Привет, Хабр! Будущих студентов курса "Алгоритмы и структуры данных" приглашаем на открытый вебинар по теме "Заповедники двоичных деревьев поиска."
А сейчас делимся с вами традиционным переводом полезного материала.
Наихудшая временная сложность таких операций, как поиск, удаление и вставка, для двоичного дерева поиска (Binary Search Tree) составляет O(n). Наихудший случай случай возникает, когда дерево несбалансировано. Мы можем улучшить наихудший результат временной сложности до O(log n) с помощью красно-черных и АВЛ-деревьев.
Можем ли мы добиться на практике лучшего результата, чем тот, что нам дают красно-черные или АВЛ-деревья?
Подобно красно-черным и АВЛ-деревьям, Splay-дерево (или косое дерево) также является самобалансирующимся бинарным деревом поиска. Основная идея splay-дерева состоит в том, чтобы помещать элемент, к которому недавно осуществлялся доступ, в корень дерева, что делает этот элемент, доступным за время порядка O(1) при повторном доступе. Вся суть заключается в том, чтобы использовать концепцию локальности ссылок (в среднестатистическом приложении 80% обращений приходятся на 20% элементов). Представьте себе ситуацию, когда у нас есть миллионы или даже миллиарды ключей, и лишь к некоторым из них обращаются регулярно, что весьма вероятно для многих типичных приложениях.
Все операции со splay-деревом выполняются в среднем за время порядка O(log n), где n - количество элементов в дереве. Любая отдельная операция в худшем случае может занять время порядка Тэта(n).
Операция поиска
Операция поиска в splay-дереве представляет собой стандартный алгоритм поиска в бинарном дереве, после которого дерево выворачивается (искомый узел перемещается в корень — операция splay). Если поиск завершился успехом, то найденный узел поднимается наверх и становится новым корнем. В противном случае корнем становится последний узел, к которому был осуществлен доступ до достижения NULL.
В результате осуществления доступа к узлу возможны следующие случаи:
1. Узел является корневым. Мы просто возвращаем корень, больше ничего не делаем, так как узел, к которому осуществляется доступ, уже является корневым.
2. Zig: узел является дочерним по отношению к корню (у узла нет прародителя). Узел является либо левым потомком корня (мы делаем правый разворот), либо правым потомком своего родителя (мы делаем левый разворот).
T1, T2 и T3 — поддеревья дерева с корнем y (слева) или x (справа)
y x / \ Zig (Правый разворот) / \ x T3 – - – - – - – - - -> T1 y / \ < - - - - - - - - - / \ T1 T2 Zag (Левый разворот) T2 T3
3. У узла есть и родитель, и прародитель. Возможны следующие варианты:
а) Zig-Zig и Zag-Zag. Узел является левым потомком родительского элемента, и родитель также является левым потомком прародителя (два разворота вправо) ИЛИ узел является правым потомком своего родительского элемента, и родитель также является правым потомком своего прародитель (два разворота влево).
Zig-Zig (Левый-левый случай): G P X / \ / \ / \ P T4 rightRotate(G) X G rightRotate(P) T1 P / \ ============> / \ / \ ============> / \ X T3 T1 T2 T3 T4 T2 G / \ / \ T1 T2 T3 T4 Zag-Zag (Правый-правый случай): G P X / \ / \ / \ T1 P leftRotate(G) G X leftRotate(P) P T4 / \ ============> / \ / \ ============> / \ T2 X T1 T2 T3 T4 G T3 / \ / \ T3 T4 T1 T2
б) Zig-Zag и Zag-Zig. Узел является левым потомком по отношению к родительскому элементу, а родитель является правым потомком прародителя (разворот влево с последующим разворотом вправо) ИЛИ узел является правым потомком своего родительского элемента, а родитель является левым потомком прародителя (разворот вправо с последующим разворотом влево).
Zag-Zig (Левый-правый случай): G G X / \ / \ / \ P T4 leftRotate(P) X T4 rightRotate(G) P G / \ ============> / \ ============> / \ / \ T1 X P T3 T1 T2 T3 T4 / \ / \ T2 T3 T1 T2 Zig-Zag (Правый-левый случай): G G X / \ / \ / \ T1 P rightRotate(P) T1 X leftRotate(P) G P / \ =============> / \ ============> / \ / \ X T4 T2 P T1 T2 T3 T4 / \ / \ T2 T3 T3 T4
Пример:
100 100 [20] / \ / \ \ 50 200 50 200 50 / search(20) / search(20) / \ 40 ======> [20] ========> 30 100 / 1. Zig-Zig \ 2. Zig-Zig \ \ 30 at 40 30 at 100 40 200 / \ [20] 40
Важно отметить, что операция поиска или разворота (splay) не только переносит найденный ключ в корень, но также уравновешивает дерево. Например в случае выше, высота дерева уменьшается на 1.
Реализации:
C++
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Узел АВЛ-дерева class node { public: int key; node *left, *right; }; /* Вспомогательная функция, которая выделяет новый узел с заданным key и left и right, указывающими в NULL. */ node* newNode(int key) { node* Node = new node(); Node->key = key; Node->left = Node->right = NULL; return (Node); } // Служебная функция для разворота поддерева с корнем y вправо. // Смотрите диаграмму, приведенную выше. node *rightRotate(node *x) { node *y = x->left; x->left = y->right; y->right = x; return y; } // Служебная функция для разворота поддерева с корнем x влево // Смотрите диаграмму, приведенную выше. node *leftRotate(node *x) { node *y = x->right; x->right = y->left; y->left = x; return y; } // Эта функция поднимет ключ // в корень, если он присутствует в дереве. // Если такой ключ отсутствует в дереве, она // поднимет в корень самый последний элемент, // к которому был осуществлен доступ. // Эта функция изменяет дерево // и возвращает новый корень (root). node *splay(node *root, int key) { // Базовые случаи: root равен NULL или // ключ находится в корне if (root == NULL || root->key == key) return root; // Ключ лежит в левом поддереве if (root->key > key) { // Ключа нет в дереве, мы закончили if (root->left == NULL) return root; // Zig-Zig (Левый-левый) if (root->left->key > key) { // Сначала рекурсивно поднимем // ключ как корень left-left root->left->left = splay(root->left->left, key); // Первый разворот для root, // второй разворот выполняется после else root = rightRotate(root); } else if (root->left->key < key) // Zig-Zag (Левый-правый) { // Сначала рекурсивно поднимаем // ключ как корень left-right root->left->right = splay(root->left->right, key); // Выполняем первый разворот для root->left if (root->left->right != NULL) root->left = leftRotate(root->left); } // Выполняем второй разворот для корня return (root->left == NULL)? root: rightRotate(root); } else // Ключ находится в правом поддереве { // Ключа нет в дереве, мы закончили if (root->right == NULL) return root; // Zag-Zig (Правый-левый) if (root->right->key > key) { // Поднять ключ как корень right-left root->right->left = splay(root->right->left, key); // Выполняем первый поворот для root->right if (root->right->left != NULL) root->right = rightRotate(root->right); } else if (root->right->key < key)// Zag-Zag (Правый-правый) { // Поднимаем ключ как корень // right-right и выполняем первый разворот root->right->right = splay(root->right->right, key); root = leftRotate(root); } // Выполняем второй разворот для root return (root->right == NULL)? root: leftRotate(root); } } // Функция поиска для splay-дерева. // Обратите внимание, что эта функция возвращает // новый корень splay-дерева. Если ключ // присутствует в дереве, он перемещается в корень. node *search(node *root, int key) { return splay(root, key); } // Служебная функция для вывода // обхода в дерева ширину. // Функция также выводит высоту каждого узла void preOrder(node *root) { if (root != NULL) { cout<<root->key<<" "; preOrder(root->left); preOrder(root->right); } } /* Управляющий код */ int main() { node *root = newNode(100); root->left = newNode(50); root->right = newNode(200); root->left->left = newNode(40); root->left->left->left = newNode(30); root->left->left->left->left = newNode(20); root = search(root, 20); cout << "Preorder traversal of the modified Splay tree is \n"; preOrder(root); return 0; } // Этот код любезно предоставлен rathbhupendra
C
// Код позаимствован c http://goo.gl/SDH9hH #include<stdio.h> #include<stdlib.h> // Узел АВЛ-дерева struct node { int key; struct node *left, *right; }; /* Вспомогательная функция, которая создает новый узел с заданным key и left и right, указывающими в NULL. */ struct node* newNode(int key) { struct node* node = (struct node*)malloc(sizeof(struct node)); node->key = key; node->left = node->right = NULL; return (node); } // Служебная функция для разворота поддерева с корнем y вправо. // Смотрите диаграмму, приведенную выше. struct node *rightRotate(struct node *x) { struct node *y = x->left; x->left = y->right; y->right = x; return y; } // Служебная функция для разворота поддерева с корнем x влево // Смотрите диаграмму, приведенную выше. struct node *leftRotate(struct node *x) { struct node *y = x->right; x->right = y->left; y->left = x; return y; } // Эта функция поднимет ключ // в корень, если он присутствует в дереве. // Если такой ключ отсутствует в дереве, она // поднимет в корень самый последний элемент, // к которому был осуществлен доступ. // Эта функция изменяет дерево // и возвращает новый корень. struct node *splay(struct node *root, int key) { // Базовые случаи: корень равен NULL или // ключ находится в корне if (root == NULL || root->key == key) return root; // Ключ лежит в левом поддереве if (root->key > key) { // Ключа нет в дереве, мы закончили if (root->left == NULL) return root; // Zig-Zig (Левый-левый) if (root->left->key > key) { // Сначала рекурсивно поднимем // ключ как корень left-left root->left->left = splay(root->left->left, key); // Первый разворот для корня, // второй разворот выполняется после else root = rightRotate(root); } else if (root->left->key < key) // Zig-Zag (Left Right) { // Сначала рекурсивно поднимаем // ключ как корень left-right root->left->right = splay(root->left->right, key); // Выполняем первый разворот для root->left if (root->left->right != NULL) root->left = leftRotate(root->left); } // Выполняем второй разворот для корня return (root->left == NULL)? root: rightRotate(root); } else // Ключ находится в правом поддереве { // Ключа нет в дереве, мы закончили if (root->right == NULL) return root; // Zag-Zig (Правый-левый) if (root->right->key > key) { //Поднимаем ключ вверх в качестве корня right-left root->right->left = splay(root->right->left, key); // Выполняем первый поворот для root->right if (root->right->left != NULL) root->right = rightRotate(root->right); } else if (root->right->key < key)// Zag-Zag (Правый-правый) { // Поднимаем ключ как корень // right-right и выполняем первый разворот root->right->right = splay(root->right->right, key); root = leftRotate(root); } //Выполняем второй разворот для корня return (root->right == NULL)? root: leftRotate(root); } } // Функция поиска для splay-дерева. // Обратите внимание, что эта функция возвращает // новый корень splay-дерева. Если ключ // присутствует в дереве, он перемещается в корень. struct node *search(struct node *root, int key) { return splay(root, key); } // Служебная функция для вывода // обхода в дерева ширину. // Функция также выводит высоту каждого узла void preOrder(struct node *root) { if (root != NULL) { printf("%d ", root->key); preOrder(root->left); preOrder(root->right); } } /* Управляющий код для проверки вышеуказанной функции */ int main() { struct node *root = newNode(100); root->left = newNode(50); root->right = newNode(200); root->left->left = newNode(40); root->left->left->left = newNode(30); root->left->left->left->left = newNode(20); root = search(root, 20); printf("Preorder traversal of the modified Splay tree is \n"); preOrder(root); return 0; }
Java
// Java implementation for above approach // Реализация подхода, приведенного выше, на Java class GFG { // Узел АВЛ-дерева static class node { int key; node left, right; }; / * Вспомогательная функция, которая выделяет новый узел с заданным key и left и right, указывающими в NULL. * / static node newNode(int key) { node Node = new node(); Node.key = key; Node.left = Node.right = null; return (Node); } // Служебная функция для разворота поддерева с корнем y вправо. // Смотрите диаграмму, приведенную выше. static node rightRotate(node x) { node y = x.left; x.left = y.right; y.right = x; return y; } // Служебная функция для разворота поддерева с корнем x влево // Смотрите диаграмму, приведенную выше. static node leftRotate(node x) { node y = x.right; x.right = y.left; y.left = x; return y; } // Эта функция поднимет ключ // в корень, если он присутствует в дереве. // Если такой ключ отсутствует в дереве, она // поднимет в корень самый последний элемент, // к которому был осуществлен доступ. // Эта функция изменяет дерево // и возвращает новый корень (root). static node splay(node root, int key) { // Базовые случаи: root равен NULL или // ключ находится в корне if (root == null || root.key == key) return root; // Ключ лежит в левом поддереве if (root.key > key) { // Ключа нет в дереве, мы закончили if (root.left == null) return root; // Zig-Zig (Левый-левый) if (root.left.key > key) { // Сначала рекурсивно поднимем // ключ как корень left-left root.left.left = splay(root.left.left, key); // Первый разворот для root, // второй разворот выполняется после else root = rightRotate(root); } else if (root.left.key < key) // Zig-Zag (Left Right) { // Сначала рекурсивно поднимаем // ключ как корень left-right root.left.right = splay(root.left.right, key); // Выполняем первый разворот для root.left if (root.left.right != null) root.left = leftRotate(root.left); } // Выполняем второй разворот для корня return (root.left == null) ? root : rightRotate(root); } else // Ключ находится в правом поддереве { // Ключа нет в дереве, мы закончили if (root.right == null) return root; // Zag-Zig (Правый-левый) if (root.right.key > key) { //Поднять ключ как корень right-left root.right.left = splay(root.right.left, key); // Выполняем первый поворот для root.right if (root.right.left != null) root.right = rightRotate(root.right); } else if (root.right.key < key)// Zag-Zag (Правый-правый) { // Поднимаем ключ как корень // right-right и выполняем первый разворот root.right.right = splay(root.right.right, key); root = leftRotate(root); } //Выполняем второй разворот для root return (root.right == null) ? root : leftRotate(root); } } // Функция поиска для splay-дерева. // Обратите внимание, что эта функция возвращает // новый корень splay-дерева. Если ключ // присутствует в дереве, он перемещается в корень. static node search(node root, int key) { return splay(root, key); } // Служебная функция для вывода // обхода в дерева ширину. // Функция также выводит высоту каждого узла static void preOrder(node root) { if (root != null) { System.out.print(root.key + " "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } } // Управляющий код public static void main(String[] args) { node root = newNode(100); root.left = newNode(50); root.right = newNode(200); root.left.left = newNode(40); root.left.left.left = newNode(30); root.left.left.left.left = newNode(20); root = search(root, 20); System.out.print("Preorder traversal of the" + " modified Splay tree is \n"); preOrder(root); } } // Код любезно предоставлен 29AjayKumar
C#
// Реализация подхода, приведенного выше, на C# using System; class GFG { // Узел АВЛ-дерева public class node { public int key; public node left, right; }; /* Вспомогательная функция, которая выделяет новый узел с заданным key и left и right, указывающими в NULL. */ static node newNode(int key) { node Node = new node(); Node.key = key; Node.left = Node.right = null; return (Node); } // Служебная функция для разворота поддерева с корнем y вправо. // Смотрите диаграмму, приведенную выше. static node rightRotate(node x) { node y = x.left; x.left = y.right; y.right = x; return y; } // Служебная функция для разворота поддерева с корнем x влево // Смотрите диаграмму, приведенную выше. static node leftRotate(node x) { node y = x.right; x.right = y.left; y.left = x; return y; } // Эта функция поднимет ключ // в корень, если он присутствует в дереве. // Если такой ключ отсутствует в дереве, она // поднимет в корень самый последний элемент, // к которому был осуществлен доступ. // Эта функция изменяет дерево // и возвращает новый корень (root). static node splay(node root, int key) { // Базовые случаи: root равен NULL или // ключ находится в корне if (root == null || root.key == key) return root; // Ключ лежит в левом поддереве if (root.key > key) { // Ключа нет в дереве, мы закончили if (root.left == null) return root; // Zig-Zig (Левый-левый) if (root.left.key > key) { // Сначала рекурсивно поднимем // ключ как корень left-left root.left.left = splay(root.left.left, key); // Первый разворот для root, // второй разворот выполняется после else root = rightRotate(root); } else if (root.left.key < key) // Zig-Zag (Левый-правый) { // Сначала рекурсивно поднимаем // ключ как корень left-right root.left.right = splay(root.left.right, key); // Выполняем первый разворот для root.left if (root.left.right != null) root.left = leftRotate(root.left); } // Выполняем второй разворот для корня return (root.left == null) ? root : rightRotate(root); } else // Ключ находится в правом поддереве { // Ключа нет в дереве, мы закончили if (root.right == null) return root; // Zag-Zig (Правый-левый) if (root.right.key > key) { //Поднять ключ как корень right-left root.right.left = splay(root.right.left, key); // Выполняем первый поворот для root.right if (root.right.left != null) root.right = rightRotate(root.right); } else if (root.right.key < key)// Zag-Zag (Правый-правый) { // Поднимаем ключ как корень // right-right и выполняем первый разворот root.right.right = splay(root.right.right, key); root = leftRotate(root); } // Выполняем второй разворот для root return (root.right == null) ? root : leftRotate(root); } } // Функция поиска для splay-дерева. // Обратите внимание, что эта функция возвращает // новый корень splay-дерева. Если ключ // присутствует в дереве, он перемещается в корень. static node search(node root, int key) { return splay(root, key); } // Служебная функция для вывода // обхода в дерева ширину. // Функция также выводит высоту каждого узла static void preOrder(node root) { if (root != null) { Console.Write(root.key + " "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } } // Управляющий код public static void Main(String[] args) { node root = newNode(100); root.left = newNode(50); root.right = newNode(200); root.left.left = newNode(40); root.left.left.left = newNode(30); root.left.left.left.left = newNode(20); root = search(root, 20); Console.Write("Preorder traversal of the" + " modified Splay tree is \n"); preOrder(root); } } // Этот код любезно предоставлен 29AjayKumar.Splay
Выходные данные:
Preorder traversal of the modified Splay tree is 20 50 30 40 100 200
Резюме
1) Splay-деревья обладают отличным свойством локальности. Часто используемые элементы легко найти. Редкие элементы не мешаются при поиске.
2) Все операции со splay-деревом в среднем занимают время порядка O(log n). Можно строго доказать, что Splay-деревья работают в среднем за время порядка O(log n) на операцию при любой последовательности операций (при условии, что мы начинаем с пустого дерева)
3) Splay-деревья проще по сравнению с красно-черными и АВЛ-деревьями, так как узлы splay-дерева не требуют дополнительных полей.
4) В отличие от АВЛ-дерева, splay-дерево может изменяться даже при выполнении операций чтения, таких как поиск.
Применение Splay-деревьев
Splay-деревья стали наиболее широко используемой базовой структурой данных, изобретенной за последние 30 лет, потому что они являются самым быстрым типом сбалансированного дерева поиска для огромного множества приложений.
Splay-деревья используются в Windows NT (в виртуальной памяти, сети и коде файловой системы), компиляторе gcc и библиотеке GNU C++, редакторе строк sed, сетевых маршрутизаторах Fore Systems, наиболее популярной реализации Unix malloc, загружаемых модулях ядра Linux и во многих других программах (Источник: http://www.cs.berkeley.edu/~jrs/61b/lec/36)
Смотрите также Splay Tree | Set 2 (Insert).
Ссылки:
http://www.cs.berkeley.edu/~jrs/61b/lec/36
http://www.cs.cornell.edu/courses/cs3110/2009fa/recitations/rec-splay.html
http://courses.cs.washington.edu/courses/cse326/01au/lectures/SplayTrees.ppt
Узнать подробнее о курсе "Алгоритмы и структуры данных".
Записаться на открытый вебинар по теме "Заповедники двоичных деревьев поиска."
Реклама которая может быть полезна
Прямо сейчас в OTUS действуют максимальные новогодние скидки на все курсы. Ознакомиться с полным списком курсов вы можете по ссылке ниже. Также у всех желающих есть уникальная возможность отправить адресату подарочный сертификат на обучение в OTUS.
Кстати, о "красивой упаковке" онлайн-сертификатов мы рассказываем в этой статье.
