Говорят, что жизнь как зебра: полоса черная, полоса белая, полоса черная, полоса белая…
Неизвестный философ.
Введение
Ах, если бы это было так, то зная где упасть, можно было бы и подстелить соломки перед наступлением черной полосы. Но чередование белых и черных полос, как и их продолжительность, непредсказуемы. Больше похоже на штрих код. Вот такой полосатый штрих код, только в применении к задачам геофизики я и стал рассматривать в качестве простого примера, разбираясь с книгой "Сейсмоакустика пористых и трещиноватых геологических сред".
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/2c0/f4e/250/2c0f4e250ddab792a2f6e8dd07b94b14.png)
Оказывается, уравнения распространения волн в среде со случайным распределением трещин или в пористых материалах могут быть "усреднены" с помощью диаграммной техники из квантовой теории поля и Юрий Александрович Кухаренко эту технику активно продвигал. Казалось бы, какая связь между квантами и трещинами? Это я и решил выяснить. Книжку читать оказалось не просто. Видно, что авторы хорошо разбираются и в квантовой теории поля, и в теории вероятностей, и в геофизике. А читателю приходится с карандашом анализировать все появляющиеся там формулы. Карандаш очень пригодился в разделе о математическом описанию случайности случайных сред. Все начинается очень абстрактно, по Колмогорову. Вводится вероятностное пространство, мера, и всевозможные функционалы. Для лучшего восприятия, я все концепции этого раздела применил к ансамблю случайных слоистых сред - те самые зебры-штрих-коды из вступительной части. Получилось очень педагогично, на мой взгляд.
От аксиом к примерам
Абстрактный подход к случайным слоистым средам начинается с аксиом теории вероятностей:
![Случайные величины обозначаются буквами с крышечками, как операторы в квантовой механике - и это не с проста. Ведь сама по себе случайная величина, как и оператор, нам не доступны для наблюдения. Мы можем "видеть", например, их средние значения, а более правильней - экспериментальные "частоты". Случайные величины обозначаются буквами с крышечками, как операторы в квантовой механике - и это не с проста. Ведь сама по себе случайная величина, как и оператор, нам не доступны для наблюдения. Мы можем "видеть", например, их средние значения, а более правильней - экспериментальные "частоты".](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/a68/3ac/c6a/a683acc6aeb1b8f7925d2d1ac183efec.png)
Чтобы понять, что стоит за этими весьма общими словами начнем конструировать пример. Итак, пусть у нас есть слоистый материал, составленный из слоев двух типов - трещина и остов пишу про слои, чтобы потом воспользоваться этим примером в расчете акустических свойств такого материала. Случайное поле и его реализация
определяют то, что мы увидим в точке х : остов, если значение поля 1 и трещину, если значение поля 0.
Для начала я взял фиксированной толщину каждого слоя - обозначим ее d, хотите−пусть будет 1. С одной стороны это сильно упростило пример, а с другой стороны, если взять d очень маленьким, то из нескольких таких слоев можно составить слой любой толщины. Общее число слоев N я зафиксировал.
Что будет пространством событий в данном случае? Это множество, элементами которого являются возможные реализации слоистой структуры. Поставим в соответствие трещине 0 - пуста она, и потому нулем решил ее я обозначить, а остову сопоставим 1. Тогда пространство событий можно представить как множество W двоичных последовательностей w длины N. Если мы введем своими собственными руками аксиому - вероятность появления трещины в любом слое равна 0<t<1, и не зависит от других слоев, то вероятность последовательности w будет просто произведение
Здесь n0 это число трещин! Вместо интеграла по вероятностной мере будет сумма по вероятностям всех событий из интересующего нас подмножества.
Если же мы по какой-то причине хотим вычислить вероятность появления "поля трещин", произвольно распределенного на интервале
то скорее всего, получим ноль. Ненулевые значения будут только при условии, что распределение трещин согласовано с выбранной толщиной трещины/остова.
Функции распределения
Если мы вдруг захотим рассмотреть бесконечно-много бесконечно тонких случайно распределенных слоев, то возникнет проблема - вероятность попасть в какую-то реализацию будет стремиться к нулю. Нужно математически описать, как теперь нам измерять вероятность на разных множествах - то есть задать меру. Оказывается, во многих случаях это эквивалентно заданию бесконечной цепочки функций распределения
![Определение функций распределения. В последней строчке опечатка? Определение функций распределения. В последней строчке опечатка?](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/6da/266/c7c/6da266c7cf5f9e73a43a1514c4a707c2.png)
Угловатые скобки в этих формулах означают усреднение по пространству событий. В нашем случае, при конечном N это будет просто сумма вероятностей по каждой реализации. В общем случае это будет страшный функционал.
Что такое одночастичная функция распределения? Мы берем точку 0<x1 <dN внутри нашей слоечки, и хотим узнать, какова вероятность там получить трещину? Мы уже сказали, что у нас это аксиома - эта вероятность равна t, но сейчас мы потренируемся на одноточечной функции распределения и с двухточечной будет понятнее. По определению, если мы знаем как измерять множества в пространстве событий разных слоистых структур, то нам надо взять множество всех слоек, у которых в точке x1 трещина, а в остальных хоть трава не расти, и вычислить его меру
![Оформление в стиле Питера Шольце. Ниже тоже самое записано формулами с исправлением описок. Оформление в стиле Питера Шольце. Ниже тоже самое записано формулами с исправлением описок.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/360/911/1a3/3609111a373d95f60c3bdf2570da5b8f.png)
Что же на рисунке выше сделано? Дельта-функция под интегралом определяет, по какой области пространства надо интегрировать, а в данном случае суммировать. Нужно просуммировать вероятности всех двоичных последовательностей, в которых на фиксированной позиции расположен ноль. Поэтому один множитель t уже за знаком суммы, а суммируем мы по случаям, когда в среди оставшихся слоев нет трещин, есть 1 трещина, 2 трещины и т.д., до полностью треснутой слойки. Нужно учесть комбинаторику - сколькими способами могут распределиться трещины. Получается, буквально, бином Ньютона. И тавтологичный ответ - если вероятность трещины t, то вероятность трещины t.
Вот с двухточечной функцией распределения все будет интереснее! Запишем определение
![Через дельта-функции к вероятностям! Через дельта-функции к вероятностям!](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/b57/e26/a6d/b57e26a6dccccb5f14ace2630a240e51.png)
Во-первых, появилось 4 функции распределения: трещина-трещина, остов-трещина, трещина-остов, остов-остов. Во-вторых, точки x2, x1 могут либо попасть в разные слои (что точно произойдет, если x2-x1>d), либо они могут попасть в один слой. Зададим функцию, отмечающую попадание в разные слои П(x1,x2). Тогда за попадание в один слой будет отвечать функция U(x1,x2)=1-П(x1,x2). Вот так графически выглядят эти функции
![П(x1,x2)=1 в области закрашенной голубым, U(x1,x2)=1 в неокрашенной области. П(x1,x2)=1 в области закрашенной голубым, U(x1,x2)=1 в неокрашенной области.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/c21/9eb/d9a/c219ebd9a23bc5b92b5dee71a4fd9e28.png)
Давайте определимся - будем вычислять функцию распределения трещина-трещина. Тогда, если точки попали в разные слои, функция распределения будет равна
а если в один слой, то
Множители t2 и t точно также появляются в результате суммирования бинома Ньютона, как и для одночастичной функции распределения. Ниже приведу ответ для всех четырех функций распределения, а вам упражнение - вывести оставшиеся!
![На картинке первая версия обозначений, еще не совсем удачная. На картинке первая версия обозначений, еще не совсем удачная.](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3df/774/f22/3df774f2200096a748a4becd6f7493eb.png)
Ну, теперь этот процесс не остановить. Легко запишем трех-точечную функцию распределения трещина-трещина-трещина, при этом три точки должны попасть в трещины. Если все точки попали в разные слои , функция распределения будет равна
Если две точки попали в один слой, то функция распределения равна
И, наконец, если все три точки попали в один слой, то получим
Полная трехточечная функция распределения будет суммой этих трех слагаемых. Заметьте, в функциях распределения не фигурирует число слоев N. Поэтому, хотя в предельном переходе N->Infinity возникают трудности с определением меры в вероятностном пространстве, с функциями распределения все остается в порядке!
Теперь можно результаты наших трудов применить к осмыслению абстрактных свойств функций распределения.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/726/6ac/93b/7266ac93bfacd4f79464d513c8a10f7d.png)
Проверяем по порядку. Неотрицательность имеется! Нормировка для одноточечной выполняется, потому что, сумма распределений для трещин и остова t+(1-t)=1. Для двух-точечной нужно сложить функции распределения трещина-трещина остов-остов и два раза трещина-остов
Если x2,x1 в разных слоях, эта сумма даст t2+(1-t)2+2t(1-t)=1. Если x2,x1 в одном слое, сумма получится t+1-t=1. Для двухточечной нормировка тоже имеется.
Согласование с пределом очевидно. Когда x2=x1 мы используем только слагаемые для попадания в одну клетку. Поэтому функции распределения трещина-остов равны нулю, а для совпадающих слоев - t*1 или (t-1)*1, то есть одночастичные распределения умноженные на дельта-символ,
Согласование с интегралом - поскольку у нас 2 типа слоев, надо брать сумму, трещина-трещина и трещина-остов. Как ни странно, получится t
И, наконец, у нас имеется свойство ослабления корреляций - если x2-x1>d, то двухчастичные распределения просто являются произведениями одночастичных распределения (t2=t*t и т.д.). Получается, что радиус корреляции - это толщина слоя. На этой радостной ноте, что черные и белые полосы в жизни не скоррелированы, мы сделаем паузу в исследование случайных слоистых структур.
Эпилог
В этом игрушечном примере можно проследить всю схему корректного математического описание случайных сред (полей), от меры в вероятностном пространстве до функций распределения. Можно пойти и дальше, и восстановить по этим функциям распределения исходную меру, но текст уже и так получился слишком большим. Дальше, можно деформировать наши функции распределения во что-то более реалистичное. Сгладить корреляции U(x1,x2), например, с помощью гауссианы (это будет соответствовать случайной толщине трещины). Добавить пространственных измерений и анизотропию. Можно сделать t зависящим от координаты, и т.д. Такие функции распределения появятся в итеративном вычислении среднего поля, который удобно изображать диаграммами. По мере погружения в эту тематику попробую зафиксировать результаты. В книжке есть невероятные разделы - про стрелу времени и квантовую механику Рязанова (никогда раньше о нем не слышал, но он Уиллера и Фейнмана переплюнул). to be continued...