Не так давно я начала сначала немножко на практике, а потом теоретически знакомиться с миром букмекерских контор (БК). Мое математическое образование и врожденная недоверчивость позволили не закостенеть сходу в традиционных представлениях опытного игрока: есть вероятности, есть маржа, а потому на дистанции обыграть БК невозможно. Меня не удовлетворило стандартное доказательство, и я решила рассмотреть его подробнее. Оказалось очень поучительно.
Обычно все объясняют так. Вот есть игра Барс-Дизель. БК по своим данным определяет вероятность победы Барса W и ставит для нее коэффициент K = (1 — m)/W, где m — маржа. После N >> 1 таких игр количество матчей с победой команды 1 будет P = W*N, следовательно, баланс игрока составит (при фиксированной ставке в одну единицу) K*P — N = (K*W — 1)*N= — m*N.
При рассмотрении этого доказательства, у меня возникли три вопроса нарастающей сложности.
Вопрос №1. А что есть вероятность победы Барса в матче Барс-Дизель? Строго говоря, это отношение числа его побед к общему числу большого количества матчей Барс-Дизель, сыгранных одновременно, в одинаковых условиях большим количеством клонов двух команд. Реальные исторически итоги встреч этих команд, во-первых, малочисленные, во-вторых, матчи проходили в разных условиях. То есть, реального способа определить значение соответствующей вероятности не существует. Разве что в будущем, когда можно будет создать полные компьютерные аналоги игроков. Для себя я решила этот вопрос так: указанную вероятность можно определить в мысленном эксперименте (с клонами), этого достаточно, главное, что она существует.
Вопрос №2. Как понимать «После N >> 1 таких игр»? Каких таких? Барс-Дизель? Да за целый год их наберется всего несколько, пусть десяток; а нужны ведь сотни, тысячи, чтобы (мысленная) вероятность проявилась реальной статистической закономерностью. Кстати, касательно необходимого числа опытов. Из рассмотрения простых случайных последовательностей (типа подбрасывания монетки), из своего опыта игры в БК, их опыта других игроков, я вывела правило: при 500 испытаниях можно сказать букву «а», при 1000 — слово «а может», при 2000 — фразу «а может это закономерность?» Продолжим. В какой-то момент я поняла, что при подсчетах совершенно не важны конкретные особенности события, значение имеет только лишь его вероятность. Действительно, в ближайшем будущем игр Барс-Дизель будет немного, но будем много других игр с такой же вероятностью. Все эти игры можно и нужно считать повторением одной и той же игры, где встречаются абстрактные команда 1 и команда 2.
После двух вышеуказанных прорывов я, однако, не вышла на оперативный простор, а плотно увязла в самом трудном для меня Вопросе №3: если в линии БК всего 1 коэффициент и для него есть 1000 игр в месяц, то все нормально; но на практике разных коэффициентов много, десятки и все они для одного набора 1000 игр, тогда на каждый коэффициент придется не так много матчей (допустим по 100), статистика при нем (коэффициенте) не сработает — никакая статистическая закономерность для 1000 игр не проявится. Такой вывод мне не понравился, так как, мысленно уравнивая коэффициенты, мы скачком получаем из (по) 100 одинаковых испытаний сразу 1000, а для такого числа уже несомненно проявление статистической закономерности. В этом месте коса реальности конкретно нашла на камень теорвера, на котором написано, что вероятность связана с повторением большого числа ОДИНАКОВЫХ испытаний. Защищая это положение, я при решении Вопроса №2 приняла для себя, что испытания могут иметь отличия, но только для каждого отличия собственная вероятность (основанная на одинаковых испытаниях) должна быть одной и той же. Спокойно можно чередовать подбрасывание монетки, доставание шара из ящика, где равное число белых и черных шаров и т.п. Теперь же я вынуждена принять, что закономерность проявляется и в череде совершенно разных, в том числе и по собственной вероятности, испытаний.
Поясню ситуацию на простом примере. Пусть у нас есть 1000 ящиков с каким-то для всех ящиков одинаковым отношением количества белых шаров к черным. Не глядя, мы вынимаем шар (с возвратом, все ящики равнодоступные). И продолжаем график относительной частоты количества вынутых белых шаров. Так как все ящики одинаковые, то можно сказать, что мы вынимаем шар все время из одного ящика; тогда нет никаких сомнений, что график относительной частоты для 1000 испытаний уже обнаружит свое предельное поведение, т.е. вероятность вытянуть белый шар уже проявит себя зримой статистической закономерностью. А теперь пусть каждый из этих 1000 ящиков имеет свое отношение количества белых шаров к черным. Все ящики равнодоступные. Вопрос: при 1000 испытаний наш график относительной частоты по-прежнему уже обнаружит предельное поведение (в общем случае к другому числу)? Мысленные эксперименты говорят, что да. Вероятности по каждому ящику еще никак не проявятся (среднее число испытаний для каждого из них равно 1), а вот их сумма уже зафиксируется.
Возможно, для кого-то здесь нет ничего удивительного. Ведь теория вероятности спокойно рассматривает случаи подряд идущих разных испытаний. Есть понятие полной вероятности (вытащить белый шар), состоящей из условных вероятностей (вытащить белый шар из конкретного ящика), есть общая теорема о повторении опытов, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Но для всех таких случаев соответствующая вероятность выводится из собственных (условных, «настоящих») вероятностей — подсознательно ожидаешь, что и на практике сначала должны сложиться отдельные элементы, а потом из них суммарный результат — на деле же все наоборот.
Так или иначе, но в мире БК с одной стороны на каждом шагу используется слово «вероятность», а с другой — нет повторяющихся опытов. И пытаясь понять, как же такая связка может работать, открываешь для себя неожиданные вещи.
Обычно все объясняют так. Вот есть игра Барс-Дизель. БК по своим данным определяет вероятность победы Барса W и ставит для нее коэффициент K = (1 — m)/W, где m — маржа. После N >> 1 таких игр количество матчей с победой команды 1 будет P = W*N, следовательно, баланс игрока составит (при фиксированной ставке в одну единицу) K*P — N = (K*W — 1)*N= — m*N.
При рассмотрении этого доказательства, у меня возникли три вопроса нарастающей сложности.
Вопрос №1. А что есть вероятность победы Барса в матче Барс-Дизель? Строго говоря, это отношение числа его побед к общему числу большого количества матчей Барс-Дизель, сыгранных одновременно, в одинаковых условиях большим количеством клонов двух команд. Реальные исторически итоги встреч этих команд, во-первых, малочисленные, во-вторых, матчи проходили в разных условиях. То есть, реального способа определить значение соответствующей вероятности не существует. Разве что в будущем, когда можно будет создать полные компьютерные аналоги игроков. Для себя я решила этот вопрос так: указанную вероятность можно определить в мысленном эксперименте (с клонами), этого достаточно, главное, что она существует.
Вопрос №2. Как понимать «После N >> 1 таких игр»? Каких таких? Барс-Дизель? Да за целый год их наберется всего несколько, пусть десяток; а нужны ведь сотни, тысячи, чтобы (мысленная) вероятность проявилась реальной статистической закономерностью. Кстати, касательно необходимого числа опытов. Из рассмотрения простых случайных последовательностей (типа подбрасывания монетки), из своего опыта игры в БК, их опыта других игроков, я вывела правило: при 500 испытаниях можно сказать букву «а», при 1000 — слово «а может», при 2000 — фразу «а может это закономерность?» Продолжим. В какой-то момент я поняла, что при подсчетах совершенно не важны конкретные особенности события, значение имеет только лишь его вероятность. Действительно, в ближайшем будущем игр Барс-Дизель будет немного, но будем много других игр с такой же вероятностью. Все эти игры можно и нужно считать повторением одной и той же игры, где встречаются абстрактные команда 1 и команда 2.
После двух вышеуказанных прорывов я, однако, не вышла на оперативный простор, а плотно увязла в самом трудном для меня Вопросе №3: если в линии БК всего 1 коэффициент и для него есть 1000 игр в месяц, то все нормально; но на практике разных коэффициентов много, десятки и все они для одного набора 1000 игр, тогда на каждый коэффициент придется не так много матчей (допустим по 100), статистика при нем (коэффициенте) не сработает — никакая статистическая закономерность для 1000 игр не проявится. Такой вывод мне не понравился, так как, мысленно уравнивая коэффициенты, мы скачком получаем из (по) 100 одинаковых испытаний сразу 1000, а для такого числа уже несомненно проявление статистической закономерности. В этом месте коса реальности конкретно нашла на камень теорвера, на котором написано, что вероятность связана с повторением большого числа ОДИНАКОВЫХ испытаний. Защищая это положение, я при решении Вопроса №2 приняла для себя, что испытания могут иметь отличия, но только для каждого отличия собственная вероятность (основанная на одинаковых испытаниях) должна быть одной и той же. Спокойно можно чередовать подбрасывание монетки, доставание шара из ящика, где равное число белых и черных шаров и т.п. Теперь же я вынуждена принять, что закономерность проявляется и в череде совершенно разных, в том числе и по собственной вероятности, испытаний.
Поясню ситуацию на простом примере. Пусть у нас есть 1000 ящиков с каким-то для всех ящиков одинаковым отношением количества белых шаров к черным. Не глядя, мы вынимаем шар (с возвратом, все ящики равнодоступные). И продолжаем график относительной частоты количества вынутых белых шаров. Так как все ящики одинаковые, то можно сказать, что мы вынимаем шар все время из одного ящика; тогда нет никаких сомнений, что график относительной частоты для 1000 испытаний уже обнаружит свое предельное поведение, т.е. вероятность вытянуть белый шар уже проявит себя зримой статистической закономерностью. А теперь пусть каждый из этих 1000 ящиков имеет свое отношение количества белых шаров к черным. Все ящики равнодоступные. Вопрос: при 1000 испытаний наш график относительной частоты по-прежнему уже обнаружит предельное поведение (в общем случае к другому числу)? Мысленные эксперименты говорят, что да. Вероятности по каждому ящику еще никак не проявятся (среднее число испытаний для каждого из них равно 1), а вот их сумма уже зафиксируется.
Возможно, для кого-то здесь нет ничего удивительного. Ведь теория вероятности спокойно рассматривает случаи подряд идущих разных испытаний. Есть понятие полной вероятности (вытащить белый шар), состоящей из условных вероятностей (вытащить белый шар из конкретного ящика), есть общая теорема о повторении опытов, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Но для всех таких случаев соответствующая вероятность выводится из собственных (условных, «настоящих») вероятностей — подсознательно ожидаешь, что и на практике сначала должны сложиться отдельные элементы, а потом из них суммарный результат — на деле же все наоборот.
Так или иначе, но в мире БК с одной стороны на каждом шагу используется слово «вероятность», а с другой — нет повторяющихся опытов. И пытаясь понять, как же такая связка может работать, открываешь для себя неожиданные вещи.