, хоi )+ ∊ Г 2+ первых пар – это последовательные натуральные числа (2, 3, 4,…). В таблице 3 через эти числа проходит красная линия.

При известной одной координате хji любой пары, другая координата определяется как разность
х(1-j)i = Дk – хji, j=0,1. Для четных Дk связь слоя sℓ и номера Дk определяется формулой
sℓ = √Дk/2.
Для верхних клеток (х1i, хоi )+ ∊ Г 2+ пары координаты формируются простым правилом из определенных координат первой (нижней) клетки пары (хоi + i2, х1i – i2)+.

Во втором слое короткие диагонали содержат по две пары дублирующих клеток. Для всех Дk любого слоя, начиная со второго sℓ = 2, вторые координаты хоi всех нижних клеток слоя
(х1i, хоi )- ∊ Г 2- — вторых пар – это натуральные числа (2 2 = 4, 6, 8,…).

При известной второй координате хоi любой пары, первая координата клетки определяется как разность х1i = Дk – хоi. Для верхних клеток пары правило образования координат сохраняется прежним (хоi + i2, х1i – i2)+.

Для всех Дk любого слоя, начиная с третьего sℓ = 3, вторые координаты хоi всех нижних клеток
(х1i, хоi )-є Г2- третьих пар – это натуральные числа (32 = 9, 12, 15,…). При известной второй координате хоi любой пары, первая координата клетки определяется как разность значений
х1i = Дk – хоi, здесь Дk — номер короткой диагонали.

Для верхних клеток пары правило образования координат клеток сохраняется прежним
(хоi + i2, х1i – i2)+.
Далее значения координат всех клеток всех пар во всех коротких диагоналях всех слоев определяются по аналогии с рассмотренным алгоритмом.

Для нечетных номеров Дk коротких диагоналей 25, 49 в таблице помещены две и три пары с разными числовыми значениями N в их клетках, а для Дk = 81 – четыре пары.

Процесс порождения индуцированных пар клеток достаточно прост. Координаты клеток порождающей пары увеличиваются путем умножения на коэффициент s = 2(1)…, что приводит к возникновению другой порожденной клетки.

Числовое значение в новой клетке возрастает путем умножения на квадрат этого коэффициента.





Список публикаций
  1. Стечкин Б. С., Матиясевич Ю. В. Сито Эратосфена // Труды международной школы С. Б. Стечкина по теории функций. — Екатеринбург, 1999. – с. 148.
  2. Трост Э. Простые числа. — М.: ГИФМЛ,. 1959. — 136 с.
  3. Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. – М.: МИР, 1965. – 430 с.
  4. Кнут Д. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. – М.: Вильямс, 2000. 3-е издание. – 280 с.
  5. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. — М.: Научное издательство ТВП, 2001. — 254 с.
  6. Коваленко Д. В., Сидоров Д. П. Факторизация больших чисел распределенными вычислениями // Материалы научной конференции «XXX Огаревские чтения» (естественные и технические науки), Саранск, 2001. — С. 230-232.
  7. Коваленко Д. В., Сидоров Д. П., Федосин С.А. Применение распределенных вычислительных систем для факторизации больших чисел // Тезисы международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование», Саров, 2002. – С. 53-56.
  8. Манин Ю. Н., Панчишкин А.А. Введение в современную теорию чисел.-М.: МЦНМО, 2013.-552 с.