Около гипотезы Гольдбаха / Песочница / Хабр

Здравствуйте.
В этом посте я поделюсь несколькими формулами, косвенно связанными с бинарной гипотезой Гольдбаха, а также своими наблюдениями. Кто знает, может это кого-то вдохновит на правильное доказательство. Но сначала расскажу, что из себя представляет данная гипотеза.

Гипотеза Гольдбаха — предположение о том, что каждое чётное число (больше 4) представимо в виде суммы двух простых чисел.

Далее я покажу несколько формул и то, как они выводятся, а также несколько примеров. Начнем с простого: Для чётных чисел N, кратных 6-ти, справедливы следующие формулы:

Формула 1.

      При N−1 = простое число:

$\pi(N) - 2 = 2h(N) + 1 + Z$

      При N−1 = составное число:

$\pi(N) - 2 = 2h(N) + Z$

Где:

N — чётное натуральное число.
π(N) — количество простых чисел, не превышающих N.
h(N) — количество уникальных способов представить число N в виде суммы двух простых чисел вида 6k±1.
Z — количество уникальных способов представить число N в виде суммы одного простого и одного составного (вида 6k±1) чисел.

Как выводится данная формула:
Очевидный факт, что простые числа (исключения 2 и 3) представимы в виде 6k±1. Мы это используем.

Вернемся к формуле 1. Зная количество простых чисел до N, рассмотрим возможные их распределения между h(N) и Z. Так как при распределении простых чисел в h(N) образуются пары, где два слагаемых — это простые числа, а в Z — простое и составное, чтобы подсчитать количество простых, которые участвуют в образовании данных пар, возьмем все простые из h(N) и умножим их на 2, и прибавим Z, в которых количество простых равняется Z.

Пример:
N = 24022026
π(N) = 1508430
N - 1 = составное число

$\pi(N) - 2 = 2h(N) + Z = 1508430 - 2 = 2 \cdot 151431 + 1205566 = 1508428$

Формула 2.

              При N−1 = простое число:

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z$

              При N−1 = составное число:

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z+1$

Где:

N — чётное натуральное число.
π(N) — количество простых чисел, не превышающих N.
X — количество уникальных пар составных чисел вида 6k ± 1, дающих в сумме N
Z — количество уникальных способов представить число N в виде суммы одного простого и одного составного (вида 6k±1) чисел.

$\left(\frac{N}{3} - 1\right) - (\pi(N) - 2) = 2X + 1 + Z$

Количество составных чисел вида 6k ± 1 до N — это количество чисел вида 6k ± 1 до N минус количество простых до N.

Зная количество составных чисел до N, рассмотрим возможные их распределения между X и Z. Так как при распределении составных чисел в X образуются пары, где два слагаемых — это простые числа, а в Z — простое и составное, чтобы подсчитать количество составных, которые участвуют в образовании данных пар, возьмем все составные из X и умножим их на 2, и прибавим Z, в которых количество составных равняется Z.

Количество чисел вида 6k ± 1 до N.

Все натуральные числа имеют остатки от деления на 6, равные (1, 2, 3, 4, 5, 0), всего 6, а числа вида 6k ± 1 лишь либо 1, либо -1, он же 5, всего 2. Из этого делаем вывод, что количество чисел вида 6k ± 1 до N = N/3 - 1. Вычитается единица, имеющая остаток, равный единице.

Пример:
N = 2406
π(N) = 357
N - 1 = составное число

$\left(\frac{N}{3} - 1\right) - (\pi(N) - 2) = 2X + 1 + Z = \frac{2406}{3} - 1 - (357 - 2) = 2 \cdot 117 + 211 + 1 = 446$

Примечание: мы добавляем единицу, так как для одного составного числа не хватило пары.

Формула 3.

$\frac{N}{6} - 1 - (X + Z) = h(N)$

Где:

N — чётное натуральное число.
h(N) — количество уникальных способов представить число N в виде суммы двух простых чисел вида 6k±1.
X — количество уникальных пар составных чисел вида 6k ± 1, дающих в сумме N
Z — количество уникальных способов представить число N в виде суммы одного простого и одного составного (вида 6k±1) чисел.

Вывод данной формулы осуществляется сложением формул 1 и 2.

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z$

$\pi(N) - 2 = 2h(N) + 1 + Z$

$\frac{N}{6} - 1 = (X + Z) + h(N)$

Формула 4.

              При N−1 = простое число:

$\frac{N}{6} - (\pi(N) - 2) = X - h(N)$

              При N−1 = составное число:

$\frac{N}{6} -1 - (\pi(N) - 2) = X - h(N)$

Где:

N — чётное натуральное число.
h(N) — количество уникальных способов представить число N в виде суммы двух простых чисел вида 6k±1.
X — количество уникальных пар составных чисел вида 6k ± 1, дающих в сумме N
π(N) — количество простых чисел, не превышающих N.

Вывод данной формулы осуществляется вычитанием формулы 1 из 2.

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z$

$\pi(N) - 2 = 2h(N) + 1 + Z$

$\frac{N}{6} - 1 - (\pi(N) - 2) = X - h(N)$

Далее мы попробуем найти (X + Z).

Что такое (X + Z)? Это сумма всех уникальных пар, дающих в сумме N, в которых одно слагаемое делится на некоторое(ые) простое(ые) число(а).

Для количества пар чисел вида 6к-1 или 6к+1, дающих в сумме N, в которых одно слагаемое делится на заданное P, существует формула (погрешность которой не превышает единицу).

Формула 5.

если НОД (N, P) = 1

$\frac{N}{3P}$

НОД (N, P) = P

$\frac{N}{6P}$

Пример:
N=318
НОД (318, 7) = 1

$\frac{N}{3P} = \frac{318}{3 \cdot 7} = 15{,}1428571429$

Вот эти пары:
(133+185),(73+245),(115+203),(35+283),(31+287),(143+175),(49+269),(157+161),(77+241),(17+301),(7+311),(59+259),(119+199),(101+217),(91+227),

Для чётных чисел N, не кратных 6, справедливы следующие формулы: Примечание: данные формулы имеют погрешность не более чем на 2.

Формула 1,2.

$(\pi(N) - 2) = 2h(N) + Z + T_p$

Где:

Формула 2,2.

$\left(\frac{N}{3} - 1\right) - (\pi(N) - 2) = 2X + Z + T_c$

Где:

Формула 3,2.

$\frac{N/3 - 1}{4} - (X + Z) = h(N)$

Количество возможных пар сократилось вдвое вследствие новых условий их образования.

$N = 6(k_1 + k_2) \pm 2$

Формула 4,2.

$\frac{\frac{N}{3} - 1}{4} - (\pi(N) - 2) = X - T_p - h(N)$

Формула 5,2.

если НОД (N, P) = 1

$\frac{N}{6P}$

НОД (N, P) = P

$\frac{N}{12P}$

Формула 6,2.

$T_c = \frac{\frac{N}{3}-1 - (\pi(N)-2)}{2} \mp \frac{A_c}{2}, \quad \begin{cases} - & \text{при } N \equiv 2 \pmod{6} \\ + & \text{при } N \equiv 4 \pmod{6} \end{cases}$ $T_p = \frac{\pi(N) \mp 2}{2} \mp \frac{A_p}{2}, \quad \begin{cases} \text{верхние знаки} & \text{при } N \equiv 2 \pmod{6} \\ \text{нижние знаки} & \text{при } N \equiv 4 \pmod{6} \end{cases}$

Способ применения данных формул.

Можно вывести условие, при котором бинарная бинарная гипотеза Гольдбаха будет подтверждена.

Для N, кратных шести, из формулы 3 и, используя формулу включений-исключений для формулы 5, получаем следующее неравенство, выполнение которого гарантирует выполнение гипотезы.

$S(N) = \sum_{\substack{3 < P_i \\ P_i \leq \sqrt{N}}} \left( \frac{N}{3 \cdot P_i} \right) - 2 \sum_{\substack{3 < P_i < P_j \\ P_j \leq \sqrt{N}}} \left( \frac{N}{3 \cdot P_i \cdot P_j} \right) + 3 \sum_{\substack{3 < P_i < P_j < P_k \\ P_k \leq \sqrt{N}}} \left( \frac{N}{3 \cdot P_i \cdot P_j \cdot P_k} \right) < \frac{N}{6} - 2$

ограничение

$3 \cdot P_i \cdot P_j \cdot P_k \cdot \ldots \cdot P_o < N$

В данном примере мы рассмотрели только первые три элемента, поскольку после них по формуле включения-исключения значение S(N) снова уменьшается. Однако для доказательства этого достаточно.

Аналогично для чисел не кратных шести.

$S(N) = \sum_{\substack{3 < P_i \\ P_i \leq \sqrt{N}}} \frac{N}{6P_i} - 2\sum_{\substack{3 < P_i < P_j \\ P_j \leq \sqrt{N}}} \frac{N}{6P_i P_j} + 3\sum_{\substack{3 < P_i < P_j < P_k \\ P_k \leq \sqrt{N}}} \frac{N}{6P_i P_j P_k} < \frac{N}{12} - 2$

ограничение

$6 \cdot P_i \cdot P_j \cdot P_k \cdot \ldots \cdot P_o < N$