Разбирая примеры с использованием Байесовских сетей доверия (БСД), мы показали, как с их помощью формируется или принимается некое решение инвестора или другого лица, принимающего решения (ЛПР). Однако в чистом виде БСД могут быть лишь основой для принятия решений. Инструментом же, созданным специально для этого являются Диаграммы влияния (Influence Diagrams). Так называют разновидность байесовских сетей, в которой, помимо уже знакомых нам узлов неопределенностей (случайных переменных) используют еще два вида узлов:
узлы решений, которые должны быть приняты. Если дуга (стрелка) направлена к узлу решений, это означает, что узел в начале такой дуги должен быть полностью определён к моменту принятия решения. Поэтому такие дуги часто называют информационными;
узлы полезностей, представляющие возможные значения (ценность, полезность) результатов. Родителями обычного узла полезности могут быть только узлы неопределенностей и узлы решений. Однако иногда строят модели с особыми «сверхценными» узлами полезности, родителями которых являются обычные узлы полезностей. Сверхценные узлы полезности представляют взвешенную сумму результатов обычных узлов полезности.
Диаграммы влияния, в отличие от обычных БСД, позволяют определять ожидаемую полезность всех альтернативных решений, а затем выбирать альтернативу с наибольшей ожидаемой полезностью. На блок-схемах узлы случайных переменных обычно изображают окружностями (овалами), узлы решений – прямоугольниками, а узлы полезностей – ромбами. Программа Netica, которую мы использовали в предыдущих примерах, полностью приспособлена для постройки диаграмм влияния.
Итак, в предыдущих статьях о БСД мы уже разобрали европейский опцион колл на акцию, а затем и саму акцию. Из этих «кирпичиков» далее построим Диаграмму влияния для анализа альтернативных решений инвестора с горизонтом 1 месяц. В этом примере инвестор является «крупным игроком», решение которого может даже краткосрочно повлиять на курс интересующей его акции. В частности, он планирует покупку 10 тыс. акций компании Аа по цене 10 руб. за штуку. Инвестор считает, что фондовый индекс РТС (RTSI) существенно влияет на курс данной акции. Кроме того, основываясь на собственном опыте и имеющейся информации, инвестор полагает, что к концу месяца индекс РТС вырастет, при этом акция Аа, скорее всего, будет стоить 5 или 20 руб.
Альтернативным выбором инвестора является приобретение за 100 тыс. руб. европейского опциона колл на акции Аа. Опцион дает право на покупку 50 тыс. акций Аа в конце месяца по цене 15 руб. за штуку.
Для анализа решений инвестора построим диаграмму влияния, включающую четыре узла (Рис. 1):
узел случайной переменной цены акции Аа в конце месяца. Узел представляет две несовместные гипотезы о будущей цене акции, выдвинутые инвестором;
узел случайной переменной величины индекса РТС (родительский узел);
узел Решение, представляющий два альтернативных варианта решения, которые может принять инвестор, а именно: купить 10 тыс. акций Аа, или приобрести опцион стоимостью 100 тыс. руб. на покупку 50 тыс. акций Аа в конце месяца.
узел полезности U, представляющий ожидаемый результат инвестирования.
Прежде всего, отметим здесь, что наличие стрелок от узла акции Аа и от узла Решения к узлу полезности U говорит нам о том, что и курс акции и решение инвестора влияют на ожидаемый результат инвестирования. Стрелка от узла индекса РТС к акции подтверждает его влияние на текущий и будущий на курс акции. Наконец, стрелка от узла Решение к узлу акции указывает на возможное влияние решения инвестора на курс данной акции, поскольку сумма его предполагаемой покупки достаточно велика.
Следующий шаг – заполнение таблиц вероятностей. Узел РТС является родительским, поэтому таблицу безусловных вероятностей (ТБВ, Таблица 1) его состояния заполняем исходя из того, что инвестору известно состояние рынка, и он, основываясь на собственном опыте, ожидает, что индекс РТС с вероятностью 60% к концу месяца достигнет уровня 1400 единиц, или с вероятностью 40% – уровня 1300 единиц.
Таблица 1. ТБВ для узла РТС.
№ | Индекс РТС | Вероятность, % |
1 | 1400 | 60 |
2 | 1300 | 40 |
До инициализации модели в программе Netica стержневые диаграммы на узлах переменных не высвечиваются (Рис. 2), т.к. это не имеет смысла, пока не заполнены таблицы условных вероятностей (ТУВ). Как обычно, в ТУВ узла акции мы должны «перебрать» все возможные сочетания состояний родительского узла и данного узла, исходя из предположений инвестора (см. Табл. 2).
В этой таблице мы видим, что, суммируя свои знания, опыт и рыночную информацию, инвестор предполагает, что при достижении индексом РТС значения 1400 единиц (1-я и 3-я строки ТУВ) курс акции Аа с большей вероятностью достигнет значения 20 руб. (80% при выборе акции, и 70% при выборе опциона). Если индекс дойдет только до 1300 единиц, то ожидания инвестора не определены при выборе акции (2-я строка ТУВ – 50/50), и немного сдвинуты в противоположном направлении при выборе опциона (4-я строка ТУВ).
Таблица 2. ТУВ для узла акции.
№ | Решение | Индекс РТС | Вероятность цены акции, % | |
Аa = 5 руб. | Аa = 20 руб. | |||
1 | d1 | 1400 | 20 | 80 |
2 | d1 | 1300 | 50 | 50 |
3 | d2 | 1400 | 30 | 70 |
4 | d2 | 1300 | 60 | 40 |
Завершающий этап – заполнение таблицы случайных значений полезности (Табл. 3). В ней будет всего четыре возможных значения результата инвестирования. Здесь отметим для себя, что в случае покупки опциона (d2) и курса Аа в конце месяца 5 руб. инвестор не получает ничего, но при курсе 20 руб. он получит 250 тыс. руб.
Таблица 3. Состояния узла полезности.
Решение | U, руб. | |
Аa = 5 руб. | Аa = 20 руб. | |
d1 | 50000 | 200000 |
d2 | 0 | 250000 |
После заполнения всех таблиц инициализируем диаграмму, и только после этого получаем действующую модель решений нашего инвестора (Рис. 3). В таблице узла решений видим значения ожидаемых результатов инвестирования в денежном выражении: 152 тыс. руб. для решения d1, и 145 тыс. руб. для решения d2. Попробуем и в этом примере проверить машину.
Ожидаемое значение результата покупки акции (решение d1) с учетом заданных вероятностей и каждого значения индекса РТС составит:
Е(U1) = 0,2 · 50 тыс. руб. + 0,8 · 200 тыс. руб. = 170 тыс. руб. (РТС =1400)
Е(U2) = 0,5 · 50 тыс. руб. + 0,5 · 200 тыс. руб. = 125 тыс. руб. (РТС =1300)
Следовательно, ожидаемый результат в случае покупки акции:
Е(d1) = 0,6 · 170 тыс. руб. + 0,4 · 125 тыс. руб. = 152 тыс. руб.
По такому же принципу считаем ожидаемый результат в случае покупки опциона (решение d2):
Е(U3) = 0,3 · 0 + 0,7 · 250 тыс. руб. = 175 тыс. руб. (РТС =1400)
Е(U4) = 0,6 · 0 + 0,4 · 250 тыс. руб. = 100 тыс. руб. (РТС =1300)
Следовательно, ожидаемый результат в случае покупки опциона составит:
Е(d2) = 0,6 · 175 тыс. руб. + 0,4 · 100 тыс. руб. = 145 тыс. руб.
Как видим, всё совпало. Инвестору остается выбрать альтернативу с наибольшей ожидаемой полезностью, поэтому его решением должна быть покупка акции, т.к. это решение дает максимальное ожидаемое значение результата инвестирования в условиях неопределенности:
Е(Решение) = max (152 тыс. руб.; 145 тыс. руб.) = 152 тыс. руб.
Для того чтобы продемонстрировать правильность решения кликаем мышью в строке d1 и убеждаемся, что машина оставит именно такой результат в таблице узла Решение (см. Рис. 4). При этом в строке решения d2 будет выведен нуль.
Для того чтобы проверить теперь уже наши расчеты, сделаем некоторые вероятностные выводы с помощью построенной модели. Например, убедимся, что при достижении индексом РТС значения 1400 (Рис. 5) модель выдает точно такие же ожидаемые результаты, которые мы получили выше, когда проверяли результаты в отдельности для случаев выбора акции или опциона.
Далее сделаем то же самое при достижении индексом РТС значения 1300 (Рис. 6), и также сверим результат.
Далее усложним вывод, и зададим состояние, при котором индекс РТС достиг значения 1400, а акция Аа достигла курса 20 руб. (Рис. 7). Значения полученных результатов для такого состояния проверяем по Таблице 3.
Далее проверим, что могло бы произойти, если бы курс акции Аа не достиг значения 20 руб. (Рис. 8), и получаем подтверждение того, что в этом случае выбор опциона (d2) дал бы нулевой результат при любом значении индекса РТС.
Таким образом, мы убеждаемся, что даже довольно простая диаграмма влияния позволяет проводить множество интересных вероятностных выводов на построенной модели принятия решений. Опыт показывает, что диаграммы влияния пригодны для задач моделирования реальных опционов, синтетических инструментов на базе теории паритета финансовых опционов, анализа различных арбитражных возможностей, т.е. там, где неопределенностей особенно много.
В данном простом примере всю таблицу полезности мы рассчитали и заполнили вручную. Однако в программах-редакторах БСД, и в Netica в частности предусмотрено заполнении таких таблиц программным путём, если известны необходимые для этого зависимости. Такие примеры мы тоже рассмотрим.
