(*Поправки относительно новизны см. в закрепленном комментарии)
Каким может быть график, скажем, линейной функции вещественного аргумента f(x) = x + c, c – константа, если операцию сложения определить иначе, нежели обычно? А каким будет множество решений уравнения x + c = d с неизвестным x в таком случае?
(Оговоримся: на протяжении всей заметки, автор будет опускать подробности строгих математических определений, чтобы не заслонять ими простой смысл материала.)
Не знаю, как с вами обошлись бы века тому назад, предложи вы, чтобы в «особых целях было 2 + 2 = 5», но в наше время n-арная алгебраическая операция определяется на множестве М как отображение, ставящее в соответствие упорядоченной n-ке элементов из М элемент того же М, и эта свобода сохраняет вас от тяжелых последствий.
Ради удобства, групповые операции могут называться умножением или сложением. Обе не обязаны совпадать с известными со школы действиями. Скажем, умножением для свободной группы с двумя образующими будет соединение двух слов определенного типа в одно и следующее за ним сокращение пар некоторого типа. Сейчас не нужно силиться понимать предыдущее предложение. Важно уловить: уже давно математика позволяет вам называть сложением (умножением) что-то другое. Таким образом, + в выражении 2 + 2 = 5 можно назвать сложением и оно будет алгебраической операцией.
Мы не даем здесь определения неклассической арифметики. На самом деле, сделать это не просто. Некоторые вещи иногда вообще целесообразнее не определять, по крайней мере, на каких-то этапах: Б. Мандельброт в одной из своих книг явно указывал полезность воздержания от определения фрактала. В рамках нашей заметки, операцию +i в выражении a +i b = c будем называть сложением неклассической арифметики, если оно хотя бы для одной пары чисел a, b дает результат c, отличный от результата школьной арифметики. Модульная арифметика соответствует критерию, но мы не будем ее называть неклассической. Это же применимо и к другим арифметикам, которые уже давно «классичны». Кроме сложения, неклассическая арифметика может содержать вычитание, умножение, деление и т. д., понимаемые в указанном смысле.
Приступим к разнообразиям. Это слово очень похоже на «многообразие». Из веера математических объетов, называемых им, нам нужно остановиться только на алгебраических многообразиях как множествах решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Если в этих системах уравнения снабжены неклассической арифметикой, быть может, не одной и, быть может, в ней присутствует классическая арифметика, то это система уравнений разнообразия, а множество ее решений – разнообразие. Но таковым мы будем называть еще множество значений функции f разнообразия и последовательность значений f, поскольку и уравнения, и функции имеют общее – графики.
Теперь повторим вопрос начала заметки: «Какими могут быть графики функций разнообразия?» И отвечаем: «Например, такими как здесь: https://youtu.be/Bu8CYo7D_Yg». Неклассической арифметикой функций является DR+ (от англ. «diversities of reals»), арифметика неотрицательных вещественных чисел.
Уже набор графиков всего лишь двадцати одной функции демонстрирует сильное отличие от функций классической арифметики. Может случиться, что элементарные средства неклассических арифметик (не только их элементарные функции и уравнения) позволят просто решать задачи, доступные лишь изощренным инструментам классической арифметики. Собственно, только что мы сформулировали обоснование разработки неклассических арифметик и теории разнообразий.
Отмечаем: некоторые графики отличаются друг от друга как один вид кошек отличается от другого; вторые разнятся как кошки от рыб; третьи как птицы от кошек и рыб; и т. д. Это косвенно свидетельствует о богатстве разнообразий в пределах уже одной арифметики, богатство форм – о богатстве возможных функциональных зависимостей, математических моделей и приложений вообще.
Назовем арифметику богатой, если она позволяет строить либо бесконечное семейство попарно неэквивалентных функций, либо очень крупную конечную их совокупность. Такое требование проистекает из предыдущего абзаца. Оно разумно. Существуют ли богатые арифметики? Определение алгебраической операции и функции представляет запрет существования маловероятным. Поэтому бесполезность неклассических арифметик и разнообразий скорее сказка, чем быль.
