Пролог:
Эта одна из статей серии "Производная как смысл жизни", сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.
Начало
Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной(скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.
Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:
-напоминаю, что Δx - приращение аргумента, Δy - приращение функции.
Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю "неточность".
Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение "неточности"(в статье о производной об этом подробнее рассказано).
Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):
И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.
Смотрим дифференциалу в лицо
Расмотрим такой график:
Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.
Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной - то есть BC, а CD - это лишь та "погрешность" которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:
Дифференциал(d) - это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) - это главная линейная часть приращения функции.
Зная это введем обозначение на графике:
Вернемся к равенству
BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.
Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.
Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).
Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.
Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)'Δx = 1*Δx = Δx
И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.
Немного пределов
Добавим с левой части и с правой предел
Тогда:
В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:
Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:
Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции - это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.
В свою очередь dx по прежнему Δx
